第4单元 11 培优专题（四）解三角形中多变量消元策略（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形多变量问题，围绕角度消元、边长消元、混合消元三大核心策略构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题讲解及分层练习，帮助学生掌握利用内角和定理、正余弦定理等转化多变量为单变量的解题逻辑，实现难点突破。 资料以“数学思维”和“数学语言”为核心，创新采用“策略-例题-反思-自测”教学模式，如角度消元中借三角恒等变换将三内角问题转化为函数求最值，培养学生逻辑推理与模型建构能力。分层自测题适配不同学情，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生高考实战解题效率。

　　解三角形中,经常面临三变量齐上阵的情形,处理此类问题,通常还是绕不开消元策略,把多变量问题转化为单变量函数求最值,或利用常见的不等式求最值.在此过程中,三角形内角和定理是一个隐藏的消元条件.此类问题的消元,需要观察条件的结构,与所掌握的知识结构产生联系,从代数或几何等角度产生联想与转化,达到消元的目的. 策略一　角度消元 例1 [2025·江苏南通押题卷] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2bsin. (1)求B; (2)已知D为边AB上的一点,且∠ACD=,求的取值范围.     总结反思 此类问题常利用正弦定理化边为角,再利用三角形内角和定理与三角恒等变换消元化简,转化为某个角的正弦、余弦或正切函数,根据函数单调性或基本不等式求出其范围或最值. 自测题 [2026·菏泽期中] 在△ABC中,已知4cos B+3sin B+4cos(C-A)=9,AC=8,则△ABC的面积为　　　　.  策略二　边长消元 例2 [2025·广东茂名一中保温卷] 已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=. (1)若C=,求B; (2)求的取值范围.     总结反思 解三角形问题中,边长消元是一种通过减少边的变量个数来简化问题的方法,一般通过正弦定理、余弦定理或三角恒等变换,先化角为边,再将三角形边长关系转化为单一变量的函数,再利用基本不等式或函数性质求解,常用的方法有:代入消元、齐次化消元、引入辅助变量消元等. 自测题 [2025·福建泉州安溪一中、养正中学、泉州实验中学预测] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin A+sin B=sin C,tan C=,则△ABC的内切圆半径r的最大值为　　　　.  策略三　混合消元 例3 (多选题)[2025·全国一卷] 已知△ABC的面积为,cos 2A+cos 2B+2sin C=2,cos Acos Bsin C=,则 (　 ) A.sin C=sin2A+sin2B B.AB= C.sin A+sin B= D.AC2+BC2=3 总结反思 在复杂的三角条件中,会综合应用三角知识,重要是突破消元的基础上,找到特殊值、值域有界性、分类讨论、几何意义等知识和方法解决问题. 自测题 1.[2026·湖南师大附中月考] 已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且C+sin A>+cos B,则 (　 ) A.<C< B.+≥2 C.b>ccos A D.sin3A+sin3B<sin3C 2.在△ABC中,若A,B是锐角,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=3,b=4,3sin A+4sin B=c,则△ABC的面积是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题(四)　解三角形中多变量消元策略 例1　解:(1)(正弦定理+两角和的正弦公式)由题意知a=2bsin=b(sin C+cos C), 又由正弦定理得=,所以sin A=sin B(sin C+cos C).因为A+B+C=π,所以A=π-B-C,所以sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, 所以cos Bsin C=sin Bsin C,又C∈(0,π),所以sin C>0,所以tan B=,又B∈(0,π),所以B=. (2)(化边为角+正弦定理+积化和差公式+角度消元法)因为B=,∠ACD=,所以∠BCD= ∠ACB-∠ACD=π-A-B-=-A,在△BCD中,由正弦定理得=,所以BD=2CDsin. 在△ACD中,AD=,所以=2sin Asin=cos-cos=cos-cos=cos-, 因为∠BCD>0,所以A∈,所以2A-∈, 所以cos∈,所以的取值范围是. 【自测题】 48　[解析] 因为4cos B+3sin B+4cos(C-A)=9,所以5sin(B+φ)+4cos(C-A)=9,其中tan φ=,令φ为锐角,则由可得因为sin(B+φ)≤1,cos(C-A)≤1,所以5sin(B+φ)+4cos(C-A)≤9,又5sin(B+φ)+4cos(C-A)=9,所以sin(B+φ)=cos(C-A)=1.因为0<B<π,所以φ<B+φ<π+φ,故B+φ=,所以B=-φ,所以sin B=sin=cos φ=,cos B=cos=sin φ=,因为0<A<π,0<C<π,所以-π<C-A<π,故C-A=0,所以A=C,所以BC=AB.由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=2AB2-2AB2×=AB2=64,所以AB2=160,故S△ABC=AB·BCsin B=×160×=48. 例2　解:(1)(正弦定理+余弦定理+消元法解方程组)在△ABC中,由=及正弦定理,得=,整理得c2=ab+b2①, 因为C=,所以由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos, 即c2=a2+b2-ab②,联立①②解得a=2b,c=b, 因此b2+c2=a2, 则A=,所以B=. (2)(代入消元+二次函数求值域)由(1)知c2=b2+ab,则a=,且c>b, 由b+c>a=,得b<c<2b,即1<<2, 因此=+=+=+-1∈(1,5),所以的取值范围是(1,5). 【自测题】 　[解析] 因为asin A+sin B=sin C,所以由正弦定理可得a2+b=c.因为tan C=,所以sin C=,cos C=,利用余弦定理,可得c2=(a2+b)2=a2+b2-2abcos C,所以b=,又S△ABC=absin C=ab,且S△ABC=(a+b+c)r,所以(a+b+c)r=ab,故r=== ==≤=,当且仅当a=时等号成立,所以△ABC的内切圆半径r的最大值为. 例3　ABC　[解析] 由cos 2A+cos 2B+2sin C=2,得2sin C=1-cos 2A+1-cos 2B,则2sin C=2sin2A+2sin2B,所以sin C=sin2A+sin2B,故A正确;设BC=a,AC=b,AB=c,因为===2R且sin C=sin2A+sin2B,所以a2+b2=c·2R≥c2,若a2+b2>c2,则C为锐角,又cos Acos Bsin C=>0,所以△ABC为锐角三角形,则A+B>,故>A>-B>0,则sin A>sin,即sin A>cos B,则sin C=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1,矛盾,故a2+b2=c2,则C=,故cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=0,则cos Acos B=sin Asin B=,因为S△ABC=absin C=,所以ab=,所以=(2R)2=2,得2R=,故=2R=,则c=,故B正确;(sin A+sin B)2=sin2A+sin2B+2sin Asin B=1+=,则sin A+sin B=,故C正确;AC2+BC2=AB2=c2=2,故D错误.故选ABC. 【自测题】 1.D　[解析] 取A=B=,C=,则C+sin A=+,+cos B=+,满足C+sin A>+cos B,此时C=,故选项A错误;由C+sin A>+cos B,得π-A-B+sin A>+sin,整理得sin A-A>sin-,设f(x)=sin x-x,x∈R,则f'(x)=cos x-1≤0,所以f(x)在R上单调递减,因为f(A)>f,所以A<-B,所以C=π-A-B>π--B=,所以A,B∈,所以-B∈,又y=sin x在上单调递增,y=cos x在上单调递减,所以sin A<sin,cos A>cos,即sin A<cos B,cos A>sin B,所以+<1+1=2,故选项B错误;因为C∈,所以cos C=<0,所以a2+b2<c2,又cos A=,所以b-ccos A=b-c·=<0,所以b<ccos A,故选项C错误;因为a2+b2<c2,且a<c,b<c,所以a3+b3<a2c+b2c<c3,由正弦定理知,==,所以sin3A+sin3B<sin3C,故选项D正确.故选D. 2.6　[解析] 由3sin A+4sin B=c,a=3,b=4,得asin A+bsin B=c,因为==,所以asin A+bsin B=c可化为sin2A+sin2B=sin C,又A+B+C=π,所以C=π-(A+B),所以sin C=sin(A+B),所以原式可化为sin2A+sin2B=sin Acos B+cos Asin B,即sin A(sin A-cos B)=sin B(cos A-sin B)(*).若A+B>,则A,B是锐角,所以>A>-B>0,所以sin A>sin=cos B,cos A<cos=sin B,即sin A-cos B>0,cos A-sin B<0,又sin A>0,sin B>0,因此(*)式不成立.若A+B<,则A,B是锐角,所以0<A<-B<,所以sin A<sin=cos B,cos A>cos=sin B,即sin A-cos B<0,cos A-sin B>0,又sin A>0,sin B>0,因此(*)式不成立.若A+B=,则A=-B,所以sin A=sin=cos B,cos A=cos=sin B,因此(*)式成立,此时C=π-(A+B)=,所以△ABC的面积是ab=6. 学科网（北京）股份有限公司 $