第7单元 08 第46讲 空间角（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“空间角”专题，依据高考评价体系梳理了异面直线夹角、线面角、二面角三大核心考点，明确向量法为主要考查方式，通过近五年真题分析得出“向量法求角”占比超60%，归纳几何法与向量法两类常考题型，构建完整知识网络。 课件亮点在于“真题溯源+易错警示+素养提升”策略，如结合2023全国乙卷真题，详解向量法求法向量步骤，培养学生空间观念和运算能力，针对线面角范围等易错点设专题突破，教师可依托此课件实现考点精准覆盖，助力学生高效掌握解题技巧。

第46讲 空间角 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 能用向量方法解决简单的夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序, 体会向量方法在研究几何问题中的作用. 课 标 要 求 3 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.异面直线的夹角 （1） 定义：已知两条异面直线a,b,过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b,这时a',b'共面, 我们把a'与b'所成的　　　　　　　　的角称为异面直线a,b的夹角. 不大于90° （2） 范围：_______. （3）求法： ①几何法：平移补形法. ②向量法：若异面直线,的夹角为 ，其方向向量分别为, ，则 , . 课 前 基 础 巩 固 4 2.线面角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的投影的所成的锐角，叫作这条直线和这 个平面的夹角.当一条直线垂直于平面时，我们说它们的夹角是直角；当一条直线和平 面平行，或在平面内时，我们说它们的夹角是0°. 课 前 基 础 巩 固 5 （2）直线与平面的夹角的取值范围：_ ______. （3）求法： ①几何法：求直线与平面夹角的关键是作出直线在平面上的投影，常用方法是寻找经过此直线并与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质确定直线上一点在平面上的投影. 课 前 基 础 巩 固 6 ②向量法：如图,直线与平面 相交于点,设直线与平面 的夹角为 ,直 线的方向向量为,平面 的法向量为,则, . 课 前 基 础 巩 固 7 3.二面角 （1） 定义：以二面角α-l-β的棱l上任一点O为端点,在半平面α和β内分别作 　　　　　　　　的两条射线OA和OB,则射线OA和OB 的夹角称为二面角的平面角(如图). 平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角 中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. 垂直于棱 课 前 基 础 巩 固 8 （2）范围： . （3） 求法： ① 几何法：找到二面角的棱的一个垂面，即可确定平面角，作二面角的平面角 的常用方法是在二面角的棱上任取一点，以点 为垂足，在两个半平面内分别作 垂直于棱的射线，，则射线和构成的 即为二面角的平面角. 课 前 基 础 巩 固 9 ② 向量法：若平面 , 的法向量分别是和 ,则平面 与平面 的夹角即为向量和 的夹角或其补角.设平 面 与平面 的夹角为 ,则, （如图）. 课 前 基 础 巩 固 10 题组一 常识题 1.［教材改编］设直线的一个方向向量为，平面 的 一个法向量为，则直线与平面 的夹角的正弦值为 _ ____. [解析] 设直线与平面 的夹角为 ， 则 . ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 11 2.［教材改编］已知两个平面的法向量分别为 ， ，则这两个平面的夹角为____. [解析] ，,， ， 故这两个平面的夹角为 . 课 前 基 础 巩 固 12 3.［教材改编］如图所示，在棱长为2的正方体 中，是底面的中心，，分别是， 的中点，那么异面 直线与 的夹角的余弦值为_ ___. 课 前 基 础 巩 固 13 [解析] 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，， ， ， ， ， 故异面直线与的夹角的余弦值为 . 课 前 基 础 巩 固 14 题组二 常错题 ◆ 索引：线面角取值范围出错;异面直线夹角取值范围出错;二面角 取值范围出错，二面角与平面夹角混淆. 4.已知向量，分别是直线的方向向量和平面 的法向量，若 ，，则与 的夹角为____. [解析] 设与 的夹角为 ，， ， ，，又 ， . 课 前 基 础 巩 固 15 5.如图，圆锥的高，底面直径,是圆 上一点，且 ，则与 的夹角的余弦值为_ __. 课 前 基 础 巩 固 16 [解析] 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，, 所以 ,, 所以, , 所以与的夹角的余弦值为 . 课 前 基 础 巩 固 17 6.在长方体中，，，则 与平面的夹角的正弦值为__，二面角 的余弦值 为____，平面与平面 的夹角的余弦值为__. [解析] 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，，， ，， . 设平面的法向量为 ，则 即 令，得. 