2026年北京市中考 数学试卷

2026年北京市初中学业水平考试 数学试卷 姓名 淮考证号 考场易 座位号 考1.本试卷共6页，共两部分.三道大题.28道小题满分100分。考试时间120分仲 生 2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号，考场号和座位号 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效 4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答 知5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稀纸一井交回。 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1一8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个， 1.下列图形中.是中心对称图形的是 (A) (B) (C) (D) 2.如图.三角尺的直角顶点在直线1上.若∠1=48°， 则∠2的大小为 (A)30° (B)42° 2 (C)45 (D)48 3.实数，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是 b -3-2-10123 (A)a >b (B)-a >b (C)lal=-a (D)ab >0 4,一个不透明的袋子中仅有5个球，其中有1个白球、1个黄球，其余都是红球，这5个球 除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是 ()号 （®号 (c) 1 (o)号 5.方程组+y=4. 的解为 3x-2y=7 w o; (D)/r=3. y=-1 数学试卷第1页（共6页） 6,再生水利用提升工程是北京市“十五五”时吻美丽北京建设的重大工程之一，北京市 一家在建的再生水厂建成后每天能够供应2×10°：高品质再生水.若一年按365天计. 则该再生水厂建成后，一年能够供应的高品质再生水的总量用科学记数法表示应为 (A)0.73×101(B)7.3×10【(C)7.3×10°！(D)730×1031 7,如图.点B在射线AM上，在射线BM上截取BC=BA, 分别以4.B为圆心，AB长为半径画弧.两弧相交于 点D.连接BD,CD,则∠BDC的大小为 (A)30 (B)45 (C)60° (D)90 8.在平面直角坐标系x0,中.点1(1.0).B(1.1)(1>0).若点C不与点A重合.且以B.0.C 为顶点的三角形与△AOB全等.则称C为B的“友好点”，给出下面四个结论： ①对于所有的点B,在，轴上都有B的“友好点“： 2能够找到点B,使得在轴上有B的“友好点“： ③对于所有的点B.在第一象限内都有B的“友好点“： ④能够找到点B.使得在第四象限内有B的“友好点“ 上述结论中，所有正确结论的序号是 (A)①3 (B)L1 (C)②③ (D)②④ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分】 9.若代数式2有意义，则实数：的取值范围是 x-2 10.分解因式：x3-49x= 11.在凸五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=90°、∠D=∠E,则∠D= 12.某学校共有2000名学生.为了解这些学生放假期间每周体育活动时间（单位：h)的 情况，从中随机抽取了100名学生进行调查，数据整理如下： 每周体育活动时间x<8 8≤x<1010≤x<1212≤x<14x≥14 学生人数 3 55 24 11 学校建议，每周体育活动时间小于10h的学生应适当增加体育活动时间.根据以上信息。 估计该学校2000名学生中应适当增加体育活动时间的学生人数是 13.在平而直角坐标系x0,中，函数y=x2+4:+4的图象经过点(m、y,)和(m+1,￥：). 若m>0.则1，（填“>"“=“或“<“）. 14.如图，口ABCD的两条对角线相交于点O.已知口ABCD的面积 为24，BD的长为8，当A0的长为时，口ABCD是菱形 数学试卷第2页（共6页） 15.如图，在平而直角坐标系x0中，过)轴正半轴上的点P作x销 的平行找.分别交函数y=4（1>0)和)=-2（<0) 的图象于点4，B.过点B作x轴的重线.垂足为C,连接AC 交y轴于点0.则9的值为 00 16.如图所示.公路旁自西向东依次有1,2…，6共6处住笔和一所学校.每个工作日早上 每处住宅各有1名学生需乘同一辆校车前往该学校.校车仅在设于某一住宅处的车站 停车一次，每名学生需从自家住它沿公路步行至该车站乘车，6名学生都上车后，校车 沿公路向东行驶至学校 :34A56 学校 已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为2.5mn.校车在相邻两处住宅间的 行驶时间均为1min,枚车从A处至学校的行驶时间为20min.一名学生的理想通勤时间 是指该学生从自家住宅至车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑 其他因素). (1)若车站设在A,处，则住在A。处的学生的理想通勤时间为一mi: (2)若当车站设在A,处时这6名学生的理想通勤时间之和最小，则k=一· 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分， 第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分】 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17.计算：1-5|-√18+(x-5)°+6si45 3(x+1)>x-3. 18.解不等式组： 3x-4 <x-1. 2 19.已知x-2y-5=0,求代数式2+)-的值， -4y+4 20.如图.在△ABC中，∠CAB=90.D.E分别为AB,BC的中点. BC=2BF,AE∥BF (1)求证：四边形ABFE是平行四边形： (2)若AB=2,AC=3,求四边形DBFE的面积. 数学试在第3真（共6到） 21.在平而直角坐标系0，中.函数)=kx+b(k≠0)的图象经过点（-2.-1)和(1.5). (1)求k.b的值： (2)当-2<x<1时，对于x的每一个值.函数y=m(m≠0)的值小于函数y=x+b 的值，直接写出m的收值范围 22.在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下 称B类机器人)在同一赛道比赛，统一排名.为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了 以下计算完赛成绩的规则： ·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）： ·B类机器人的完寒成绮为从起，点跑到终，点的时间（包含途中维护时间）的1,2倍. 已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为60mi:一台 B类机器人起跑后.前25mi保持匀速.速度是这台A类机器人的1.1倍，之后原地 维护10mn,维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了70mmin.完赛成绩为72min. 求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程： 23.若干名学生参加编程比赛.比赛共8轮，每轮有3道题.每人每轮的得分为该轮答对题目 的数量（得分为整数）.已知甲、乙两名学生8轮得分的情况如下： 甲8轮得分的统计图 乙8轮得分的统计图 次数 得分◆ 4 3 0 3得分 123456 8轮次 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲8轮得分的平均数为 ,乙8轮得分的平均数为 (2)记甲，乙8轮得分的方差分别为s和s2,则一立（填“>“=“或“<“）： (3)如果丙8轮得分的中位数为2.5，那么丙8轮得分的平均数是不是一定大于乙8轮 得分的平均数？若是，请说明理由：若不是，请举出反例 24.如图，过点P作⊙0的两条切线，切点分别为A,B,AC为 ⊙O的直径，过点B作AC的垂线，垂足为E,交⊙O于点D. 连接OP,CD. (I)求证：∠ACD=∠POA; (2)连接PC交BD于点F,若CE=2,lan∠ACD=√2. 求BF的长 数学试卷第4页（共6页） 25.在一定温度下，向一定量溶剂里加人某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液 叫作这种溶质的饱和溶液.固体的溶解度表示在一定温度下，某因态物质在100g溶剂里 达到他和状态时所溶解的质量.小云通过查阅资料，得到了溶剂为水时物质甲（硝酸钾） 在不同温度下的溶解度数据和溶剂为水时物质乙（硝酸钠）的溶解度曲线，如下所示： 温度℃ 01020304050 60 70 80 甲的溶解度g 13.320.931.645.863.985.5 110 138 169 溶解度e↑ 180 170 160 150 120 110 00 90 免 70 0 % 10 0102030405060708090100温度/元 (1)根据表中数据，在图中画出0℃~80℃范围内甲的溶解度曲线： (2)当温度为 一℃（精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同，均为ng.在该温度下， 将ng乙加人100g水中，充分搅拌使其全部溶解后，将温度降至10℃，此时会 有g(精确到个位)乙从水中析出： (3)当温度为10℃时，小云将100g甲加入到装有100g水的1号杯中，将100g乙加 人到装有100g水的2号杯中，充分搅排后，发现两种物质均不能全部溶解，为使 两种物质均能全部溶解，小云考虑了以下两种方案： 方案一：将温度提升至T℃，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解： 方案二：保持温度不变，向1号杯中再加入m1吕水，向2号杯中再加入m,g水， 充分搅拌后使两种物质均能全部溶解 ①方案一中，T的最小值为（精确到个位）： ②方案二中，m,+m,的最小值为（精确到个位） 数学试卷第5页（共6页) 26,在平面直角坐标系0中，抛物线C:)=ar+br+c(a≠0)经过点(0，'。). 1 对称轴为x=二 0 (1)求b的值.并用含a的式子表示c: (2)已知M是抛物线C,上的点，M的横坐标为1.抛物线C,的顶点为M,且可以由 抛物线C,平移得到（特别地.当M是C,的顶点时.C,即为C,).若无论，为何值. 地物线C,都不经过点O.求a的取值范围. 27.在△ABC中.AB=4C,∠BAC=a(0°<a<60).过AC的中点D作AC的垂线I, 交AB于点E,点M在DE的延长线上，∠ABM=30°. (1)如图1.a=30,求证：AB=2DM: (2)如图2.点1在ED的延长线上，∠ABN=30°，连接A,M,AN,直接写出∠MAN的 大小，并证明 图1 图2 28.对于不共线的三点A,B,C,连接AB,AC,并作劣弧BC.使得BC所在圆的圆心在过点A 且与BC平行的直线上，称由AB,AC和BC组成的图形为单弧三角形，记作△A-BC, 其中BC所在圆的圆心称为△A-BC的弧心 在平面直角坐标系xOy中、 (1)如图1.点A(-2.-1).B(-3.1).C(1.1).直接写出△A-BC的弧心的坐标及BC的长： D ￥0 0 图1 图2 (2)如图2，点D(-23,2),E(2,0),当△D-EF的弧心为0时，求点F的坐标： (3)已知点M(1,0).对于平面内的点N,存在点P,Q满足△P-M和△Q-M的 弧心均为O,△PMN和△QMN都不是钝角三角形，且PQ=1.记N的横坐标为t. 直接写出！的取值范围。 数学试卷第6页（共6页） 2026年北京市初中学业水平考试 内部使用 数学试卷答案及评分参考 用毕收回 阅卷须知： 1.本试卷答案中解答题的推导少骤写得较为详细.阅卷时，只要考生将主要过程 正确写出即可 2.若考生的解法与答案中的解法不同.可参照评分参考相应给分。 3.评分参考中每题所注分数.表示考生此题正确做到此步应得的累加分数 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 题号 2 3 4 6 8 答案 B D B B 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分）】 9.x≠2 10.x(x+7)(x-7) 11.135 12.200 13.< 14.3 5.3 16.（1)34:(2)5 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分， 第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程， 17.(本题满分5分) 解：原式=√3-3/2+1+6× 2 44…4分 =3+1. …5分 18.(本题满分5分) 3(x+1)>x-3. ① 解：原不等式组为 3x-4 2 <x-1. ③ 解不等式①，得x>-3. …2分 解不等式2.得x<2, 4分 所以原不等式组的解集为-3<x<2. …5分 数学试卷答案及评分参考第】页（共6页） 19.(本题满分5分) 解：原式= 2+2y-6创 .（x-2)7 2(a-2) (x-2) 2 x-21 ,x-2y-5=0. .x-2)=5. 2 ·原式= 5 ……5分 20.(本题满分6分) (1)证明：在△ABC中，∠CAB=90,E为BC的中点， ∴.BC=2AE. 444444444小4小小44小44444…/1分 BC 2BF .AE BF. 又AE∥BF ∴四边形ABFE是平行四边形 …2分 (2)解：D.E分别为AB.BC的中点. DE是△ABC的中位线. .DE=,AC,DE∥AC. .∠EDB=∠CAB=90° ,ED⊥AB. 由AB=2,AC=3,得AD=1,DE= 2 六口ABFE的面积为3，△ADE的面积为 41 心四边形DBE的面积为， …6分 21.(本题满分5分) 解：(1)函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(-2，-1)和(1,5)， [-2k+b=-1, k+b=5 …1分 解子： 素的值为2，b的值为3. …3分 (2)2 ≤m≤5 ………写分 数学试卷答案及评分参考第2页（共6页） 22.(本题满分6分) 解：设这台A类机器人的速度为xm/min 72 由题意可知，25×1.1x+（1.2 25-10)(1.1x+70)=60x. 解得x=350. 所以60：=21000 答：这台A类机器人的速度为350m/min,此次比赛从起点到终点的路程为21000m. 23.(本题满分5分】 解：(1)2.2： ，…2分 (2)> 444…3分 (3)不是.当丙8轮的得分分别为0.0.0,2.3.3.3,3时，丙8轮得分的中位数 为25，但平均数为1.75，小于乙8轮得分的平均数 (写出一个反例即可) 小…5分 24.(本题满分6分) (1)证明：连接OB.OD. A,C,D是⊙0上的点 .LACD=2LAOD. :PA.PB是⊙0的两条切线， PA=PB.PA⊥OA,PB⊥OB. ·点P在∠AOB的平分线上. .OP平分∠A0B. LPOA -LAOB. ,BD⊥AC,AC为⊙0的直径」 ,B=D. ∴.∠AOB=∠AOD ∠ACD=∠P0A. 小…2分 (2)解：BD⊥AC.AC为⊙0的直径， .∠CED=90°，DE=BE. 在R:△CED中，CE=2,lan∠ACD=√2. ∴.DE=22. 设⊙0的半径为r,则0D=r,0E=r-2. 在R△OED中，由OE+DE=OD, 得(r-2)2+(22)2=r2. 解得，=3， 数学试卷答案及评分参考第3页（共6页） 在R△P0A中，OA=3.tan∠P0A=an∠ACD=/2. PA=3、2 ,∠CEB=∠CMP=90° .BD∥PA ∴.△CFEn△CPA FE CE ·pmcm 求得FE=2, .BF BE FE DE FE =2. …6分 25.(木题满分5分) 解：(1) 溶解度/单↑ 180 000000 10 0 102030405060708090100温度7元 小…分 (2)答案不唯一，如169,70： 答案不唯一，如57.58： 小…3分 (3)①答案不唯一，如56,57： ②答案不唯一，如403,404， 小小…5分 数学试卷答案及浮分参考第4页（共6页） 26.(木题满分6分) 解：(1)y抛物线C,:y=a2+br+r(a≠0)经过点(0.：). 1-a .c=- :抛物线C,的对称轴为x=一 6I 2n0 b=-2. 4…2分 (2)设点M(1.y,) :M是抛物线C,上的点， 1=ar2-21+1-a a 由题意.抛物线C:y=a(x-)2+a-21+1-a 设抛物线C,与y轴交于点(0.).则为=2ar2-21+1-a :无论，为何值.抛物线C,都不经过点0. ·无论1为何值.都有为：0。 ·关于1的方程2a-21+二9=0(a*0)设有实数根。 4<0.p4-8a.1-g<0. a .a< 且a≠0. …6分 27.(本题满分7分) (1)证明：/⊥AC. .∠ADE=90 ∠BAC=a=30°，∠AB.M=30°. ∠BAC=∠AB.IM. AC∥MB. ∠BAME=∠ADE=90°. .AE 2DE.BE 2EM. .AB =AE BE 2DE +2EM 2DM. …2分 数学试卷养案及评分参考第5页（共6页） (2)∠AN的大小为60° 证明：如图.过点A分别作BM,BN的垂线.分别交BM.BN的延长线于点P.O. 在R1△ABP中，∠AB.M=30°. .AP =AB. 2 D是AC的中点. &0=4c AB AC. ∴，AD=AP ∠ADM=90°=∠P. 又AM是RI△ADM和RI△APM的公共边. .R△ADM≌R△APM. 六∠DAM=∠PAM. 间理AD=AQ.∠ADN=90°=∠Q,RI△ADN≌R1△AQN.∠DAN=∠OAV. ∠PAQ+∠Q+∠QBP+∠P=360°， .∠P4Q=120° 即2∠DAM+2∠DAN=120°. .∠MAN=∠DAM+∠DAN=60 ……7分 28.(本题满分7分) 解：(1)(-1.-1)，2x: 444444444440455444404404044444000444444404464044064440440044440…2分 (2)对于△DF.狐心0在过点D且与EF平行的直线上.0E=0F 如图.连接0D,过点E作OD的平行线.以0为剑心，OE长为半径画弧， 交所作平行线于点F,则由DE,DF和劣弧F组成的图形为△DF 过D,F分别作x轴的垂线，垂足分别为G,H,连接OF. 由D(-2、3.2)得DG=2.0G=25.∠D0G=30° .∠FE0=∠D0G=30°. 可得∠F0∥=60°， 在R1△F0H中，0F=2. 求得0l=1,FH=√3. 点F的坐标为(-1，、3) ()-1≤ …7分 数学试卷答案及课分参考第6页（共6页）