第5单元 06 第34讲 平面向量的综合问题（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学讲义聚焦平面向量综合应用高考核心考点，涵盖几何问题解决、三角形“四心”性质、物理应用及数量积与解三角形综合，按“知识梳理-常用结论-题组训练-例题精讲”逻辑架构，通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题步骤，真题训练强化实战能力，助力学生突破难点。 资料以“数学眼光”观察几何与物理现象，“数学思维”推理“四心”向量条件，“数学语言”建模物理问题。创新设计“三步曲”转化几何问题，设置常识题与常错题分层突破易混点，如例1通过坐标系将平行四边形中向量垂直转化为运算求解，培养学生几何直观与运算能力，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支撑。

第34讲　平面向量的综合问题 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.(1)向量　向量问题　(2)向量运算 【对点演练】 1.5　[解析] ∵·=0,∴AC⊥BD,∴四边形ABCD的面积S= ||||=××2=5. 2.2　[解析] 因为AB=mAM,AC=nAN,所以=m,=n.因为点O是BC的中点,所以+=m+n=m(+)+n(+)=2,整理得=+,又M,O,N三点共线,所以=λ,则有=.因为与不共线,所以1--=+=0,因此m+n=2. 3.300　[解析] W=6×100×cos 60°=600×=300 (J). 4.重　[解析] 由题得-=λ(+),即=λ(+),根据向量加法的平行四边形法则知+=2(D为BC的中点),所以点P的轨迹一定过△ABC的重心. 5.外心　[解析] 设D为BC的中点,则+=2,∵-=(+)·(-),∴2·=-=2·(-),又=-,∴·=·,∴·(-)=0,即·=0,∴⊥,∴点P一定是△ABC的外心. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)利用向量垂直则数量积为0,求出=+,再平方求向量的模即可.(2)由三角形“四心”的性质即可得出答案. (1)A　(2)B　[解析] (1)设=+λ=+λ,因为AP⊥BD,所以·=(+λ)·(-)=-λ+(λ-1)·=0,即4-9λ+(λ-1)×3×2×=0,解得λ=,所以=+,则||== = =.故选A. (2)∵++=0,∴+=-,设AB的中点为D,则+=2,∴C,M,D三点共线,即M为△ABC的中线CD上的点,且MC=2MD,∴M为△ABC的重心.∵||=||=||,∴NA=NB=NC,∴N为△ABC的外心.∵·=·,∴·(-)=0,即·=0,∴PB⊥AC.同理可得,PA⊥BC,PC⊥AB,∴P为△ABC的垂心.故选B. 变式题　(1)C　(2)　[解析] (1)连接AC,BD,由题意结合中位线定理可得HG∥AC,HG=AC,EF∥AC,EF=AC,∴HG∥EF,HG=EF,即四边形EFGH为平行四边形.∵=++,∴+=+=+(++)2=++++2·+2·+2·,∴+·+·+·=0,∴·(+)+·(+)=0,∴(+)·=0,即·=0,即⊥,∴BD⊥AC,又HG∥AC,HE∥BD,∴HE⊥HG,故四边形EFGH为矩形.故选C. (2)因为在正三角形ABC中,点E为AB边的中点,所以CE⊥AB,如图,以E为原点,EB,EC所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则E(0,0),A(-1,0),B(1,0),C(0,),因为AD=AC,所以==,则D,则=,又=(0,), 所以cos∠DOC===. 例2　[思路点拨] 根据题意可得-G=F1+F2,则|G|=,再分析各个选项即可得出答案. B　[解析] 根据题意可得-G=F1+F2,则|G|=|F1+F2|== =, 故A错误;当θ=时,|G|==|F1|,即|F1|=|G|,故B正确;|G|=,因为y=cos θ在(0,π)上单调递减,且行李包所受的重力G不变,所以当θ越大时,用力越大,故C错误;当|F1|=|G|,即|G|==|F1|时, 解得cos θ=-,又θ∈(0,π),所以θ=,故D错误.故选B. 变式题　A　[解析] 设真风风速、船行风速、视风风速、船速对应的向量分别为a,b,c,d,由题意知a+b=c,b=-d,则a=c+d,又c=(-3,-1),d=(1,3),∴a=(-2,2),∴|a|=2∈(1.1,3.3),故真风为轻风.故选A. 例3　[思路点拨] (1)根据向量数量积的定义结合三角形的面积公式即可求出tan A,再结合二倍角公式进行计算即可;(2)利用两角和的正弦公式求出sin C的值,再结合正弦定理以及三角形的面积公式进行计算即可. 解:(1)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∵·=S,∴bccos A=bcsin A,可得cos A=sin A, ∴tan A=2,∴tan 2A===-. (2)由|-|=3得||=c=3,∵tan A=2>0,∴0<A<, ∴sin A=,cos A=,∴sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=. 由正弦定理得=,∴b===, 则S=bcsin A=××3×=3. 变式题　D　[解析] 因为(a+c)(sin A-sin C)+bsin B=asin B,所以由正弦定理得(a+c)(a-c)+b·b=a·b,即a2+b2-c2=ab,由余弦定理得cos C==,又C∈(0,π),所以C=.由+2=3知=+,因为b+2a=4,所以||== === ≥==,当且仅当b=2a=2时等号成立.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第34讲　平面向量的综合问题 【课标要求】　会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用. 1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系,用　　　　表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为　　　　　　;  (2)通过　　　　　　,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;  (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 2.