第7单元 08 第46讲 空间角（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学讲义聚焦空间角核心考点，系统梳理异面直线夹角、线面角、二面角的定义、范围及几何法与向量法求解策略，通过考点分层讲解、方法归纳总结、真题变式训练的教学流程，帮助学生构建空间角问题的解题框架，突破高考高频难点。 资料以核心素养为导向，创新采用“易错点索引+方法步骤化”教学策略，如针对二面角与平面夹角混淆等易错点设置专项辨析，通过向量法坐标运算培养学生数学思维和运算能力。分层设计常识题、综合例题及变式训练，确保复习高效精准，助力学生提升空间观念与应考能力，为教师把控复习进度提供实用指导。

第46讲　空间角 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.(1)不大于90°　(2) 2.(2) 3.(1)垂直于棱 【对点演练】 1.　[解析] 设直线a与平面α的夹角为θ,则sin θ===. 2.45°　[解析] ∵cos<m,n>===,∴<m,n>=45°,故这两个平面的夹角为45°. 3. [解析] 以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则O(1,1,0),E(0,2,1),F(1,0,0),D1(0,0,2),∴=(-1,0,2),=(-1,1,1),∴cos<,>===,故异面直线OE与FD1的夹角的余弦值为. 4.30°　[解析] 设l与α的夹角为θ,∵cos<m,n>=-,∴sin θ=|cos<m,n>|=,又0°≤θ≤90°,∴θ=30°. 5.　[解析] 以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B(0,1,0),S(0,0,),C,所以=(0,1,),=,所以cos<,>==-,所以SA与BC的夹角的余弦值为. 6.　-　　[解析] 以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,1),C1(0,2,1),A1(1,0,1),B(1,2,0),∴=(0,2,0),=(-1,2,0),=(0,2,-1).设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则即 令y=1,得n=(2,1,2).设D1C1与平面A1BC1的夹角为θ,则sin θ=|cos<,n>|===,即直线D1C1与平面A1BC1的夹角的正弦值为.易知平面A1C1D1的一个法向量为m=(0,0,1),∴cos<m,n>===.由图可知,二面角B-A1C1-D1为钝角,故二面角B-A1C1-D1的余弦值为-.因为平面A1BC1与平面A1C1D1的夹角的取值范围为,所以平面BA1C1与平面A1C1D1的夹角的余弦值为. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] 思路一:在长方体中建立空间直角坐标系,利用向量法求异面直线的夹角;思路二:在长方体中,通过补充新的长方体,结合平行关系,将异面直线转化在同一平面中,利用解三角形求异面直线的夹角. A　[解析] 方法一:以A为坐标原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,4),F(2,2,0),B1(4,0,4),E(0,1,4),所以=(2,2,-4),=(-4,1,0).设异面直线A1F与B1E的夹角为θ,则cos θ===.故选A. 方法二:补充长方体CDMN-C1D1M1N1,如图所示,其中C1N1=B1C1,取P为B1C1的中点,Q为MN的中点,连接D1Q,D1P,PQ,则∠PD1Q(或其补角)即为异面直线A1F与B1E的夹角.由题知D1P=B1E=,D1Q=A1F=2,PQ=,所以cos∠PD1Q==.故选A. 变式题　D　[解析] 由AB=2,AC=2,BC=2,得AB2+AC2=BC2,所以AB⊥AC. 方法一:如图,取BC的中点E,连接AE,DE,则DE∥PC,所以∠ADE或其补角即为异面直线AD与PC的夹角.易知AE=,PC===,DE=PC=,PB===,所以DA=.在△ADE中,根据余弦定理可得cos∠ADE===,所以异面直线AD与PC的夹角的余弦值为.故选D. 方法二:因为PA⊥平面ABC,AB,AC⊂平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC,故以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(2,0,0),C(0,2,0),A(0,0,0),P(0,0,3),D,所以=,=(0,2,-3).设AD与PC的夹角为θ,则cos θ== =.故选D. 例2　解:(1)证明:如图,过点D作DO⊥AC,交直线AC于点O,连接OB. 由∠ACD=45°,DO⊥AC得CD=CO,由平面ACFD⊥平面ABC得DO⊥平面ABC,所以DO⊥BC.由∠ACB=45°,BC=CD=CO得BO⊥BC. 所以BC⊥平面BDO,故BC⊥DB.由三棱台ABC-DEF得BC∥EF,所以EF⊥DB. (2)方法一:过点O作OH⊥BD,交直线BD于点H,连接CH. 由三棱台ABC-DEF得DF∥CO,所以直线DF与平面DBC的夹角等于直线CO与平面DBC的夹角. 由BC⊥平面BDO得OH⊥BC,故OH⊥平面BCD,所以∠OCH为直线CO与平面DBC的夹角. 设CD=2.由DO=OC=2,BO=BC=,得BD=,OH=, 所以sin∠OCH==, 因此,直线DF与平面DBC的夹角的正弦值为. 方法二:由三棱台ABC-DEF得DF∥CO,所以直线DF与平面DBC的夹角等于直线CO与平面DBC的夹角,记为θ.如图,以O为原点,分别以射线OC,OD为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz. 设CD=2. 由题意知各点坐标如下:O(0,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),D(0,0,2). 因此=(0,2,0),=(-1,1,0),=(0,-2,2). 设平面BCD的法向量n=(x,y,z). 由即可取n=(1,1,1).所以sin θ=|cos<,n>|==. 因此,直线DF与平面DBC的夹角的正弦值为. 变式题　解:(1)因为圆台OO1的上、下底面半径分别为3和6,母线与下底面的夹角为30°,所以圆台的高为,所以圆台的体积V=×(9π+36π+18π)×=21π. (2)(i)证明:由圆台的定义知,母线AA1,BB1的延长线相交于一点M, 所以A,A1,B1,B四点共面. 又因为圆面O1与圆面O平行,平面AA1B1B与圆面O1交于直线A1B1,平面AA1B1B与圆面O交于直线AB,所以AB∥A1B1. (ii)在圆面O内作Oy⊥OA,垂足为O,以O为坐标原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系. 则O(0,0,0),A(6,0,0),B(-3,3,0),O1(0,0,),由题可设P(3cos θ,3sin θ,),所以=(-9,3,0),=(-6,0,),=(3cos θ,3sin θ,).设平面O1AB的法向量为n=(x,y,z), 则即 取x=1,则n=(1,,2). 设直线OP与平面O1AB的夹角为α,则sin α=|cos<,n>|===·≤, 所以直线OP与平面O1AB的夹角的正弦值的最大值为. 例3　[思路点拨] (1)取AC的中点O,作出辅助线A1O,OD,可得到四边形A1OCE为平行四边形,所以A1O∥EC,进而可得A1O∥平面EFC,由中位线得到OD∥EF,进而可得OD∥平面EFC,进而得到平面A1OD∥平面EFC,从而可证明线面平行; (2)证明出线面垂直,建立空间直角坐标系,求出平面EFC和平面ABB1A1的法向量,从而利用面面角的余弦公式进行求解. 解:(1)证明:设AC的中点为O,连接A1O,OD,如图, 因为E是A1C1的中点, 所以OC∥A1E且OC=A1E, 所以四边形A1OCE为平行四边形,所以A1O∥EC,又因为A1O⊄平面EFC,EC⊂平面EFC, 所以A1O∥平面EFC. 因为D,F分别是BC,B1C1的中点, 所以OD∥AB,EF∥A1B1, 又AB∥A1B1,所以OD∥EF, 又OD⊄平面EFC,EF⊂平面EFC,所以OD∥平面EFC. 因为A1O∩OD=O,A1O,OD⊂平面A1OD,所以平面A1OD∥平面EFC, 又A1D⊂平面A1OD,所以A1D∥平面EFC. (2)因为AB⊥平面ACC1A1,AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACC1A1,如图,过点A1作A1O'⊥AC,垂足为O',所以A1O'⊥平面ABC,因为三棱柱ABC-A1B1C1的高为,所以A1O'=.因为AA1=2,所以AO'==1,又AC=2,O为AC的中点,所以O'与O重合. 以O为坐标原点,OD,OC,OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,),A(0,-1,0),B(2,-1,0),所以=(0,1,),=(2,0,0). 由(1)知,平面A1OD∥平面EFC,所以平面EFC的一个法向量为n1=(0,1,0).设平面ABB1A1的法向量为n2=(x,y,z),则 令z=-1,得n2=(0,,-1).设平面EFC与平面ABB1A1的夹角为θ, 则cos θ=|cos<n1,n2>|===, 所以θ=30°,故平面EFC与平面ABB1A1的夹角为30°. 变式题　解:(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴PA⊥AD.又∵AD⊥PB,PB∩PA=P,PB,PA⊂平面PAB,∴AD⊥平面PAB,∵AB⊂平面PAB,∴AD⊥AB.在△ABC中,AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC. ∵A,B,C,D四点共面,∴AD∥BC, 又∵BC⊂平面PBC,AD⊄平面PBC,∴AD∥平面PBC. (2)方法一:以D为原点,以DA,DC所在直线分别为x,y轴,以过点D且与平面ABCD垂直的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设AD=t(0<t<2),则A(t,0,0),P(t,0,2),D(0,0,0),DC=,C(0,,0). =(-t,,0),=(0,0,2),设平面ACP的法向量为n1=(x1,y1,z1),则 即不妨令x1=,则y1=t,z1=0,故n1=(,t,0).=(t,0,2),=(0,,0),设平面CPD的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则即不妨令z2=t,则x2=-2,y2=0,故n2=(-2,0,t).∵二面角A-CP-D的正弦值为,∴平面ACP与平面CPD夹角的余弦值为,∴=|cos<n1,n2>|==,可得t=,∴AD=. 方法二:如图所示,过点D作DE⊥AC于E,过点E作EF⊥CP于F,连接DF.∵PA⊥平面ABCD,PA⊂平面PAC,∴平面PAC⊥平面ABCD, 又平面PAC∩平面ABCD=AC,DE⊥AC,∴DE⊥平面PAC. 又CP⊂平面PAC,∴DE⊥CP,又EF⊥CP,DE∩EF=E,∴CP⊥平面DEF,得DF⊥CP,根据二面角的定义可知,∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角,即sin∠DFE=, 又∠DFE为锐角,∴tan∠DFE=. 设AD=x(0<x<2),则CD=,由等面积法可得,DE=,则CE==,又△EFC为等腰直角三角形,∴EF=,故tan∠DFE===,解得x=,即AD=. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第46讲　空间角 【课标要求】　能用向量方法解决简单的夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用. 1.异面直线的夹角 (1)定义:已知两条异面直线a,b,过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b,这时a',b'共面,我们把a'与b'所成的　　　　的角称为异面直线a,b的夹角.   (2)范围:　　　　.  (3)求法: ①几何法:平移补形法. ②向量法:若异面直线l1,l2的夹角为θ,其方向向量分别为u,v,则cos θ=|cos<u,v>|==. 2.线面角 (1)定义:平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角,叫作这条直线与这个平面的夹角. 当一条直线垂直于平面时,我们说它们的夹角是直角;当一条直线与平面平行,或在平面内时,就说它们的夹角是0°. (2)直线与平面的夹角的取值范围:　　　　.  (3)求法: ①几何法:求直线与平面夹角的关键是作出直线在平面上的投影,常用方法是寻找经过此直线并与已知平面垂直的平面,利用面面垂直的性质确定直线上一点在平面上的投影. ②向量法:如图,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α的夹角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos<u,n>|==. 3.二面角 (1)定义:以二面角α-l-β的棱l上任一点O为端点,在半平面α和β内分别作 　　　　的两条射线OA和OB,则射线OA和OB的夹角称为二面角的平面角(如图).   平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. (2)范围:[0,π]. (3)求法: ①几何法:找到二面角的棱的一个垂面,即可确定平面角,作二面角的平面角的常用方法是在二面角的棱上任取一点O,以点O为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的∠AOB即为二面角的平面角. ②向量法:若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则cos θ=|cos<n1,n2>|==(如图). 题组一　常识题 1.[教材改编] 设直线a的一个方向向量为a=(-1,2,1),平面α的一个法向量为b=(0,1,2),则直线a与平面α的夹角的正弦值为　　　　.  2.[教材改编] 已知两个平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则这两个平面的夹角为　　　　.  3.[教材改编] 如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F分别是CC1,AD的中点,那么异面直线OE与FD1的夹角的余弦值为　　　　.  题组二　常错题 ◆索引:线面角取值范围出错;异面直线夹角取值范围出错;二面角取值范围出错,二面角与平面夹角混淆. 4.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos<m,n>=-,则l与α的夹角为　　　　.  5.如图,圆锥的高SO=,底面直径AB=2,C是圆O上一点,且AC=1,则SA与BC的夹角的余弦值为　　　　.  6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1的夹角的正弦值为　　　　,二面角B-A1C1-D1的余弦值为　　　　,平面A1BC1与平面A1C1D1的夹角的余弦值为　　　　.  　异面直线的夹角 例1 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=2,AB=BB1=4,E,F分别是A1D1,CD的中点,则异面直线A1F与B1E的夹角的余弦值为 (　 ) A. B.- C. D. 总结反思 求异面直线的夹角的方法: 1.定义法 定义法求异面直线的夹角的步骤 (1)找或作:在图中找或平移异面直线中的一条或两条构造异面直线的夹角. (2)证:说明所作的角是异面直线的夹角. (3)算:寻找或作出含有此角的三角形并解之. (4)取舍:因为异面直线的夹角θ的取值范围是0°<θ≤90°,所以所作的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线的夹角. 2.向量法 向量法又分为坐标法和基本向量法,利用公式|cos θ|=求出异面直线的方向向量的夹角.若向量夹角是锐角或直角,则该角即为异面直线的夹角;若向量夹角是钝角,则异面直线的夹角为该角的补角. 变式题 在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB=2,AC=2,BC=2,PA=3,D为PB的中点,则异面直线AD与PC的夹角的余弦值为 (　 ) A. B. C. D. 　直线与平面的夹角 例2 如图,在三棱台ABC-DEF中,平面ACFD⊥平面ABC,∠ACB= ∠ACD=45°,DC=2BC. (1)证明:EF⊥DB; (2)求直线DF与平面DBC的夹角的正弦值.     总结反思 (1)用几何法求线面角的三个步骤:一作(找)角,二证明,三计算.其中作(找)角是关键,先找出斜线在平面上的投影,关键是作垂线、找垂足,然后把线面角转化到三角形中求解.也可以利用等体积法直接求出直线上一点到平面的距离,使问题得到解决. (2)对于建立空间直角坐标系比较方便的几何体,我们可以通过向量法来解决;如果有特殊的几何背景,还可以通过补形等方法来解决. 变式题 [2026·江苏南通质检] 如图,已知圆台OO1的上、下底面半径分别为3和6,母线与下底面的夹角为30°. (1)求圆台OO1的体积. (2)设AA1,BB1分别是圆台OO1的两条母线. (i)求证:AB∥A1B1; (ii)若∠AOB=120°,P是圆O1上的动点,求直线OP与平面O1AB的夹角的正弦值的最大值.   　平面与平面的夹角 例3 如图,三棱柱ABC-A1B1C1的高为,D,E,F分别是BC,A1C1,B1C1的中点,AB⊥平面ACC1A1,AB=AC=AA1=2. (1)证明:A1D∥平面EFC; (2)求平面EFC与平面ABB1A1的夹角.         总结反思 (1)求解二面角的大小问题,关键是要合理作出它的平面角,当找到二面角棱的一个垂面时,即可确定平面角. (2)求解平面与平面夹角的大小问题时,对于建立空间直角坐标系比较简便的几何体,我们可以直接利用向量求出两个平面的法向量,并转化为求两个法向量的夹角来完成. 变式题 [2024·新课标Ⅰ卷] 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=. (1)若AD⊥PB,证明:AD∥平面PBC; (2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值为,求AD. 学科网（北京）股份有限公司 $