第4单元 05 教材拓展2 和差化积与积化和差（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数积化和差与和差化积公式，按公式梳理（含规律、记忆口诀）、典型例题、巩固演练的逻辑架构展开，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生突破恒等变换难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以口诀记忆法和问题导向设计为特色，如通过“积化和差得和差，余弦在后要相加”等口诀强化公式记忆（数学语言表达），例1中引导学生拆分角α+2β=（α+β）+β，培养数学思维。设置基础选择、能力填空等分层练习，确保高效突破，助力学生提升转化应用能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

教材拓展2　和差化积与积化和差 【典型例题】 例1　C　[解析] 由积化和差公式得cos(α+β)cos β=[cos(α+β+β)+cos(α+β-β)],即cos(α+β)cos β=[cos(α+2β)+cos α],又cos α=,cos(α+β)cos β=,故=,解得cos(α+2β)=.故选C. 例2　-　[解析] 方法一:因为α,β∈,所以α+β∈(0,π),又cos(α+β)=,所以sin(α+β)=,又cos2α-cos2β=(cos 2α-cos 2β)=×(-2)sin(α+β)sin(α-β)=-sin(α+β)sin(α-β)=,故sin(α-β)=-.因为α,β∈,所以α-β∈,所以cos(α-β)=,故tan==-. 方法二:因为α,β∈,所以α+β∈(0,π),又cos(α+β)=,所以sin(α+β)=,又cos2α-cos2β=(cos 2α-cos 2β)={cos[(α+β)+(α-β)]-cos[(α+β)-(α-β)]}=-sin(α+β)sin(α-β)=,故sin(α-β)=-.因为α,β∈,所以α-β∈,所以cos(α-β)=,故tan==-. 【巩固演练】 1.B　[解析] 原式===+.故选B. 2.A　[解析] 由题意知f(x)=2×=-cos+cos=-+cos,故f(x)的最大值为+1=. 3.C　[解析] 方法一:由α+β=,得sin(α+β)=, 又sin 2α+sin 2β=2sincos=2sin(α+β)cos(α-β)=,∴cos(α-β)=, ∴cos 2α+cos 2β=2coscos=2cos(α+β)cos(α-β)=2××=-,故选C. 方法二:由α+β=,得sin(α+β)=, 又sin 2α+sin 2β=sin[(α+β)+(α-β)]+sin[(α+β)-(α-β)]=2sin(α+β)cos(α-β)=,∴cos(α-β)=, ∴cos 2α+cos 2β=cos[(α+β)+(α-β)]+cos[(α+β)-(α-β)]=2cos(α+β)cos(α-β)=2××=-.故选C. 4.　[解析] 原式= cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°=cos 10°cos 50°cos 70°= =cos 70°+cos 40°cos 70°= cos 70°+(cos 110°+cos 30°)=cos 70°+cos 110°+=. 5.　[解析] 方法一:由已知及和差化积公式cos α-cos β=-2sinsin, sin α-sin β=2cossin,得-2sinsin=-①, 2cossin=②, 由①÷②得-tan==-,∴tan=. 方法二:由cos α-cos β=-,sin α-sin β=,得cos-cos=-,sin-sin=,故sinsin=,cossin=,故两式相除可得tan=. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.积化和差公式 (1)sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]; (2)cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]; (3)cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]; (4)sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]. 规律:(1)括号中前后两项的角分别为α+β和α-β; (2)每个式子的右边分别是这两个角的同名函数. 记忆:积化和差得和差,余弦在后要相加;异名函数取正弦,正弦相乘取负号. 2.和差化积公式 (1)sin θ+sin φ=2sincos; (2)sin θ-sin φ=2cossin; (3)cos θ+cos φ=2coscos; (4)cos θ-cos φ=-2sinsin. 规律:(1)余弦函数的和或差化为同名函数之积; (2)正弦函数的和或差化为异名函数之积; (3)等式左边为单角α和β,等式右边为与的形式; (4)只有最后一组的符号为负,其余均为正. 记忆:正弦加正弦,正弦在前;正弦减正弦,余弦在前;余弦加余弦,余弦并肩;余弦减余弦,余弦不见负号显. 3.应用上述公式可实现三角函数式的积与和的相互转化. 【课本探源】北师大版必修第儿册第四章2.4. 　　　　　　　　　　　　　　　 【典型例题】 例1 已知角α,β满足cos α=,cos(α+β)cos β=,则cos(α+2β)的值为 (　 ) A. B. C. D. 例2 已知α,β∈,cos2α-cos2β=,cos(α+β)=,则tan=　　　　.  【巩固演练】 1.sincos等于 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.- B.+ C.- D.+ 2.函数f(x)=2sin·sin的最大值是 (　 ) A. B. C.- D.1 3.[2025·郴州模拟] 已知α+β=,sin 2α+sin 2β=,则cos 2α+cos 2β= (　 ) A.± B. C.- D. 4.化简:sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°=　　　　.  5.已知cos α-cos β=-,sin α-sin β=,则tan=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $