第7单元 03 第43讲 平行关系（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦空间平行关系核心考点，依据课标要求梳理线面、面面平行的判定与性质定理，构建“线线平行—线面平行—面面平行”转化体系。通过考点梳理（定理表格化呈现）、方法指导（总结反思提炼策略）、真题训练（题组与例题分层设计），帮助学生系统掌握判定方法与性质应用，突破空间想象与逻辑推理难点。 资料突出“转化思想”与“模型教学”特色，如通过正方体展开图变式题培养空间观念，利用四棱锥实例引导学生构造辅助线论证线面平行，发展逻辑推理能力。设置常识题夯实基础、常错题辨析误区、综合题提升能力，配合即时反馈的变式训练，确保高效突破考点。为教师提供清晰复习路径，助力学生提升空间几何应考能力。

第43讲　平行关系 【课标要求】　1.从立体几何的有关定义和基本事实出发,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质定理与判定定理,并能够证明相关性质定理. 2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题. 1.线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果平面外一条直线与　　　　的一条直线平行,那么该直线与此平面平行  ⇒ a∥α 性质 定理 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面　　　　,那么该直线与交线平行  ⇒ a∥b 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面内的两条　　　　与另一个平面平行,那么这两个平面平行  ⇒ β∥α (续表) 文字语言 图形语言 符号语言 性质 定理 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面　　　　,那么两条　　　　平行  ⇒ a∥b 常用结论 1.平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ. 2.三种平行关系的转化: 线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想,解题中既要注意一般的转化规律,又要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向. 题组一　常识题 1.[教材改编] 已知直线a∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于直线a的直线有 　　　　条.  2.[教材改编] 下列说法中,与“直线a∥平面α”等价的是　　　　.(填序号)  ①直线a上有无数个点不在平面α内; ②直线a与平面α内的所有直线平行; ③直线a与平面α内无数条直线不相交; ④直线a与平面α内的任意一条直线都不相交. 3.[教材改编] 如图,平面α∥平面β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则AB=　　　　.  题组二　常错题 ◆索引:对面面平行判定定理的条件“平面内两条相交直线”认识不清致误;对空间平行关系的相互转化条件理解不够致误. 4.下列条件中,能判断两个平面平行的是　　　　.(填序号)  ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面; ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面; ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面; ④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面. 5.如图是长方体被一平面截后得到的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为　　　　　　　　　.  6.已知两直线m,l与平面α,请看①②两个推理过程:①⇒l∥α;②⇒l∥α.它们都缺少同一个条件,补上这个条件就可以使其构成真命题(其中l,m为直线,α为平面),则此条件为　　　　.  　平行关系的基本问题 例1 (1)[2025·湖南湘西自治州调研] 设α,β是两个不同的平面,α∩β=l,m是异于l的一条直线,则“m∥l”是“m∥β且m∥α”的 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)[2025·江西上饶调研] 设a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列四个说法中正确的是 (　 ) A.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥β B.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b C.若a⊄α,b⊂α,a∥b,则a∥α D.若a∥α,b⊂α,则a∥b 总结反思 解决空间中线面、面面平行的基本问题要注意以下几个方面: (1)判定定理与性质定理中易忽视定理成立的条件; (2)结合题意构造或绘制图形,结合图形进行判断; (3)举反例否定结论. 变式题 如图是一个正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列结论正确的是 (　 ) ①BM∥平面ADE;②CN∥平面ABF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF. A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④ 　线面平行的判定与性质 角度1　直线与平面平行的判定 例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,AB=2,CD=4,E为PC的中点.求证:BE∥平面PAD.     总结反思 判断或证明线面平行的常用方法: ①利用线面平行的定义(无公共点). ②利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α). ③利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β). ④利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β). 变式题 [2026·宁波一模] 如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,且PA=AD=2BC,E为CD的中点,F为棱PD上的点,且PF=3FD.证明:EF∥平面PAB.     角度2　直线与平面平行的性质 例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,过A,B1,E的平面截此正方体,得到如图所示的多面体,F为棱CC1上的一点.若点H在棱BC上,当CH=CB时,FH∥平面AEB1,试确定动点F在棱CC1上的位置,并说明理由.     总结反思 应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线. 变式题 [2025·河南安阳模拟] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D在棱BB1上,且BD=BB1,M,E分别是棱A1B1,AA1的中点,点N在棱CC1上,若MN∥平面CDE,则= (　 ) A. B. C. D. 　面面平行的判定与性质 例4 已知正方体ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示,O为AC与BD的交点. (1)求证:A1O∥平面B1CD1; (2)求证:平面A1BD∥平面B1CD1.   总结反思 (1)证明面面平行的常用方法: ①利用面面平行的判定定理. ②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α,l⊥β⇒α∥β). ③利用面面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(α∥β,β∥γ⇒α∥γ). (2)当已知两平面平行时,可以得出线面平行,如果要得出线线平行,必须是与第三个平面的交线. 变式题 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,BC∥AD,BC=AD,平面PBC∩平面PAD=l,E是PD的中点. (1)求证:l∥AD. (2)若M是线段CE上的一个动点,则棱AD上是否存在点N,使MN∥平面PAB?若存在,求出点N的位置;若不存在,请说明理由.     　平行关系的综合应用 例5 如图所示,在正四棱锥S-ABCD中,SA=AB=2,P为棱SD上的动点. (1)求正四棱锥S-ABCD的表面积. (2)若直线SB∥平面ACP,求证:P为棱SD的中点. (3)若SP=3PD,棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.     总结反思 对于平行关系的综合问题,经常反复利用线面平行、面面平行的判定定理与性质定理,不断地在“线线平行”“线面平行”“面面平行”之间转化. 变式题 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为线段AC1,A1C1上的点,=λ,=λ,λ∈(0,1). (1)求证:EF∥平面BCC1B1. (2)在线段BC1上是否存在一点G,使平面EFG∥平面ABB1A1?请说明理由. (3)若四棱锥A-BCC1B1的体积为1,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第43讲　平行关系 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.此平面内　相交 2.相交直线　相交　交线 【对点演练】 1.1　[解析] 过点P与直线a作平面β,设β∩α=b,则a∥b,由作图的过程可知满足条件的直线b只有1条. 2.④　[解析] 因为a∥平面α,所以直线a与平面α无交点,因此直线a和平面α内的任意一条直线都不相交,反之也成立. 3.　[解析] 因为α∥β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD,AB,所以CD∥AB,所以=,又因为PC=2,CA=3,CD=1,所以AB=. 4.④　[解析] 由两个平面平行的判定定理可知,如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,那么这两个平面平行,故①②不能判断两个平面平行;当平面α∩平面β=直线l时,α内有无数条与交线l平行的直线与β平行,故③不能判断两个平面平行;根据面面平行的定义可知④能判断两个平面平行.故填④. 5.平行四边形　[解析] ∵平面ABFE∥平面DCGH,平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面DCGH=HG,∴EF∥HG.同理EH∥FG,∴四边形EFGH是平行四边形. 6.l⊄α　[解析] ①由线面平行的判定定理知l⊄α;②由线面平行的判定定理知l⊄α. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)根据线面平行的判定定理和性质定理,结合充分条件、必要条件的判定方法,即可得结果.(2)对于A,B,D,以正方体为载体,举反例说明即可;对于C,根据线面平行的判定定理,即可作出判断. (1)A　(2)C　[解析] (1)当m∥l时,m可能在α内或者β内,故不能推出m∥β且m∥α,所以充分性不成立;当m∥β且m∥α时,设存在直线n⊂α,n⊄β,且n∥m,因为m∥β,所以n∥β,根据直线与平面平行的性质定理,可得n∥l,所以m∥l,即必要性成立.故“m∥l”是“m∥β且m∥α”的必要不充分条件.故选A. (2)对于A,B,D,如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,例如BC⊂平面ABCD,A1D1⊂平面ADD1A1,BC∥A1D1,但平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,故A错误;例如BC∥平面A1B1C1D1,A1B1∥平面ABCD,平面A1B1C1D1∥平面ABCD,但直线BC与直线A1B1异面,故B错误;例如BC∥平面A1B1C1D1,A1B1⊂平面A1B1C1D1,但直线BC与直线A1B1异面,故D错误.对于C,根据线面平行的判定定理可知若a⊄α,b⊂α,a∥b,则a∥α,故C正确.故选C. 变式题　A　[解析] 把正方体的平面展开图还原成正方体ABCD-EFMN,如图a所示.对于①,平面BCMF∥平面ADNE,BM⊂平面BCMF,所以BM∥平面ADNE,①正确.对于②,平面DCMN∥平面ABFE,CN⊂平面DCMN,所以CN∥平面ABFE,②正确.对于③,如图b所示,易知DN=BF,DN∥BF,则四边形BDNF为平行四边形,则BD∥FN,又BD⊄平面AFN,FN⊂平面AFN,所以BD∥平面AFN;同理可得四边形ABMN为平行四边形,则BM∥AN,因为BM⊄平面AFN,AN⊂平面AFN,所以BM∥平面AFN,又BD∩BM=B,BD,BM⊂平面BDM,所以平面BDM∥平面AFN,③正确.对于④,如图c所示,由③知BD∥FN,因为BD⊄平面NCF,FN⊂平面NCF,所以BD∥平面NCF;因为BC∥EN,BC=EN,所以四边形BCNE为平行四边形,所以BE∥CN,因为BE⊄平面NCF,CN⊂平面NCF,所以BE∥平面NCF.又因为BD∩BE=B,且BD,BE⊂平面BDE,所以平面BDE∥平面NCF,④正确.故选A. 例2　[思路点拨] 思路一:取PD的中点F,连接EF,AF,通过三角形的中位线的性质证明四边形ABEF为平行四边形,由平行四边形的性质证明BE∥AF,利用线面平行的判定定理可得证;思路二:延长DA,CB交于H,连接PH,利用比例相等以及三角形中位线定理得到BE∥PH, 利用线面平行的判定定理可得证;思路三:取CD的中点H,连接BH,EH,利用平面BHE∥平面PAD,BE⊂平面BHE,得到线面平行. 证明:方法一:如图①,取PD的中点F,连接EF,FA.由题意知EF为△PDC的中位线,∴EF∥CD,且EF=CD=2.又∵AB∥CD,AB=2,∴AB􀰿EF,∴四边形ABEF为平行四边形,∴BE∥AF. 又AF⊂平面PAD,BE⊄平面PAD, ∴BE∥平面PAD. 方法二:如图②,延长DA,CB相交于点H,连接PH. ∵AB∥CD,AB=2,CD=4,∴==,即B为HC的中点,又E为PC的中点,∴BE∥PH, 又BE⊄平面PAD,PH⊂平面PAD,∴BE∥平面PAD. 方法三:如图③,取CD的中点H,连接BH,HE. ∵E为PC的中点,∴EH∥PD, 又EH⊄平面PAD,PD⊂平面PAD, ∴EH∥平面PAD. 由题意知AB􀰿DH,∴四边形ABHD为平行四边形,∴BH∥AD,又AD⊂平面PAD,BH⊄平面PAD,∴BH∥平面PAD.又BH∩EH=H,BH,EH⊂平面BHE,∴平面BHE∥平面PAD,又BE⊂平面BHE,∴BE∥平面PAD. 变式题　证明:在棱PA上取N,使得AN=AP,取棱AB的中点M,连接EM,MN,NF,因为==,所以NF∥AD,且==,则NF=AD=BC.在梯形ABCD中,因为AD∥BC,AD=2BC,E为CD的中点,所以ME∥AD,ME=BC,所以ME∥NF,ME=NF,所以四边形FNME为平行四边形,所以EF∥MN,又EF⊄平面PAB,MN⊂平面PAB,所以EF∥平面PAB. 例3　[思路点拨] 取BC的中点G,连接GC1,利用线面平行的性质定理和面面平行的性质定理推出GC1∥FH,即可得到点F的位置. 证明:设平面BCC1B1与平面AEB1的交线为l,因为FH∥平面AEB1,平面BCC1B1∩平面AEB1=l,FH⊂平面BCC1B1,所以FH∥l. 因为平面ADD1E∥平面BCC1B1,平面ADD1E∩平面AEB1=AE,平面BCC1B1∩平面AEB1=l,所以AE∥l,所以AE∥FH. 取BC的中点G,连接C1G,易知AE∥GC1,所以GC1∥FH,又H为CG的中点,所以F为CC1的中点. 变式题　B [解析] 如图所示,在平面ABB1A1内,作MF∥AA1,与DE交于点F,连接CF,易知MF∥CC1.因为MN∥平面CDE,所以由线面平行的性质定理知MN∥CF,所以四边形MFCN是平行四边形,所以MF=CN.因为M是A1B1的中点,所以MF是梯形A1B1DE的中位线,不妨设AA1=6,则MF===,所以CN=,所以C1N=6-=,所以=.故选B. 例4　[思路点拨] (1)要证A1O∥平面B1CD1,需在平面B1CD1内寻找一条直线与A1O平行,取B1D1的中点E,则CE∥A1O,由线面平行的判定定理可证;(2)要证明平面A1BD∥平面B1CD1,观察空间直观图,需在平面A1BD内寻找两条相交直线与平面B1CD1平行. 证明:(1)如图,取B1D1的中点E,连接A1E,CE,易知A1E=OC,A1E∥OC,所以四边形COA1E为平行四边形,所以A1O∥EC. 因为EC⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1. (2)因为BD∥B1D1,B1D1⊂平面B1CD1,BD⊄平面B1CD1, 所以BD∥平面B1CD1.由(1)知,A1O∥平面B1CD1,因为A1O∩BD=O,A1O,BD⊂平面A1BD,所以平面A1BD∥平面B1CD1. 变式题　解:(1)证明:∵BC∥AD,BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD, ∴BC∥平面PAD,∵BC⊂平面PBC,平面PBC∩平面PAD=l, ∴BC∥l,∴l∥AD. (2)当N为棱AD的中点时,MN∥平面PAB.理由如下: 如图,取AD的中点N,连接CN,EN, ∵E,N分别为PD,AD的中点, ∴EN∥PA,又EN⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,∴EN∥平面PAB. 取PA的中点F,连接EF,BF,则EF∥AD,且EF=AD,∴EF∥BC,且EF=BC,∴四边形BCEF为平行四边形,∴CE∥BF. ∵BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB, ∴CE∥平面PAB,又CE∩EN=E,CE,EN⊂平面CEN,∴平面CEN∥平面PAB. ∵M是CE上的动点,MN⊂平面CEN,∴MN∥平面PAB,∴当N为棱AD的中点时,MN∥平面PAB. 例5　[思路点拨] (1)利用正棱锥的性质及正棱锥的面积公式,即可求出正四棱锥S-ABCD的表面积;(2)利用线面平行的性质得到线线平行,利用中位线可证结论;(3)设侧棱SC上存在点E,使得BE∥平面PAC,利用面面平行的判定和性质得到BE∥平面PAC. 解:(1)因为SA=AB=2,所以正四棱锥S-ABCD的底面积为2. 由正四棱锥的性质可得侧面为4个全等的等腰三角形, 因为SA=SD=2,AD=,所以正四棱锥S-ABCD的侧面积为4×××=2,所以正四棱锥S-ABCD的表面积为2+2. (2)证明:如图①,连接BD,交AC于点O,则O为BD的中点,连接OP. 因为SB∥平面ACP,SB⊂平面SBD,平面SBD∩平面ACP=OP,所以SB∥OP,又O为BD的中点,所以P为棱SD的中点. (3)在侧棱SC上存在一点E,满足=2,使得BE∥平面ACP.理由如下:如图②,取SD的中点Q,连接BQ,连接BD,交AC于点O,则O为BD的中点,连接OP, 因为SP=3PD,所以PQ=PD, 又O为BD的中点,所以BQ∥OP, 又OP⊂平面PAC,BQ⊄平面PAC,所以BQ∥平面PAC. 过点Q作QE∥CP,交SC于点E,连接BE,因为CP⊂平面PAC,QE⊄平面PAC,所以QE∥平面PAC, 又BQ∩QE=Q,BQ,QE⊂平面BEQ,所以平面BEQ∥平面PAC, 又BE⊂平面BEQ, 所以BE∥平面PAC. 由QE∥PC,得=,由SP=3PD,Q为SD的中点,得=2, 所以=2,即侧棱SC上存在一点E,满足=2,使得BE∥平面PAC. 变式题　解:(1)证明:因为E,F分别为线段AC1,A1C1上的点,=λ,=λ,λ∈(0,1), 所以EF∥A1A, 又B1B∥A1A,所以EF∥B1B, 又EF⊄平面BCC1B1,B1B⊂平面BCC1B1,所以EF∥平面BCC1B1. (2)如图,取BC1上的点G,使=λ,连接GE,GF,则GE∥AB. 因为GE⊄平面ABB1A1,AB⊂平面ABB1A1,所以GE∥平面ABB1A1, 同理可得,EF∥平面ABB1A1, 又EF∩EG=E,EG,EF⊂平面EFG,所以平面EFG∥平面ABB1A1, 故在线段BC1上存在一点G,使平面EFG∥平面ABB1A1. (3)由题意可得=2=2=1,则=, 所以=3=, 故三棱柱ABC-A1B1C1的体积为. 学科网（北京）股份有限公司 $