三角形“四心”的概念与性质 (1)重心——三角形的三条中线的交点. (2)垂心——三角形的三条垂线的交点. (3)内心——三角形的三个内角平分线的交点(三角形内切圆的圆心). (4)外心——三角形的三条垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心). (5)各心的性质:重心将中线长度分成2∶1;垂线与对应边垂直;角平分线上的任意点到角两边的距离相等;外心到三角形各顶点的距离相等. 3.向量在物理中的应用 (1)向量有着丰富的物理背景,如物理学中的力、速度、加速度都是既有大小又有方向的量.力的做功是向量数量积的物理背景;向量加法的三角形法则和平行四边形法则与位移的合成、力的合成、速度的合成有着密切的联系. (2)用向量法解决物理问题的一般步骤: ①问题的转化:把物理问题转化成数学问题. ②模型的建立:建立以向量为主体的数学模型. ③参数的获取:求出数学模型的相关解. ④问题的答案:利用建立起来的数学模型,解释和回答相关的物理现象. 常用结论 1.“四心”向量形式的条件: 已知H,G,O,I是△ABC所在平面上的任意点,a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边. (1)H为垂心⇔·=·=·⇔||2+||2=||2+||2=||2+||2. (2)G为重心⇔++=0. (3)O为外心⇔(+)·=(+)·=(+)·=0 ⇔ ||=||=||⇔==. (4)I为内心⇔a+b+c=0. 2.平面向量与平面几何综合的有关结论 (1)λ=⇔MP是∠AMB的平分线. (2)在▱ABCD中,(+)·(-)=0⇔▱ABCD是菱形;|+|=|-|⇔▱ABCD是矩形. 3.平面四边形对角线向量定理及其相关结论 (1)在平面四边形ABCD中,有·=. (2)在平面四边形ABCD中,若AC⊥BD,则有+=+. (3)在平面四边形ABCD中,有cos<,>=. 4.三角形面积公式的向量表示 平面上O,A,B三点不共线,设=a=(x1,y1),=b=(x2,y2),则S△OAB==|x1y2-x2y1|. 题组一　常识题 1.[教材改编] 在平面四边形ABCD中,若=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为　　　　.  2.[教材改编] 如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N.设AB=mAM,AC=nAN,则m+n=　　　　.  3.[教材改编] 一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生大小为100 m的位移s,且F与s的夹角为60°,则力F所做的功W=　　　 J.  题组二　常错题 ◆索引:不理解各心的概念致误. 4.已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定过△ABC的　　　　心.  5.已知点P是△ABC的内心(三个内角的平分线的交点)、外心(三条边的中垂线的交点)、重心(三条中线的交点)、垂心(三条高的交点)之一,且满足2·=-,则点P一定是△ABC的　　　　.  　平面向量与三角形的“四心”　　　　　　　　　　　　　　　 例1 (1)[2025·山东临沂模拟] 在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,∠BAD=60°,P为边CD上一点,若AP⊥BD,则线段AP的长为 (　 ) A. B. C.3 D.2 (2)点M,N,P在△ABC所在平面内,且满足++=0,||=||=||,·=·=·,则M,N,P依次是△ABC的 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.重心、外心、内心 B.重心、外心、垂心 C.外心、重心、内心 D.外心、重心、垂心 总结反思 用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题. 变式题 (1)已知平面四边形ABCD的四条边AB,BC,CD,DA的中点依次为E,F,G,H,且AB2+CD2=AD2+BC2,则四边形EFGH一定为 (　 ) A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.直角梯形 (2)已知正三角形ABC的边长为2,点D在AC边上且AD=AC,点E为AB边的中点,CE与BD交于点O,则∠DOC的余弦值为　　　　.  　平面向量在物理中的应用 例2 [北师大版必修第二册P128例18改编] 在日常生活中,我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景,如图,若行李包所受的重力为G,两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ(0<θ<π),则当两人拎起行李包且保持平衡时,下列结论正确的是 (　 ) A.|G|=|F1|+|F2| B.当θ=时,|F1|=|G| C.当θ越大时,用力越小 D.当|F1|=|G|时,θ= 总结反思 1.用向量方法解决物理问题的“三步曲” 2.向量在物理学中的应用一般涉及力、速度或位移的合成与分解,充分借助向量的平行四边形法则或三角形法则把物理问题抽象转化为数学问题,同时正确作图是前提. 变式题 [2025·全国一卷] 帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小和方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.下表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(线段长度代表速度大小,单位m/s),则真风为 (　 ) 级数 名称 风速大小 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 　平面向量数量积与解三角形综合 例3 [2025·湖南长沙一中月考(六)] 已知△ABC的面积为S,且·=S. (1)求tan 2A的值; (2)若B=,|-|=3,求S.     总结反思 求解平面向量数量积与解三角形综合题的方法:选取合适的基,把三角形中的边对应的向量用基表示,利用平面向量数量积结合正余弦定理沟通边角关系求解. 变式题 [2025·重庆九龙坡区5月调研] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(a+c)(sin A-sin C)+bsin B=asin B,b+2a=4,若+2=3,则||的最小值为 (　 ) A.2 B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $