第5单元 05 教材拓展4 极化恒等式（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学讲义聚焦平面向量核心考点，以平行四边形性质为基础，系统梳理极化恒等式的代数推导与几何解释（平行四边形、三角形模型），通过考点梳理、方法指导（转化共起点向量）、真题训练（典型例题含高考模拟题）等环节，帮助学生构建向量数量积与几何长度的联系，突破计算难点，体现复习的系统性与针对性。 资料特色在于用极化恒等式搭建向量与几何的桥梁，如例题中菱形、正三角形问题转化为中线与边长关系，培养数学思维（逻辑推理）和数学眼光（几何直观）。设置分层巩固演练（基础轨迹到高考真题），配合总结反思提炼解题策略，能在有限时间内提升学生转化能力，为教师把控复习节奏提供实用指导。

教材拓展4　极化恒等式 【典型例题】 例1　(1)C　(2)D [解析] (1)方法一:如图,连接AC,BD交于点O,连接PO.因为AB=2,∠DAB=60°,所以OA=,OB=1,所以·-·=(+)·(+)-(+)·(+)=(+)·(-)-(+)·(-)=-=12-()2=-2.故选C. 方法二:如图,连接AC,BD交于点O,连接PO.因为AB=2,∠DAB=60°,所以OA=,OB=1,由极化恒等式得·-·=(-)-(-)=-=1-3=-2,故选C. 方法三:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,过点A且垂直于AB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则根据题意可得A(0,0),B(2,0),C(3,),D(1,),设P(x,y),则=(-x,-y),=(2-x,-y),=(3-x,-y),=(1-x,-y),所以·-·=(-x,-y)·(3-x,-y)-(2-x,-y)·(1-x,-y)=-3x+x2-y+y2-(2-2x-x+x2-y+y2)=-2.故选C. (2)方法一:由==2可得=,=,=,所以=+=+=+(-)=+,=+=-=(-)-=-+,因此·=·=||2-||2=-||2=-×9=-3.故选D. 方法二:如图,取EA的中点G,因为==2,AB=BC=CA=3,所以GD=2,EA=2,由极化恒等式得,·=-·=-(4||2-||2)=-×(16-4)=-3.故选D. 例2　B　[解析] 取CD的中点E,连接PE,如图所示,则AD≤PE≤AE,即PE∈[2,2].根据极化恒等式得·=-=PE2-4,所以·∈[0,16].故选B. 【巩固演练】 1.D　[解析] 连接MN,设MN的中点为A,连接PA,由极化恒等式可得·=||2-||2=4,因为M,N是两个定点,所以||为定值,从而||为定值,所以点P的轨迹为圆,故选D. 2.B　[解析] 方法一:依题意,D是BC边的中点,E,F是线段AD的两个三等分点(E靠近点A),则·=·===7,·=·=-= =2,因此=1,=8,故·=·===-1.故选B. 方法二:依题意,D是BC边的中点,E,F是线段AD的两个三等分点(E靠近点A),·=7,·=2,由极化恒等式得||2-||2=7,||2-||2=2,可得||=3,||=2,所以DF=1,所以·=·=||2-||2=1-2=-1,故选B. 3.D　[解析] 方法一:以C为坐标原点,CA,CB所在直线分别为x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(3,0),B(0,4).设P(cos θ,sin θ),θ∈[0,2π),则=(3-cos θ,-sin θ),=(-cos θ,4-sin θ),∴·=(3-cos θ)(-cos θ)+(-sin θ)(4-sin θ)=-3cos θ-4sin θ+1=-5sin(θ+φ)+1∈[-4,6].故选D. 方法二:记AB的中点为M,连接CM,PM,则CM=,由极化恒等式可得·=||2-||2=||2-.∵||max=CM+1=,∴(·)max=-=6;∵||min=CM-1=,∴(·)min=-=-4.综上可得,·的取值范围是[-4,6],故选D. 4.C　[解析] 设正方形ABCD的内切圆圆心为O,连接PO,易知当弦MN的长度最大时,MN为圆O的一条直径,圆O的直径为1,则由极化恒等式得·=||2-||2=||2-.易知当P与正方形ABCD的顶点重合时,||max=,因此(·)max=-=.故选C. 5.9　[解析] 由·=-=9-=-7,得||=8,则·=·=-=25-×64=9. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.平行四边形的性质:平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和: |a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)(如图). 2.极化恒等式 (1)在平面向量中,(a+b)2=a2+b2+2a·b,(a-b)2=a2+b2-2a·b, 两式相减可得极化恒等式a·b=[(a+b)2-(a-b)2]. (2)几何解释 ①平行四边形模型:向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的,即a·b=(||2-||2)(如图). ②三角形模型:向量的数量积等于第三边上的中线长与第三边长的一半的平方差,即·=-(M为BC的中点)(如图). 极化恒等式表明,向量的数量积可以由向量的模来表示,可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. [课本探源:北师大版必修第二册P112例6] 　　　　　　　　　　　　　　　 【典型例题】 例1 (1)[2025·河北衡水中学三模] 在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,P为平面ABCD内的任意一点,则·-·= (　 ) A.2 B.0 C.-2 D.4 (2)[2026·安徽蚌埠开学调研] 如图,在边长为3的正三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且==2,则·= (　 ) A.3 B.-1 C.-2 D.-3 例2 如图,已知正方形ABCD的边长为4,若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部,含边界),则·的取值范围为 (　 ) A.(0,16) B.[0,16] C.(0,4) D.[0,4] 总结反思 (1)利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题进行转化,建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁,实现向量与几何、代数的巧妙结合,对于不共起点和不共终点的问题可通过平移等价转化为共起点(终点)的两向量的数量积问题,从而利用极化恒等式解决. (2)利用极化恒等式求数量积的最值(范围)时,关键在于取第三边的中点,找到三角形的中线,再写出极化恒等式.难点在于求中线长的最值(范围),可通过观察图形或结合点到直线的距离等求解. 【巩固演练】 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.在同一平面内,M,N是两个定点,P是动点,若·=4,则点P的轨迹为 (　 ) A.椭圆 B.抛物线 C.直线 D.圆 2.如图,在△ABC中,D是BC边的中点,E,F是线段AD的两个三等分点(E靠近点A),若·=7,·=2,则·= (　 ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.[2022·北京卷] 在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则·的取值范围是 (　 ) A.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,6] 4.边长为1的正方形内有一内切圆,MN是内切圆的一条弦,点P为正方形四条边上的动点,则当弦MN的长度最大时,·的最大值是 (　 ) A.- B.0 C. D. 5.如图,在平面四边形ABCD中,O为BD的中点,且OA=3,OC=5.若·=-7,则·=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $