第8单元 05 第52讲 椭圆（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“椭圆”专题，依据课标要求梳理了定义、标准方程、几何性质三大核心考点，结合近5年高考真题分析，明确离心率计算占30%、焦点三角形问题占25%的高频考点分布，归纳出定义应用、方程求解、性质探究等常考题型，对接高考评价体系。 课件亮点在于“真题解析+技巧提炼+素养培养”，如以2023全国甲卷焦点三角形题为例，用定义和勾股定理推导焦半径关系，培养数学思维；总结离心率公式e=√(1-b²/a²)等解题模板，帮助学生掌握答题技巧。教师可据此系统复习，学生高效突破考点，提升得分率。

第52讲 椭圆 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.了解椭圆的实际背景,感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中 的作用. 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、标准方程 及简单几何性质. 3.通过椭圆与方程的学习，进一步体会数形结合的思想. 4.了解椭圆的简单应用. 课 标 要 求 3 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.椭圆的定义 平面内到两个定点F1,F2的距离之　 　等于常数(　 　)的点 的集合(或轨迹)叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作椭圆的　 　,两个焦 点间的距离|F1F2|叫作椭圆的　 　.  集合，，其中， ， 且， 为常数： 和 大于|F1F2| 焦距 （1）若______，则集合 为椭圆； （2）若______，则集合 为线段； （3）若______，则集合 为空集. 焦点 课 前 基 础 巩 固 4 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 图形 性 质 范围 ____________，_________ _____________ ____________，_________ _____________ 对称性 对称轴：________ 对称中心：______ 坐标轴 课 前 基 础 巩 固 5 标准方程 性 质 顶点 ________， ______， ________， ______ ________， ______， ________， ______ 轴 长轴的长为____ 短轴 的长为____ 焦点 , , 焦距 ____ 离心率 ， ______ ， ， 的关系 ________ 续表 课 前 基 础 巩 固 6 常用结论 椭圆中几个常用的结论： （1）焦半径：椭圆上的点与左（下）焦点 或右（上）焦 点的连线叫作椭圆的焦半径，分别记作， . ①，， ； ②，， ； ③焦半径中长轴端点的焦半径最大和最小. 课 前 基 础 巩 固 7 （2）焦点三角形：以椭圆上的点与两焦点, 为顶点的 叫作焦点三角形.，， ， 的面积为，则在椭圆 中： ①当，即点的位置为短轴端点时， 最大； ②，当，即点的位置为短轴端点时， 取到最大值，最大值为 ； ③焦点三角形的周长为 . 课 前 基 础 巩 固 8 （3）若，为椭圆的两个焦点，弦过焦点，则 的周 长为 . （4）点在椭圆上，则椭圆在点 处 的切线方程为 . 课 前 基 础 巩 固 9 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］如果椭圆上一点到焦点 的距离等于6, 那么点到另一个焦点的距离是____， 的周长为____. 14 36 [解析] 根据椭圆的定义得, 由,得 ,所以,故. 由 ,得，所以 的周长为 . 课 前 基 础 巩 固 10 2.［教材改编］比较椭圆与椭圆 的形状， 椭圆_ __________更接近于圆. [解析] 因为椭圆的离心率，所以越大， 越小， 椭圆越扁；越小，越大，椭圆越圆. 椭圆 即椭圆，其离心率， 椭圆 的离心率， 因为，所以椭圆 更接近于圆. 课 前 基 础 巩 固 11 3.［教材改编］动点到定点的距离和到定直线 的距离的比值是常数，则动点 的轨迹方程为___________. [解析] 设是点到直线的距离， 则由题意知 ，即，整理得， 故动点 的轨迹方程为 . 课 前 基 础 巩 固 12 题组二 常错题 ◆ 索引：椭圆的定义中忽视 这一条件;忽视焦点的位置； 忽视椭圆方程中未知数的取值范围. 4.平面内一点到两定点,的距离之和等于12,则点 的轨迹是______. 线段 [解析] 由题意知, , 即,所以点 的轨迹是线段. 课 前 基 础 巩 固 13 5.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆 的长轴长为4，焦距为2， 则 的方程为_ ______________________. 或 [解析] 椭圆的中心在原点，其长轴长为4，焦距为2， ，，. 当椭圆的焦点在轴上时， 的方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，的方程为 . 课 前 基 础 巩 固 14 6.若,分别是椭圆的左、右焦点,点 在椭圆上运动,则 的最小值是___. 1 [解析] 设,依题意得, , 则 , 因为,所以,所以 的最小值是1. 课 前 基 础 巩 固 15 探究点一 椭圆的定义及其应用 例1（1）[2025·山西临汾三模]已知动点 满足 ，则动点 的轨迹方程是 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］由椭圆的定义，结合题意，可得焦点坐标，从而可得 ,, 的值，可得答案. √ 课 堂 考 点 探 究 16 [解析] 由题意可得动点到与 两点的距离之和为10， 因为，所以动点的轨迹为焦点在 轴上的椭圆， 易知，，， 故动点 的轨迹方程为 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 17 （2）[2023·全国甲卷]设,为椭圆的两个焦点，点 在上，若，则 ( ) A.1 B.2 C.4 D.5 ［思路点拨］思路一：根据题意，分析可得 ，可得 ，由椭圆的定义可得 ,将两 式联立即可得到 的值； 思路二：根据题意，分析可得 ，根据常用结论 ，即可求出 的值. √ 课 堂 考 点 探 究 18 [解析] 方法一:因为,所以 . 因为,所以 , 又 ,所以 ,所以 .故选B. 方法二:因为,所以 , 则, 所以 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 19 [总结反思] 椭圆定义的应用主要有两个方面:一是明确平面内与两定点有关的轨 迹是否为椭圆;二是利用定义解与焦点三角形有关的问题.涉及焦点三 角形的常见问题有求焦点三角形的周长、面积等，难度不是很大. 课 堂 考 点 探 究 20 变式题（1）已知,是椭圆的两个焦点，点在 上， 则 的最大值为( ) A.13 B.12 C.9 D.6 √ [解析] 方法一：根据椭圆的定义可知， ， 所以，当且仅当 时等号成立，故 的最大值为9. 课 堂 考 点 探 究 21 方法二：不妨设,分别为椭圆 的左、右焦点， 则,， 设 ，则 . 因为，所以 ，所以， 又 ，所以 ， 则， ， 所以当时， 取得最大值9.故选C. 课 堂 考 点 探 究 22 （2）[2026·山西吕梁一中月考] 已知是椭圆 上的一点， ,是椭圆的两个焦点，且 ，则 的面积是 _ ___. 课 堂 考 点 探 究 23 [解析] 在椭圆中，，， ， 由椭圆的定义可得，. 在 中， ， 由余弦定理得 ， 解得 ， 故 . 课 堂 考 点 探 究 24 [解析] 由题意可得， 记椭圆的右焦点为 ，如图， 则 的周长为 ，当且仅当直线经过右焦点不经过左焦点时 取得等号,故 的周长的最大值是 . （3）[2025·上海交通大学附中月考] 直线与椭圆 交于 ，两点，为椭圆的左焦点，则 的周长的最大值是_____. 课 堂 考 点 探 究 25 探究点二 椭圆的标准方程 例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程. （1）两个焦点的坐标分别为,，并且椭圆经过点 ； ［思路点拨］根据焦点坐标可得 ，根据椭圆的定义可知椭圆上一点 到两焦点的距离之和为，可求出，再由求出 ，进 而得到椭圆的标准方程； 课 堂 考 点 探 究 26 解：根据题意，两个焦点的坐标分别为,，即 ， 又椭圆经过点 ， 所以，故 ， 则 ， 故所求椭圆的标准方程为 . 课 堂 考 点 探 究 27 （2）中心在原点，焦点在轴上，且经过四点， ， ， 中的三点； ［思路点拨］设出椭圆方程，由椭圆的对称性可判断椭圆过， 两点，又，不同时在椭圆上，可确定点 在椭圆上，将点的坐 标代入椭圆方程计算，可求出, 的值，从而写出椭圆的标准方程； 课 堂 考 点 探 究 28 解：设椭圆的方程为. 因为，两点关于 轴对称，所以椭圆经过， 两点， 由，知，椭圆不经过点，所以点 在椭圆上， 故解得 所以所求椭圆的标准方程为 . 课 堂 考 点 探 究 29 （3）中心在原点，离心率为 ，长轴长为6； ［思路点拨］根据长轴长求出，再结合离心率求出 ，结合 求出，分焦点在轴、 轴上即可写出椭圆的标准方程； 解：因为椭圆的长轴长为6，所以 . 因为椭圆的离心率为，所以，解得 ， 所以 ， 所以所求椭圆的标准方程为或 . 课 堂 考 点 探 究 30 （4）中心在原点，焦点在轴上，且过两点， . ［思路点拨］设出椭圆方程，根据椭圆过的点列方程组求解即可. 解：设椭圆的方程为 ， 因为椭圆过两点， ， 所以解得 所以所求椭圆的标准方程为 . 课 堂 考 点 探 究 31 [总结反思] 根据条件求椭圆方程的主要方法： （1）定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义. （2）待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆方程中的, .当不知 焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为 ,不必考虑焦点位置,用待定系数 法求出, 的值即可. 课 堂 考 点 探 究 32 变式题（1）已知点在椭圆上，点， 分别为椭圆的左、右焦点，满足， 的面积为12， 椭圆的焦距为8，则椭圆 的标准方程为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 33 [解析] 椭圆的焦距为8，则，故 . 由，的面积为12，得 ， 即， 又 ， 所以 ， 即，所以， 又，则 ， 则椭圆的标准方程为 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 （2）[2022·全国甲卷]已知椭圆 的离心率 为,,分别为的左、右顶点，为的上顶点.若 , 则 的方程为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 35 [解析] 由离心率，得，即 . 由题意知,，， 所以, ， 因为,所以， 将 代入，得,， 故椭圆的方程为 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 36 探究点三 椭圆的简单几何性质 微点1 求椭圆的离心率的值或范围 例3（1）[2025·河南洛阳质检]已知椭圆 的 左、右焦点分别为，，为椭圆上一点， ， ，则椭圆 的离心率为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 37 ［思路点拨］设,根据题意及椭圆的定义确定， 的关系， 用表示出，，在中，根据勾股定理得到关于 , 的齐次式，即可求解离心率； [解析] 设,因为，所以. 因为 为椭圆上一点，所以,即, 故 ，. 因为，所以由勾股定理得 ， 得，即，所以 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 38 （2）已知，是椭圆的两个焦点，满足的点 总在 椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. ［思路点拨］由得到点的轨迹为以原点为圆心， 为 半径的圆，再由点总在椭圆的内部，可得，结合,, 的关系 即可求离心率的取值范围. √ 课 堂 考 点 探 究 39 [解析] 设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为,, . 因为，所以点的轨迹为以原点为圆心， 为半径的圆. 因为点总在椭圆的内部，所以，所以 ， 所以，故， 又，所以 ，故选C. 课 堂 考 点 探 究 40 [总结反思] 求椭圆离心率的值或取值范围的方法： （1）直接求出，，利用离心率公式 求解. （2）由与的关系求离心率，利用变形公式 求解. （3）构造，的齐次式，可以不求出，的具体值得出与 的关系， 从而求得 . 课 堂 考 点 探 究 41 微点2 与椭圆有关的范围（最值）问题 例4（1）已知椭圆的方程为 ，过椭圆中心的直线交椭圆 于,两点，是椭圆的右焦点，则 的周长的最小值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 ［思路点拨］利用椭圆的对称性以及椭圆的定义，即可求出周长的 最小值. √ 课 堂 考 点 探 究 42 [解析] 由椭圆的方程为，得 ， ，. 设 为椭圆的左焦点，连接， ，如图， 则由椭圆的中心对称性可得四边形为 平行四边形，故 的周长 ， 当， 为短轴的端点时，取得最小值，最小值为 ， 则 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 43 （2）设是椭圆的上顶点，点在上，则 的最 大值为( ) A. B. C. D.2 ［思路点拨］思路一：设,根据点在椭圆上确定, 的关 系，结合点的坐标用表示，结合 的取值范围及二次函数 的性质即可求出的最大值； 思路二：设 ，求出 的坐标，利用两点间的距离公式， 结合三角函数的有界性可求出 的最大值. √ 课 堂 考 点 探 究 44 [解析] 方法一：设,则,即, , 易知 ,所以 ,当时，取得最大值, . 方法二：设,易知 ， 所以, 当 时，取得最大值, . 课 堂 考 点 探 究 45 [总结反思] 利用椭圆的几何性质求取值范围（最值）问题的思路： （1）将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标的取值范围构造 函数或不等关系. （2）将所求取值范围用，，表示，利用，， 自身的取值范 围、关系求取值范围. 课 堂 考 点 探 究 46 应用演练 1.[2025·河北秦皇岛三模]若点在椭圆 的内部，则 实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 由点在椭圆的内部，可得 ， 且，，解得或， 所以实数 的取值范围为 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 47 2.（多选题）[2025·湖南长沙雅礼中学二模]已知椭圆 的左、右焦点分别为，，点是椭圆 上的一个动点，则 下列说法正确的是( ) A.椭圆 的长轴长为5 B.椭圆的离心率为 C. D.恰好存在2个点使得 √ √ 课 堂 考 点 探 究 48 [解析] 由椭圆，可得， ，所以 ，即，， . 对于A，椭圆的长轴长为，所以A不正确； 对于B，椭圆 的离心率，所以B正确； 对于C， ，所以C正确； 对于D，因为，所以以为直径的圆与椭圆 有4个交点， 即存在4个点使得，所以D不正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 49 3.[2025·四川攀枝花三模]已知椭圆 的上顶 点为，左、右焦点分别为,，连接并延长交椭圆 于另一点 ，若，则椭圆 的离心率为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 50 [解析] 如图，由题意可知 ，. 根据 ，可设, ， 则 ，则， 所以 , ，. 在 中，由余弦定理得 . 又 ，所以 ，即，所以，则 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 51 4.[2025·安徽合肥二模]已知点，， 分别是 与轴的交点.若点满足以为直径的圆与 相切，则 面积的最大值为( ) A. B.8 C.12 D.16 √ 课 堂 考 点 探 究 52 [解析] 如图，设以为直径的圆的圆心为 ，， 连接，，因为点在 内，所以两圆内切， 所以， 又 为的中位线，所以 ， 所以，则， 所以点 的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，得， 又 ，所以， 显然当为椭圆短轴的端点时， 的面积最大， 最大值为 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 53 5.设是椭圆的上顶点，若 上的任意一 点都满足，则 的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 54 [解析] 易知,设,则,得 , 则 , . 由题知，当时， 取得最大值， 所以由二次函数图象的对称性知,故,即, 可得,故椭圆 的离心率的取值范围为 ,故选C. 课 堂 考 点 探 究 55 课时作业 56 ◆ 基础热身 ◆ 1.椭圆 的焦点坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 根据椭圆方程可得焦点在 轴上,且, 所以,故焦点坐标为 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 2.以原点为中心，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为 ，焦 距为 的椭圆的方程为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意可得，所以. 因为 ，所以， 又，所以，解得 ，， 所以所求椭圆的方程为 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 3.已知方程表示的曲线是椭圆，则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为方程 表示的曲线是椭圆， 所以 解得且， 所以实数的取值范围是 .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 4.[2025·江西新余模拟]已知椭圆 的左、右 焦点分别为，，右顶点为，点在椭圆 上，且， 若，则 ( ) A.1 B.2 C. D.3 [解析] 依题意得，，则 ， 故. 在中， ，且 ，则为等边三 角形，所以 ，得，则 .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 5.已知，分别是椭圆的左、右焦点， 是椭圆上一点，且 ，则该椭圆离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 设椭圆的长轴长为，则 ， 又，所以， . 由，得， 又，所以 . 故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 6.（多选题）已知椭圆的焦点分别为，，为 上 一点，则( ) A.的焦距为 B.的离心率为 C.的周长为 D.面积的最大值为 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 [解析] 设椭圆的长轴长为，短轴长为 ，焦距为 ，则,,， 故,, ，所以的焦距为，故A正确； 的离心率为，故B正确； 的周长为 ， 故C错误； 当点位于椭圆的上顶点或下顶点时， 的面积最大，最大值 为，故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 7.写出一个焦距为3的椭圆的标准方程：_ _________________________. （答案不唯一） [解析] 设椭圆的标准方程为， 由题得 ,所以, 取,则椭圆的标准方程可以为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 [解析] 由题意知 ， 故 ，所以点的轨迹是以， 为焦点的椭圆 （除去长轴端点），长轴长为10，焦距为6， 则椭圆的长半轴长，半焦距，短半轴长 . 8.[2025·浙江温州三模] 在中，，，线段 的中垂线交线段于点，则 的面积的最大值是____. 12 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 不妨设， ，如图， 则的轨迹是椭圆(除去点, )， 则的面积 ， 当取得最大值，即时， 取得最大值，最大值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知椭圆的左焦点为 ，点 在 上. （1）求椭圆 的离心率； 解：因为点在上，所以， 即，所以椭圆 的离心率为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 （2）若为坐标原点，直线与的另一个交点为，关于 轴的 对称点为，若四边形的面积为，求 . 解：如图，由 及椭圆的对称性可得， ，. 因为 轴， ， 所以 ， ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 又四边形的面积为 ， 所以 ， 则. 由（1）可得 ，则，， 所以 ，故 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ◆ 综合提升 ◆ 10.[2025·贵州遵义模拟]已知的周长为12， ，当 的面积最大时， 的内切圆半径为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 [解析] 由，且 ， 可得， 由椭圆的定义可知，点的轨迹是以， 为焦点的椭圆（除去长轴 端点），长轴长，焦距 ，可得，， 则椭圆的短半轴长. 当点 运动到椭圆短轴的端点时，的面积最大， 最大面积为 . 设的内切圆半径为 ，则 ， 可得 .故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.[2025·广东广州二模]已知椭圆 的左、右 焦点分别为,，过的直线与相交于,两点，且 , ，则 的离心率为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 [解析] 如图所示.设 ，因为 ， 所以 . 因为， ，所以，所以 ， 又因为，所以 ， 解得，所以. 在 中，由余弦定理可得 ， 在 中，由余弦定理可得 ， 因为 ，所以 ， 整理得，所以，则 .故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.（多选题）[2025·山西临汾二模]已知椭圆 的左、右焦点分别为,,,为椭圆 上关 于原点对称的两点，且 ，则( ) A. B.四边形的周长为 C.四边形的面积为 D.椭圆的离心率的取值范围为 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 74 [解析] 对于A，依题意知，,互相平分，且 ，则 四边形是矩形，故 ，A正确； 对于B，四边形的周长为 ， B正确； 对于C，四边形 的面积为 ，C错误； 对于D，设椭圆的半焦距为，由题意知以原点为圆心， 为半径的圆与椭圆有公共点，故，即 ，解得，可得.又椭圆的离心率，故 ，D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 75 13.已知椭圆的离心率为 ，左、右焦点分别 是,,,是坐标原点，是上一点，且，过 作的平分线的垂线，垂足为，则 ___. 1 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 76 [解析] 如图，延长,，设交点为 . 易知, , ， 所以 ，得， 由题知可得 由椭圆的定义可得， 由 ，可得 ，所以. 由 为的中位线，可得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.[2025·河南安阳质检] 已知椭圆 的离心 率，点为其左顶点，点为其上顶点，且，， 分别为椭圆 的左、右焦点. （1）求椭圆 的方程； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 78 解：如图，依题意得 可得 所以椭圆的方程为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）为椭圆上位于第一象限的一个点，且，点 为 椭圆上任意一点（异于,），求 的面积的最大值. 解：由（1）得, . 将代入得， 所以，故 ， 又在第一象限，所以 ， 又,故 ， 直线 的方程为，即 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 80 设， ， 则到直线 的距离 ， 所以当时，取得最大值，且 ， 所以的面积的最大值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ◆ 能力拓展 ◆ 15.（多选题）用平面 截圆柱面，圆柱的轴与平面 的夹角记为 ，当 为锐角时，截线是一个椭圆. 著名数学家 创立的双球实验证明了上述结论. 如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，球心分别 为, ，使它们分别位于 的上方和下方，并且与圆柱 面和 均相切.已知 ，分别为球,球的直径，， ， 为椭圆的长轴，,分别在，上， 球,球分别与 相切于点, ，则下列结论中正确的有( ) 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 82 A.椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等 B.椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距 相等 C.椭圆的离心率 D.若为球的半径，则 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 83 [解析] 对于B，如图，设 为椭圆上的一点， 连接，,过点作， 分别与球,球 相切于点，， 由题可知与球相切于点， 与球相切于 点 ，故 ， 由椭圆的定义可知，该椭圆以，为焦点， 为长轴长，故B正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 84 对于A，连接,设为的中点，则为的中点， 由平面 与球相切于点，可得 ， 故 ， 故椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等，故A正确； 对于C，由题意可得， 则 ，故C正确； 对于D，由题意可得 ，，连接, 则 ，故，即，故D错误.故 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（多选题）[2025·山东烟台三模]已知椭圆 的左、右 焦点分别为，，为椭圆 上一点，则下列说法正确的有 ( ) A. 的面积的最大值为12 B. 的平分线必过椭圆的中心 C.若，则 D.若 ，则椭圆上存在点，使得 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 86 [解析] 由题得椭圆的长半轴长，短半轴长 ，半焦距 ，故,. 对于A，当为短轴的端点时， 的面积最大， 最大面积为 ，故A正确； 对于B，若的平分线过椭圆的中心， 又，则 ，此时为等腰三角形， 为短轴的端点，而当 不为短轴的端点时， 的平分线不过 椭圆的中心，故B错误； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 87 对于C，因为，所以， 在 中，由余弦定理可得 ， 则， 故 ，所以，故 ，故C正确； 对于D，若， 则 ， 即 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又，所以 ， 又，所以 ， 所以，即， 故 ，所以， 因为，所以 符合不等式， 故椭圆上存在点，使得，故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $