第7单元 10 增分微课7 立体几何中的截面、交线问题（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“立体几何中的截面、交线问题”专题，依据高考评价体系梳理了作截面、判断形状、求周长面积及体积四大核心考点，通过真题分析明确“截面形状判断”“面积计算”等高频考点权重，归纳出“作交线三原则”“动态截面转化”等常考题型解法。 课件亮点在于“真题解析+方法归纳+素养提升”的备考策略，如以2025年江苏南通调研题为例，通过“线面平行性质作交线”方法判断截面为等腰梯形，培养学生的空间观念和推理能力。特设“总结反思”模块提炼作截面原则，课时作业覆盖正方体、正四面体等模型，帮助学生掌握动态截面转化技巧，教师可据此开展针对性训练，提升复习效率。

增分微课7 立体几何中的截面、交 线问题 1 类型一 类型二 类型三 类型四 课时作业 2 【知识链接】“截面、交线”问题是高考立体几何问题中具有创 新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体 几何题赋予了活力.有关截面、交线问题，常见考查方式:作截面、判 断截面图形的形状、求截面图形的周长或面积、求截面有关的体积 问题，意在考查空间想象能力，化归和转化能力. 3 例1 如图，在四棱锥中，底面是矩形， 平面，是的中点.若是的中点， 过点 作一个截面，使得该截面与平面 平行， 请画出截面，并写出作图过程（无需证明）. 解：如图，取的中点, 的中点， 连接,, ， 则截面与平面 平行. 类型一 作截面 4 [总结反思] （1）作截面应遵循的三个原则:①在同一平面上的两点可引直线;② 凡是相交的直线都要画出它们的交点;③凡是相交的平面都要画出它 们的交线. （2）作交线的方法有如下两种:①利用基本事实3作交线; ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行, 然后根据性质作出交线. 5 注:正方体的一些截面: 6 变式题 在正方体中，，分别为， 的中 点，.过点,, 三点作该正方体的截面，在图中画出这 个截面（不必说明画法和理由，但要保留作图痕迹）. 7 解：如图，连接并延长，与 的延长线交于， 连接，与交于点，连接 ， 延长，与的延长线交于， 延长 ，与的延长线交于，连接， 与交于 ,与交于，连接， ， 则六边形 即为所作的截面. 8 例2（1）用一个平面去截正方体，则截面不可能是( ) A.正方形 B.梯形 C.等边三角形 D.钝角三角形 √ 类型二 截面图形的形状判断 9 [解析] 用一个平面去截正方体，截面可能是正方形、梯形、等边 三角形. 当平面平行于正方体的一个面时，截面是正方形，如图①； 如图②，截面可以是梯形； 如图③，当平面过正方体的三个顶点时，截面是等边三角形. 截面不可能为钝角三角形，故选D. 10 （2）[2025·江苏南通调研]在正方体中，为 的 中点，则平面 截正方体所得的平面图形为( ) A.三角形 B.等腰梯形 C.直角梯形 D.五边形 √ 11 [解析] 如图，连接，延长交直线于 ， 连接，交于，连接，则四边形 即为所求截面. 由题设有 ，故为的中点， 则且. 因为 ，，所以四边形为 平行四边形，所以 且， 故且， 又 ，所以四边形 为等腰梯形.故选B. 12 [总结反思] 判断几何体被一个平面所截得的截面形状，关键在于弄清这个平面 与几何体的面相交成线的形状和位置，可得利用面面平行转化为线 线平行去寻找截面，也可以利用面的延伸与棱的交点，从而找到截 面与几何体面上的两交点，从而定出截面. 13 变式题（1）如图所示，四面体木块的四个面均为等 边三角形，点是的中心，过点 将木块锯开， 并使得截面平行于和 ，则所得截面是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.矩形 D.梯形 √ [解析] 由题意可知，点是的中心，过点 作 ，分别交,于,，作交于 . 设过点，，的平面与交于点，因为 平 面， 平面，所以平面 ， 14 同理平面，即四边形即为所求截面. 由平面 ，平面 平面， 平面，得 ，故， 同理可得，则， 故四边形 为平行四边形，即截面是平行四边形. 设为的中点，连接,，则 ,， 又，, 平面，所以 平面. 因为 平面，所以，而， ， 故，即平行四边形 为矩形，即截面是矩形.故选C. 15 （2）已知三棱柱中，，分别为棱， 的中 点，过，，作三棱柱的截面交于点，且 ，则 ___. 6 16 [解析] 如图，连接并延长，与 的延长 线交于点，连接与直线交于点 ， 易知即为点. 因为与相交于点 ，所以，，，四点共面. 因为是 的中点，且， ，所以， ，所以是的中位线，则是 的中点. 连接，，因为为的中点，所以 ， . 易知，则 ，所以 . 17 例3（1）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 的夹角 都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A. B. C. D. √ 类型三 截面图形的周长或面积 18 [解析] 在正方体的所有棱中，实际上是3组平行 的棱，每条棱所在直线与平面 的夹角都相 等，如图所示， 与正六边形 平行的平面满足条件， 且当截面 为正六边形 时， 截此正方体所得截面的面积最大， 故 截此正方体所得截面面积的最大值为 .故选A. 19 （2）如图，在棱长为3的正方体中，为 的中 点，为的中点，过，， 作正方体的截面，则截面的周长 为_ __________. 20 [解析] 如图，在正方体 中， 连接， 设直线与直线，分别交于， ， 连接，，分别与，交于点， ， 连接，，则五边形是过，， 的正方体的截面. 由为的中点，为 的中点， 得，，则 ， 同理 ，则，故， ， 21 同理可得，， 则 ， ， ， 所以截面的周长为 . 22 [总结反思] 破解有关几何体的截面图形的周长或面积题的关键：一是定图，即 判断或作出截面图形的特征；二是用公式，即会利用平面图形的周 长与面积公式，有时还需利用解三角形的相关知识进行解决. 变式题（1）在正三棱柱中，，为 的中点，若三棱锥的四个顶点均在球上，过作球 的 截面，则所得截面圆面积的最小值为( ) A. B. C. D. √ 24 [解析] 因为四边形为正方形，所以点在 的外接圆上， 又三棱锥的四个顶点均在球上， 即球 为四棱锥的外接球， 故球心为正方形的中心，则球 的半径为. 过作球 的截面，当所得截面圆面积最小时，截面圆圆心为 的中点（即过作截面的垂线，垂足为 的中点）， 所以截面圆的半径的最小值为1，所以截面圆面积的最小值为 . 25 （2）如图，已知四面体 为正四面体， ，,分别是, 的中点.若用一个与 直线 垂直，且与四面体的每一个面都相交的 平面 去截该四面体，由此得到一个多边形截 面，则该多边形截面面积的最大值为___. 1 26 [解析] 将正四面体 补成正方体，如图. , 截面为平行四边形, ,,, 分别为，，， 上的点， 且， ， 易得， 又, , , 当且仅当 时取等号，故所得多边形截面面积的最大值为1. 27 例4 如图，过三棱柱下底面的边 作一个截面， 截面与上底面的交线为,,分别是 , 的中点.该截面将三棱柱 分 成了两部分，设较大部分的体积为 ，较小部 分的体积为，则 __. 类型四 截面有关的体积问题 28 [解析] 由题意知几何体 为三棱台. 设三棱柱的高为， 的面 积为. 因为,分别是, 的中点，所以， 即，则 的面积为， 所以 , ， 故，所以 . 29 [总结反思] 破解截面有关的体积问题的关键：一是定形，一个几何体被一个平 面所截，需弄清截成两个几何体的形状；二是用公式，会利用柱、 锥、台的体积公式对几何体的体积进行求解. 30 变式题 在直三棱柱中，点，， 满足 ，， ，则下列说法正确的是( ) A.三棱锥 的体积为定值 B.三棱锥 的体积为定值 C.当时，三棱柱被截面 分成的上、下两部分的体积相等 D.当时，三棱柱被截面 分成的上、下两部分的体积相等 √ 31 [解析] 如图所示，因为， 平面 ， 平面，所以 平面 ，同理可证平面. 对于A， 到平面的距离为定值， 但 不为定值，所以不为定值，故A错误； 对于B， 到平面的距离为定值，且为定值， 所以 为定值，故B正确； 对于C，D，根据对称性知，当 ，即时，三 棱柱被截面 分成的上、下两部分的体积相等，故C，D错误.故选B. 32 课时作业 33 1.如图，在正方体中， 的中点为，过，， 三点的截面是( ) A.三角形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 34 [解析] 如图所示，取的中点 ，连接 ，，，，. 因为， 分别是，的中点， 所以 ，且， 又， , 则，，所以，，， 四点共面， 故四边形是过，，三点的截面， 且四边形 是梯形.故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 35 2.已知三棱锥的底面是边长为 的正三角形，则过各侧棱中点的截面 的面积为( ) A. B. C. D. [解析] 三棱锥的底面是边长为的正三角形， 棱锥的底面面积 过各侧棱中点的截面与底面相似，且边长的相似比为， 过各侧棱中点的截面的面积为 故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 36 3.如图，在平行六面体中， 是的中点，过，， 三点的截面 把平行六面体分成两个部分，则左右两 部分的体积之比为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 37 [解析] 因为平面平面 ，且截 面 平面，截面 平面，所以 . 设平行六面体的底面面积为，高为 ， 由棱台的体积公式，得 ， 则，所以： .故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 38 4.正方体的棱长为4，点在棱上，平面 把正方体 分成两个几何体，其中一个几何体的体 积为14，则平面截正方体 所得的截面周长为 ( ) A. B. C. D.15 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 39 [解析] 设平面与棱交于点 ， 则，所以几何体 是三棱台， 由题意知该三棱台的体积为14. 设 ，则 ， 可得， 又平面截正方体 所得的截面为等腰梯形， ，， ， 所以截面的周长为 .故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40 5.如图，正方体 的棱长为 3，,分别在,上，且 ， ，过,, 三点的平面截该正方体， 则所截得的截面的最长边的长为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 41 [解析] 如图，延长交于点 ， 则，即为 的一个三等分点， 连接. 取的中点，连接, ， 则，所以,,, 四点共面， 故梯形即为截面图形， 显然 为最长边，长度为 .故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 42 6.[2025·福建南平质检]已知圆锥的母线长为2，过圆锥的顶点作圆锥 的截面，若截面面积的最大值为2，则该圆锥底面半径的取值范围是 ( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 43 [解析] 如图，设轴截面的顶角 ， 两条母线的夹角 ，底面半径为 ， 则 ， 所以截面面积为 . 若截面面积的最大值为2，则，解得， 所以 ，即 . 由轴截面的性质可得，即，解得 ， 则的取值范围为 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 44 7.已知棱长为4的正方体的各个顶点均在球 的表 面上，点满足，过点作与直线垂直的平面 ，则 截球 所得截面面积为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 45 [解析] 如图，连接,，因为 平面， 平面 ，所以, 又,, , 平面， 所以 平面，则 为过点且与平面 平行的平面. 因为点在平面内， 所以点 到平面 的距离就是平面与平面 的距离， 又，所以 ， 又球的半径，所以 截球所得截面圆的半径 ， 所以该圆的面积为 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 46 上，平面交线段于点，则截面四边形 的周长的最小值 为____. 8.[2025·安徽蚌埠联考] 如图，多面体 是用平面 截底面是边长为2的 正方形，侧棱长的长方体 剩下的一部分几何体，其中 ，点在线段 10 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 47 [解析] 由题知，平面平面 ， 平面 平面， 平面 平面，所以 ， 同理可得，所以四边形 为平行四边形， 则其周长. 沿 将右面和后面相邻两面展开，如图， 则当，，三点共线时， 最小， 最小值为， 所以截面四边形 的周长的最小值为10. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 48 9.已知正方体的棱长为3，则四棱锥 的 体积为___；若点，分别为，的中点，则过点，， 的 平面截正方体所得的截面的周长为_ __________. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 49 [解析] 由题知， . 如图，延长交的延长线于点，延长 交 的延长线于点，连接交于点 ，连接 交于点，连接，， 则过点，， 的平面截正方体所得的截面为五边形. 因为 为的中点，为 的中点， 所以， ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 所以， ， 所以 ， ， ， 故截面的周长为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.如图，正方体 的棱长为2，点 是棱 上的动点. （1）三棱锥 的体积为_ _； [解析] 在正方体中， 点是棱上的动点，则 到平面的距离即为 ， 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 52 （2）当为的中点时，过点且与 垂直的平面截正方体的截 面面积为__. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 53 [解析] 设的中点为，的中点为 ，连接 ，，. 以为原点，，， 所在直线分别为,, 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，， 所以，， ， 则，，所以， . 因为， 平面， 平面， 所以 平面， 则即为过点且与 垂直的平面截正方体的截面. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 54 由正方 体的棱长为2，的中点 为 ，的中点为, 可得， . 在 中， , 则， 故 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $