第6单元 06 培优专题（五）数列与其他知识交汇融合问题（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学讲义聚焦数列与集合、函数导数、解析几何的交汇核心考点，按类型分模块系统梳理，通过考点分析、方法总结、真题讲解（含2022新高考Ⅱ卷等典型题）及自测题训练，帮助学生构建知识联系，突破新高考压轴题难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以新高考命题趋势为导向，采用“真题引领-方法提炼-分层自测”教学模式，如在数列与函数导数交汇中，通过构造函数证明数列性质（例2证{naₙ}为等差数列），培养数学思维与建模能力，分层自测题确保复习效果，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

　　新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现的概率变大,而数列与其他知识的交汇备受青睐,如2025年全国卷1第16题考查的是数列与导数的交汇,2024年新课标Ⅰ卷第19题考查的是数列与概率的交汇,2024年新课标Ⅱ卷第19题考查的是数列与解析几何的交汇,本专题将探究数列中交汇融合问题. 类型一　数列与集合的交汇问题 　　数列与集合交汇融合问题通常涉及数列的项与集合的元素之间的关系,以及利用集合的性质对数列进行分析或构造.常见类型有:集合的性质与数列的项的关系、数列的子集与和的关系、新定义的数列与集合的问题. 例1 [2022·新高考全国Ⅱ卷] 已知{an}为等差数列,{bn}为公比为2的等比数列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4. (1)证明:a1=b1; (2)求集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中的元素个数.     总结反思 对于数列与集合交汇问题,解题思路如下: (1)明确数列的通项公式或递推关系,以便分析数列的性质. (2)分析集合的元素构成和性质,如元素的范围、和、差等. (3)结合数列和集合的条件进行推导和计算,可能涉及等差、等比数列的求和公式,或利用集合的包含关系、元素的组合等. 自测题 已知数列{an}满足(n+1)an+1=(n+2)an,且a1=2,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)集合M={a1,a2,…,an},将集合M的所有非空子集中最小元素相加,其和记为Sn,求Sn.       类型二　数列与函数、导数的交汇问题 　　数列与函数、导数的交汇融合问题是高中数学的难点和重点,常以压轴题的形式出现.这类问题主要考查两个方向:一是利用函数解析式构造数列,二是通过导数研究函数性质来解决数列问题. 例2 [2025·全国一卷] 已知数列{an}中,a1=3,=+. (1)证明:数列{nan}是等差数列; (2)给定正整数m,设函数f(x)=a1x+a2x2+…+amxm,求f'(-2).     总结反思 对于数列与函数、导数的交汇问题的解题思路如下: (1)利用函数性质求解数列问题,需结合函数的单调性、周期性、对称性等性质分析数列的特征; (2)当数列的通项公式或递推公式与函数相关时,需将数列问题转化为函数问题求解,可通过函数的最值、零点等性质确定数列的取值范围或证明数列的性质; (3)利用导数证明数列不等式,先通过导数研究函数的单调性、凹凸性等性质,再将函数的结论应用于梳理不等式的证明. 自测题 1.若函数f(x)满足∀x∈R,f(x+50)+f(x)=50,且f(x)在[0,100]上有且仅有一个零点,则f(x)在[0,2026]上的零点之和不可能为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.21 000 B.20 750 C.20 500 D.20 250 2.[2025·四川德阳二模] 已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn+1=3Sn-2n+4,且a1=4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令f(x)=a1x+a2x2+…+an-1xn-1+anxn,n∈N*,讨论f'(1)与的大小关系.       类型三　数列与解析几何的交汇问题 　　数列与解析几何交汇融合问题是高考和竞赛中的常见题型,通常涉及数列的递推关系、通项公式与解析几何中的直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等图形的性质相结合. 例3 [2025·江西赣州二模] 已知点M到点N(1,0)的距离比到y轴的距离大1,点M的轨迹为C.点P1(t,t+1)(t≥0)在C上,过点P1作斜率为-1的直线交C于另一点Q1,设P2与Q1关于x轴对称,过点P2作斜率为-1的直线交C于另一点Q2,设P3与Q2关于x轴对称,…,以此类推,设Pn(xn,yn). (1)求C的方程; (2)设数列的前n项和为Tn,证明:≤Tn<; (3)求△PnPn+1Pn+2的面积.   总结反思 对于数列与圆锥曲线的综合问题,主要是关注直线与坐标轴或圆锥曲线的交点坐标的递推关系组成的数列. 自测题 [2026·湖南长沙模拟] 位于第一象限或x 轴正半轴的一点P1(x1,y1) 满足>2y1,过 P1 作曲线x2=2y 的切线,切点为A1(,),且满足x1<,设P2(x2,y2) 为P1 关于A1 的对称点. (1)证明:-2y1=-2y2. (2)若过P2 的另一条切线切曲线x2=2y 于A2,设P3 为P2 关于A2 的对称点,如此重复进行下去,若Pn+1 为Pn 关于切点 An 的对称点,设Pn(xn,yn). (i) 证明:{xn}为等差数列; (ii)若P1(1,0),求|P8P9|的值.   学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题(五)　数列与其他知识交汇融合问题 例1　B　[解析] (1)证明:设等差数列{an}的公差为d,由a2-b2=a3-b3,得a1+d-2b1=a1+2d-4b1,故d=2b1.由a2-b2=b4-a4,得a1+d-2b1=8b1-(a1+3d),故a1+2d=5b1,将d=2b1代入上式,整理得a1=b1,得证. (2)由(1)知d=2b1=2a1,由bk=am+a1,得b1·2k-1=a1+(m-1)·d+a1,即b1·2k-1=b1+(m-1)·2b1+b1,即2k-1=2m.因为1≤m≤500,所以2≤2m≤1000,由2≤2k-1≤1000,可得2≤k≤10,k∈N*,故集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中的元素个数为9. 【自测题】 解:(1)由题得an+1=an,当n≥2时,an=××…××a1=a1=n+1,又a1=2满足上式,∴an=n+1. (2)由题意知M={2,3,4,…,n+1},则M的非空子集共有2n-1个. 其中最小元素为2的集合中,含1个元素的集合有1个,含2个元素的集合有个,含3个元素的集合有个,…,含n个元素的集合有个, 故最小元素为2的子集个数为+++…+=2n-1; 同理最小元素为3的子集个数为+++…+=2n-2;…… 最小元素为n+1的子集个数为1. ∴Sn=2×2n-1+3×2n-2+…+(n+1)20①,∴2Sn=2×2n+3×2n-1+…+(n+1)21②,由②-①得Sn=2×2n+2n-1+…+21-(n+1)=2n+1+2n-n-3=3·2n-n-3. 例2　解:(1)证明:因为=+,所以(n+1)an+1=nan+1,即(n+1)an+1-nan=1,由等差数列的定义可得,数列{nan}为等差数列. (2)令bn=nan,可得bn+1-bn=1, 即{bn}是以1·a1=3为首项,1为公差的等差数列,所以bn=n+2=nan. 因为f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+amxm,所以f'(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+mamxm-1=b1+b2x+b3x2+…+bmxm-1, 将x=-2与bn=n+2代入上式,可得f'(-2)=3+4×(-2)+5×(-2)2+…+(m+2)×(-2)m-1. 令Sm=f'(-2)=3+4×(-2)+5×(-2)2+…+(m+2)×(-2)m-1, 则-2×Sm=3×(-2)+4×(-2)2+5×(-2)3+…+(m+2)×(-2)m, 所以3Sm=3+(-2)+(-2)2+(-2)3+…+(-2)m-1-(m+2)×(-2)m=3+(-2)×-(m+2)×(-2)m=-×(-2)m,所以f'(-2)=Sm=-×(-2)m. 【自测题】 1.A　[解析] 由f(x+50)+f(x)=50,得f(x+100)+f(x+50)=50,两式作差得f(x+100)=f(x),所以f(x)的周期为100.设f(x)在[0,100]上的零点为a,则 a∈(0,100),易知f(x)在[0,2000]上有 20个零点,依次为a,a+100,a+200,…,a+1900.当0<a≤26时,f(x)在[0,2026]上有21个零点,依次为a,a+100,…,a+2000,其和S1=×(a+a+2000)=21(a+1000)=21a+21 000,因为a∈(0,26],所以S1∈(21 000,21 546];当26<a<100时,f(x)在[0,2026]上有 20个零点,依次为a,a+100,…,a+1900,其和S2=10×(a+a+1900)=20a+19 000,因为a∈(26,100),所以S2∈(19 520,21 000).综上,零点之和的取值范围为(19 520,21 000)∪(21 000,21 546],故选A. 2.解:(1)当n=1时,S2=3S1+2,因为S1=a1=4,所以S2=14,所以a2=10,当n≥2时,Sn=3Sn-1-2(n-1)+4,所以an+1=3an-2, 所以an+1-1=3(an-1), 又a1=4,a2=10,a2-1=3(a1-1)成立,所以=3对n∈N*成立, 所以数列{an-1}是以3为首项,3为公比的等比数列, 所以an-1=3n,所以an=3n+1. (2)因为f(x)=a1x+a2x2+…+an-1xn-1+anxn,所以f'(x)=a1+2a2x+…+(n-1)an-1xn-2+nanxn-1,所以f'(1)=a1+2a2+…+(n-1)an-1+nan=31+1+2×(32+1)+…+(n-1)×(3n-1+1)+n×(3n+1)=(31+2×32+3×33+…+n×3n)+(1+2+3+…+n). 令Tn=31+2×32+…+(n-1)×3n-1+n×3n,则3Tn=32+2×33+…+(n-1)×3n+n×3n+1,两式相减得-2Tn=31+32+…+3n-n×3n+1,所以Tn=+,所以f'(1)=++,所以f'(1)-=-= . 当n=1时,f'(1)=; 当n≥2时,2n-1>0,易知3n-(n+2)>0,所以f'(1)>. 综上,f'(1)≥. 例3　解:(1)当点M在y轴左侧时,点M在x轴的负半轴上,C的方程为y=0(x<0);当点M在y轴右侧(包括y轴)时,点M的轨迹是以N为焦点,x=-1为准线的抛物线,方程为y2=4x.综上,C的方程为y2=4x和y=0(x<0). (2)证明:因为点P1在C上,所以(t+1)2=4t,可得t=1, 依题意得Pn(xn,yn),Qn(xn+1,-yn+1),因为===-=-1, 所以yn+1-yn=4,所以数列是首项为2,公差为4的等差数列, 所以yn=2+4(n-1)=4n-2, 则xn==(2n-1)2. 因为===,所以Tn==<.易知{Tn}为递增数列,T1=,所以Tn≥. 综上,≤Tn<. (3)由(2)得Pn(4n-2,(2n-1)2),Pn+1(4n+2,(2n+1)2),Pn+2(4n+6,(2n+3)2),所以=(4,8n),=(8,8(2n+1)), 因为= ||||sin∠Pn+2PnPn+1, 所以= = = = = =16. 【自测题】 解:(1)证明:由x2=2y,可得y'=x,所以==, 所以y1-y2=(x1-x2)(*), 又因为P2(x2,y2) 为P1(x1,y1) 关于A1 的对称点,所以=, 所以(*)式可化为y1-y2=(x1-x2),即-=2(y1-y2),即-2y1=-2y2. (2)(i)证明:设过Pn(xn,yn)的切线方程为y-yn=k*(x-xn). 由消去y得x2-2k*x+2k*xn-2yn=0, 令Δ=0,即-2xnk*+2yn=0,得k*==xn±.由(1)可推得-2y1=-2y2=…=-2yn,不妨设=t,则k*=xn±t,易知kn=xn+t,kn-1=xn-t, 则xn+1-xn=[kn+t-(kn-t)]=2t,即xn+1-xn=2t, 所以{xn}为等差数列. (ii)由题意及(i)的结论可得, |P8P9|=2|P8A8|=2|x8-|=2|x8-k8|= 2t, 此时t==1,{xn}的公差d=xn+1-xn=2t=2, 所以|P8P9|=2=2=2. 学科网（北京）股份有限公司 $