第4单元 09 第28讲 余弦定理、正弦定理（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学讲义聚焦余弦定理、正弦定理核心考点，按公式梳理、变形应用、解的情况、面积公式及常用结论逻辑递进，通过考点系统整合、题组分层训练（常识题巩固基础、常错题警示易错点）、真题例题精讲（如2024全国甲卷）及方法总结，帮助学生构建解三角形知识体系，突破应用难点。 资料采用问题驱动与素养导向设计，如例3求面积范围时，引导学生将边转化为角，利用三角函数有界性求解，培养数学思维中的推理与运算能力。通过表格对比正余弦定理公式及变形，强化数学语言表达，配合变式题即时巩固，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第28讲　余弦定理、正弦定理 【课标要求】　1.掌握余弦定理、正弦定理. 2.能利用余弦定理、正弦定理解决一些简单的三角形度量问题. 1.正、余弦定理 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆的半径,则 正弦定理 余弦定理 公式 ===2R a2=b2+c2-2bccos A; b2=c2+a2-2accos B; c2=a2+b2-2abcos C 常见 变形 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (2)sin A=,sin B=,sin C=; (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A cos A=; cos B=; cos C= 2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况 A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A< a<b a≥b a>b a≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 3.面积公式 S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B; S△ABC==(a+b+c)·r(r是△ABC的内切圆半径,R是△ABC的外接圆半径,并可由此计算R,r); S△ABC=. 常用结论 1.正弦定理的应用 ①边化角,角化边: a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. ②大边对大角,大角对大边: a>b⇔A>B⇔sin A>sin B. ③合分比: =======2R(R是△ABC的外接圆半径). 2.△ABC内角和定理:A+B+C=π. ①sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B⇔c=acos B+bcos A. 同理:a=bcos C+ccos B,b=ccos A+acos C. ②sin=cos;cos=sin. ③在△ABC中,内角A,B,C成等差数列⇔B=,A+C=. 题组一　常识题 1.[教材改编] 在△ABC中,已知b=2,A=45°,C=75°,则a=　　　　.  2.[教材改编] 在△ABC中,已知b=5,c=3,A=120°,则a=　　　　　.  3.[教材改编] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=3,b=5,c=7,则C=　　　　　,△ABC的面积为　　　　.  题组二　常错题 ◆索引:将三角形中角与角的正弦的关系弄错致误;利用正弦定理求角时将解的个数弄错致误;将余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系弄错致误. 4.在△ABC中,若sin A=sin B,则A,B的大小关系为　　　　;若sin A>sin B,则A,B的大小关系为　　　　.  5.在△ABC中,B=30°,b=2,c=2,则角A的大小为　　　　.  6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,c=,B=30°,则S△ABC=　　　　,b=　　　　.  　正余弦定理的直接应用 例1 (1)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若9sin2B=4sin2A,cos C=-,则= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. (2)[2024·全国甲卷] 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,b2=ac,则sin A+sin C= (　 ) A. B. C. D. 总结反思 (1)在解三角形中,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,那么考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,那么考虑用正弦定理.当以上特征都不明显时,要考虑两个定理都有可能用到. (2)三角形解的个数的判断:已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不确定性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. 变式题1 [2025·全国二卷] 在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A= (　 ) A.45° B.60° C.120° D.135° 变式题2 已知△ABC三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=. (1)求sin C的值; (2)若△ABC的面积S=5,且c=(a-b),求△ABC的周长.     　