第7单元 05 教材拓展5 三垂线定理及逆定理的应用（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦三垂线定理及其逆定理，按课本探源、定理证明、定理解读、典型例题到巩固演练的逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建线线垂直证明体系，突破立体几何难点。 资料以“三垂”特征为核心，结合正方体、圆等载体设计例题，如例1通过多面体情境培养空间观念和推理能力。设置分层练习与总结反思，助力学生高效掌握证明方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

教材拓展5　三垂线定理及逆定理的应用 【典型例题】 例1　(1)4　(2)BC　[解析] (1)因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB且PA⊥AC,所以△PAB和△PAC均为直角三角形.因为AB是圆O的直径,所以AC⊥BC,所以△ACB为直角三角形.因为BC⊥AC,且AC为PC在平面ABC上的投影,根据三垂线定理知BC⊥PC,所以△PCB为直角三角形.故三棱锥P-ABC的四个面均为直角三角形. (2)方法一:设正方体的棱长为2.对于A,如图①所示,连接AC,则MN∥AC,故∠POC(或其补角)为直线OP与MN的夹角.在直角三角形OPC中,OC=,CP=1,则tan∠POC==,故MN⊥OP不成立,故A不满足题意.对于B,如图②所示,取MT的中点Q,连接PQ,OQ,则OQ⊥MT,PQ⊥MN.由题意知SM⊥平面AMTD,因为OQ⊂平面AMTD,所以SM⊥OQ,又SM∩MT=M,所以OQ⊥平面SNTM,因为MN⊂平面SNTM,所以OQ⊥MN,又PQ⊥MN,OQ∩PQ=Q,所以MN⊥平面OPQ,又OP⊂平面OPQ,所以MN⊥OP,故B满足题意.对于C,如图③,连接BD,则BD∥MN,由B的判断可得OP⊥BD,故OP⊥MN,故C满足题意.对于D,如图④,取CD的中点Q,BC的中点K,连接AC,PQ,OQ,PK,OK,OC,则AC∥MN.因为DP=PA,DQ=QC,所以PQ∥AC,故PQ∥MN,所以∠QPO或其补角为异面直线OP与MN的夹角.因为正方体的棱长为2,所以PQ=AC=,OQ===,OP===,所以OQ2<PQ2+OP2,则∠QPO不是直角,所以OP与MN不垂直,故D不满足题意.故选BC. 方法二:由三垂线定理知,OP⊥MN⇔直线OP在MN所在平面(正方体的底面或侧面)的投影垂直于MN.作图可知B,C两选项中满足MN⊥OP,A,D两选项不满足.故选BC. 例2　5　[解析] 方法一:因为四边形ABCD是矩形,所以BC⊥AB,又PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以根据三垂线定理,得BC⊥PB,所以PB为点P到直线BC的距离.在矩形ABCD中,因为∠BCA=30°,AC=20,所以AB=10.在Rt△PAB中,因为PA=5,所以PB===5,所以点P到直线BC的距离为5. 方法二:以A为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.在矩形ABCD中,∠BCA=30°,AC=20,所以AB=10,AD=10,所以P(0,0,5),B(10,0,0),C(10,10,0),所以=(10,0,-5),=(0,10,0),所以·=0,所以PB为点P到直线BC的距离.因为||==5,所以点P到直线BC的距离为5. 【巩固演练】 1.　[解析] 因为PA⊥平面ABC,且AC⊂平面ABC,所以PA⊥AC,由AB=AC=2,BC=2,可得AB2+AC2=BC2,所以AB⊥AC,又PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以AC⊥平面PAB.因为BD⊂平面PAB,所以AC⊥BD,如图所示,连接AD.因为BD⊥CD,CD∩AC=C,CD,AC⊂平面ACD,所以BD⊥平面ACD,又AD⊂平面ACD,所以AD⊥BD,所以点D落在以AB为直径的四分之一圆上.因为AB=2,所以点D的轨迹长度为π×=. 2.45°　[解析] 在堑堵ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,A1C1⊂平面A1B1C1,则AA1⊥A1C1,又A1B1⊥A1C1,A1B1∩AA1=A1,A1B1,AA1⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.由AB⊥AA1,根据三垂线定理,得AB⊥AC1,所以∠C1AA1即为二面角C1-AB-A1的平面角,在Rt△AA1C1中,A1C1=AA1=1,则∠C1AA1=45°.故二面角C1-AB-A1的大小为45°. 学科网（北京）股份有限公司 $ 课本探源 三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的投影垂直,则它也和这条斜线垂直. [课本探源:北师大版选择性必修第一册P127] 三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的投影垂直. 定理证明(三垂线定理) 如图,OB是平面α的斜线,O为斜足,AB⊥α,A为垂足,CD⊂α,且CD⊥OA. 求证:CD⊥OB. 证明:因为CD⊥OA,所以·=0, 因为AB⊥α,CD⊂α,所以AB⊥CD,所以·=0. 因为+=,所以·=·(+)=·+·=0,所以CD⊥OB. 定理解读 1.三垂线定理可以简记为“垂直投影,则垂直斜线”; 三垂线定理的逆定理可以简记为“垂直斜线,则垂直投影”. 2.在三垂线定理中,其内涵特征是“三垂”: 一垂→直线和平面垂直;二垂→垂直投影;三垂→垂直斜线. 特别注意:没有第一垂直(线面垂直),不能体现斜线在平面内的投影,也就没有这样良好的定理了. 3.在三垂线定理的逆定理中,其内涵特征是“三垂”: 一垂→直线和平面垂直;二垂→垂直斜线;三垂→垂直投影. 【典型例题】 例1 (1)如图所示,PA垂直于圆O所在平面,AB为圆O直径,C为圆O上异于A,B的一点,则图中有　　　　个直角三角形.  (2)(多选题)如图,在正方体中,O为底面的中心,P为所在棱的中点,M,N为正方体的顶点.则满足MN⊥OP的是 (　 ) A B C D 　　　　　　　　　　　　　　　 总结反思 破解此类问题的关键:一是找或证线面垂直;二是判断斜线与投影;三是用定理,利用三垂线定理或三垂线定理的逆定理,证明线线垂直.但要特别注意解决以(长)正方体为载体的立体几何题,要熟练、准确掌握(长)正方体的有关性质,一定要抓住(长)正方体中棱与面的垂直关系,并能灵活运用. 例2 在矩形ABCD中,∠BCA=30°,AC=20,PA⊥平面ABCD,且PA=5,则点P到直线BC的距离为　　　　.  总结反思 破解空间距离、角的问题的关键:一是用定理,三垂线定理及其逆定理都是由“四线、三垂直、一平面”组成的,分析问题时必须先找全条件才能用定理;二是用定义,空间角问题利用定义,找出空间角,距离问题可找垂线,即寻找点到直线的垂线,用三垂线定理及其逆定理来“定位”;三是会计算,会利用解直角三角形,求出空间距离、角. 【巩固演练】 1.[2025·山东滨州二模] 在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=AC=2,BC=2,点D为△PAB内(包含边界)一点,且BD⊥CD,则点D的轨迹的长度为　　　　.  2.[2026·上海杨浦区调研] 中国古代数学著作《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,已知A1B1⊥A1C1,A1B1=A1C1=AA1=1,则二面角C1-AB-A1的大小为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $