第8单元 02 第49讲 两直线的位置关系（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“两直线的位置关系”专题，依据课标要求梳理了平行垂直判定、交点坐标求解、距离公式应用及对称问题四大核心考点，通过知识聚焦与易错点分析，归纳出斜率讨论、直线系方程等常考题型，对接高考评价体系，突出备考针对性。 课件亮点在于“真题母题+变式训练”模式，如以对称点求法为例，通过中点在直线、斜率垂直关系构建方程，培养学生数学思维与模型观念，特设常错题警示（如忽略斜率不存在），帮助学生掌握得分技巧，教师可据此系统开展复习，提升备考效率。

第49讲 两直线的位置关系 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求 两条平行直线间的距离. 课 标 要 求 3 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.两条直线的位置关系 直线,, , 的位置关系如下表： 位置关系 , 满足的条件 , 满足的条件 平行 _________________ 且 ， 中至少有一个不为0 垂直 ____________ 相交 ________ 且 课 前 基 础 巩 固 4 2.两条直线的交点 设, ,则两条直线的 __________就是方程组 的解. 交点坐标 （1）若方程组有唯一解,则两条直线______,此解就是____________; （2）若方程组无解,则两条直线__________,此时两条直线______,反 之,亦成立. 相交 交点的坐标 无公共点 平行 课 前 基 础 巩 固 5 3.距离公式 点 ， 之间的距离 _______________________ 点 到直线 的 距离 _ __________（其中 是与 直线的方向向量垂直的单位向量, 为直线 上任意一点） 两条平行线 与 间的距离 _ ______ 课 前 基 础 巩 固 6 常用结论 1.点关于原点的对称点为 . 2.点关于轴的对称点为,关于轴的对称点为 . 3.点关于直线的对称点为,关于直线 的对称点 为 . 4.点关于直线的对称点为,关于直线 的对 称点为 . 5.点关于点的对称点为 . 6.点关于直线的对称点为 ,关于直线 的对称点为 . 课 前 基 础 巩 固 7 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］已知,,，则 是______ （填“锐角”“直角”“钝角”）三角形. 直角 [解析] 因为边所在直线的斜率，边 所在直线的斜率 ，且，所以，所以 是直角三角形. 课 前 基 础 巩 固 8 2.［教材改编］已知点到直线 的距离为1， 则 _______. 15或5 [解析] 点到直线 的距离为1， 即，即，故或 . 课 前 基 础 巩 固 9 3.［教材改编］经过直线和直线 的交点 且平行于直线 的直线的方程为________________. [解析] 由 解得 所以两条直线的交点坐标为 ， 又直线的斜率为， 故所求直线的方程为 ，即 . 课 前 基 础 巩 固 10 题组二 常错题 ◆ 索引：忽略检验两条直线重合的情况;判断两条直线的位置关系 时忽视斜率不存在的情况;求两条平行线间的距离时忽视两个直线方 程的系数的对应关系. 4.若直线与 平行， 则实数 的值为__. 课 前 基 础 巩 固 11 [解析] 方法一：因为直线 与 平行，所以两直线的斜率相等或斜率均不存在， 所以 或，可得或. 当时，与 重合，不符合题意，所以 . 方法二:因为 , 所以 解得 . 课 前 基 础 巩 固 12 5.若直线 与 垂直,则 ______. 0或1 [解析] 当或 时,两直线不垂直，不符合题意; 当且时, 由,得 或 . 课 前 基 础 巩 固 13 6.两条平行直线与 之间的距离为_ _. [解析] 依题意得,可变形为 , 所以两条平行直线之间的距离为 . 课 前 基 础 巩 固 14 探究点一 两条直线的位置关系 例1 给出两条直线 ， ，其中 . （1）当为何值时，与 重合？ 解：由解得，所以当时，与 重合. ［思路点拨］通过判断两直线斜率之间的关系，判断两直线的位置 关系. 课 堂 考 点 探 究 15 （3）当为何值时，与 相交？ 解：当，即且时，与 相交. （4）当为何值时， ？ 解：当时，即时， . （2）当为何值时， ？ 解：由解得，所以当时，与 平行. 课 堂 考 点 探 究 16 [总结反思] （1）充分掌握两直线平行与垂直的充要条件是解决此类问题的关键, 对于斜率都存在且不重合的两条直线（斜率为）和 （斜率为 ）,, .解题时一定要特别注 意直线的斜率不存在的情况. （2）若, ,则 ;且 . 课 堂 考 点 探 究 17 变式题（1）直线 与直线 平行，则实数 _______. 或2 [解析] 由直线与直线 平行，得，所以或 . 课 堂 考 点 探 究 18 （2）已知关于，的方程组 无解，则实数 的值为____. [解析] 方程组 无解，等价于直线 与直线 平行， 可得，解得或. 当 时，直线方程分别为和 ， 两直线重合，舍去； 当时，直线方程分别为和 ， 两直线平行.故 . 课 堂 考 点 探 究 19 （3）若直线与直线 的交点 位于第一象限，则实数 的取值范围是_ _______. [解析] 由解得即直线与直线 交 于点. 依题意得 解得，所以实数的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 20 探究点二 两条直线的交点与距离问题 例2（1）点到直线 距离的最大值为( ) A.1 B. C. D.2 ［思路点拨］思路一：直接代入点到直线的距离公式，结合基本不 等式即可求解； 思路二：首先求直线恒过的定点，将点到直线的距离的最大值转化 为两点间的距离即可求解. √ 课 堂 考 点 探 究 21 [解析] 方法一：点到直线 的距离 ，易知当 取最大值时 ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立. 方法二：由可知，直线过定点 ， 记，则点到直线的距离 . 故选B. 课 堂 考 点 探 究 22 （2）若两条平行直线与 之 间的距离是，则直线在 轴上的截距为________. 或13 ［思路点拨］由两直线平行可得 ，再利用平行直线间的距离公式计 算可得 ，即可得到答案. [解析] 由题意得，因为，所以，解得 ，所 以，即 . 由两平行直线间的距离公式得，解得或. 在 中，令，得， 故直线在轴上的截距为 或13. 课 堂 考 点 探 究 23 [总结反思] （1）点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式去求,注意直线 方程应为一般式; （2）运用两平行直线间的距离公式 的前提是两直线方程 中, 的系数对应相等. 课 堂 考 点 探 究 24 变式题（1）两平行线，分别过点与.设与 之间 的距离是，则 的取值范围为________. [解析] 易知两直线间的距离， 而当平行线，与直线 垂直时，两平行线间的距离最大， 即 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 25 （2）过直线与直线 的交点,且点 到该直线的距离为2的直线的方程为______________________. 或 [解析] 由得与的交点为 . 当所求直线的斜率不存在时,其方程为,点 到该直线的距离 为1,不满足题意, 所求直线的斜率存在. 设所求直线的方程为,即, 点 到所求直线的距离为2,,解得或, 所求直线的方程为 或 . 课 堂 考 点 探 究 26 探究点三 对称问题 例3 已知直线，点 . （1）求点关于直线的对称点 的坐标； ［思路点拨］设 ，根据斜率、中点关系，得出 求解即可； 课 堂 考 点 探 究 27 解：点，设点关于直线的对称点的坐标为 ， 直线 ， 解得 对称点的坐标为 . 课 堂 考 点 探 究 （2）求直线关于直线对称的直线 的方程； ［思路点拨］先求出直线与直线的交点的坐标，再在直线 上 取一点，结合对称性求出关于直线的对称点 ，再根据两 点式，求出直线 的方程； 课 堂 考 点 探 究 29 解：设直线与直线的交点为 ， 由解得 . 在直线上取一点，则关于直线的对称点 在直线上， 设 ，则解得. 经过点 ， 由两点式可得，直线的方程为 . 课 堂 考 点 探 究 30 （3）求直线关于点对称的直线 的方程. ［思路点拨］ 设直线上的一点，由点关于点对称的点在直 线 上即可求解. 解：设直线关于点对称的直线上的一点为 ， 关于点的对称点为 ， 易知在直线 上， 可得，故直线的方程为 . 课 堂 考 点 探 究 31 [总结反思] 对称问题的求解策略 （1）解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数 关系求解；（2）中心对称问题可以利用中点坐标公式解决，两点对 称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组求解. 课 堂 考 点 探 究 32 变式题（1）已知直线的方程为，则点关于 的对称 点的坐标为_______；直线关于直线 对称的直线方程为______ _________. [解析] 设点关于直线的对称点为，则 的中点为 ,,所以解得 即. 取上一点，易知关于直线对称的点为 ， 设直线关于直线对称的直线斜率为，则 ， 所以所求直线的方程为，即 . 课 堂 考 点 探 究 33 （2）已知两定点,,动点在直线 上,则 的最小值为( ) A. B. C. D. [解析] 易知点,在直线的同侧, 设点 关于直线的对称点为, 则 解得. 连接,则 的最小值为 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 34 （3）若光线自点射入,经倾斜角为 的直线 反 射后经过点 ,则反射光线还经过点( ) A. B. C. D. √ [解析] 由题意得. 设点关于直线 的对称点为, 则 解得 所以反射光线所在直线的方程为. 当时,;当时, .结合选项可知选D. 课 堂 考 点 探 究 35 探究点四 直线系方程的应用 例4（1）过点且与直线 垂直的直线方程是 ________________. ［思路点拨］思路一:由所求的直线与直线 垂直,设出直 线的方程,再将点 的坐标代入直线方程,求出参数可得答案; 思路二:先结合垂直关系求出所求直线的斜率,然后根据点斜式即可得 答案. 课 堂 考 点 探 究 36 [解析] 方法一:由题意,所求的直线与直线 垂直, 可设所求直线的方程为, 又直线过点 ,所以,解得, 所以过点 且与直线垂直的直线方程是 . 方法二:因为直线的斜率, 所以过点 且与直线垂直的直线方程为 ,化简得 . 课 堂 考 点 探 究 37 （2）已知两条直线与 的交点 为，则过点且平行于直线的直线 的方程为 _____________. ［思路点拨］思路一:求出两直线的交点,根据平行关系设出直线方程, 将交点坐标代入即可; 思路二:设出过两直线的交点的直线系方程,根据所求直线与 的位置 关系结合斜率列方程求解即可. 课 堂 考 点 探 究 38 [解析] 方法一:由解得 由平行关系可设直线的方程为,其中, 将代入 的方程可得,故直线的方程为 . 方法二:由题意可设直线 的方程为 , 即, 因为直线 与直线平行,所以 , 解得 ,代入①式得直线的方程为, 化简得 . 课 堂 考 点 探 究 39 [总结反思] 直线系方程是指满足某种特征的直线方程的全体.在解决有关平行、 垂直或两直线交点问题时，利用直线系方程可以简化解题过程. 平行直线系方程:与直线 平行的直线系方程为 为参数，且 . 垂直直线系方程：与直线 垂直的直线系方程为 为参数 . 过两直线交点的直线系方程：经过两直线 , 的交点的直线系方程为 为参数，此直线不包括直线 . 课 堂 考 点 探 究 40 变式题1 已知点，直线 . （1）求过点且与直线 平行的直线方程； 解：直线的斜率为2，由直线的点斜式方程知过点且与直线 平行 的直线方程为 ，即 . （2）求过点且与直线 垂直的直线方程. 解：直线的斜率为2，过点且与直线垂直的直线斜率为 ， 由直线的点斜式方程知过点且与直线 垂直的直线方程为 ，即 . 课 堂 考 点 探 究 41 变式题2 从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场 “鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平面直角坐标 系中，下列方程（其中 为参数， ）表示的直 线能形成这种效果的是( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 42 [解析] 由题图可知,原点到直线的距离为定值. 对于A,原点到直线的距离为 ,不是定值,故A错误; 对于B,原点到直线的距离 为 ,不是定值, 故B错误; 对于C,原点到直线 的距离为 , 是定值,故C正确; 对于D,原点到直线的距离为 ,不是定值, 故D错误.故选C. 课 堂 考 点 探 究 43 课时作业 44 ◆ 基础热身 ◆ 1.直线和 的交点坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 由得即交点为 .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 2.平面中两条直线与垂直，已知直线的倾斜角为 ，则直线 的斜率为( ) A.1 B. C. D. [解析] 因为，所以， 易知 ，故直线的斜率为 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 3.到直线 的距离为1的直线方程为( ) A. B. C.或 D.或 [解析] 设所求直线的方程为. 由题意知 ，解得或， 即所求直线的方程为 或 .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 4.[2025⋅ 山西部分学校质检]已知直线 与 ，则“”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 由，得，解得或 ， 所以“”是“ ”的充分不必要条件.故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 5.直线关于点 对称的直线方程为( ) A. B. C. D. [解析] 方法一:设所求直线上任意一点为,则其关于点 对称 的点为, 因为点在直线 上,所以, 化简得 ,所以所求直线方程为 . √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 方法二:在直线上任取两点,, 设点, 关于点的对称点分别为,,则, , 所以所求直线方程为,化简得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 6.（多选题）已知，，，且四边形 是平行 四边形，则下列说法正确的是( ) A.直线的方程为 B.是直线 的一个方向向量 C.边的垂直平分线与直线交于点 D.四边形 的面积为3 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 [解析] 对于A，设，在中， ， 则，解得,，即， 直线 的方程为，即 ，故A正确； 对于B，直线的斜率， 则是直线 的一个方向向量，故B正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，的中点坐标为，直线 的斜率， 则边 的垂直平分线的斜率为1，故其方程为， 即， 由 得点，故C正确； 对于D，点到直线 的距离， ， 故的面积为，故D错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若直线与直线 平行， 则与 间的距离为_ ___. [解析] ，直线 ， 直线，，即. 当时， 与重合，不合题意，， 两直线的方程为与， 与 间的距离 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 8.若直线过点，且到点和点 的距离相等，则 直线 的方程为_______________________. 或 [解析] 方法一：当直线的斜率不存在时，直线的方程为 ， 满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线 的方程为， 即 . 由题意知，解得， 故直线 的方程为. 综上所述，直线的方程为或 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 方法二：如图，当时，直线 的斜率 ，的方程为 ， 即. 当直线经过线段 的中点时， 又直线过点 ，故其方程为. 综上所述，直线的方程为或 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 9.求过两条直线和 的交点，且分别满足 下列条件的直线 的方程： （1）与直线 平行； 解：方法一：由得两条直线的交点为 ， 所以直线过点 . 因为直线与直线平行，所以， 所以直线 的方程为，即 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 方法二：设过两条直线和 的交点的直线 的方程为 ， 即 . 因为直线与直线平行，所以 ， 解得，所以直线的方程为，即 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 （2）与直线 垂直. 解：方法一：由（1）中方法一可知交点为， 因为直线 与直线垂直，所以， 所以直线的方程为 ，即 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 方法二：设过两条直线和 的交点的直线 的方程为 ， 即 . 因为直线与直线 垂直， 所以，解得， 所以直线 的方程为，即 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 ◆ 综合提升 ◆ 10.已知一条光线从点发出被直线 反射，若反射 光线过点 ，则反射光线所在直线的方程为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 [解析] 设，，点关于直线 的对称点为 ，则 解得所以， 所以反射光线所在的直线 的方程为， 即 .故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 11.[2025·深圳模拟]已知点关于直线 的对称 点为，设直线经过点，则当点到直线 的距离最大时， 直线 的方程为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 [解析] 设点的坐标为， 由题意可得 解得即点， 直线的斜率， 当 时，点到直线的距离最大， 此时直线的方程为 ，即 .故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.（多选题）[2025·湖北八校联考]已知直线 ， ， ，以下结论正确的是( ) A.不论为何值，与 都互相垂直 B.当变化时，与分别经过定点和 C.不论为何值，与都关于直线 对称 D.若与交于点，则（为原点）的最大值是 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 [解析] 对于A， 直线， ， ， 无论为何值，与 都互相垂直，故A正确； 对于B，直线，当时，，则直线 恒过 定点，直线，当时， ，则直线 恒过定点 ，故B正确； 对于C，设直线上任意一点， 则点关于直线 的对称点为， 将点 的坐标代入直线的方程， 可得，与点在直线 上矛盾，故C错误； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，由解得 故，则 ， 所以的最大值是，故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知直线， ， ，若直线，，不能围成三角形，则实数 的值 为_ ___________. 或或 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 [解析] 由解得所以，的交点坐标为 ， 又过定点，所以若直线，，不能围成三角形，则只需 经过点，或与平行，或与平行. 当经过点 时，，解得， 当与平行时， 且，解得， 当与平行时，且 ，解得， 故的值为或或 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知直线， ， ，记， ， . （1）当时，求原点关于直线 的对称点的坐标； 解：当时，直线的方程为，且斜率 ， 设原点关于直线的对称点为 ，则由斜率与中点坐标公式得 解得 故所求点的坐标为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 （2）求证：不论为何值， 总有一个顶点为定点； 证明：根据题意得，交于，，交于 ， 由得与的交点为 ， 不论取何值，中总有一个顶点为定点 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 （3）求 面积的取值范围.（可直接利用对勾函数的单调性）. 解：由两点间的距离公式得，点到 的距离 ， 故的面积 . 当时，； 当时，； 当 时， . 所以，故 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 ◆ 能力拓展 ◆ 15.设，过定点的动直线和过定点 的动直线 交于点，点不与,重合，则 的 最小值是( ) A.9 B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 73 [解析] 直线过定点，直线 过定点. ①当时，过定点的直线方程为， 过定点 的直线方程为，两直线垂直，此时 ， 所以； ②当时，直线的斜率为 ， 直线的斜率为， 因为 ，所以两直线垂直， 即点可视为以为直径的圆上的点， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为点 不与点或点重合，所以 为直角三角形， 且， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 因为，所以 的最小值为 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知，是直线上的两个动点，且 ， 点,，则 的最小值为_________. [解析] 不妨设点在点的左边， 因为直线 的倾斜角为 ，且， 所以点的坐标为 ，则 . 记 ， 则可将 理解为直线上一动点到, 的距 离之和， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 76 如图，作出点关于直线 的对称点，则可得， 连接 ，交直线于点， 则即为 的最小值， 且 ， 故的最小值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 77 $