第5单元 07 第35讲 复数（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学讲义聚焦复数专题，覆盖复数的概念、几何意义及四则运算等高考核心考点，按“概念—几何意义—运算”逻辑梳理知识，结合常用结论构建体系。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破复数分类、模的几何意义等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料采用分层练习设计，常识题巩固基础，常错题辨析易错点，真题例题强化应用。通过复数几何意义中复平面点与向量的对应培养几何直观，结合i的周期性等结论提升运算能力，落实数学思维与数学眼光。助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

第35讲　复数 【课标要求】　1.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义. 2.掌握复数代数表示式的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义. 1.复数的有关概念 (1)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中i叫作　　　　　,a叫作复数的　　　　,b叫作复数的　　　　.若　　　　,则a+bi为实数;若　　　　,则a+bi为虚数;若　　　　　　　,则a+bi为纯虚数.  (2)复数相等:a+bi=c+di⇔　　　　　(a,b,c,d∈R).  (3)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔　　　　　　　　(a,b,c,d∈R).  (4)复数的模:向量=(a,b)的模叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模或绝对值,记作 　　　　或　　　　,即|z|=|a+bi|=　　　　　.一般地,两个共轭复数的模相等,即|z|=||.  2.复数的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点　　　　　(a,b∈R).   (2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量(O为坐标原点). 3.复数的运算 (1)复数的运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=　　　　　　　　　.(复数的加法满足交换律、结合律)   ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=　　　　　　　　　.   ③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=　　　　　　　　　　　.(复数的乘法满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律)   ④除法:===　　　　　　　　　(c+di≠0).   (2)复数加、减运算的几何意义 复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义,即=+,=-. 常用结论 1.in(n∈N)的周期性: ①i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i; ②i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0. 2.复数模的性质: ①|z|2=||2=z·;②|z1·z2|=|z1|·|z2|;③=(z2≠0);④|zn|=|z|n. 3.复数模的几何意义: ①|z-z0|表示复平面内复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离; ②||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|. 4.实系数一元二次方程虚根成对:若实系数一元二次方程有虚根,则两根互为共轭复数. 5.复数z在复平面内对应的点为Z: ①若a≤|z|≤b,则点Z的轨迹为以原点O为圆心,a和b为半径的两圆所夹的圆环. ②若|z-(a+bi)|=r(r>0),则点Z的轨迹为以(a,b)为圆心,r为半径的圆. 题组一　常识题 1.[教材改编] 若复数(m2-5m+6)+(m2-3m)i为虚数,则实数m的取值集合为　　　　.  2.[教材改编] 在复平面内,O是原点,向量对应的复数是2+i.如果点A关于实轴的对称点为B,点B关于虚轴的对称点为C,则向量对应的复数为　　　　,点C对应的复数为　　　　.  3.[教材改编] 复数的共轭复数是　　　　.  4.[教材改编] 已知-3+2i是关于x的方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,则p=　　　　,q=　　　　.  题组二　常错题 ◆索引:将复数a+bi(a,b∈R)的虚部误认为是bi致误;复数相等的充要条件及复数的几何意义掌握不牢致误;错用虚数单位i的幂的性质致误;纯虚数的概念掌握不牢致误;不理解复数模的几何意义致误. 5.若复数z=(i为虚数单位),则z的共轭复数的虚部为　　　　.  6.已知(a-i)(1-2i)=-3+bi,a,b∈R,i是虚数单位,则a+b=　　　　;若复数z=a+bi,则z在复平面内对应的点位于第　　　　象限.  7.若复数z=2-i2025,则|z|=　　　　.  8.已知a∈R,若(3+i)(1-ai)为纯虚数,则a=　　　　.  9.满足1≤|z-1+i|≤的复数z在复平面内对应的点构成的图形的面积为　　　　.  　复数的概念 1.[2025·全国一卷] (1+5i)i的虚部为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.-1 B.0 C.1 D.6 2.[2023·全国甲卷] 设a∈R,(a+i)(1-ai)=2,则a= (　 ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.[2025·江西鹰潭二模] 复数z=a+2i(a∈R),若(2+i)·为纯虚数,则a= (　 ) A.4 B.-4 C.1 D.-1 4.(多选题)已知复数z=,i为虚数单位,为z的共轭复数,则下列说法正确的是 (　 ) A.=1+i B.|z-i|= C.z4是实数 D.z在复平面上对应的点在第二象限 总结反思 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等,在解题时要注意将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R),根据概念的不同,灵活使用条件得出符合要求的答案. 　复数的几何意义 1.[2023·新课标Ⅱ卷] 在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.[2023·北京卷] 在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-1,),则z的共轭复数= (　 ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 3.在复平面内,O为坐标原点,复数1-i,-1+2i对应的向量分别是,,则对应的复数为 (　 ) A.-2+3i B.i C.2-3i D.-i 4.[2025·广东广州二模] 已知复数z满足|z-2i|=1,则|z|的最小值为 (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 总结反思 (1)复数z在复平面内对应的点Z和向量相互联系,即z=a+bi(a,b∈R),Z(a,b),=(a,b)相互一一对应. (2)复数的几何意义:复数z在复平面内对应的点的坐标就是向量的坐标,对于复数z=a+bi(a,b∈R),其在复平面内对应的点的坐标是(a,b),复数的模即为其对应向量的模. 　复数的四则运算 1.[2024·新课标Ⅰ卷] 若=1+i,则z= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 2.[2023·全国甲卷] = (　 ) A.-1 B.1 C.1-i D.1+i 3.[2025·浙江北斗星盟三模] 若复数z满足2z+=,则z= (　 ) A.-1+i B.-i C.1-i D.-+i 4.(多选题)[2025·汕头一模] 已知复数z0=1-i,z=x+yi(x,y∈R),则下列结论正确的是 (　 ) A.若|z-z0|=2,则z在复平面内对应的点的轨迹是圆 B.若|z-z0|+|z-|=2,则z在复平面内对应的点的轨迹是椭圆 C.若|z-z0|-|z-|=1,则z在复平面内对应的点的轨迹是双曲线 D.若=|z-z0|,则z在复平面内对应的点的轨迹是直线 总结反思 (1)复数的加减法:在进行复数加减法运算时,可类比合并同类项,运用法则(实部与实部相加减,虚部与虚部相加减)计算即可. (2)复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可. (3)复数的除法:除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第35讲　复数 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.(1)虚数单位　实部　虚部　b=0 b≠0　a=0且b≠0 (2)a=c且b=d (3)a=c且b=-d (4)|z|　|a+bi|　 2.(1)Z(a,b) 3.①(a+c)+(b+d)i ②(a-c)+(b-d)i ③(ac-bd)+(ad+bc)i ④+i 【对点演练】 1.{m|m≠0且m≠3}　[解析] 由题得m2-3m≠0,解得m≠0且m≠3,故m的取值集合为{m|m≠0且m≠3}. 2.2-i　-2-i　[解析] 由题意得点A的坐标为(2,1),则点A关于实轴的对称点B的坐标为(2,-1),则向量对应的复数为2-i.点B(2,-1)关于虚轴的对称点C的坐标为(-2,-1),则点C对应的复数为-2-i. 3.-2+i　[解析] ==-2-i,故其共轭复数是-2+i. 4.12　26　[解析] ∵-3+2i是关于x的方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,∴-3-2i是此方程的另一个根,∴(-3+2i)+(-3-2i)=-,(-3+2i)(-3-2i)=,解得p=12,q=26. 5.1　[解析] 因为z====-3-i,所以z的共轭复数为-3+i,故z的共轭复数的虚部为1. 6.0　二　[解析] 由(a-i)(1-2i)=-3+bi,得a-2-(1+2a)i=-3+bi,由复数相等的充要条件得解得所以a+b=0.由题得z=-1+i,所以复数z在复平面内对应的点为(-1,1),位于第二象限. 7.　[解析] 因为z=2-i2025=2-i4×506+1=2-i, 所以|z|==. 8.-3　[解析] 因为(3+i)(1-ai)=(3+a)+(1-3a)i,a∈R,且(3+i)(1-ai)为纯虚数,所以 解得a=-3. 9.2π　[解析] 设z=a+bi(a,b∈R),由1≤|z-1+i|≤可得1≤(a-1)2+(b+1)2≤3,所以复数z在复平面内对应的点构成的图形是以(1,-1)为圆心,1和为半径的圆所夹的圆环,其面积为3π-π=2π. ● 课堂考点探究 探究点一 1.C　[解析] (1+5i)i=-5+i,其虚部为1,故选C. 2.C　[解析] 因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2,所以解得a=1.故选C. 3.D　[解析] 由题意可得=a-2i,因为(2+i)·为纯虚数,即(2+i)(a-2i)=2a+2+(a-4)i为纯虚数,所以解得a=-1.故选D. 4.ABC　[解析] z===1-i,所以=1+i,故A正确;|z-i|=|1-2i|=,故B正确;z4=(1-i)4=[(1-i)2]2=(-2i)2=-4∈R,故C正确;z=1-i在复平面上对应的点(1,-1)在第四象限,故D错误.故选ABC. 探究点二 1.A　[解析] 因为(1+3i)(3-i)=3-i+9i-3i2=6+8i,所以(1+3i)(3-i)在复平面内对应的点为(6,8),位于第一象限,故选A. 2.D　[解析] 因为z在复平面内对应的点的坐标是(-1,),所以根据复数的几何意义可知,z=-1+i,由共轭复数的定义可知,=-1-i.故选D. 3.A　[解析] 由题意得=(1,-1),=(-1,2),所以=-=(-1,2)-(1,-1)=(-2,3),则对应的复数为-2+3i.故选A. 4.B　[解析] 方法一:|z-2i|=1,即|z-(2i)|=1,由复数的几何意义知,复数z在复平面内对应的点的轨迹是以C(0,2)为圆心,r=1为半径的圆,而|z|表示复数z在复平面内对应的点与点O(0,0)的距离,所以|z|的最小值为|OC|-r=2-1=1. 方法二:设z=x+yi(x,y∈R),∵|z-2i|=1,∴|x+(y-2)i|=1,∴=1,∴x2=1-(y-2)2(y∈[1,3]),则|z|===≥=1,当且仅当y=1时取等号.故选B. 探究点三 1.C　[解析] 由题可得z=(1+i)(z-1),则z==1-i. 2.C　[解析] ==1-i.故选C. 3.B　[解析] 设z=a+bi(a,b∈R),则2z+=3a+bi===1-i,所以a=,b=-1,故z=-i.故选B. 4.AD　[解析] 对于A,若|z-z0|=2,则z在复平面内对应的点到定点Z(1,-1)的距离等于2,点Z的轨迹是圆,A正确;对于B,若|z-z0|+|z-|=2,则z在复平面内对应的点Z到定点(1,-1)与点(1,1)的距离之和为2,而点(1,-1)与点(1,1)的距离也为2,所以点Z的轨迹为线段,B错误;对于C,若|z-z0|-|z-|=1,则z在复平面内对应的点Z到定点(1,-1)与点(1,1)的距离之差为1,点Z的轨迹是双曲线的一支,C错误;对于D,若=|z-z0|,即|z+1|=|z-z0|,则z在复平面内对应的点Z到定点(-1,0)与点(1,-1)的距离相等,点Z的轨迹是线段的中垂线,D正确.故选AD. 学科网（北京）股份有限公司 $