第6单元 01 第36讲 数列的概念及其函数特性（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学讲义聚焦数列概念及其函数特性，涵盖定义、表示法、分类、an与Sn关系及递推公式等高考核心考点，按“概念梳理-方法提炼-真题应用”逻辑架构，通过填空表格巩固基础、典型例题解析方法、分层题组强化训练，系统帮助学生突破数列通项求解、函数性质分析等难点。 资料以“数学思维”培养为核心，创新设计递推公式分类教学，如累加法、累乘法及构造法等，引导学生通过观察归纳、逻辑推理将复杂问题转化为基础模型。设置常识题与常错题对比训练，配合即时方法总结，有效提升学生抽象能力与解题效率，为教师把控复习节奏提供精准教学资源。

第六单元　数列 第36讲　数列的概念及其函数特性 【课标要求】　1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数. 1.数列的有关概念 有关概念 定义 数列 按　　　　　排列的一列数  数列的项 数列中的　　　　  数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与序号　　　　之间的对应关系  前n项和 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn =　　　　　　　　　　  2.数列的表示法 表示法 定义 列表法 通过表格表示n与an的函数关系 图象法 用平面直角坐标系内的y轴　　　　一系列孤立的点表示  公式法 通项公式 an= 　　　  递推公式 an+1=f(an,an-1)(n≥2) 3.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数　　　  无穷数列 项数　　　  项与项间 的大小 关系 递增数列 an+1　　　　an  其中 n∈N* 递减数列 an+1　　　　an  常数列 an+1　　　　an  摆动数列 从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项 4.an 与Sn的关系 已知数列{an}的前n项和为Sn,则an= 5.数列的最大(小)项 在数列{an}中,若an最大,则 (n≥2,n∈N*);若an最小,则(n≥2,n∈N*). 题组一　常识题 1.[教材改编] 数列1,,,,,…的一个通项公式是an=　　　　.  2.[教材改编] 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3n,那么它的通项公式为an=　　　　.  3.[教材改编] 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,如图中的数1,5,12,22,…称为五边形数,则第7个五边形数是　　　　.  题组二　常错题 ◆索引:不能正确求出通项公式;忽视数列是特殊的函数,其自变量属于正整数集N*或{1,2,…,n};根据Sn求an时忽视对n=1的验证. 4.已知数列1,,,,3,,…,则是这个数列的第　　　　项.  5.在数列{an}中,an=-n2+11n(n∈N*),则此数列最大项的值是　　　　.  6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3n+2(n∈N*),则数列{an}的通项公式为　　　　　.  　根据数列的前几项求数列的通项公式 例1 (1)数列,,,,…,则该数列的第n项应为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. (2)数列1,-1,1,-1,…(n∈N*)的一个通项公式为 (　 ) A.(-1)n+2 B.cos(n-1)π C. D.sin 总结反思 由数列前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略: (1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列).可以使用添项、还原、分割等方法,转化为一个常见数列,通过常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式. (2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征,如递增时可考虑关于n的一次递增或以2n,3n等形式递增;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值的特征;⑤化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符号交替出现的情况,可用(-1)n或(-1)n+1,n∈N*来处理. 　由an与Sn的关系求通项公式 例2 (1)已知数列{an}的前n项和Sn=2n+2-3,则数列{an}的通项公式为an=　　　　　　.  (2)[2025·广州模拟] 已知数列{an}满足a1+3a2+9a3+…+3n-1an=,则数列{an}的通项公式为　　　　　　.   总结反思 an与Sn的关系问题的求解思路: (1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含有an,an-1的关系式再求解,注意对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2; (2)利用Sn=an-an-1(n≥2)转化为只含有Sn,Sn-1的关系式再求解. 变式题 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=3,Sn+1=Sn+2an-1,则an=　　　　.  (2)[2026·安徽江淮十校二联] 记Sn为数列{an}的前n项和,已知+n=3an+1,a1=,则数列{an}的通项公式是　　　　　.  　数列的函数性质 例3 (1)(多选题)[2025·佛山期末] 已知数列{an}的前n项和为Sn,an=(n∈N*),则 (　 ) A.数列{an}是递减数列 B.当且仅当n=7时,an取得最小值 C.数列{Sn}是递减数列 D.当且仅当n=7时,Sn取得最小值 (2)已知数列{an}的首项a1=1,an+1-an=cos,n∈N*,记Sn为数列{an}的前n项和,则S2026的值是　　　　.  总结反思 1.求数列的最大项与最小项的常用方法:(1)利用图象或最值法;(2)利用单调性及(n≥2)或(n≥2)确定;(3)比较法. 2.判断数列单调性的方法如下:(1)利用数列对应的函数的单调性判断;(2)对数列的前后项作差(或作商),利用比较法判断. 3.理解递推数列周期性的概念,掌握求递推数列周期性的常用方法(赋值法、迭代法、加减法、归纳法等)和常见类型,有利用递推数列周期性解决问题的意识. 变式题 (1)已知数列{an}满足an+1=,且a1=,则a2025=　　　　.  (2)(多选题)[2025·泉州模拟] 已知数列{an}的前n项和Sn=kn2+n-k+2,则下列说法正确的是 (　 ) A.若{an}是等差数列,则k=2 B.若{an}不是递增数列,则k≤ C.若Sn<Sn+2,则k>2 D.若的最小值为3,则k≥ 　解数列的递推公式不同类型的方法 微点1　形如an+1=an+f(n) 例4 若数列{an}满足a1=1,an+1=an+ln,则an= (　 ) A.2n-1 B.2n+1 C.1+ln(2n-1) D.1+ln(2n+1) 总结反思 根据形如an+1=an+f(n)(f(n)是可以求和的函数)的递推公式求通项公式时,常用累加法求出an-a1与n的关系式,进而得到{an}的通项公式. 微点2　形如an+1=an·f(n) 例5 已知数列{an}满足a1=1,an+1=an(n∈N*),则an= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.n+1 　B.n C. D. 总结反思 根据形如an+1=an·f(n)(f(n)是可以求积的函数)的递推公式求通项公式时,常用累乘法求出与n的关系式,进而得到{an}的通项公式. 微点3　形如an+1=pan+q 例6 在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3(n∈N*),则该数列的通项公式为an= (　 ) A.2n+1-3 B.2n-3 C.2n+3 D.2n-1-3 总结反思 根据形如an+1=pan+q(p≠0且p≠1)的递推公式求通项公式时,一般先构造公比为p的等比数列{an+x},即将原递推公式化为an+1+x=p(an+x)的形式,再求出数列{an+x}的通项公式,最后求{an}的通项公式. 微点4　形如an+1=pan+qn 例7 已知数列{an}满足a1=1,an=3an-1 +2n(n≥2),则an=　　　　.  总结反思 根据形如an+1=pan+qn的递推公式求通项公式时,可分两类:(1)p=q,直接同除以pn+1,构造=+,即利用等差数列求的通项公式,再求出{an}的通项公式; (2)p≠q,则先构造公比为p的等比数列{an+xqn},求出数列{an+xqn}的通项公式,最后求出{an}的通项公式. 微点5　形如an+1=(A,B,C为常数) 例8 在数列{an}中,已知a1=2,an+1=,则an= (　 ) A. 　 B. C.n+1 D. 总结反思 根据形如an+1=(A,B,C为常数)的递推公式求通项公式时,一般对递推公式两边同时取倒数.当A=C时,化为-=的形式,可构造等差数列;当A≠C时,化为+x=的形式,可构造公比为的等比数列,其中用待定系数法求x是关键. 1.已知数列{an}满足a1=,an+1=an+,则an= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.- B.2- C.1- D.+ 2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,(n∈N*),则{an}的通项公式是 (　 ) A.2n-1 B.2n C.2n+1 D.2n-1 3.[2025·四川攀枝花质检] 已知数列{an}满足a1=2,(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2),则满足不等式an<110的最大正整数n为 (　 ) A.8 B.9 C.10 D.11 4.已知数列{an}满足an+1=3an+3n+1 (n∈N*),a1=3,则数列{an}的通项公式是　　　　.  5.已知数列{an}满足a1=3,且an+1=,则an=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元　数列 第36讲　数列的概念及其函数特性 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.一定次序　每一个数　n a1+a2+…+an 2.右侧　f(n) 3.有限　无限　>　<　= 【对点演练】 1.　[解析] 因为=1,=,=,=,=,…,所以an=. 2.2n+2　[解析] ∵a1=S1=1+3=4,an=Sn-=(n2+3n)-[(n-1)2+3(n-1)]=2n+2(n≥2),当n=1时,2n+2=4=a1,∴an=2n+2. 3.70　[解析] ∵5-1=4,12-5=7,22-12=10,∴相邻两个图形的小石子个数的差值依次增加3,∴第5个五边形数是22+13=35,第6个五边形数是35+16=51,第7个五边形数是51+19=70. 4.22　[解析] 由题意可得数列的通项公式为an=,由=,解得n=22,所以是这个数列的第22项. 5.30　[解析] 因为an=-n2+11n=-+(n∈N*),所以当n=5或6时,an取得最大值30. 6.an=　[解析] 当n=1时,a1=S1=6;当n≥2时,Sn-1=(n-1)2+3(n-1)+2,所以an=Sn-Sn-1=(n2+3n+2)-[(n-1)2+3(n-1)+2]=2n+2.综上,an= ● 课堂考点探究 例1　(1)D　(2)B　[解析] (1)数列{an}的前几项可化为a1==,a2==,a3==,…,则其通项公式为an=.故选D. (2)对于A,当n=1时,(-1)n+2=(-1)3=-1,故A错误;对于B, 当n为奇数时,n-1为偶数,cos[(n-1)π]=cos 0=1,与数列奇数项为1相符,当n为偶数时,n-1为奇数,cos[(n-1)π]=cos(-π)=-1,与数列偶数项为-1相符,故B正确;对于C,当n=2时,==0,故C错误;对于D,当n=1时,sin=sinπ=-1,故D错误.故选B. 例2　[思路点拨] (1)利用an=进行求解; (2)先将n=1代入表达式计算出a1的值,当n≥2时,由a1+3a2+9a3+…+3n-1an=,可得a1+3a2+9a3+…+3n-2an-1=,两式相减进一步计算即可推导出数列{an}的通项公式. (1)　(2)an= [解析] (1)当n=1时,a1=S1=8-3=5;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n+2-3)-(2n+1-3)=2n+1.所以 an= (2)当n=1时,a1=,当n≥2时,由a1+3a2+9a3+…+3n-1an=,可得a1+3a2+9a3+…+3n-2an-1=,两式相减得3n-1an=-=,解得an=.∴an= 变式题　(1)2n+1　(2)an=n [解析] (1)由Sn+1=Sn+2an-1,可得Sn+1-Sn=2an-1,即an+1=2an-1,则an+1-1=2(an-1),所以数列{an-1}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an-1=2×2n-1=2n,所以an=2n+1. (2)∵+n=3an+1,∴3Sn+n2=3nan+n①,当n≥2时,3Sn-1+(n-1)2=3(n-1)an-1+(n-1)②,由①-②得3(Sn-Sn-1)+2n-1=3nan-3(n-1)an-1+1,∴3(n-1)an-3(n-1)an-1=2(n-1),∴an-an-1=,∴{an}是等差数列,又a1=,∴an=n. 例3　[思路点拨] (2)由已知递推公式求出数列的前7项,结合y=cos的周期,确定数列{an}的周期为6,根据周期性求和. (1)BD　(2)　[解析] (1)an===+,易知f(n)=+在(0,7]上单调递减,在[8,+∞)上单调递减,且当1≤n≤7时,f(n)<,当n≥8时,f(n)>.对于A,因为a7==-5,a8==6,所以a7<a8,所以数列{an}不是递减数列,故A错误;对于B,因为a7<a6<…<a1<,a8>a9>…>,所以当n=7时an取得最小值,故B正确;对于C,因为a1==,a2==0,所以S2=S1,数列{Sn}不是递减数列,故C错误;对于D,因为前7项中a1>0,a2=0,a3到a7为负数,当n≥8时,an>0,所以S7是前n项和中最小的,所以当且仅当n=7时,Sn取得最小值,故D正确.故选BD. (2)因为a1=1,所以a2=1+cos=1+=,a3=a2+cos=-=1,a4=a3+cos=1-1=0,a5=a4+cos=0-=-,a6=a5+cos=-+=0,a7=a6+cos=0+1=1,又y=cos的周期为6,所以{an}的周期为6,所以S2026=337×+=1011+=. 变式题　(1)　(2)ABD [解析] (1)由a1=,得a2==,则a3==3,则a4==-2,则a5==,所以数列{an}是周期为4的周期数列,所以a2025=a4×506+1=a1=. (2)对于A,若{an}为等差数列,则Sn=na1+d=n2+n,所以-k+2=0,解得k=2,Sn=2n2+n,故A正确;对于B,由题知Sn-1=k(n-1)2+(n-1)-k+2(n≥2),则an=Sn-=2kn-k+1(n≥2),又a1=S1=k+1-k+2=3,所以an=因为{an}不是递增数列,所以k≤0或解得k≤,故B正确;对于C,若Sn<,则kn2+n-k+2<k(n+2)2+(n+2)-k+2,整理得k>,又y=(n∈N*)单调递增且当n→+∞时,y→0,所以k≥0,故C错误;对于D,因为的最小值为3,所以=kn+1+≥3恒成立,即k(n2-1)≥2n-2恒成立,当n=1时,不等式成立,当n≥2时,k≥,则k≥=,故D正确.故选ABD. 例4　[思路点拨] 化简递推公式,然后利用累加法求解数列的通项公式即可. C　[解析] 由an+1=an+ln,得an+1-an=ln=ln(2n+1)-ln(2n-1),所以当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+(ln 3-ln 1)+(ln 5-ln 3)+…+[ln(2n-1)-ln(2n-3)]=1+ln(2n-1),又a1=1满足上式,所以an=1+ln(2n-1).故选C. 例5　[思路点拨] 根据累乘法,可求得数列{an}的通项公式. D　[解析] ∵an+1=an,∴=,∴an=××…×××a1=××…×××1=(n≥2),又a1=1满足上式,所以an=.故选D. 例6　[思路点拨] 先由递推公式证明{an+3}是等比数列,再利用{an+3}的通项公式写出{an}的通项公式即可. A　[解析] 由an+1=2an+3,得an+1+3=2(an+3),又a1=1,∴a1+3=4≠0,∴数列{an+3}是以4为首项,2为公比的等比数列,∴an+3=4·2n-1=2n+1,∴an=2n+1-3.故选A. 例7　[思路点拨] 本题中数列{an}的递推公式满足an=pan-1+qn(n≥2)(p,q均不为0和1且p≠q),求通项公式的方法较多.思路一:可以先两边同除以3n构造新数列,再利用累加法求通项公式;思路二:可以先两边同除以2n构造等比数列,再利用等比数列的性质求通项公式;思路三:设an+λ2n=p(an-1+λ2n-1)(n≥2),可以利用待定系数法求得p=3,λ=2,则{an+2n+1}是等比数列,进而可得{an}的通项公式. 5×3n-1-2n+1　[解析] 方法一:因为an=3an-1+2n(n≥2),所以=+(n≥2),利用累加法可得=+++… +=+=-3× (n≥2),所以an=5×3n-1-2n+1(n≥2),又a1=1满足上式,所以an=5×3n-1-2n+1. 方法二:因为an=3an-1+2n(n≥2),所以=·+1(n≥2),所以+2 =(n≥2),所以是首项为+2=,公比为的等比数列,所以+2= ×,所以an=5×3n-1-2n+1. 方法三:设an+λ2n=p(an-1+λ2n-1)(n≥2),则an =pan-1+2n(n≥2).因为an=3an-1+2n (n≥2),所以p=3,λ=2,所以an+2n+1=3(an-1+2n)(n≥2),所以{an+2n+1}是首项为a1+22=5,公比为3的等比数列,所以an+2n+1=5×3n-1,所以an=5×3n-1-2n+1. 例8　[思路点拨] 由递推关系证明数列是以为公差,为首项的等差数列,从而得=,进而求出an=. B　[解析] 由an+1=,整理得=+,又=,所以是以为公差,为首项的等差数列,所以=,所以an=.故选B. 【应用演练】 1.A　[解析] 由an+1=an+,得an+1-an==-,则an-an-1=-,…,a2-a1=1-,a1=,所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=+1-+-+…+-=-(n≥2),又a1=满足上式,所以an=-.故选A. 2.A　[解析] 由an+1=2an+1,得an+1+1=2(an+1),∵a1+1=2≠0,∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴an+1=2n,∴an=2n-1.故选A. 3.B　[解析] 因为(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2),所以=,又因为a1=2,所以an=a1···…·=2×××…×=n2+n,又a1=2满足上式,所以an=n2+n.因为an<110,所以n2+n-110<0,解得-11<n<10,所以满足条件的最大正整数n为9.故选B. 4.an=n·3n　[解析] 由an+1=3an+3n+1,可得=+1,又=1,所以是以1为首项,1为公差的等差数列,所以=1+(n-1)=n,所以an=n·3n. 5.　[解析] 因为an+1=,a1=3,所以a2≠0,a3≠0,…,an≠0,…,即an≠0,n∈N*,所以==+,所以+=2,又+=+=≠0,所以+≠0,n∈N*,所以=2,所以数列是首项为,公比为2的等比数列,所以+=·2n-1=,所以=,所以an=. 学科网（北京）股份有限公司 $