利用余弦定理、正弦定理判定 三角形的形状 例2 (1)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=,则△ABC的形状是 (　 ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 (2)在△ABC中,a2+b2+c2=2absin C,则△ABC的形状是 (　 ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 总结反思 判断三角形形状的两种思路: (1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. (2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论. 变式题 在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且acos B+(2c-b)cos A=c,则△ABC的形状为 (　 ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 　解三角形求最值范围问题 例3 [2025·湖北黄石6月保温练] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin=bsin A. (1)求B; (2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.       总结反思 破解此类问题的关键:一是观察已知三角恒等式,判断是边往角化还是角往边化,从而利用正弦定理或余弦定理进行转化;二是把所求的取值范围或最值问题转化为三角函数问题,利用三角函数的单调性进行求解,或利用基本不等式、三角函数的有界性进行求解. 变式题 [2022·新高考全国Ⅰ卷] 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=. (1)若C=,求B; (2)求的最小值.   学科网（北京）股份有限公司 $ 第28讲　余弦定理、正弦定理 ● 课前基础巩固 【对点演练】 1.　[解析] 由题意知B=180°-45°-75°=60°,由正弦定理得=,解得a=. 2.7　[解析] 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=49,所以a=7. 3.120°　　[解析] 因为a=3,b=5,c=7,所以由余弦定理得cos C===-,又0°<C<180°,所以C=120°,故sin C=,所以△ABC的面积S=×3×5×=. 4.A=B　A>B　[解析] 根据正弦定理知,在△ABC中,sin A=sin B⇔a=b⇔A=B,sin A> sin B⇔a>b⇔A>B. 5.105°或15°　[解析] 由题意知B=30°,b=2,c=2,由=,得sin C===,因为c>b,所以C>B=30°,则C=45°或135°,故A的大小为180°-30°-45°=105°或180°-30°-135°=15°. 6.　1　[解析] 由题意知S△ABC=acsin B=×2××=.由余弦定理得b2=a2+c2- 2accos B=4+3-4cos 30°=1,所以b=1. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)首先利用正弦定理将角的正弦关系转化为边的关系,再通过余弦定理建立关于的等式,从而求解的值;(2)利用正弦定理得sin Asin C=,再利用余弦定理得a2+c2=ac,进而由正弦定理得到sin2A+sin2C的值,最后代入计算即可. (1)D　(2)C　[解析] (1)因为9sin2B=4sin2A,所以=.根据正弦定理可得=,所以b=.因为cos C=-,所以根据余弦定理可得cos C===-,化简可得c2=,所以=.因为a,c为△ABC的边长,所以a>0,c>0,所以=.故选D. (2)因为B=60°,b2=ac,所以sin Asin C=sin2B=.由余弦定理可得b2=a2+c2-ac=ac,即a2+c2=ac,所以sin2A+sin2C=sin Asin C=,所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+ 2sin Asin C=,则sin A+sin C=,故选C. 变式题1　A　[解析] 由余弦定理得cos A== ==,又0°<A<180°,所以A=45°. 变式题2　解:(1)由=及正弦定理可得,=, 即3sin Bcos C-sin Acos C=cos Asin C, 所以3sin Bcos C=sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C).又sin(A+C)=sin(π-B)=sin B,且sin B≠0,所以cos C=.又sin C>0,所以sin C==. (2)因为S=absin C=5,所以ab=15.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-10. 又c2=6(a-b)2=6(a2+b2)-180, 所以a2+b2=34,c=2, 所以a+b==8,故△ABC的周长为a+b+c=8+2. 例2　[思路点拨] (1)根据给定条件,利用正弦定理边化角,利用同角三角函数的基本关系切化弦,再结合二倍角公式求解即可;(2)在△ABC中,a2+b2+c2=2absin C,由余弦定理得b2+a2-c2=2abcos C,两式相加,利用基本不等式及正弦函数的有界性即可判断出△ABC的形状. (1)C　(2)D　[解析] (1)在△ABC中,由=及正弦定理得=,又sin C>0,sin B>0,整理得sin Bcos B=sin Ccos C,故sin 2B=sin 2C,因为0<B<π,0<C<π,所以0<2B<2π,0<2C<2π,又B+C<π,所以2B=2C或2B+2C=π,即B=C或B+C=,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.故选C. (2)在△ABC中,a2+b2+c2=2absin C,又由余弦定理得b2+a2-c2=2abcos C,∴两式相加得2(a2+b2)=2ab(sin C+cos C)=4absin,∴sin=≥=1(当且仅当a=b时取“=”),又sin≤1,∴sin=1.∵C为△ABC的内角,∴C+=,∴C=,又a=b,∴△ABC的形状为等边三角形.故选D. 变式题　D　[解析] 方法一:由acos B+(2c-b)cos A=c及正弦定理,得sin Acos B+ (2sin C-sin B)cos A=sin C,所以sin Acos B+2sin Ccos A-sin Bcos A=sin[π-(A+B)]=sin(A+B),所以sin Acos B+2sin Ccos A-sin Bcos A=sin Acos B+cos Asin B,即2sin Ccos A-sin Bcos A= cos Asin B,即(sin C-sin B)cos A=0,解得sin C=sin B或cos A=0.当sin C=sin B时,又0<B<π,0<C<π,C+B<π,所以C=B,所以△ABC为等腰三角形;当cos A=0时,又0<A<π,所以A=,所以△ABC为直角三角形.综上所述,△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D. 方法二:由acos B+(2c-b)cos A=c及余弦定理,得a×+(2c-b)×=c,整理得ba2-b3+b2c+c3-a2c=bc2,即(b-c)a2-(b-c)(b2+bc+c2)=bc(c-b),所以(b-c)(a2-b2-c2)=0,所以b=c或a2=b2+c2,故△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D. 例3　解:(1)方法一(最优解:利用三角形内角和为π,结合正弦定理求角度):由三角形的内角和定理得=-,由asin=bsin A可得asin=bsin A. 由诱导公式得sin=cos,所以acos=bsin A. 在△ABC中,由正弦定理知a=2Rsin A,b=2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径),所以 sin Acos=sin Asin B,又sin A≠0,故cos=sin B, 由二倍角的正弦公式得cos=sin B=2sincos, 又0<B<π,所以cos≠0,所以sin=,故=,解得B=. 方法二(利用正弦定理解方程求得cos B的值,可得B的值):由题意及正弦定理得 sin Asin=sin Bsin A,又sin A≠0,故sin=sin B,两边平方得sin2=sin2B,即=sin2B.因为A+B+C=π, 所以cos(A+C)=-cos B,所以1+cos B=2sin2B,可得2cos2B+cos B-1=0,解得cos B=或 cos B=-1(舍去),又0<B<π,故B=. 方法三(利用正弦定理结合三角形内角和为π求得A,B,C的关系即可求B):由asin= bsin A及正弦定理得sin Asin=sin Bsin A, 因为0<A<π,所以sin A>0,消去sin A得sin=sin B. 因为0<B<π,0<<,所以=B或+B=π, 又A+B+C=π,故+B=π不成立,所以=B,又因为A+B+C=π,所以3B=π,所以B=. (2)方法一(最优解:利用△ABC为锐角三角形求得C的取值范围,然后由面积公式求面积的取值范围): 因为△ABC是锐角三角形,B=,所以<A<,<C<.S△ABC=acsin B=c2·· sin B=·=·=·=+.因为C∈,所以tan C∈,则∈(0,),故S△ABC∈,故△ABC面积的取值范围是. 方法二(利用△ABC为锐角三角形及余弦定理求得边a的取值范围,结合面积公式求面积的取值范围):由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=a.因为△ABC为锐角三角形,且c=1,B=,所以即又由余弦定理得b2=a2+1-a,所以解得<a<2,所以<S△ABC<,故△ABC面积的取值范围是. 变式题　解:(1)方法一(直接法):由已知条件得sin 2B+sin Asin 2B=cos A+cos Acos 2B,则sin 2B=cos A+cos Acos 2B-sin Asin 2B=cos A+cos(A+2B)=cos[π-(B+C)]+cos[π-(B+C)+2B]=-cos(B+C)-cos(B-C)=-2cos Bcos C, 所以2sin Bcos B=-2cos Bcos C,所以(sin B+cos C)cos B=0. 由题知1+cos 2B≠0,所以B≠,所以cos B≠0,所以sin B=-cos C=,又0<B<,所以B=. 方法二(二倍角公式处理+直接法): 因为== =,所以sin B=cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)=-cos C=, 又0<B<,所以B=. (2)由(1)知,sin B=-cos C>0,所以<C<π,0<B<,又sin B=-cos C=sin,所以B=C-,故C=+B,故A=-2B, 又A∈,所以B∈, 所以=== =4cos2B+-5≥2-5=4-5,当且仅当cos2B=时取等号,所以的最小值为4-5. 学科网（北京）股份有限公司 $