第4单元 06 第26讲 三角函数的图象与性质（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学讲义聚焦三角函数的图象与性质核心考点，涵盖五点法作图、周期性、单调性、奇偶性等课标要求，按基础知识点梳理、常用结论归纳、分层题组训练（常识题、常错题）、典型例题解析的逻辑架构组织内容，通过考点填空巩固、性质对比梳理、方法总结反思、真题变式演练等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破易错难点。 资料以数学眼光抽象三角函数本质属性，通过五点法关键点填空培养几何直观，结合性质表对比分析发展推理能力。设计“性质辨析—错因索引—真题应用”三步教学活动，如针对正切函数定义域易错点设置专项练习，确保学生在有限时间内精准掌握高考高频考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供高效教学支持。

第26讲　三角函数的图象与性质 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.(1)　 (2)　 2.　[-1,1] [-1,1]　2π　π　奇函数　偶函数 奇函数　 [-π+2kπ,2kπ] [2kπ,π+2kπ]　(kπ,0) 　 x=kπ+　x=kπ 【对点演练】 1.　[解析] 用“五点法”画y=3sin x,x∈[0,2π]的图象时,五个关键点为(0,0),,(π,0),,(2π,0),可知不是关键点. 2.[1,3]　-2π+4kπ(k∈Z)　4π [解析] 由y=2-cos(x∈R)知,ymin=2-1=1,ymax=2+1=3,所以函数的值域为[1,3].当函数取最大值时,=-π+2kπ(k∈Z),即x=-2π+4kπ(k∈Z).该函数的最小正周期T==4π. 3.,k∈Z [解析] f(x)=sin=-sin,x∈R,由2kπ-≤x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,故f(x)的单调递减区间是,k∈Z. 4.(k∈Z) [解析] 要使函数有意义,则2tan≥0,得tan≥0,则kπ≤x-<+kπ(k∈Z),即+kπ≤x<kπ+(k∈Z),所以函数y=的定义域为(k∈Z). 5.±2　[解析] 由题意可得=π,则ω=±2. 6.2　[解析] 由题意知y=cos2x+3cos x-2=-,又cos x∈[-1,1],∴当cos x=1时,ymax=2. 7.　[解析] 依题意,y=2sin,令-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,则-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.又x∈[-π,0],所以所求的单调递增区间为. 8.-2　　[解析] 依题意,y=-2sin,由x∈[0,π],得x-∈,所以当x-=,即x=时,该函数有最小值-2. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)根据对数函数的定义域可得2sin x+1>0,求解即可;(2)根据正切函数的定义域及分母不等于零构造不等式组求解即可. (1)D　(2)A　[解析] (1)要使函数有意义,则2sin x+1>0,得sin x>-,∴2kπ-<x<2kπ+,k∈Z,∴函数y=lg(2sin x+1)的定义域为.故选D. (2)要使f(x)有意义,则n∈Z,可得 n∈Z,∴x≠π且x≠π,n∈Z,∴x≠,k∈Z,故选A. 变式题　　[解析] 方法一:要使函数有意义,则sin x-cos x≥0,在同一坐标系中画出y=sin x和y=cos x在[0,2π]上的图象,如图所示.由图可知,在[0,2π]内,当≤x≤时,满足sin x≥cos x,再结合正弦、余弦函数的最小正周期是2π,可知原函数的定义域为. 方法二:要使函数有意义,则sin x-cos x=sin≥0,所以2kπ≤x-≤π+2kπ,k∈Z,解得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z,所以原函数的定义域为. 例2　[思路点拨] (1)结合辅助角公式化简成正弦型函数,再求函数在给定区间内的最值即可;(2)先利用二倍角公式变形,再利用换元法和二次函数的性质即可求得f(x)的值域. (1)2　(2) [解析] (1)f(x)=sin x-cos x=2sin,当x∈[0,π]时,x-∈,故当x-=,即x=时,f(x)max=2. (2)f(x)=cos 2x+2|sin x|=1-2sin2x+2|sin x|(x∈[0,2π]),令|sin x|=t,则t∈[0,1],则f(x)的值域转化为g(t)=1-2t2+2t,t∈[0,1]的值域,g(t)=-2t2+2t+1=-2+,t∈[0,1],所以g(t)∈,所以函数f(x)的值域为. 变式题　(1)A　(2)D　(3)3+ [解析] (1)f(x)=sin 3=sin(3ωx+π)=-sin 3ωx,由f(x)的最小正周期为π,得=π,解得ω=,则f(x)=-sin 2x.当x∈时,2x∈,易知f(x)=-sin 2x在上单调递减,所以f(x)在上的最小值为f=-sin=-.故选A. (2)由题意,函数y=sin πx,x∈既有最小值也有最大值,∵πx≥,sin=,∴当函数f(x)的最大值为1,最小值为-1时,结合正弦函数的图象可得mπ>π,即m>;当f(x)的最大值为,最小值为-1时,结合正弦函数的图象可得解得<m≤.综上所述,实数m的取值范围为∪.故选D. (3)设t=sin x+cos x,则sin xcos x=,t=sin x+cos x=sin∈[-,],可得g(t)=t+t2-1+2=+,当t=时,g(t)max=+2+1=3+,故f(x)max=3+. 例3　[思路点拨] (1)根据最小正周期的计算公式即可求解ω,根据f(x)为偶函数即可求解φ;(2)由辅助角公式化简,再利用整体法,结合正弦函数的性质求解即可. 解:(1)由f(x)的最小正周期为π,可得2ω=,故ω=1.因为f(x)为偶函数,且φ∈(0,π),所以φ=. (2)由(1)知f(x)=2sin=2cos 2x,所以g(x)=f(x)+2sin 2x=2cos 2x+2sin 2x=2sin,令2x+=+kπ,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z,故g(x)图象的对称轴为直线x=+kπ,k∈Z. 令2x+=kπ,k∈Z,得x=-+kπ,k∈Z,故g(x)图象的对称中心为,k∈Z. 变式题　(1)B　(2)AB　(3)AB [解析] (1)因为y=tan x的图象的对称中心为点,k∈Z,所以y=2tan的图象的对称中心为点,k∈Z,所以a=+,k∈Z,又a>0,所以a的最小值为.故选B. (2)对于A,因为函数f(x)=3sin+1,且f(x)为偶函数,所以-+φ=kπ+,k∈Z,即φ=kπ+,k∈Z,又因为φ∈(0,π),所以φ=,故A正确;对于B,f(x)=3sin+1=3cos 2x+1,令2x=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,所以f(x)图象的对称中心为,k∈Z,故B正确;对于C,令2x=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,所以f(x)图象的对称轴方程为x=,k∈Z,故C错误;对于D,令2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z,得kπ≤x≤kπ+,k∈Z,故f(x)的单调递减区间为,k∈Z,故D错误.故选AB. (3)对于A,f(x)=|sin x|+|cos x|= 函数f(x)的图象如图所示,由图可知函数f(x)的最小正周期为,故A正确;对于B,由图可知直线x=π是函数f(x)图象的一条对称轴,故B正确;对于C,由图可知函数f(x)的图象没有对称中心,故C错误;对于D,由图可得,当x∈[0,2π)时,令函数f(x)=|sin x|+|cos x|=,可得x=,,或,所以若f(x)=m,x∈[0,2π)有四个解,则m也可以是,故D错误.故选AB. 例4　[思路点拨] (1)逆用二倍角的余弦公式化简f(x),结合余弦型函数的单调性写出f(x)的单调递减区间和单调递增区间,逐项判断即可;(2)先由f(x)≤对x∈R恒成立,得到f(x)在x=处取得最值,从而得到φ=+2kπ(k∈Z)或φ=+2kπ(k∈Z),再由f>f(π)得到f(x)=sin,进而可得f(x)的单调递增区间. (1)C　(2)C　[解析] (1)f(x)=cos2x-sin2x=cos 2x,令2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z,得kπ≤x≤kπ+,k∈Z,∴函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).同理,f(x)的单调递增区间为(k∈Z).结合选项可知,C选项正确. (2)因为对任意x∈R,f(x)≤恒成立,所以f=sin=±1,则φ=+2kπ(k∈Z)或φ=+2kπ(k∈Z).当φ=+2kπ(k∈Z)时,f(x)=sin,则f=-<f(π)=(舍去);当φ=+2kπ(k∈Z)时,f(x)=sin,则f=>f(π)=-,符合题意.故f(x)=sin.令2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),故f(x)的单调递增区间是(k∈Z).故选C. 变式题　　[解析] 由题可知f(x)的最小正周期T=,因为f(x)在区间上单调,所以T≥-=π,则≥π,可得0<ω≤1.当x∈时,ωx+∈,且+∈,+∈,所以+≤π,解得ω≤,结合0<ω≤1,得ω的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26讲　三角函数的图象与性质 【课标要求】　1.能画出三角函数的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值. 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上,正切函数在上的性质. 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),　　　　,(π,0),　　　　,(2π,0).  (2)在函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),　　　　,(π,-1),　　　　,(2π,1).  2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 　 函数 性质 　 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 R R 　　　  　　　  (续表) 　 函数 性质 　 y=sin x y=cos x y=tan x 值域 　　　  　　　  R 最小正周期 2π 　　　  　　　  奇偶性 　　　  　　　  　　　  单调递增区间 　　　  　　　  　　　  　　　  　　　  　　　  单调递减区间 　　　 　　　  　　　 　　　  无 对称中心 　　　  　　　  　　　  对称轴方程 　　　  　　　  无 常用结论 1.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=. 2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是T,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是T,其中T为最小正周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是T,其中T为最小正周期. 3. 若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z); (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z). 题组一　常识题 1.[教材改编] 用“五点法”画y=3sin x,x∈[0,2π]的图象时,下列点,,(π,0),(2π,0)中不是关键点的一个是　　　　.  2.[教材改编] 函数y=2-cos(x∈R)的值域为　　　　,当该函数取最大值时对应的x=　　　　,该函数的最小正周期为　　　　.  3.[教材改编] 函数f(x)=sin,x∈R的单调递减区间是　　　　　　　　　　　　.  4.[教材改编] 函数y=的定义域为　　　　　.  题组二　常错题 ◆索引:记错y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))中ω与最小正周期T的关系致误;忽视正、余弦函数的有界性致误;忽视自变量的取值范围致误;忽视自变量系数的符号致误. 5.设ω为实数,函数f(x)=3sin的最小正周期为π,则ω的值为　　　　.  6.函数y=-sin2x+3cos x-1的最大值为　　　　.  7.函数y=2sin(x∈[-π,0])的单调递增区间是　　　　.  8.函数y=2sin(x∈[0,π])的最小值是　　　　,此时x的值为　　　　.  　三角函数的定义域 例1 (1)函数y=lg(2sin x+1)的定义域为 (　 ) A. B. C. D. (2)函数f(x)=的定义域为 (　 ) A. B. C. D. 总结反思 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式(组),常借助三角函数的图象,对于有限集、无限集求交集可借助数轴来求解. 变式题 函数y=的定义域为　　　　　　　　　.  　三角函数的值域或最值 例2 (1)[2024·全国甲卷] 函数f(x)=sin x-cos x在[0,π]上的最大值是　　　　.  (2)函数f(x)=cos 2x+2|sin x|(x∈[0,2π])的值域为　　　　.  总结反思 求三角函数的值域(最值)的几种方法: ①形如y=asin x+bcos x+c的函数,可化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域(最值); ②形如y=asin2x+bsin x+c的函数,可设t=sin x,化为关于t的二次函数,再求值域(最值); ③形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的函数,可设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数,再求值域(最值); ④形如y=sin x+的函数,可设t=sin x,化为y=t+,再求值域(最值). 变式题 (1)[2024·天津卷] 已知函数f(x)=sin 3(ω>0)的最小正周期为π,则函数f(x)在上的最小值是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.- B.- C.0 D. (2)[2025·安徽师范大学附中适应性检测] 已知函数y=sin πx,x∈既有最小值也有最大值,则实数m的取值范围是 (　 ) A. B.∪ C. D.∪ (3)已知函数f(x)=sin x+cos x+2sin xcos x+2,则f(x)的最大值为　　　　.  　三角函数的周期性、奇偶性、对称性 例3 已知函数f(x)=2sin(2ωx+φ)(ω>0,φ∈(0,π))为偶函数,且函数f(x)的最小正周期为π. (1)求ω与φ的值; (2)若g(x)=f(x)+2sin 2x,求g(x)图象的对称轴和对称中心.     总结反思 1.求三角函数的最小正周期的常用方法:(1)公式法;(2)图象法. 2.三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acos ωx的形式.函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点. 3.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的对称性与最小正周期T之间有如下结论:①若函数图象相邻的两条对称轴分别为直线x=a与直线x=b,则最小正周期T=2|b-a|;②若函数图象相邻的两个对称中心分别为点(a,0)与点(b,0),则最小正周期T=2|b-a|;③若函数图象相邻的对称中心与对称轴分别为点(a,0)与直线x=b,则最小正周期T=4|b-a|. 变式题 (1)[2025·全国一卷] 已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tan图象的一个对称中心,则a的最小值为 (　 ) A. B. C. D. (2)(多选题)函数f(x)=3sin+1,φ∈(0,π),且f(x)为偶函数,则下列说法正确的是 (　 ) A.φ= B.f(x)图象的对称中心为,k∈Z C.f(x)图象的对称轴方程为x=+kπ,k∈Z D.f(x)的单调递减区间为,k∈Z (3)(多选题)[2025·甘肃兰州二模] 若函数f(x)=|sin x|+|cos x|,则 (　 ) A.函数f(x)的最小正周期为 B.直线x=π是函数f(x)图象的一条对称轴 C.函数f(x)的图象有对称中心 D.若f(x)=m,x∈[0,2π)有四个解,则m=1 　三角函数的单调性 例4 (1)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则 (　 ) A.f(x)在上单调递减 B.f(x)在上单调递增 C.f(x)在上单调递减 D.f(x)在上单调递增 (2)[2025·黄石保温练] 已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤对x∈R恒成立,且f>f(π),则f(x)的单调递增区间是 (　 ) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 总结反思 (1)解决形如y=Asin(ωx+φ)的函数的单调性问题,一般是将ωx+φ看成一个整体,再结合图象利用y=sin x的单调性求解.如果函数中自变量的系数为负值,那么要根据诱导公式先把自变量的系数化为正值,再确定其单调性. (2)已知函数y=Asin(ωx+φ)的单调性求参数,可先求出t=ωx+φ的取值范围(a,b),再根据(a,b)是函数y=Asin t的单调区间的子区间列不等式(组)求解. 变式题 已知函数f(x)=cos(ω>0)在区间上单调,则ω的取值范围为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $