第5单元 01 第31讲 平面向量的概念及其线性运算（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量的概念及其线性运算，覆盖向量的定义、线性运算（加减、数乘）、共线向量定理等核心考点，按“概念梳理-运算规则-应用拓展”逻辑架构知识，通过表格化知识点归纳、方法总结反思、高考真题（如2022新高考Ⅰ卷题）训练等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破共线向量判定、参数求解等难点。 资料突出数学思维与数学语言培养，如结合力、位移实例抽象向量概念培养数学眼光，通过共线向量定理推导参数（如例5中2λ+μ的最小值求解）训练逻辑推理，设置常识题、常错题分层练习强化表达。教师可依托此资料精准实施“讲-练-评”复习流程，助力学生高效掌握考点，提升应考能力。

第五单元　平面向量与复数 第31讲　平面向量的概念及其线性运算 【课标要求】　1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义. 2.理解平面向量的几何表示和基本要素. 3.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义. 4.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的含义. 5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 1.向量的有关概念及表示 名称 定义 表示 向量 既有　　　又有　　　的量  用a,b,c,…或,,…表示 向量 的长 度(模) 向量的　　　称为向量的长度(或称模)  　　　或　　　　  零向量 长度为0的向量 记作　　  单位 向量 长度等于　　　　　　的向量  用e表示,|e|=　　  相等 向量 　　　相等且　　　相同的向量  向量a和b相等,记作　　  两个向 量平行 (或共 线) 方向　　　或　　　的非零向量叫作平行向量,平行向量也叫作共线向量  两个向量a和b平行,记作　　　,零向量与任意向量　　　  2.向量的线性运算 运算 定义 法则(或 几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ①交换律: a+b=b+a; ②结合律: (a+b)+c=a+(b+c) 减法 求两个向量差的运算 三角形法则 a-b=a+(-b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0 λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb 特别注意向量数乘的特殊情况:当λ=0时,λa=0;当a=0时,λa=0.实数和向量可以求积,但是不能求和、求差. 3.共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b,则对于任意向量a,a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ,使a=λb. 常用结论 1.中点公式的向量形式:若P为线段AB的中点,O为平面内任意一点,则=(+). 2.若A,B,C是平面内不共线的三点,则++=0⇔P为△ABC的重心,=(+). 3.已知=λ+μ(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1. 4.向量三角不等式 ①已知非零向量a,b,则||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|(当a与b反向共线时左边等号成立;当a与b同向共线时右边等号成立); ②已知非零向量a,b,则||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|(当a与b同向共线时左边等号成立;当a与b反向共线时右边等号成立). 题组一　常识题 1.[教材改编] 给出下列各式:①++=0;②+++=;③+-=0;④--=.其中化简结果正确的是　　　　.(填序号)  2.[教材改编] 已知▱ABCD的对角线AC和BD交于点O,且=a,=b,则=　　　　,=　　　　.(用a,b表示)  3.[教材改编] 已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,a-b共线,则实数t=　　　　　.  题组二　常错题 ◆索引:对向量的概念理解不清致误;对向量相等的隐含条件挖掘不全致误;忽视两向量的方向关系致误. 4.已知平面向量a,b,则“a=b或a=-b”是“|a|=|b|”的　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)  5.已知平面四边形ABCD中,满足=,则四边形ABCD是　　　　　　.  6.已知向量a,b,若|a|=2,|b|=3,则|a+b|的取值范围为　　　　.  　平面向量的基本概念　　　　　　　　　　　　　　　 例1 (1)(多选题)下列说法中正确的有 (　 ) A.向量的长度与向量的长度相等 B.若向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反 C.两个有共同起点且相等的向量,其终点必相同 D.两个有公共终点的向量一定是共线向量 (2)已知a,b都是非零向量,则下列四个选项中为“=”的充分条件的是 (　 ) A.a=3b B.a∥b C.a=-b D.a∥b且|a|=|b| 总结反思 (1)解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,还要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件,要特别注意零向量的特殊性. (2)不改变向量a的大小和方向,自由平移a,平移后的向量与a相等. (3)非零向量的平行具有传递性. (4)(a≠0)是与a同方向的单位向量. 变式题 (1)如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD交于点O,过点O作MN∥AB,交AD于点M,交BC于点N,则在以A,B,C,D,M,O,N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中,相等向量有　　　　对.  (2)(多选题)下列说法正确的是 (　 ) A.若a和b都是单位向量,则a=b B.相等的两个向量一定是共线向量 C.若a∥b,c∥b,则a∥c D.两个非零向量的和可以是零向量 　平面向量的线性运算背景问题 微点1　平面向量的加、减运算的几何意义 例2 已知非零向量a,b,c,则“|a-b|≤1,|b-c|≤2”是“|a-c|≤3”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 总结反思 利用向量加、减法的几何意义解决问题通常有两种方法: (1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形或三角形,再结合其他知识求解相关问题; (2)平面几何中如果出现平行四边形(或三角形)或可能构造出平行四边形(或三角形)的问题,可考虑利用向量知识来求解. 微点2　平面向量的线性运算 例3 在平行四边形ABCD中,已知=,=2,则= (　 ) A.-+ B.-- C.+ D.- 总结反思 向量线性运算的解题策略: (1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则. (2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解. 微点3　利用向量的线性运算求参数 例4 [2025·湖北鄂南高级中学等三校4月联考] 在平行四边形ABCD中,点E是BC边上的点,=8,点F是线段DE的中点,若=λ+μ,则μ=　　　　.  总结反思 解决与向量的线性运算有关的参数问题,一般是通过向量的运算将向量表示出来,然后通过比较或建立方程组即可求得相关参数的值. 1.[2022·新高考全国Ⅰ卷] 在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 2.若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状为 (　 ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 3.(多选题)在△ABC中,记=a,=b,已知点D在直线BC上,且BD=3DC.若=ma+nb,则的值可能为 (　 ) A.-2 B.- C. D.2 4.在△ABC中,已知=k(-),且=-,则k=　　　　.  　共线向量基本定理及应用 例5 (1)[2025·福建泉州模拟] 已知向量e1,e2不共线,=λe1+e2,=2e1+μe2,其中λ>0,μ>0,若A,B,C三点共线,则2λ+μ的最小值为 (　 ) A.5 B.4 C.3 D.2 (2)已知P是△ABC所在平面内的一点,若=λ+,其中λ∈R,则点P一定在(　 ) A.△ABC的内部 B.AC边所在直线上 C.AB边所在直线上 D.BC边所在直线上 总结反思 利用共线向量基本定理解题的方法 (1)a∥b⇔a=λb(b≠0)是判定两个向量共线的主要依据.若a=λb(b≠0),则a与b共线,且当λ>0时,a与b同向;当λ<0时,a与b反向. (2)若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0. (3)要证明A,B,C三点共线,只需证明与共线,即证=λ(λ∈R).若已知A,B,C三点共线,则必有与共线,从而存在实数λ,使得=λ. (4)=λ+μ (λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1. 变式题 (1)已知点A,B,C是直线l上相异的三点,O为直线l外一点,且2=3+λ,则λ的值是 (　 ) A.-1 B.1 C.- D. (2)点M是△ABC所在平面内一点,满足++=0,若D为AC的中点,则的值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元　平面向量与复数 第31讲　平面向量的概念及其线性运算 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.大小　方向　大小　|a|　||　0 1个单位长度　1　长度　方向　a=b 相同　相反　a∥b　平行 【对点演练】 1.①②③　[解析] ++=+=0,①正确;+++=+=,②正确;+-=-=0,③正确;--=-=,④错误.故填①②③. 2.b-a　-a-b [解析] 如图,==-=b-a,=-=--=-a-b. 3.　[解析] 由a,b不共线,易知向量a-b为非零向量.由向量b-ta,a-b共线,可知存在实数λ,使得b-ta=λ,即a=b,因为a,b不共线,所以t+λ=λ+1=0,解得t=. 4.充分不必要　[解析] 若a=b或a=-b,则|a|=|b|;反之,若|a|=|b|,因为两个向量的方向不确定,所以不能推出a=b或a=-b.所以“a=b或a=-b”是“|a|=|b|”的充分不必要条件. 5.平行四边形　[解析] 在平面四边形ABCD中,因为=,所以AB=DC,且AB∥DC,所以四边形ABCD是平行四边形. 6.[1,5]　[解析] 当a与b方向相同时,|a+b|=5;当a与b方向相反时,|a+b|=1;当a与b不共线时,1<|a+|<5.所以|a+b|的取值范围为[1,5]. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)根据平面向量的基本概念,对给出的说法进行分析,判断正误即可.(2),分别表示与a,b方向相同的单位向量,因此=等价于a与b同向,据此可得答案. (1)AC　(2)A　[解析] (1)对于A,向量的长度与向量的长度相等,方向相反,故A正确;对于B,当向量a与b平行,且a或b为零向量时,不满足a与b的方向相同或相反,故B错误;对于C,两个有共同起点且相等的向量,其终点必相同,故C正确;对于D,两个有公共终点的向量不一定是共线向量,故D错误.故选AC. (2)=等价于a与b同向,当a=3b时,能推出a与b同向,故选A. 变式题　(1)2　(2)BD　[解析] (1)由AB∥CD可知,△OCD∽△OAB,所以=,所以=.因为MN∥AB,所以=,=,所以=,所以OM=ON.又M,O,N三点共线,所以=,=,故相等向量有2对. (2)对于A,a,b都是单位向量只能得出|a|=|b|,a,b的方向不一定相同,得不出a=b,故A错误;对于B,相等的两个向量一定是共线向量,故B正确;对于C,若a∥b,c∥b,则当b=0时,得不出a∥c,故C错误;对于D,两个非零向量的和还是向量,当两个向量的长度相等且方向相反时,和为零向量,故D正确.故选BD. 例2　[思路点拨] 根据充分性、必要性的定义,结合向量减法的几何意义判断条件间的推出关系,即可得到答案. A　[解析] 如图,由|a-b|≤1,|b-c|≤2,得|a-c|≤|a-b|+|b-c|≤3,充分性成立;当|a-c|≤3时,不一定有|a-b|≤1,|b-c|≤2,必要性不成立.综上,“|a-b|≤1,|b-c|≤2”是“|a-c|≤3”的充分不必要条件.故选A. 例3　[思路点拨] 思路一:在△AEF,△ABE,△ADF中分别利用向量加法的三角形法则表示,,,再线性运算表示出. 思路二:在△CEF中利用向量加法的三角形法则表示,再根据向量相等即可表示出. D　[解析] 在平行四边形ABCD中,有=,=. 方法一:=-=(+)-(+)=-=-=-. 方法二:=+=+=-.故选D. 例4　[思路点拨] 由=(+)及=+即可求解. 　[解析] 因为点F是线段DE的中点,所以=(+),又=+=+=+,所以=(+)=+=+,所以μ=. 【应用演练】 1.B　[解析] 因为点D在边AB上,BD=2DA,所以=2,所以-=2(-),所以=-2+3=-2m+3n. 2.B　[解析] +-2=(-)+(-)=+,-==-,∴|+|=|-|,故A,B,C为矩形的三个顶点,∴△ABC为直角三角形.故选B. 3.BC　[解析] 当点D在线段BC上时,如图①,=+=+=+(-)=+=a+b,此时==.当点D在线段BC的延长线上时,如图②,=+=+=+(-)=-+=-a+b,此时==-.故选BC. 4.4　[解析] 将=-,=+代入=k(-),得-=k(+-),整理得=+=-,又=-,所以-=-,解得k=4. 例5　[思路点拨] (1)由平面向量的共线定理可得λμ=2,再结合基本不等式即可求得答案.(2)将=λ+化为=λ,根据共线向量基本定理可判定. (1)B　(2)B　[解析] (1)因为A,B,C三点共线,所以存在实数k,使=k,即λe1+e2=k(2e1+μe2),又向量e1,e2不共线,所以整理得λμ=2.因为λ>0,μ>0,所以2λ+μ≥2=4,当且仅当2λ=μ=2时取等号,所以2λ+μ的最小值为4.故选B. (2)由=λ+,得-=λ,即=λ,则,为共线向量,又,有一个公共点P,所以C,P,A三点共线,即点P在AC边所在直线上.故选B. 变式题　(1)A　(2)　[解析] (1)由2=3+λ,得=+,因为点A,B,C是直线l上相异的三点,即点A,B,C三点共线,所以+=1,解得λ=-1.故选A. (2)因为++=0,所以(+)=-,由D为AC的中点,得+=2,所以3=-,所以M是线段BD上靠近点D的四等分点,则S△ABM=S△ABD,又S△ABD=S△BCD,所以=. 学科网（北京）股份有限公司 $