第6单元 05 第40讲 数列的综合问题（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学高考复习讲义围绕数列综合问题，覆盖等差等比数列综合应用、数列与不等式交汇（求参及证明）、数列实际建模等核心考点，按“概念理解—知识交汇—实际应用”逻辑架构知识点，通过考点梳理（例题分析）、方法指导（总结反思）、真题训练（变式题）环节，帮助学生突破综合问题难点，体现复习系统性与针对性。 讲义以“数学思维”“数学语言”素养为导向，创新采用真题驱动（如2022新高考证明题）与分层变式训练（等差等比综合、不等式证明等角度）策略，通过题型归类与方法提炼（如基本量确定法、放缩法）提升复习效率，助力学生构建解题思维体系，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

第40讲　数列的综合问题 ● 课堂考点探究 例1　解:(1)设等比数列{bn}的公比为q. 由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0.因为q>0,所以可得q=2,故bn=2n-1.所以Tn==2n-1. 设等差数列{an}的公差为d. 由b4=a3+a5,可得a1+3d=4. 由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,从而a1=1,d=1, 故an=n,所以Sn=. (2)由(1),有T1+T2+…+Tn=(21+22+…+2n)-n=-n=2n+1-n-2. 由Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,可得+2n+1-n-2=n+2n+1,整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍)或n=4.所以,n的值为4. 变式题　解:(1)因为a2=3,所以依题意得 则b2=,b1=, 由=b1b3得d2-2d=0, 解得d=0或d=2. 因为d≠0,所以d=2,所以a1=3-2=1,所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1. 因为b2==2,b1==4, 所以{bn}的公比q=, 所以bn=4·. (2)因为an+bn=2n-1+4·,所以Sn=a1+b1+a2+b2+…+an+bn=1+3+…+2n-1+4+2+…+4·=+=n2+8-. (3)因为cn=anbn=,cn+1=an+1bn+1=,所以cn+1-cn=-=. 当n=1时,c2-c1>0, 当n≥2时,cn+1-cn<0, 所以c2>c1,当n≥2时,cn+1<cn. 例2　[思路点拨] (1)由等差数列的定义可得数列{an}为等差数列,再结合等差数列公式求得a1和公差d,即可得数列{an}的通项公式,结合等差数列性质计算即可得数列{bn}的通项公式; (2)借助等差数列求和公式可表示Cn,再利用裂项相消法可求得An,再结合数列单调性计算即可得解. 解:(1)由2an+1=an+2+an,得an+2-an+1=an+1-an,所以数列{an}为等差数列,设其公差为d, 则解得 所以an=n. 设等比数列{bn}的公比为q,因为b1,b2+1,b3+1成等差数列,所以2(b2+1)=b1+b3+1,即2(q+1)=1+1+q2,则q2-2q=0,解得q=2或q=0(舍去),所以bn=2n-1. (2)由(1)可知,Sn=, 则Cn==-,则An=1-+-+…+-=1-. 因为An≥恒成立, 即1-≥恒成立, 所以(n+1)-≥2λ恒成立, 易知为递增数列,所以(n+1)-≥2-=, 所以2λ≤,即λ≤,所以实数λ的最大值为. 变式题　解:(1)由题意可得 可得∴an=n+1. (2)∵==-,∴Tn=-+-+…+-=-=.∵存在n∈N*,使得Tn-λan+1≥0成立,∴存在n∈N*,使得-λ(n+2)≥0成立,即存在n∈N*,使得λ≤成立. ∵=≤=,当且仅当 n=2 时取等号,∴λ≤, ∴实数 λ 的取值范围是. 例3　[思路点拨] (1)直接利用数列的递推关系式求出数列{an}的通项公式; (2)利用(1)的结论,进一步利用裂项相消法求出数列的和,进一步利用放缩法得出结果. 解:(1)因为S1=a1=1,所以=1, 所以数列是首项为1,公差为的等差数列,所以=1+(n-1)·=,所以Sn=an. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-an-1,所以(n-1)an=(n+1)an-1,即=, 则an=××…×××a1=××…×××1=,又a1=1满足上式,所以{an}的通项公式为an=. (2)证明:++…+=2×=2×=2-<2. 变式题　证明:(1)若{an}为调和数列,则=(n≥2,且n∈N*),所以an+1(an-an-1)=an-1(an+1-an),即an+1an-an+1an-1=an-1an+1-an-1an,所以an(an+1+an-1)=2an-1an+1,则== , 所以=+, 所以数列是等差数列. (2)由(1)可得是等差数列,且=1,公差为1,所以=n,所以an=,所以Sn=1++…+. 要证Sn=1++…+>ln(n+1),当n=1时,上式可化为1>ln 2,不等式成立,当n>1时,即证Sn-1=1++…+>ln n,即证Sn=Sn-1+>ln n+>ln(n+1),即证>ln(n+1)-ln n=ln. 令f(x)=x-ln(1+x),x∈(0,1), 则f'(x)=1-=>0, 所以f(x)在(0,1)上单调递增, 所以f(x)>f(0)=0, 即x>ln(1+x)对x∈(0,1)恒成立, 所以>ln(n+1)-ln n恒成立,所以Sn=1++…+>ln 2+(ln 3-ln 2)+…+[ln(n+1)-ln n]=ln(n+1). 例4　[思路点拨] 各层楼的灯笼数从上至下依次成等比数列,依据公比和前5项和可求得首项,进而可求最中间一层的灯笼数. B　[解析] 由题意知,各层楼的灯笼数从上至下成等比数列,记为数列{an},第5层楼所挂灯笼数为a1,公比q=2,由S5==186,解得a1=6,所以a3=a1q2=24,即最中间一层的灯笼需要挂24盏.故选B. 变式题　B　[解析] 设至少共需要n台抽水机,记一台抽水机20 min完成的任务为单位1,这n台抽水机完成的任务依次为a1,a2,…,an,1≤n≤72.依题意知a1=24×=72,a2=71,{an}是首项为72,公差为-1的等差数列,{an}的前n项和Sn=na1+d=72n-.要完成所有任务,则Sn=72n-≥20×24×3,即n2-145n+2880≤0.记f(n)=n2-145n+2880,则f(n)在[1,72]上单调递减,又f(23)=74>0,f(24)=-24<0,所以24≤n≤72时,f(n)<0,所以至少共需要24台这种型号的抽水机.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第40讲　数列的综合问题 【课标要求】　1.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系或等比关系,并解决相应的问题.认识数列的函数特性,能结合方程、不等式、解析几何等知识解决一些数列问题. 2.能依据现实的生活背景,提炼相关的数量关系,将现实问题转化为数学问题,构造等差、等比数列模型,并加以解决. 　等差、等比数列的综合问题 例1 设{an}是等差数列,其前n项和为Sn(n∈N*);{bn}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6. (1)求Sn和Tn; (2)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.     总结反思 解决由等差数列、等比数列组成的综合问题,首先要根据两数列的概念,设出相应的基本量,然后充分利用通项公式、求和公式、数列的性质等确定基本量.解综合问题的关键在于审清题目,弄懂来龙去脉,揭示问题的内在联系和隐含条件. 变式题 在等差数列{an}中,a2=3,公差d≠0;在等比数列{bn}中,b3=a1,b1是a2和a3的等差中项,b2是a1和a2的等差中项. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求数列{an+bn}的前n项和Sn; (3)记cn=an·bn,比较cn+1与cn的大小.     　数列与不等式的综合问题 角度1　数列与不等式求参问题 例2 [2026·沈阳重点中学联合体模拟] 已知数列{an}满足2an+1=an+2+an(n∈N*),a3=S2,S3=2+a4,其中Sn为{an}的前n项和,等比数列{bn}满足b1=1,且b1,b2+1,b3+1成等差数列. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设Cn=,{Cn}的前n项和为An,若An≥恒成立,求实数λ的最大值.     总结反思 数列与不等式的求参问题及求解策略 (1)判断数列问题的一些不等关系,可以利用数列的增减性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小. (2)以数列为载体,考查不等式恒成立的问题可转化为函数的最值问题. 变式题 在等差数列{an}中,公差d>0,S11=77,且a2,a6-1,a11成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若Tn为数列的前n项和,且存在n∈N*,使得Tn-λan+1≥0成立,求实数λ的取值范围.     角度2　数列与不等式的证明 例3 [2022·新高考全国Ⅰ卷] 记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,是公差为的等差数列. (1)求{an}的通项公式; (2)证明:++…+<2.   总结反思 与数列有关的不等式证明问题,一般采用放缩法进行证明,有时也可通过构造函数进行证明. 变式题 若数列{an}每相邻三项满足=(n≥2,且n∈N*),则称其为调和数列. (1)若{an}为调和数列,证明数列是等差数列; (2)在调和数列{an}中,a1=1,a2=,前n项和为Sn,求证:Sn>ln(n+1).     　数列在实际中的应用 例4 2025年蛇年春晚的武汉分会场地点设在黄鹤楼,楼的外观有五层而实际上内部有九层.为营造春节的喜庆气氛,主办方决定在黄鹤楼的外部用灯笼进行装饰.这五层楼预计共挂186盏灯笼,且相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍,则最中间一层需要挂灯笼的数量为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.12盏 B.24盏 C.36盏 D.48盏 总结反思 解决与数列有关的实际问题的一般步骤:首先要认真阅读,学会翻译(数学化),其次考虑用熟悉的数列知识建立数学模型,然后求出问题的解,最后还需验证求得的解是否符合实际. 变式题 [2025·北京人大附中月考] 专家表示,海水倒灌原因是太阳、月亮等星体的共同作用下,海水的自然涨落,如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮的时候,水位就会异常的高.某地发生海水倒灌,未来24 h需要排水减少损失,因此需要紧急抽调抽水机.经测算,需要调用20台某型号抽水机,每台抽水机需要平均工作24 h.而目前只有一台抽水机可立即投入施工,其余抽水机需要从其他施工现场抽调.若抽调的抽水机每隔20 min才有一台到达施工现场投入工作,要在24 h内完成排水任务,指挥部至少共需要这种型号的抽水机 (　 ) A.25台 B.24台 C.23台 D.22台 学科网（北京）股份有限公司 $