第7单元 07 第45讲 空间向量及其运算和空间位置关系（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“空间向量及其运算和空间位置关系”专题，依据课标要求梳理了空间向量概念、基本定理、坐标运算及位置关系向量表示等核心考点，通过知识表格系统梳理、定理归纳及易错点分析，对接高考评价体系，明确空间向量基本定理应用、数量积运算等高频考点的权重与常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“基础巩固+考点探究+真题训练”的三阶备考模式，如以正四面体数量积计算、平行六面体四点共面证明为例，深入剖析向量线性运算、共面定理应用等方法，培养学生空间观念与推理能力。提供证明模板与易错警示，助力学生掌握答题技巧，教师可据此高效组织复习，提升备考实效。

第45讲 空间向量及其运算和空间位 置关系 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.理解空间向量的概念,掌握空间向量基本定理及其意义,掌握空间向 量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示. 4.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 5.能够借助空间向量解决向量的共线、共面问题以及平行垂直问题. 课 标 要 求 3 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.空间向量的有关概念 名称 语言描述 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 自由向量 与向量的起点无关的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量（平行向量） 表示向量的两条有向线段所在的直线 _______________ 共面向量 平行于____________的向量 平行或重合 同一平面 课 前 基 础 巩 固 4 2.空间向量的有关定理 （1） 共线向量基本定理 空间两个向量 <m></m> , <m></m> 共线的充要条件是存在唯一的实数 <m></m> ,使得_________. <m></m> （2）共面向量定理 若两个向量 <m></m> , <m></m> 不共线,则向量 <m></m> 与向量 <m></m> , <m></m> 共面 <m></m> 存在唯一的有序实数对 <m>,</m> 使 <m></m> . （3） 空间向量基本定理 如果向量 <m></m> , <m></m> , <m></m> 是空间三个不共面的向量, <m></m> 是空间任意一个向量,那么存在唯一 的三元有序实数组 <m></m> ,使得 <m></m> ________________. 此时{a,b,c}叫作空间向量的一组基,其中a,b,c都叫作基向量. <m></m> 课 前 基 础 巩 固 5 (1)两个空间向量a,b的数量积:a·b=|a||b|cos<a,b>. (2)向量b在向量a方向上的投影向量与投影数量 ①投影向量:如图所示,已知两个非零向量a,b,在空间 任取一点O,作=a,=b,过点B作直线OA的垂线,垂足为点B1, 称向量为向量b在向量a方向上的投影向量,其长度为||b|cos<a,b>|. ②投影数量:向量b在向量a方向上的投影数量为|b|cos<a,b>==a0·b,其 中a0表示与向量a(a≠0)同方向的单位向量. 3.空间向量投影 课 前 基 础 巩 固 6 4.向量的坐标运算 设, 向量和 ________________________ 向量差 ________________________ 数量积 __________________ 共线 _________________________, 垂直 ______________________ 距离公式 已知,,则 __________________________________ ,, 课 前 基 础 巩 固 7 夹角公式 , 续表 5.空间位置关系的向量表示 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量 的有向线段所在直线与 直线平行或重合，则称向量为直线 的方向向量. （2）平面的法向量：直线 ，取直线的方向向量，则向量 为平面 的法向量.#3.2 课 前 基 础 巩 固 （3）空间位置关系的向量表示#3.3 位置关系 向量表示 直线， 的方向向量 分别为， 直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ， 平面 ， 的法向量 分别为， 课 前 基 础 巩 固 9 常用结论 1.已知为线段的中点，若,，则点 的坐标为 . 2.在空间中,为平面外一点，,,, 四点共面的充要条件是 其中 . 课 前 基 础 巩 固 10 题组一 常识题 1.［教材改编］若，， }为空间向量的一个基，则下列各组向 量中，能构成空间向量的一个基的共有___个. ，，；，， ； ，，；，， . 1 [解析] 与，共面， 不正确. ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 11 2.［教材改编］如图所示，在平行六面体 中，为与 的 交点.若，， ，则 ______________（用向量，， 表 示）. [解析] . 课 前 基 础 巩 固 12 3.［教材改编］已知直线，的方向向量分别为 ， ，若，则 ____. 10 [解析] ，，， 解得 . 课 前 基 础 巩 固 13 题组二 常错题 ◆ 索引：忽略向量共线与共面的区别;使用向量的数量积公式出错； 向量平行与向量垂直公式混淆，导致知向量平行或垂直求参数出错. 4.给出下列命题: ①若向量,共线,则向量, 所在的直线平行; ②若三个向量,,两两共面,则向量,, 共面; ③已知空间的三个向量,,,则对于空间的任意一个向量 ,总存在实 数,,使得 ; ④若,,,是空间任意四点,则有 . 其中为真命题的是____.（填序号） ④ 课 前 基 础 巩 固 14 [解析] 对于①，若与共线,则, 所在的直线可能平行也可能重合, 故①为假命题; 对于②，三个向量,, 中任意两个一定共面,但它们三个却不一定共面, 故②为假命题; 对于③，只有当,, 不共面时,空间任意一个向量才一定能表示 为 ,故③为假命题; 对于④，根据向量的运算法则可知④为真命题.故填④. 课 前 基 础 巩 固 15 5.已知直线，的方向向量分别是， ，若 ，则 ____． 18 [解析] 因为，所以，所以，解得, ， 所以 . 课 前 基 础 巩 固 16 6.若,,与的夹角为 ，则 的值为 ________. 17或 [解析] ，，与的夹角为 ， ，解得或 . 课 前 基 础 巩 固 17 探究点一 空间向量的线性运算 例1（1）如图，在四面体中， ， ，，且， ， 则 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］观察空间图形，根据几何关系，结合向量的线性运算， 即可求解； √ 课 堂 考 点 探 究 18 [解析] 如图，连接，因为 ， 所以， 因为 ，所以， 所以 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 19 （2）在空间直角坐标系中，已知点，， ， 若,,三点共线，则 的值为( ) A. B. C.0 D.1 ［思路点拨］分别求向量坐标，再利用三点共线得关于参数的方程 组，解方程组，求出,的值，即可得 . [解析] 由题可知, ， 因为, ,三点共线，所以,， 解得, ，所以 .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 20 [总结反思] 在向量的线性运算中,有以下几个关键点: （1）结合图形,以图形为指导是解题的关键,明确图形中各棱（线段） 的几何关系; （2）正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义; （3）平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间向量中仍然成立. 课 堂 考 点 探 究 21 变式题 如图，在直三棱柱中，， 分 别为棱，的中点.设， ， ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 在直三棱柱中，，分别为棱， 的中 点，则 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 22 探究点二 空间向量基本定理及其应用 例2 如图所示，在平行六面体中，， 分别在 和上，， . 课 堂 考 点 探 究 23 （1）求证：，，， 四点共面； ［思路点拨］利用共面向量定理，即可证明 ，，， 四点共面； ，，， 四点共面. 证明： ， 课 堂 考 点 探 究 24 （2）若 ，求 的值. ［思路点拨］把 作为一个基， 结合向量的线性运算即可求解. 解：， ，， ， . 课 堂 考 点 探 究 25 [总结反思] （1）证明空间三点,, 共线的方法: ; ②对空间任意一点, ; ③对空间任意一点, . 课 堂 考 点 探 究 26 （2）证明空间四点,,, 共面的方法: ① ; ②对空间任意一点, ; ③对空间任意一点,,,不共面 , ; ④或或 . 课 堂 考 点 探 究 27 变式题（1）已知,,, 为空间中四点，任意三点不共线，且 ，若,,,四点共面，则 的值为 ( ) A.2 B.1 C. D.0 [解析] 由,,,四点共面，得，即 . 故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 28 （2）设，是两个不共线的空间向量，若 ， ，，且，，三点共线，则实数 的值为__. [解析] ， ， ， ，，三点共线， ，又，不共线，， ， ， . 课 堂 考 点 探 究 29 探究点三 空间向量数量积及其应用 例3（1）如图，已知正四面体 的所有棱 长都等于2，，分别是， 的中点，则 ( ) A.2 B. C.3 D. ［思路点拨］利用空间向量基本定理，用, ,表示, ， 即可求出 ； √ 课 堂 考 点 探 究 30 [解析] 由题知， ，， 所以 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 31 （2）如图，在四棱柱 中，底 面为平行四边形，以顶点 为端点的三条棱长 都为1，且两两之间的夹角为，则 的值为 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］记,, ，根据空间向量的线性运算 表示出 ，根据向量模的计算即可得结果. √ 课 堂 考 点 探 究 32 [解析] 记,, ， 则,,,, ， 所以 . 所以 .故选D. 因为，所以 ， 课 堂 考 点 探 究 33 [总结反思] 空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用 模与夹角直接计算，二是利用坐标运算. 课 堂 考 点 探 究 34 变式题（1）在空间直角坐标系中，向量 在平 面上的投影向量为，在向量上的投影向量为 ， 则与 的夹角为( ) A. B. C. D.与 有关 √ [解析] 因为向量在平面上的投影向量为 ， 所以. 因为向量在向量 上的投影向量为， 所以，所以 ,， 所以与的夹角为 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 35 （2）如图，在正四面体中，,为 的中点，点在棱上，且，则, 两 点之间的距离为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 36 [解析] 设，， ，则 ， 为 的中点，， ， 课 堂 考 点 探 究 37 根据题意可知 ， 同理， ，代入上面式子， 得 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 探究点四 利用空间向量证明平行或垂直 例4 利用空间向量知识完成本题. （1）如图①，在长方体中，, , .线段上是否存在点，使得平面 ? ［思路点拨］取线段的中点，以 为原点建立空间直角坐标系， 用向量法求解线面关系即可. 课 堂 考 点 探 究 39 解：以为坐标原点，,, 所在直线分 别为，， 轴，建立如图所示的空间直角坐 标系，则，， ， ， . 设为线段的中点，则. 设平面的法向量为 ，由， ， 得 令，得，，则 . 课 堂 考 点 探 究 40 ， 因为 ， 所以,又 平面 , 所以线段上存在中点，使得平面 . 课 堂 考 点 探 究 （2）如图②，在平行六面体 中， , ，求证：直 线 平面 . ［思路点拨］设，， ，以它们为基表示 出，， ，结合已知并应用向量数量积的运算求证垂直， 即可证得结论. 课 堂 考 点 探 究 42 证明：设，，，则{,, } 为空间的一个基，则 ， ， . 因为, ， 所以， . 因为 ， ，， 所以 是平面 的一个法向量，所以直线 平面 . 课 堂 考 点 探 究 43 [总结反思] （1）利用向量证明平行问题 ①线线平行:方向向量平行. ②线面平行:平面外直线的方向向量与平面的法向量垂直. ③面面平行:两平面的法向量平行. 课 堂 考 点 探 究 44 （2）利用向量法证垂直问题的类型及常用方法. 线线垂直问题 证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量 积为零 线面垂直问题 直线的方向向量与平面的法向量共线,或利用线面 垂直的判定定理转化为证明线线垂直 面面垂直问题 两个平面的法向量垂直,或利用面面垂直的判定定 理转化为证明线面垂直 课 堂 考 点 探 究 45 变式题 如图①，在中， ， ， 为中点，于，延长交于，将沿 折起， 使平面 平面 ，如图②所示. 课 堂 考 点 探 究 46 （1）证明： 平面 . 证明： 平面 平面，且平面 平面 ， ， 平面 , 平面 . 课 堂 考 点 探 究 47 （2）在线段上是否存在点，使得平面 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 课 堂 考 点 探 究 48 解：假设在线段上存在点使得 平面 . 由（1）知 平面，则 ， 又,，，， 两两垂直. 以为坐标原点，分别以，， 所在直 线为,, 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设,则 ，，, ，则 ，,,, ， 所以, . 课 堂 考 点 探 究 49 设平面的法向量为 ,则即 令 ，则 . 设，其中 ， ， ，其中 ， ， 由，即 ，解得 ， 故在线段上存在点，使得平面 ，且 . 课 堂 考 点 探 究 课时作业 51 1.已知，， 三点在同一条直线上，则 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 [解析] 因为，， ， 所以，， 又，， 三点共线，所以， 解得，，所以 .故选C. √ ◆ 基础热身 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 2.[2025·北京延庆区期末]如图，几何体 是棱长都为2的直平行六面体， 且 ，则线段 的长为( ) A.16 B. C.4 D. [解析] 由题可知， 是棱长都为2的直平行六面体， 则,，且 ， 由 ， 可得 ， 所以 .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 3.已知点,,,为空间不共面的四点，且向量 ， 向量，则与, 不能构成空间的一个基的向量 是( ) A. B. C. D.或 [解析] ， 与， 不能构成空间的一个基.故选C． √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 4.已知正四面体的棱长为1，点在上，且，点 为的中点，则用基,, }表示为( ) A. B. C. D. [解析] 因为为的中点，所以 ， 所以，则 ， 所以 .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 5.如图所示，在平行六面体 中， , ，则 的 值为( ) A.1 B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 [解析] 因为 ， ，所以 .故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.（多选题）下面四个结论中正确的是( ) A.点关于平面对称的点的坐标是 B.若，则向量, 的夹角是钝角 C.若对空间中任一点，有,则,,, 四点 共面 D.若{,,}是空间的一个基，则{,, }也是空间的一 个基 √ √ [解析] 对于A，点关于 平面对称的点的坐标是 ，故A正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 对于B，当,反向时， ， 此时向量,的夹角为 ，不是钝角，故B错误； 对于C，因为对空间中任一点，有， 且 ，所以,,, 四点共面，故C正确； 对于D，设，即 ， 则解得 故,, 共面，不能构成空间的一个基，故D错误. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 7.已知向量a=(2,-2,1),b=(3,0,4),则向量a在向量b方向上的投影数量是 　　　　.  [解析]向量a在向量b方向上的投影数量为==2. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 8.在平行六面体 中， ，， ，则异面直 线与 的夹角的余弦值为__. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 在 中，由余弦定理得 . [解析] 在平行六面体中，， 则 是异面直线与 的夹角或其补角. . 由，可得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，在正三棱柱中，，，点为 的中点，点为棱 上一点. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 （1）若平面 平面直线 ，求证： ； 证明：连接交于点，连接. 因为， 分别为，的中点，所以 ， 又 平面， 平面， 所以 平面 ， 又 平面，平面 平面直线，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 （2）当平面 平面时，求 的长度. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 解：取的中点，连接, . 以为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设 ，则，可得， ，， . 设平面的法向量为 ，则 令，得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 设平面的法向量为 ，则 令，得 . 因为平面 平面，所以 ， 则，解得或 ， 所以 的长度为1或2. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.若正四面体的棱长为4，点满足 ，则 的最大值为( ) A. B. C. D. [解析] 将正四面体补成正方体 ， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正四面体的棱长为4， 所以正方体 的棱长为， √ ◆ 综合提升 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 则，，， 设 ，则， ，所以. 由 ， 化简得， 因为 ， 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设 ， ， ，则 ， 所以的最大值为 .故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [解析] 对于A，由正方体的性质可知， 即为 直线与的夹角， ，故直线 与的夹角为 ，故A中说法正确； 对于B，如图，设正方体的棱长为1，以为坐标原点， ,,所在的直线分别为,, 轴建立空间直角坐标系， 11.在正方体中，点,分别在, 上，且 ，则下列说法错误的是( ) A.直线与的夹角为 B. C.,,,四点共面 D.平面 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 则,, , ,,, , ，设，则 ， 因为, ,所以， 则 ，所以， ， 因为 ， 所以，即 ，故B中说法正确； 对于C，当时，点即点， 点即点 ，此时满足， 显然与 为异面直线，故与为异面直线， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即,,, 四点不共面，故C中说法错误； 对于D，由正方体的性质知 平面， 所以为平面 的一个法向量， 由选项B的证明可知，又 平面， 所以平面 ，故D中说法正确. 故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.（多选题）在正三棱柱中，， 是 的中点，是棱 上的动点，则( ) A. B.正三棱柱的体积为 C.若，则 D.直线与 是异面直线 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 74 [解析] 因为 平面， 平面 ， 所以，故A正确； 正三棱柱 的体积 ，故B错误； 取的中点，连接，因为 ，， 所以四边形 为平行四边形，所以， 因为 平面，所以 平面， 又因为, 平面，所以， ， 因为，为的中点，所以， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 75 设 ，以为坐标原点，建立如图所示的 空间直角坐标系，则 ,,, ， 所以,， 若 ，则，解得，所以 ，故C正确； ,, ， 设 ，则， 即 ,, ，解得,, ， 与矛盾，所以,, 不是共面向量， 所以与是异面直线，故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知空间四点，，， 构成梯形， 则实数 的值为___. 4 [解析] 因为空间四点构成梯形，所以四点首先共面， 则 ，即 ，所以 解得 当时，, ，所以，即， 且，此时四边形 为梯形，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 77 14.如图，在平行六面体中， 为的中点，，交平面 于点 ，则 的值为__. [解析] 设，其中， 因为为 的中点，，所以, , 所以，则. 因为 ,, ,四点共面，所以，解得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 78 15.如图，在四棱锥中， 平面， ， ，，，，为 的中点， . （1）证明： ； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 79 证明：由题意知 , ， 因为 平面， 平面 ，所以， 又, 平面， ，所以 平面 ， 又 平面，所以 . 因为 ， 所以， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 80 （2）若为线段上一点，且,,, 四点共面，求三棱锥 的体积. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 81 解：因为 平面，, 平面，所以 , ， 又，所以,, 两两垂直， 如图,以为坐标原点，,,的方向分别 为， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则,,,, ， 所以,,, . 设平面的法向量为 ，则 不妨令，则 , ，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 82 设, ，则 ， 因为,,, 四点共面，所以， 解得 ，即 ，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（多选题）如图所示的立体图形为正八面体，其棱长为1， 为棱 上的动点（包括端点），则( ) A. B. C.当时，直线与直线的夹角为 D. √ √ ◆ 能力拓展 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 84 [解析] 对于A，由题意知，该正八面体由两个正四棱锥组成， 易知正四棱锥的高为 ，所以该正四棱锥的体积为 ，所以该正八面体的体积为 ，故A错误； 对于B，将, 展开铺成一个平面，如图①， 当,,三点共线时， 取得最小值， 此时在中，, ， 由余弦定理得， 则 ， 故B正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 85 对于C，建立如图②所示的空间直角坐标系， 则 ,,,, ,， 设， ， 得, ， 则，所以 , ， 由 ，得 ， 解得， 即点与点 重合，此时 , ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线与的夹角为 ， 则，解得 ，故C正确； 对于D，由选项C知， , , ， 所以,， 由 ，知，即 ，故D错误. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $