第4单元 01 第22讲 任意角和弧度制、三角函数的概念（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数与解三角形单元的任意角、弧度制及三角函数概念核心考点，依据课标要求构建从角的定义分类到弧度制公式再到三角函数定义的逻辑知识链，通过考点梳理填空、题组分层训练、例题方法指导及总结反思环节，帮助学生系统突破难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如终边相同角用集合赋值法训练逻辑推理，扇形面积最值转化为二次函数强化符号表达，三角函数定义结合终边位置分类讨论提升数学眼光。设置常识题巩固基础、常错题警示易错点，助力学生高效构建知识网络，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第四单元　三角函数、解三角形 第22讲　任意角和弧度制、三角函数的概念 【课标要求】　1.了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性. 2.借助单位圆理解三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)的定义. 1.任意角 (1)定义:一条射线绕着它的　　　　旋转所成的图形.  (2)分类:按旋转方向分为　　　　、　　　　　和零角;按终边位置分为 　　　　和轴线角.  (3)相反角:我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫作互为相反角.角α的相反角记为　　　　.  (4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S=　　　　　　　　　.  2.弧度制的定义和公式 (1)定义:长度等于　　　　的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角,弧度单位用符号rad表示.  (2)公式: 角α的弧度数的绝对值 |α|=(弧长用l表示) 角度与弧度 的换算 ①1°= rad,②1 rad=° 弧长公式 弧长l=　　　  扇形的面积公式 S=lr=　　　  3.任意角的三角函数 (1)狭义概念:如图,对于任意角α,作单位圆,使角α的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆的交点为P(u,v), 则sin α=v,cos α=u,tan α=(u≠0). (2)正弦、余弦函数的广义概念 设角α终边上除原点外的一点Q(x,y),则sin α=,cos α=(r=|OQ|=,O为原点). 常用结论 (1)象限角 (2)轴线角 (3)三角函数在各象限内的符号口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图所示). (4)若x∈,则tan x>x>sin x. 题组一　常识题 1.[教材改编] 下列四个说法中正确的是　　　　.(填序号)  ①锐角一定是第一象限角; ②终边相同的角一定相等; ③小于90°的角一定是锐角; ④钝角一定是第二象限角. 2.[教材改编] 在0到2π范围内,与角-终边相同的角是　　　　.  3.[教材改编] 已知角θ的终边经过点P(-12,5),则sin θ+cos θ=　　　　.  题组二　常错题 ◆索引:忽视角的旋转方向致误;扇形的弧长和面积公式记忆不牢致误;不熟悉角的终边在不同象限时对应的三角函数值的符号致误. 4.某次考试时间为120分钟,则从考试开始到结束,时钟的分针旋转了　　　　弧度.  5.已知扇形的周长是6,面积是2,则扇形的圆心角(正角)的弧度数为　　　　　.  6.若sin θ>0且tan θ<0,则|sin θ-cos θ|+cos θ的化简结果为　　　　.  　象限角及终边相同的角 例1 (1)(多选题)下面与-2026°终边相同的角有 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.-584° B.134° C.494° D.-226° (2) (多选题)[北师大版必修第二册P8习题1-2B组第3题改编]已知α是第一象限角,那么可能是 (　 ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 (3) [北师大版必修第二册P8习题1-2B组第2题改编]如图所示,终边落在阴影部分内的角α的集合为　　　　.  (4)终边在直线y=x上,且在[-2π,2π)内的角α的集合为　　　　.  总结反思 1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角. 2.已知角α的终边所在的象限,确定kα,(k∈N*)的终边所在位置的方法:先写出kα或的取值范围,然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置. 　扇形的弧长、面积公式 例2 已知一扇形的圆心角的弧度数为α(α>0),所在圆的半径为R. (1)若α=,R=10,求扇形的弧长l及该弧所在的弓形的面积S; (2)若扇形的周长为20,则当α等于多少时,这个扇形的面积最大?   总结反思 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度. (2)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形. (3)解决面积等最值问题时经常转化为二次函数在给定区间上的最值问题来解决. 变式题 (1)从半径为r的圆中剪下圆心角为α(α>0),半径为r的扇形,此扇形的周长为l1,剩余部分扇形的周长为l2,若=,则α=　　　　.  (2)[2025·河南新乡二中适应性考试] 如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是由两条不同的曲线构成的,其中一条是△ABC的外接圆的圆弧,另一条是以AB为直径的圆的一部分圆弧,已知∠ACB=,AC=BC=1,则该“月牙形”阴影部分的面积为 (　 ) A.+ B.- C.+ D.- 　三角函数的概念 角度1　三角函数定义的应用 例3 (1)[2025·湖北部分学校考前压轴卷] 已知角α的终边经过点P(-1,2),则cos2α-sin2α的值为 (　 ) A. B.- C. D.- (2)(多选题)[2026·唐山五校联考] 以坐标原点为顶点,x轴非负半轴为始边的角α的终边落在直线y=x上,则下列说法正确的是 (　 ) A.sin α=- B.cos α=± C.sin α+cos α=± D.tan α=1 总结反思 三角函数的定义主要应用于两方面: (1)已知角α的终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离,再利用三角函数的定义求解三角函数值.特别地,若角α的终边落在某条直线上,则一般要分类讨论. (2)已知角α的某个三角函数值,可依据三角函数值设出角α终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题. 变式题 若角α的终边落在直线y=x上,角β的终边与单位圆交于点,且sin αcos β<0,则cos αsin β=　　　　.  角度2　三角函数值的符号判定 例4 (1)(多选题)下列式子正确的是 (　 ) A.sin 2cos 3>0 B.tan 125°+sin 273°<0 C.>0 D.sin 660°+cos 198°<0 (2)已知α是第二象限角,则点(cos(sin α),sin(cos α))所在的象限是 (　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 总结反思 判断三角函数值的符号,关键是确定角的终边所在的象限,然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号,特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况. 变式题 (1)若-=2,则角α为 (　 ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 (2)(多选题)已知点P在第四象限内,则下列各式一定为负的是 (　 ) A.tan α-sin α B.sin α+cos α C.cos α-tan α D.tan αsin α 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元　三角函数、解三角形 第22讲　任意角和弧度制、三角函数的概念 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.(1)端点　(2)正角　负角　象限角 (3)-α (4){β|β=α+k·360°,k∈Z} 2.(1)半径长　(2)|α|r　|α|r2 【对点演练】 1.①④　[解析] 锐角一定是第一象限角,①正确;终边相同的角不一定相等,②错误;小于90°的角除锐角外还有零角、负角,③错误;钝角一定是第二象限角,④正确.故填①④. 2.　[解析] 与角-终边相同的角是2kπ+(k∈Z),令k=1,可得与角-终边相同的角是. 3.-　[解析] 由三角函数的定义可得sin θ+cos θ=+=-=-. 4.-4π　[解析] 时钟的分针顺时针旋转,所得的角为负角,又考试时间为120分钟,所以从考试开始到结束,时钟的分针旋转了-4π弧度. 5.1或4　[解析] 设扇形的半径为r,圆心角为α(α>0),则扇形的弧长l=rα,由题意得解得或所以扇形的圆心角的弧度数为1或4. 6.sin θ　[解析] ∵sin θ>0,tan θ<0,∴θ是第二象限角,∴cos θ<0, ∴|sin θ-cos θ|+cos θ=sin θ-cos θ+cos θ=sin θ. ● 课堂考点探究 例1　(1)BCD　(2)AC　(3) (4) [解析] (1)与-2026°终边相同的角可表示为α=-2026°+k·360°,k∈Z.当k=4时,α=-586°;当k=5时,α=-226°;当k=6时,α=134°;当k=7时,α=494°.故选BCD. (2)∵α是第一象限角,∴2kπ<α<+2kπ,k∈Z,故kπ<<+kπ,k∈Z.当k=2n,n∈Z时,2nπ<<+2nπ,n∈Z,是第一象限角;当k=2n+1,n∈Z时,2nπ+π<<+2nπ,n∈Z,是第三象限角.故是第一或第三象限角.故选AC. (3)方法一:因为终边落在射线y=-x(x≤0)上的角的集合为,终边落在x轴非正半轴上的角的集合为{γ|γ=π+2kπ,k∈Z},所以由题图可知,终边落在阴影部分内的角α的集合为. 方法二:在[0,2π)内,终边落在阴影部分内的角α的集合为,所以所求角α的集合为. (4)直线y=x的倾斜角为,在[0,2π)内,终边在直线y=x上的角有和π;在[-2π,0)内,终边在直线y=x上的角有-π和-π.故满足条件的角α的集合为. 例2　[思路点拨] (1)由弧长公式即可得出弧长,由弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积可得弓形的面积;(2)由周长为定值可得出弧长l和半径R的关系,再把扇形的面积用R表示出来,运用函数的知识求解即可. 解:设扇形的弧长为l. (1)由α=,R=10,得l=×10=,S=××10-×102=-25. (2)易知l+2R=20,则l=20-2R(0<R<10),∴S扇形=lR=(20-2R)·R=-R2+10R=-(R-5)2+25,∴当R=5时,S扇形取得最大值25,此时l=10,α==2.因此当α=2时,这个扇形的面积最大. 变式题　(1)　(2)A　[解析] (1)由题意知,圆心角为α,半径为r的扇形的周长为l1,剩余部分扇形的周长为l2,可得l1=2r+αr,l2=2r+(2π-α)r,故==,解得α=. (2)如图所示,由已知得AB==. 设△ACB外接圆的圆心为O,直径为2r,由正弦定理得2r===2,即r=1.连接AO,BO,可知∠AOB=,由扇形的面积公式可得S弓形ACB=S扇形AOB-S△AOB=·r2·-·r·r·sin=-.易知以AB为直径的圆的半径R=,故S半圆=πR2=π×=,所以S阴影=-=+,故选A. 例3　[思路点拨] (1)利用任意角的三角函数的定义求出sin α与cos α的值,代入所求式即可求解;(2)分角α的终边在第一象限与角α的终边在第三象限两种情况讨论,设出角α终边上点P的坐标,利用三角函数的定义求解即可. (1)D　(2)BCD　[解析] (1)因为角α的终边经过点P(-1,2), 所以cos α==-,sin α==,则cos2α-sin2α=-=-.故选D. (2)当角α的终边在第一象限时,在其终边上任取一点P(a,a),a>0,则r=a, 故sin α=,cos α=,tan α=1,sin α+cos α=;当角α的终边在第三象限时,在其终边上任取一点P(-a,-a),a>0,则r=a,故sin α=-,cos α=-,tan α=1,sin α+cos α=-.故选BCD. 变式题　±　[解析] 由角β的终边与单位圆交于点,得cos β=,又sin αcos β<0,所以sin α<0.因为角α的终边落在直线y=x上,所以角α只能是第三象限角.记P为角α的终边与单位圆的交点,设P(x,y)(x<0,y<0),则x2+y2=1,又y=x,所以x=-,y=-,故cos α=-.因为点在单位圆上,所以+m2=1,解得m=±,故sin β=±,所以cos αsin β=±. 例4　[思路点拨] (1)首先判断各角所在的象限,然后利用三角函数值在各象限的符号规律进行判断即可;(2)根据α所在的象限得到0<sin α<1,-1<cos α<0,进而根据三角函数值的符号规律确定横坐标和纵坐标的正负即可求解. (1)BD　(2)D　[解析] (1)对于A,∵<2<3<π,∴sin 2>0,cos 3<0,∴sin 2cos 3<0,A错误;对于B,∵90°<125°<180°,∴tan 125°<0,∵270°<273°<360°,∴sin 273°<0,∴tan 125°+sin 273°<0,B正确;对于C,∵90°<108°<180°,∴tan 108°<0,∵270°<305°<360°,∴cos 305°>0,∴<0,C错误;对于D,∵660°=-60°+720°,∴660°是第四象限角,∴sin 660°<0,∵180°<198°<270°,∴cos 198°<0,∴sin 660°+cos 198°<0,D正确.故选BD. (2)因为α是第二象限角,所以0<sin α<1,-1<cos α<0,所以cos(sin α)>0,sin(cos α)<0,所以点(cos(sin α),sin(cos α))在第四象限.故选D. 变式题　(1)B　(2)BCD　[解析] (1)要使-=2,则必有=1,=-1, 即sin α>0,tan α<0,所以角α是第二象限角.故选B. (2)因为点P在第四象限内,所以sin αcos α>0,<0,所以sin α与cos α同号,sin α与tan α异号,所以sin α<0,cos α<0,tan α>0.对于A,tan α-sin α>0,故A不符合题意;对于B,sin α+cos α<0,故B符合题意;对于C,cos α-tan α<0,故C符合题意; 对于D,tan αsin α<0,故D符合题意.故选BCD. 学科网（北京）股份有限公司 $