课 前 基 础 巩 固 18 设与平面 的夹角为 ，则 ， ，即直线 与平面的夹角的正弦值为. 易知平面 的一个法向量为， ， . 由图可知，二面角为钝角， 故二面角 的余弦值为. 因为平面与平面 的夹角的取值范围为， 所以平面 与平面的夹角的余弦值为 . 课 前 基 础 巩 固 探究点一 异面直线的夹角 例1 如图，在长方体中， ， ，，分别是， 的中点，则异 面直线与 的夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］思路一：在长方体中建立空间直角坐标系， 利用向量法求异面直线的夹角； 思路二：在长方体中，通过补充新的长方体，结合平行关系， 将异面直线转化在同一平面中，利用解三角形求异面直线的夹角. √ 课 堂 考 点 探 究 20 [解析] 方法一：以为坐标原点，以，， 的方向分别为，， 轴的正方向，建立如图所示 的空间直角坐标系，则， ， ，，所以 , . 设异面直线与的夹角为 , 则 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 21 方法二：补充长方体 ，如图 所示，其中,取为的中点， 为 的中点，连接,,,则 （或其补角）即为异面直线与 的夹角. 由题知, , ,所以 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 22 [总结反思] 求异面直线的夹角的方法: 1.定义法 定义法求异面直线的夹角的步骤 （1）找或作：在图中找或平移异面直线中的一条或两条构造异面直 线的夹角. （2）证：说明所作的角是异面直线的夹角. （3）算：寻找或作出含有此角的三角形并解之. （4）取舍：因为异面直线的夹角 的取值范围是 ，所 以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线的夹角. 课 堂 考 点 探 究 23 2.向量法 向量法又分为坐标法和基本向量法，利用公式 求出异 面直线的方向向量的夹角.若向量夹角是锐角或直角，则该角即为异 面直线的夹角；若向量夹角是钝角，则异面直线的夹角为该角的 补角. 课 堂 考 点 探 究 24 变式题 在三棱锥中， 平面，， ， ，，为的中点，则异面直线与 的夹角的 余弦值为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 25 [解析] 由，， ，得， 所以 . 方法一：如图，取的中点，连接， ，则， 所以或其补角即为异面直线与 的夹角. 易知， ， ， ，所以. 在 中，根据余弦定理可得 ， 所以异面直线与的夹角的余弦值为 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 26 方法二：因为 平面，， 平面 ，所以， ，故以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，，，， 所以 ，. 设与的夹角为 ， 则 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 探究点二 直线与平面的夹角 例2 如图，在三棱台中，平面 平面 ， ， . （1）证明： ； 课 堂 考 点 探 究 28 证明：如图，过点作，交直线 于点，连接 . 由 ,得 , 由平面 平面得 平面 ， 所以. 由 ， 得 . 所以 平面，故. 由三棱台得 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 29 （2）求直线与平面 的夹角的正弦值. 课 堂 考 点 探 究 30 解：方法一：过点作，交直线 于点，连接 . 由三棱台得， 所以直线 与平面的夹角等于直线与 平面 的夹角. 由 平面得， 故 平面，所以 为直线与平面 的夹角. 设.由，，得 ， ，所以 , 因此，直线与平面的夹角的正弦值为 . 课 堂 考 点 探 究 31 方法二：由三棱台得，所以直线与平面 的夹角等于直线与平面的夹角，记为 . 如图，以 为原点，分别以射线，为,轴的正半轴， 建立空间直角坐标系 . 设 .由题意知各点坐标如下： ，，， . 因此,, . 课 堂 考 点 探 究 设平面的法向量 . 由即可取 . 所以, . 因此，直线与平面的夹角的正弦值为 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] （1）用几何法求线面角的三个步骤：一作（找）角，二证明，三计 算.其中作（找）角是关键，先找出斜线在平面上的投影，关键是作 垂线、找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.也可以利用等体 积法直接求出直线上一点到平面的距离，使问题得到解决. （2）对于建立空间直角坐标系比较方便的几何体,我们可以通过向量 法来解决；如果有特殊的几何背景,还可以通过补形等方法来解决. 课 堂 考 点 探 究 34 变式题 [2026·江苏南通质检] 如图， 已知圆台 的上、下底面半径分 别为3和6，母线与下底面的夹角 为 . （1）求圆台 的体积. 解：因为圆台 的上、下底面半径分别为3和6， 母线与下底面的夹角为 ，所以圆台的高为 ， 所以圆台的体积 . 课 堂 考 点 探 究 35 （2）设，分别是圆台 的两条母线. （ⅰ）求证： ； 证明：由圆台的定义知，母线，的延长线相交于一点 ， 所以，，， 四点共面. 又因为圆面与圆面平行，平面与圆面交于直线 ， 平面与圆面交于直线，所以 . 课 堂 考 点 探 究 36 （ⅱ）若 ，是圆 上的动点， 求直线与平面 的夹角的正弦值的最 大值. 解：在圆面内作，垂足为， 以 为坐标原点，以,,的方向分别 为 ,, 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，， ， 由题可设， 所以， ，. 课 堂 考 点 探 究 37 设平面的法向量为 ， 则即 取，则 . 设直线与平面的夹角为 ，则 , ，所以直线与平面 的夹角的正弦值的最大值为 . 课 堂 考 点 探 究 探究点三 平面与平面的夹角 例3 如图，三棱柱的高为,,,分别是, , 的中点， 平面, . 课 堂 考 点 探 究 39 （1）证明：平面 ； ［思路点拨］取的中点，作出辅助线 , ， 可得到四边形 为平行四边形，所以， 进而可得平面 ，由中位线得到， 进而可得平面 ，进而得到平面平面 ， 从而可证明线面平行； 课 堂 考 点 探 究 40 证明：设的中点为，连接, ，如图， 因为是 的中点，所以且 ， 所以四边形 为平行四边形，所以， 又因为 平面, 平面 ， 所以平面 . 因为,分别是, 的中点，所以, ，又， 所以 ，又 平面, 平面，所以 平面 . 因为，, 平面 ，所以平面平面 ， 又 平面，所以平面 . 课 堂 考 点 探 究 41 （2）求平面与平面 的夹角. ［思路点拨］证明出线面垂直，建立空间直角坐标系，求出平面 和平面 的法向量，从而利用面面角的余弦公式进行求解. 课 堂 考 点 探 究 42 解：因为 平面， 平面 ， 所以平面 平面，如图，过点 作，垂足为， 所以 平面， 因为三棱柱的高为 ，所以. 因为 ，所以， 又，为 的中点，所以与 重合. 以为坐标原点，,,所在直线分别为轴、轴、 轴，建立如 图所示的空间直角坐标系，则,, ， 课 堂 考 点 探 究 43 所以, . 由（1）知，平面平面 ，所以平面的一个法向量 为 . 设平面的法向量为 ，则 令，得. 设平面 与平面的夹角为 ， 则 , ， 所以 ，故平面与平面 的夹角为 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] （1）求解二面角的大小问题,关键是要合理作出它的平面角,当找到 二面角棱的一个垂面时,即可确定平面角. （2）求解平面与平面夹角的大小问题时，对于建立空间直角坐标系 比较简便的几何体,我们可以直接利用向量求出两个平面的法向量,并 转化为求两个法向量的夹角来完成. 课 堂 考 点 探 究 45 变式题 [2024· 新课标Ⅰ卷］如图，四棱锥 中， 底面， ， ， . （1）若，证明：平面 ； 课 堂 考 点 探 究 46 证明： 平面， 平面 ，. 又，, , 平面， 平面， 平面，. 在 中，， . ，，，四点共面， ， 又 平面， 平面， 平面 . 课 堂 考 点 探 究 47 （2）若，且二面角的正弦值为,求 . 课 堂 考 点 探 究 48 解：方法一：以为原点，以， 所在直线分别为,轴， 以过点且与平面垂直的直线为 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 设,则,, , , . ,, 设平面 的法向量为，则 即不妨令 ,则,, 课 堂 考 点 探 究 49 故 , , 设平面的法向量为 , 则即不妨令 ,则 ,，故 二面角的正弦值为, 平面与平面 夹角的 余弦值为， ,，可得, . 课 堂 考 点 探 究 方法二：如图所示，过点作于， 过点作于 ，连接 平面， 平面， 平面 平面 ， 又平面 平面，， 平面 . 又 平面，，又， ， 平面，得， 根据二面角的定义可知， 即为二面角的平面角， 即 ，又为锐角， . 课 堂 考 点 探 究 设，则 ，由等面积法可得， ，则， 又 为等腰直角三角形，， 故 ， 解得，即 . 课 堂 考 点 探 究 课时作业 53 1.若直线的一个方向向量为，平面 的一个法向量为 ，则与 的夹角为( ) A. B. C. D. [解析] 由已知得，则 ， 所以与 的夹角为 .故选A. √ ◆ 基础热身 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 54 2.已知两平面的法向量分别为， ，则两平面 的夹角为( ) A. B. C. 或 D. [解析] 因为 ， ， ，所以 ， 所以两平面的夹角为 .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 55 3.如图，在正四面体中，点，， 分 别为棱，，的中点，则异面直线 ， 的夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 56 [解析] 如图，连接，设正四面体 的棱长为2， 因为,分别为, 的中点，所以， 所以异面直线， 的夹角为（或其补角）. 在 中，, ， 由余弦定理可得 ， 所以异面直线，的夹角的余弦值为 .故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 57 4.在正方体中，是的中点，则与平面 的夹角的正弦值为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 58 [解析] 如图，以为坐标原点，分别以,, 所在直线为,, 轴 建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则,,, ， 所以,, . 设平面的法向量为 ，则 令，则 . 设与平面的夹角为 ， 则 .故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 59 5.[2026·福建漳州调研]如图，在三棱锥 中， ，且平面与平面垂直，为 中 点，若，则平面与平面 的夹角的余弦值为( ) A. B. C. D.1 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 [解析] 如图，连接, . 因为,为 中点， 所以,，又平面 平面 ， 平面 平面, 平面 ， 所以 平面，所以,,两两垂直. 以为坐标原点，， ，所在直线分别为,,轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 设 ，则,,,， 则 ,, . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 61 设平面 的法向量为，则 令 ，得,，则 . 设平面的法向量为 ，则 令，得, ，则. 因为 ,， 所以平面 与平面的夹角的余弦值为 .故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.（多选题）在三棱台中， 平面 ， ，，.以 为坐标 原点，，，所在直线分别为，， 轴建立空间直角坐标 系，如图所示，则( ) A. B. C.异面直线与的夹角的余弦值为 D.点到直线的距离为 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 63 [解析] 根据题意可得，， ， 则，故A正确； ， , ,则 , 则 ，， 则 ， 因为 ，所以 ，故B正确； ， ， 则 ，， 设异面直线 与的夹角为 ， 则 , ，故C错误； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 ，则点到直线 的距离 ， 故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.如图是电商平台售卖的一种木制“升斗”，底部封闭，上部开口，把 该升斗看作一个正四棱台，尺寸如图所示，则该四棱台的侧棱与底 面的夹角的余弦值为_ __. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 66 [解析] 如图所示，在正四棱台中， 设， 分别是底面、底面的中心，连接 ， ,， 过点作，垂足为 ， 底面， 该四棱台的侧棱与底面的夹角为 . 由题得， ，， ， ． 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 67 8.如图，在平行六面体中，已知 ， ，则直线与 的夹角的余弦 值为_ __. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 68 [解析] 在平行六面体 中， ，. 记，则， ， ， ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 69 所以 ， 所以直线与的夹角的余弦值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9.如图，在四棱锥中，是以 为斜边的等腰直角三 角形，底面是等腰梯形，且， ， ，，为 中点. （1）求证： 平面 ； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 71 如图，取的中点， 底面 是等腰梯形， ， 连接,， , , , ，, , 在中，,, . 在中，,, ， , ， ， 又,, 平面， 平面 . 证明：设，为中点， 是以为斜边的等腰直角三角形， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 72 （2）求直线与 的夹角的余弦值； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 73 解：如图，以为坐标原点，，， 所 在直线分别为,, 轴，建立空间直角坐标系， 则,,, , , ,. 设直线与 的夹角为 ， 则 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 74 （3）求平面与平面 的夹角的正弦值. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 75 解：由（2）知， ,， , . 设平面 的法向量是 ， 则即 令，则 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 76 设平面的法向量是 , 则即 令，则. 设平面 与平面的夹角为 ,则 ， 故平面与平面 的夹角的正弦值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10.[2023·全国乙卷]已知为等腰直角三角形， 为斜边， 为等边三角形，若二面角的平面角为 ,则直 线与平面 的夹角的正切值为( ) A. B. C. D. √ ◆ 综合提升 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 78 [解析] 记的中点为，连接，，由题意可知 ， ，又,所以 平面， ， 又 平面，所以平面 平面. 在平面 中，过点作交的延长线于点， 则即为直线与平面 的夹角， 不妨设，则，得 , , , 所以 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 79 11.（多选题）如图，甲站在水库底面上的 点处，乙站在水坝斜面上的点 处，测得 从，到水库底面与水坝斜面的交线 A.水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为 B.水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为 C.直线与水库底面的夹角的正弦值为 D.直线与水库底面的夹角的正弦值为 的距离分别为，．又测得的长为， 的 长为 ，则( ) √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 80 [解析] 如图，作且 ，连接， 因为，所以四边形 是矩形， 所以，又 ， 所以是水库底面与水坝斜面所成的二面角的平面角， 因为 ,，所以，又，， , 平面，所以 平面， 又 平面 ，所以，则 ， 所以 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 81 又， ，所以 ， 故A错误，B正确； 由 为等腰三角形，得 , 则 , 设点到水库底面的距离为 ， 则 , 所以 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 所以直线 与水库底面的夹角的正弦值为 ,故C正确，D错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.[2026·浙江宁波九校期末]如图，是正方体 的 体对角线（含端点）上的动点，为棱 （含端点）上的动点， 则下列说法正确的是( ) A.异面直线与的夹角的最小值为 B.异面直线与的夹角的最大值为 C.对于任意给定的，存在点，使得 D.对于任意给定的，存在点，使得 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 84 [解析] 方法一：以 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图. 设正方体的棱长为1，则，设 ， ，则 . 设异面直线与的夹角为 ， 则 , ， 令， , 因为 ，所以当时，取得最小值， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 85 又当时， ，当时，， 所以，的值域为 ， 所以，又，所以 ， 故A，B错误； 对于C，设，，则 ， ，所以 ， 当时，无解，故C错误； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对于D， ，令，得， 即对于任意给定的 ，存在点使得 ，故D正确.故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 方法二：如图①，连接,异面直线与的夹角为 , 连接,,设, 易证平面 平面 , , 设,设 ，由图②可求得 ,, , ，所以 , 故A，B 错误. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 如图③,设在平面内的投影为，在线段 上， 如图④，设是的中点，当点在线段上时， 存在 ,使得，由三垂线定理知， ；当在线段 上时，线段上不存在点， 使得，故C错误； 对于任意点，在 上选一点，当时， 连接，则 ，设, 则由三垂线定理知，存在,使得 ， 故D正确.故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.（多选题）[2025·山东德州三模]在四棱锥 中，底面 是边长为1的正方形， 平面，且，，， 分别为棱,, 的中点，则( ) A. B.异面直线和的夹角为 C.平面与平面的夹角的正弦值为 D.过点，，的平面截四棱锥 所得的截面图形为五边形 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 90 [解析] 如图①，以点为原点，,,所在直线 分别为,, 轴，建立空间直角坐标系， 则,,, ,,. 对于A，, ，则 ，所以，故A正确； 对于B，因为 是的中点，所以,又， 所以 ,， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 91 设和的夹角为 ，则 ,， 又，所以 ，故B错误； 对于C，因为 平面，所以平面 的 一个法向量为， 因为为棱的中点， 所以 ，则，， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 设平面 的法向量为，则 即 令，则， 设平面与平面的夹角为 ， 则 ， 则，故C正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对于D，如图②，延长 与直线交于点， 延长与直线交于点，连接与交于点 ， 连接与交于点，连接,， 则平面截四棱锥 的截面为 五边形，故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.[2026·四川眉山质检] 在空间直角坐标系 中，过点 且一个法向量为的平面 的方程为 .已知平面 的方程为 ，直线是平面 与平面 的交线，则与 的夹角的大小为__. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 95 [解析] 由题意可知平面 的一个法向量为， 平面 的一个法向量为，平面 的一个法向量为. 设直线 的方向向量为，则, , ，所以 即取，则. 设与 的夹角为 ，则, 又，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 96 15.如图，圆锥的顶点为，点，，， 在 底面圆的圆周上，且， 的交点为圆心 ，，，，则平面 与平面的夹角的余弦值为__；若是母线 上一点，且，是平面内一点，则 的周长的最小值 为_____. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 97 [解析] 由圆心为, 的交点， 得 ，所以四边形为矩形. 又， ，所以，故矩形 为正方形. 由，得，又， 所以 为等腰直角三角形，故,. 如图，以 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、 轴，建立空间直角坐标系， 则,, , , ,， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 98 所以 , , . 设平面 的法向量为， 则 取，则. 设平面 的法向量为 ， 则取 ，则. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 因为 ,， 所以平面 与平面的夹角的余弦值为. 由四边形 为正方形得. 因为， ，, 平面，所以 平面 ， 且点与点关于平面对称. 连接， ，则 ， 当且仅当,,三点共线时取等号. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 在中，由余弦定理得， 所以， 故 的周长的最小值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16. 新课标Ⅰ卷］如图，在正四棱柱 中，，.点， , ，分别在棱，，， 上， ，， . （1）证明： ； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 102 证明：方法一：如图①，作交 于， 交于，连接 ， 易知，且， 所以四边形 是平行四边形，所以. 因为 ，， 所以四边形 是平行四边形， 所以，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 103 方法二：因为，,,,四点不共线， 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 104 （2）点在棱上，当二面角为 时，求 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 105 解：方法一：如图②，以为原点，以,, 所在 直线分别为,,轴，建立空间直角坐标系， 则 ，，， 设 ，则， ，. 设, 分别为平面, 的法向量， 则取，得 ， 同理 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 106 由题得 ， 整理得，解得或， 则 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 方法二：如图③，连接，易证四边形为菱形， 连接 ，设与相交于点 . 因为二面角为 ， 所以直线与平面 的夹角为 ， 易知，所以点 到平面的距离. 连接， ，，，，由， 得 ，由，得， 又，所以 平面. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 因为二面角为 ， 所以与平面 的夹角为 ，易知， 所以点到平面 的距离. 所以 . 又到平面和平面的距离都为2（平面和平面 为同一个平面）， 所以，所以 ，解得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.[2025·河北保定三模] 如图，圆台 的下 底面的内接正方形的边长为4， 是上底面 圆周上的一点，且满足 ， . ◆ 能力拓展 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 110 （1）证明： 平面 ； 证明：因为， ， 所以，所以 . 由四边形为正方形，得 ， 又，， 平面 ， 所以 平面 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 111 （2）求三棱锥 的外接球的表面积； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 112 解：由 平面， 为等边三角形， 可将三棱锥补成正三棱柱 ，如图①. 设的中心为，的中心为， 则 的中点为外接球球心， 所以 的外接圆半径， ， 所以外接球的半径 ， 所以三棱锥 的外接球的表面积 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 113 （3）是的中点，是上底面圆周上的一点，求异面直线 与 的夹角的余弦值的最大值. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 114 解：以为坐标原点，分别以,所在直线为, 轴， 建立如图②所示的空间直角坐标系， 则,,. 设 ，连接 ， 由 平面， 平面，得平面 平面 ， 则点到的距离为， 又 ，所以 . ， ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 115 设异面直线,的夹角为 ，则 ， 所以 （当且仅当 时取等号），所以 ， 所以异面直线与 的夹角的余弦值的最大值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $