第7单元 01 第41讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学讲义聚焦立体几何核心考点，涵盖柱锥台球的结构特征、表面积与体积计算及直观图画法，按多面体与旋转体分类梳理定义性质，通过表格填空、公式推导构建知识网络。教学流程含考点梳理、方法总结（如斜二测面积关系）、真题演练（题组及高考题），帮助学生系统突破空间想象与运算难点。 资料突出数学眼光与思维培养，如通过圆锥展开图最短路径问题引导学生观察空间转化平面，用割补法求体积培养逻辑推理。设置常识题、常错题分层练习，配合高考真题解析，确保高效复习。助力学生提升空间观念与应用能力，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

第七单元　立体几何 第41讲　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 【课标要求】　1.利用实物、计算机软件等观察空间图形,掌握柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.知道棱柱、棱锥、棱台、球的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题. 3.能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图. 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相　　　 且　　　  多边形 互相　　 且　　　  侧棱 　　　　  相交于　　　　,  但不一定相等 延长线交于　　　  侧面形状 　　 　　　  　　　　  　　　  (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图 形 母 线 互相平行且相等, 　　　 于底面 相交于　　　  延长线交于　　  (续表) 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 轴截面 全等的　　　  全等的　　　  全等的　　　  　　　  侧面展开图 　　　  　　　  　　　  2.直观图 (1)画法:常用　　　　　　.  (2)规则: ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中x'轴、y'轴的夹角为45°或135°,z'轴与x'轴和y'轴所在平面　　　　.  ②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍　　　　　　　　　,平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度　　　　,平行于y轴的线段,长度在直观图中变为原来的　　　　.  3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面积公式 S圆柱侧=　　　  S圆锥侧=　　　  S圆台侧=　　　  4.柱、锥、台、球的表面积和体积 　　　　名称 几何体　　 表面积 体积 柱体 S表=S侧+2S底 V=　　　  锥体 S表=S侧+S底 V=　　　  台体 S表=S侧+S上+S下 V=(S上+S下+)h 球 S表=　　　  V=　　　  (其中柱体、锥体、台体的高为h,球的半径为R) 常用结论 1.与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理). 2.直观图与原平面图形面积间的关系:S直观图=S原图形,S原图形=2S直观图. 3.球的截面的性质 (1)球的任何截面都是圆面; (2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面; (3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r=. 题组一　常识题 1.[教材改编] 下列说法中错误的是　　　　.  ①经过不共面的四点的球有且仅有一个;②平行六面体的每个面都是平行四边形;③正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直;④棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直; ⑤有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体叫作棱锥. 2.[教材改编] 如图是用斜二测画法画出的水平放置的△AOB的直观图(图中虚线分别与x'轴、y'轴平行),则原图形△AOB的底边OB的长是　　　,高是　　　　.  3.[教材改编] 已知圆锥的表面积为12π cm2,其侧面展开图是一个半圆,则圆锥的底面半径为　　　　cm.  题组二　常错题 ◆索引:对空间几何体的相关公式掌握不牢致误;对空间几何体的结构特征认识不到位致误;几何体形状不确定时,不会分类讨论致误. 4.已知正四棱台上底面边长为2 cm,侧棱和下底面边长都是4 cm,则它的体积为 　　　　cm3.  5.如图所示,将一个长方体用过同一顶点的三条棱中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为　　　　.  6.圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形,则圆柱的体积是　　　　　　.  　基本立体图形与直观图 　　　　　　　　　　　　　　　 角度1　直观图 例1 如图,矩形O'A'B'C'是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形OABC的直观图,其中O'A'=4,O'C'=1,那么▱OABC的面积为 (　 ) A.4 B.4 C.8 D.8 总结反思 (1)在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段.平行于x轴的线段平行性不变,长度不变;平行于y轴的线段平行性不变,长度减半. (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系:S直观图=S原图形. 变式题 如图,△O'A'B'是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图,若△O'A'B'是边长为3的等边三角形,则△OAB的面积为 (　 ) A. B. C. D. 角度2　展开图 例2 如图所示,一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为3,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发,绕圆锥爬行一周后回到点P处,若该小虫爬行的最短路程为3,则这个圆锥的高为　　　　,体积为　　　　.  总结反思 在解决空间折线段最短问题时可适当考虑其展开图,将空间问题平面化. 变式题 (1)[2025·贵州贵阳七校联考] 现有一把折扇,其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为π,上板长为9 cm,若把该扇环围成一个圆台,则圆台的高为 (　 ) A.3 cm B.9 cm C.6 cm D.6 cm (2)某三棱柱的平面展开图如图所示,网格中的小正方形的边长均为1,K是线段DI上的点,则在原三棱柱中,AK+CK的最小值为 (　 ) A. B. C.4 D. 　简单几何体的表面积与体积 微点1　侧面积和表面积 例3 (1)已知某圆锥的轴截面是正三角形,从该圆锥高的一半处作平行于底面的平面截圆锥得一个小圆锥和一个小圆台,则该小圆台与原圆锥的表面积之比为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.11∶12 B.5∶6 C.3∶4 D.2∶3 (2) [2025·辽宁锦州质检] 如图,攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式,多见于亭阁式建筑.某个园林建筑为六角攒尖,它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥,若此正六棱锥的高为1且侧棱长为,则该正六棱锥的侧面积为 (　 ) A. B. C. D. 总结反思 求空间几何体表面积的方法: (1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用,并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系; (2)多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积注意衔接部分的处理. 注意表面积与底面积、侧面积的区别. 微点2　体积 例4 (1)[2024·新课标Ⅰ卷] 已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为 (　 ) A.2π B.3π C.6π D.9π (2)[2025·山东烟台三模] 如图,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面A1B1C1D1,四边形ABCD与A1B1C1D1为两个全等的矩形,且AB∥A1B1,AD∥A1D1,若BC=A1B1=AA1=2,AB=B1C1=4,则该六面体的体积为 (　 ) A.14 B. C. D.24 总结反思 求空间几何体体积的常用方法: (1)公式法:规则几何体的体积,直接利用公式进行求解; (2)割补法:把不规则的几何体分割成规则的几何体,或者把不规则的几何体补成规则的几何体; (3)等体积法:通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,特别是三棱锥的体积. 1.[2022·新高考全国Ⅰ卷] 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库,已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为(≈2.65) (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3 C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3 2.[2025·重庆七校联盟质检] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是正三角形,AB=2,AA1=2,D为BC的中点,则三棱柱ABC-A1B1C1截去三棱锥C1-ACD后所得几何体的表面积为 (　 ) A.9+3 B.9+3 C.12 D.8+3 3.(多选题)如图,圆锥PO的底面半径为3,高为3,过PO靠近点P的三等分点O'作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱,则下列说法正确的是 (　 ) A.圆锥的母线与底面的夹角为 B.圆锥PO的侧面积为27π C.挖去圆柱的体积为2π D.剩下几何体的表面积为(27+4)π 4.[2023·新课标Ⅱ卷] 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元　立体几何 第41讲　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.(1)平行　全等　平行　相似 平行且相等　一点　一点 平行四边形　三角形　梯形 (2)垂直　一点　一点　矩形 等腰三角形　等腰梯形　圆 矩形　扇形　扇环 2.(1)斜二测画法　(2)①垂直 ②分别平行于坐标轴　不变　一半 3.2πrl　πrl　π(r+r')l 4.S底h　S底h　4πR2　πR3 【对点演练】 1.④⑤　[解析] 对于①,经过不共面的四点的球,即为由这四个点组成的四面体的外接球,有且仅有一个,故①中说法正确;对于②,平行六面体的每个面都是平行四边形,故②中说法正确;对于③,正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直,故③中说法正确;对于④,棱台的每条侧棱延长后交于一点,侧棱有可能与底面垂直,故④中说法错误;⑤有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体叫作棱锥是错误的,因为这些三角形不一定有一个公共顶点,如图.故填④⑤. 2.4　16　[解析] 根据题意,原图形△AOB的底边OB的长为4,高为16. 3.2　[解析] 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,由条件得 可得r=2. 4.　[解析] 如图,设正四棱台A1B1C1D1-ABCD的上、下底面的中心分别为O1,O,连接O1O,O1B1,OB,结合正四棱台的性质可知四边形O1OBB1为直角梯形,且OB=2,O1B1=,所以O1O===,即正四棱台的高为,所以正四棱台的体积为×(22+2×4+42)×=. 5.1∶47　[解析] 设长方体的过同一顶点的三条棱的长分别为a,b,c,则截出的棱锥的体积V1=××a×b×c=abc,剩下的几何体的体积V2=abc-abc=abc,所以V1∶V2=1∶47. 6.24π2或36π2　[解析] 设圆柱的底面半径为r.若圆柱的母线长是6π,则4π=2πr,所以r=2,所以圆柱的体积为π×22×6π=24π2.若圆柱的母线长是4π,则6π=2πr,所以r=3,所以圆柱的体积为π×32×4π=36π2.故圆柱的体积是24π2或36π2. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] 求出矩形O'A'B'C'的面积,再利用斜二测画法中直观图面积与原图形面积的关系,求得结果. D　[解析] 依题意,矩形O'A'B'C'的面积S'=O'A'·O'C'=4,因为斜二测画法中直观图面积是原图形面积的,所以▱OABC的面积为8.故选D. 变式题　B　[解析] 如图,过点A'作A'C'∥x'轴,并与y'轴交于点C',则∠O'A'C'=120°, ∠A'C'O'=45°,O'A'=3,则=,得O'C'=,则△OAB的高为3,面积为×3×3=.故选B. 例2　[思路点拨] 根据最短路程为圆锥的侧面展开图中PP',由余弦定理求得∠P'OP=及r=1,再求得圆锥的高与体积. 2　π [解析] 作出该圆锥的侧面展开图,如图所示,该小虫爬行的最短路程为PP', 由余弦定理可得cos∠P'OP===-,所以∠P'OP=.设底面圆的半径为r,则有2πr=·3,解得r=1,所以这个圆锥的高h==2,体积V=πr2h=π. 变式题　(1)D　(2)B　[解析] (1)设小扇形的半径为x cm,则大扇形的半径为(x+9) cm,设圆台的上、下底面的半径分别为r1 cm,r2 cm,则2πr1=x,2πr2=(x+9),所以2π(r2-r1)=×9,所以r2-r1=3, 所以圆台的高为==6(cm).故选D. (2)将展开图还原成立体图形得到三棱柱ADI-BCJ,如图①.由已知可得,AI=4,DI=3,AD=5,易知△ADI为直角三角形且∠AID=90°.将三棱柱的上底面ADI沿DI翻折至平面IDCJ上,A,C在DI两侧,连接AC,如图②所示.因为AJ=8,CJ=3,所以AC==,则AK+CK的最小值为.故选B. 例3　[思路点拨] (1)设原圆锥的底面半径为2,由圆锥和圆台的表面积公式计算可得.(2)设底面边长为a,根据侧棱长和高求出a=1,进而求出棱锥的斜高,最后求出棱锥的侧面积. (1)A　(2)A　[解析] (1)不妨设原圆锥的底面半径为2,则高为2,则原圆锥的表面积为22π+4π×4×=12π.小圆台的上、下底面的面积之和为22π+12π=5π,侧面积为(4π+2π)×2×=6π,则表面积为11π.故选A. (2)设正六棱锥的底面边长为a,则由正六边形的性质可知底面中心到底面顶点的距离为a,又正六棱锥的高为1且侧棱长为,根据正六棱锥的性质得=,解得a=1,所以侧面等腰三角形的高h==,所以该正六棱锥的侧面积S=6××ah=6××1×=.故选A. 例4　[思路点拨] (1)设出底面半径,通过高结合侧面积相等,求出底面半径,然后求解圆锥的体积;(2)先根据题意把六面体ABCD-A1B1C1D1看成长方体的一部分,再结合柱体体积和锥体体积用该长方体的体积减去多余部分的体积即可求解. (1)B　(2)B　[解析] (1)设底面半径均为R,圆锥的母线长为l,则l=.由题可知2πR·=×2πRl,解得l=2,则=2,∴R=3,∴圆锥的体积V=πR2·=3π.故选B. (2)在长方体A1B2C2D1-ABC3D2中,A1B2=AB=B1C1=4,BC=A1B1=AA1=2,根据题意可知,六面体ABCD-A1B1C1D1可以看成长方体A1B2C2D1-ABC3D2的一部分.因为长方体A1B2C2D1-ABC3D2的体积V=4×4×2=32,直三棱柱BB1B2-C3C1C2的体积V1=×(4-2)×2×4=8,直三棱柱CC2C3-DD1D2的体积V2=×(4-2)×2×4=8,三棱锥C-C1C2C3的体积V3=××(4-2)×2×(4-2)=,所以六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为V-V1-V2+V3=32-8-8+=.故选B. 【应用演练】 1.C　[解析] 由题意知,水库水位为海拔148.5 m时,相应水面(棱台的上底面)的面积为140.0 km2=140×106 m2,水库水位为海拔157.5 m时,相应水面(棱台的下底面)的面积为180.0 km2=180×106 m2,水面上升的高度为157.5-148.5=9(m),所以增加的水量(棱台的体积)V=×9×(140×106++180×106)=3×(320×106+60×106)≈3×(320×106+60×2.65×106)=1.437×109≈1.4×109(m3).故选C. 2.A　[解析] 由题意得AD=×2=,C1D==3,AC1==2,因为AD2+C1D2=A,所以AD⊥C1D,所以=AD·C1D=××3=,=×22=,S△ABD=×2×1×sin 60°=,易知=×2×2=2,=2×2=4,=×(1+2)×2=3,所以三棱柱ABC-A1B1C1截去三棱锥C1-ACD后所得几何体的表面积为+++2+4+3=9+3.故选A. 3.ACD　[解析] 如图,因为圆锥PO的底面半径为3,高为3,所以母线长PA=6, 则cos∠PAO==,即圆锥的母线与底面的夹角为,故A正确;圆锥PO的侧面积 S侧=πrl=π×3×6=18π,故B错误;因为O'为PO的三等分点,所以O'M=OA=1,MC=PO=2,则圆柱的体积为2π,故C正确;圆柱的侧面积S'=2π×1×2=4π,则剩下几何体的表面积S=18π+4π+π×32=27π+4π,故D正确.故选ACD. 4.28　[解析] 方法一:依题意可知,原正四棱锥的高为6,故棱台的体积V=V大正四棱锥-V小正四棱锥=×42×6-×22×3=28. 方法二:由题可知所得棱台的高为3,上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,由棱台的体积公式可得棱台的体积V=×(42+22+)×3=28. 学科网（北京）股份有限公司 $