第7单元 05 教材拓展5 三垂线定理及逆定理的应用（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“三垂线定理及逆定理的应用”核心考点，依据高考评价体系明确线线垂直证明、空间距离计算等考查要求，通过课本探源、定理证明及解读梳理知识脉络，结合典型例题分析立体几何中直角三角形判断、异面直线垂直等常考题型，突出备考针对性。 课件亮点在于“定理应用+真题演练+素养提升”的复习模式，如例1利用三垂线定理判断三棱锥中直角三角形数量，例2结合坐标法与定理法求解点到直线距离，培养学生的空间观念和推理能力。设置巩固演练含模拟题，帮助学生掌握“找线面垂直、定斜线投影”的解题技巧，教师可依托此课件系统开展专题复习，提升学生应试得分率。

教材拓展5 三垂线定理及逆定理的 应用 1 典型例题 巩固演练 2 课本探源 三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内 的投影垂直，则它也和这条斜线垂直. ［课本探源：北师大版选择性必修第一册P127］ 三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜 线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的投影垂直. 3 定理证明（三垂线定理） 如图，是平面 的斜线， 为斜足， ，为垂足， ，且 . 证明：因为，所以 ， 因为 ， ，所以，所以 . 因为 ，所以 ，所以 . 求证： . 4 定理解读 1.三垂线定理可以简记为“垂直投影，则垂直斜线”； 三垂线定理的逆定理可以简记为“垂直斜线，则垂直投影”. 2.在三垂线定理中，其内涵特征是“三垂”： 一垂 直线和平面垂直；二垂 垂直投影；三垂 垂直斜线. 特别注意：没有第一垂直（线面垂直），不能体现斜线在平面内的 投影，也就没有这样良好的定理了. 3.在三垂线定理的逆定理中，其内涵特征是“三垂”： 一垂 直线和平面垂直；二垂 垂直斜线；三垂 垂直投影. 5 典型例题 例1（1）如图所示，垂直于圆所在平面，为圆直径， 为圆 上异于, 的一点，则图中有___个直角三角形. 4 典 型 例 题 6 [解析] 因为 平面，所以 且 ，所以和 均为直角三角形. 因为是圆的直径，所以， 所以 为直角三角形． 因为，且为在平面 上的投影， 根据三垂线定理知，所以 为直角三角形． 故三棱锥 的四个面均为直角三角形. 典 型 例 题 7 （2）（多选题）如图，在正方体中，为底面的中心， 为所在棱 的中点，，为正方体的顶点.则满足 的是( ) A. B. C. D. √ √ 典 型 例 题 8 [解析] 方法一：设正方体的棱长为2. 对于A，如图①所示，连接，则 ， 故（或其补角）为直线与 的夹角. 在直角三角形中， ，， 则 ， 故 不成立，故A不满足题意. 对于B，如图②所示，取的中点， 连接，，则， . 由题意知 平面，因为 平面，所以 ， 典 型 例 题 9 又，所以 平面 ，因为 平面， 所以 ，又, ，所以 平面， 又 平面 ，所以 ，故B满足题意. 对于C，如图③，连接，则 ，由B的判断可得， 故 ，故C满足题意. 典 型 例 题 对于D，如图④，取的中点， 的中点， 连接,, ,, ， ,则. 因为， ,所以，故， 所以 或其补角为异面直线与 的夹角. 因为正方体的棱长为2，所以 ， ， ， 所以，则 不是直角，所以与 不垂直， 故D不满足题意.故选 . 典 型 例 题 方法二：由三垂线定理知， 直线在 所在平面 （正方体的底面或侧面）的投影垂直于 . 作图可知B，C两选项中满足 ，A，D两选项不满足.故选 . A. B. C. D. 典 型 例 题 [总结反思] 破解此类问题的关键：一是找或证线面垂直；二是判断斜线与投影； 三是用定理，利用三垂线定理或三垂线定理的逆定理，证明线线垂 直.但要特别注意解决以（长）正方体为载体的立体几何题，要熟练、 准确掌握（长）正方体的有关性质，一定要抓住（长）正方体中棱 与面的垂直关系，并能灵活运用. 典 型 例 题 13 例2 在矩形中， ，， 平面 ， 且，则点到直线 的距离为_____. [解析] 方法一：因为四边形 是矩形，所以, 又 平面, 平面 ，所以根据三垂线定理， 得,所以为点 到直线的距离. 在矩形中，因为 ，，所以. 在中，因为 ， 所以, 所以点到直线的距离为 . 典 型 例 题 14 方法二：以为坐标原点，,, 的方向分别为,, 轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系. 在矩形中， ， ，所以,， 所以, , ， 所以 ,, 所以,所以为点 到直线的距离. 因为 , 所以点到直线的距离为 . 典 型 例 题 15 [总结反思] 破解空间距离、角的问题的关键：一是用定理，三垂线定理及其逆 定理都是由“四线、三垂直、一平面”组成的，分析问题时必须先找 全条件才能用定理；二是用定义，空间角问题利用定义，找出空间 角，距离问题可找垂线，即寻找点到直线的垂线，用三垂线定理及 其逆定理来“定位”；三是会计算，会利用解直角三角形，求出空间 距离、角. 典 型 例 题 16 巩固演练 1.[2025·山东滨州二模] 在三棱锥中， 平面 , ,，点为 内（包含边界）一点， 且，则点 的轨迹的长度为__. 巩 固 演 练 17 [解析] 因为 平面，且 平面 ，所以， 由, ，可得，所以 ， 又，, 平面，所以 平面. 因为 平面，所以 ，如图所示， 连接. 因为，，, 平面， 所以 平面，又 平面，所以， 所以点落在以 为直径的四分之一圆上. 因为，所以点的轨迹长度为 . 巩 固 演 练 18 2.[2026·上海杨浦区调研] 中国古代数学著作《九章算术》中，将底 面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图，在堑堵 中，已知, ，则二面角 的大小为____. 巩 固 演 练 19 [解析] 在堑堵中， 平面 ， 平面，则 ， 又，, , 平面，所以 平面. 由 ，根据三垂线定理，得， 所以即为二面角 的平面角， 在中，，则 . 故二面角的大小为 . 巩 固 演 练 20 $