第7单元 02 第42讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“空间点、直线、平面位置关系”核心考点，依据课标要求梳理平面基本事实及推论、空间线线/线面/面面位置关系、异面直线判定、等角定理四大考查模块，通过近5年高考真题分析明确共面共线共点证明、异面直线判定等高频考点占比，归纳出证明题、判定题等典型题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“基础夯实+考点突破+真题实战”的三阶复习策略，如以2025年山东济南三模异面直线判定题为例，运用“反证法+平面外一点与平面内直线关系定理”培养学生空间观念和推理能力，针对等角定理应用总结“找平行—证方向—得结论”技巧，帮助学生高效掌握答题方法，教师可依托课件精准定位学情，提升复习针对性。

第42讲 空间点、直线、平面之间的 位置关系 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上, 抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义. 2.了解4个基本事实和1个定理. 课 标 要 求 3 1.基本事实 基本事实1：过________________的三个点，有且只有一个平面. 基本事实2：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直 线在这个平面内. 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只 有一条过该点的公共直线. 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线______. 不在一条直线上 两个点 平行 ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 4 2.三个推论 推论1:一条直线和该　 　一点确定一个平面.  推论2:两条　 　直线确定一个平面.  推论3:两条　 　直线确定一个平面.  直线外 相交 平行 课 前 基 础 巩 固 5 3.空间直线的位置关系 （1）位置关系的分类 相交 平行 任何 （2）等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这 两个角____________. 相等或互补 课 前 基 础 巩 固 6 4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与 平面 相交 ___个 平行 ___个 在平面内 ______个 1 0 无数 课 前 基 础 巩 固 7 图形语言 符号语言 公共点 平面与 平面 平行 ___个 相交 ______个 0 无数 续表 课 前 基 础 巩 固 8 题组一 常识题 1.［教材改编］已知下列四个说法： ①三点确定一个平面；②两个平面可以只有一个公共点；③三条平 行直线一定共面；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面. 其中正确的说法的序号是____. ④ ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 9 [解析] 对于①，共线的三点不能确定一个平面，故①错误； 对于②，若两个平面有一个公共点，则这两个平面有一条经过该点 的公共直线，该交线上有无数个公共点，故②错误； 对于③，三条平行直线可能共面，也可能有一条直线在另外两条 平行直线确定的平面外，故③错误； 对于④，当三条直线两两相交且三个交点不重合时，三条直线共面， 当三条直线两两相交于一个点时，这三条直线可能在同一个平面内， 也可能不共面，此时其中任意两条直线都可以确定一个平面，共可 以确定3个平面，故④正确.故填④. 课 前 基 础 巩 固 10 2.［教材改编］如图所示，平面 平面 ， ， ， ， ，，则平面与平面 的交线 是________. 直线 [解析] 由题意知，， ，所以 ， 又因为 ，所以 平面， 所以点在平面与平面 的交线上. 又因为 平面， ， 所以点在平面 与平面 的交线上， 所以平面 平面 . 课 前 基 础 巩 固 11 3.［教材改编］已知角 的两边和角 的两边分别平行且 ， 则 ___________. 或 [解析] 角 的两边和角 的两边分别平行且 ， 由等角定理可知， 或 ，则 或 ． 课 前 基 础 巩 固 12 题组二 常错题 ◆ 索引：对异面直线的概念理解不清致误;等角定理理解不透致误； 判断空间点、线、面位置关系时不全面或不清楚致误. 4.已知 是一个平面，，是两条不同的直线， 是一个点，若 ， ，且， ，则， 的位置关系不可能是 ____.（填序号） ①垂直;②相交;③异面;④平行. ④ [解析] 依题意，， ， 与 可能异面、相交（垂直是相交的特例）， 与 一定不平行.故填④. 课 前 基 础 巩 固 13 5.如图，在四棱柱 中，底面是梯 形，，则所有与 相等的角是 _______________________. ,, [解析] 在四棱柱中， , ，并且与 的方向相同， 根据等角定理，， 又四边形、四边形 都是平行四边形， 所以， 所以与相等的角是 ,, . 课 前 基 础 巩 固 14 6.如图，在三棱锥中，，，， 分别 是棱，，， 的中点，则 （1）当， 满足条件_________时，四边形 为菱形； [解析] 由题意知，， ， ， ，且，，， ， 四边形为平行四边形， 四边形 为菱形， ， . 课 前 基 础 巩 固 15 （2）当， 满足条件___________________ 时，四边形 为正方形. 且 [解析] 四边形为正方形， 且， 且 . 课 前 基 础 巩 固 16 探究点一 平面的基本事实与推论的应用 例1 如图，在多面体中，四边形和四边形 均 为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中 ， ，且 . 课 堂 考 点 探 究 17 （1）证明：，，， 四点共面. ［思路点拨］欲证，，， 四点共面，观图作出辅助线，只需证 ，即可得结果； 课 堂 考 点 探 究 18 证明：如图①，取,的中点分别为, ， 连接,,，则, 因为四边形 和四边形均为正方形， ，且，， 所以四边形, 均 为平行四边形， 所以， ， 所以四边形为平行四边形，所以，所以 ， 所以，，， 四点共面. 课 堂 考 点 探 究 19 （2）证明：,, 三条直线交于一点. ［思路点拨］欲证,, 三条直线交于一点，先说两线交于一点， 即延长,，设它们交于一点，再证 经过这个交点，利用三角 形相似与相似比，即可得结果. 课 堂 考 点 探 究 20 解：如图②，延长,，设它们交于一点 ， 因为，且， 所以 ， 则 . 延长,，设它们交于一点 ， 因为，且 ， 所以 ，则 . 综上，和是同一个点，所以,, 三条直线交于一点. 课 堂 考 点 探 究 21 [总结反思] 证明共面、共线、共点问题的一般方法: （1）证明共面的方法: ①先确定一个平面,然后证明其余的线（或点）在这个平面内;②证明 两平面重合. （2）证明共线的方法: ①先由两点确定一条直线,再证明其他各点都在这条直线上;②直接证 明这些点都在同一条特定直线上. （3）证明共点的方法:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经 过该点. 课 堂 考 点 探 究 22 变式题 在正方体中,,分别为, 的中点, , .求证: （1）,,, 四点共面; 证明：如图所示,连接 . 因为是 的中位线, 所以 ， 在正方体中, , 所以,所以,,, 四点共面. 课 堂 考 点 探 究 23 （2）若交平面于点,则,, 三点共线; 解：设平面为 ,平面为 ， 因为,所以 ， 又,所以 ,所以是 与 的公共点, 同理,是 与 的公共点,所以. 又,所以, ,且 , 则,所以,, 三点共线. 课 堂 考 点 探 究 24 （3）,, 三线交于一点. 解：因为且,所以与相交, 设交点为 ,由, 平面,得 平面, 同理, 平面 . 又平面 平面, 所以,所以,, 三线交于一点. 课 堂 考 点 探 究 25 探究点二 异面直线的判定 例2（1）[2025·山东济南三模]如图，下列正方体中，，，， 分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线和 为异面 直线的是( ) A. B. C. D. ［思路点拨］由已知，结合正方体的结构特征及基本事实4、异面直 线的定义，逐项判断； √ 课 堂 考 点 探 究 26 [解析] 对于A，如图①，因为， 所以,,, 四点共面，故A不符合题意； 对于B，如图②，因为， 所以,,, 四点共面，故B不符合题意； 对于C，如图③，因为， 所以,,, 四点共面，故C 不符合题意； 对于D，如图④，因为 平面， 平面 ， 平面， 直线， 所以与 是异面直线，故D符合题意.故选D. 课 堂 考 点 探 究 27 （2）若和是异面直线，和是异面直线，则和 的位置关系是 ( ) A.异面或平行 B.异面或相交 C.异面 D.相交、平行或异面 ［思路点拨］借助长方体，判断直线， 的位置关系. √ 课 堂 考 点 探 究 28 [解析] 如图，在长方体 中. ①若直线记为直线，直线记为直线 ， 直线记为直线，此时和 相交； ②若直线记为直线，直线记为直线 ，直线 记为直线，此时和平行； ③若直线 记为直线，直线记为直线，直线记为直线， 此时和 异面.故选D. 课 堂 考 点 探 究 29 [总结反思] 异面直线的判定方法: ①利用反证法,先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交, 由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线 是异面直线; ②根据定理:平面外一点与平面内一点的连线和平面内不经过点 的直线是异面直线来判断. 课 堂 考 点 探 究 30 变式题（1）已知直线，，，，且，为异面直线， 平面 ， 平面 .若满足， ，则下列说法中正确的是 ( ) A. B. C.若，则 D. √ 课 堂 考 点 探 究 31 [解析] 若，因为 平面 ， ，所以 ， 同理，过上一点作直线的平行线，则， 设由和 确定的平面为 ，则 ，而，， 同上可知 ，故 ，选项C正确； 有可能 ，所以选项A错误； 由上可知 ，且 ，所以 或 ，选项B错误； 不一定成立，选项D错误.故选C. 课 堂 考 点 探 究 32 （2）（多选题）[2025·福建宁德联考]如图，在 正方体中，， 分别为棱 , 的中点，则以下四个结论中，正确的 有( ) A.直线与是相交直线 B.直线与 是异面直线 C.与平行 D.直线与 共面 √ √ 课 堂 考 点 探 究 33 [解析] 对于A，因为,, 三点都在平面内， 点不在直线上， 点不在平面内， 所以直线与 是异面直线，故A错误； 对于B，因为,, 三点都在平面内， 点不在直线上， 点不在平 面内， 所以直线与 是异面直线，故B正确； 课 堂 考 点 探 究 34 对于C，如图，取的中点，连接,， 因为为 的中点， 所以，， 所以四边形 是平行四边形， 所以，又，所以与 不平行，故C错误； 对于D， 连接,,，因为，分别为棱, 的中点， 所以， 由正方体的性质可知，所以， 所以 ,,,四点共面，所以直线与共面，故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 探究点三 等角定理的应用 例3 如图所示，和 的对应顶点的连线 ，，交于同一点，且 ， 则 __. ［思路点拨］观察空间图形的特征，利用等角定理，判断与 ，与 的关系，再利用， 即可得 的值. 课 堂 考 点 探 究 36 [解析] 因为，且 ， 所以，同理， ， 因为, ，所以 ， 同理， 所以 ， 因为，所以 . 课 堂 考 点 探 究 37 [总结反思] 利用等角定理解题的步骤： ①找平行：即观察空间图形，判断两个角的两边是否分别对应平行； ②用定理：利用等角定理，得两个角相等或互补，从而解决相关的 问题； ③下结论：若是证明角相等，需注意角两边的方向，即可得证；若 是面积比，就利用任意三角形的面积公式，即可得结果. 课 堂 考 点 探 究 38 变式题 （多选题）如图所示，在四面体 中，，，，，分别是,,,, 的 中点，则下列说法正确的是( ) A.四边形是菱形 B. C. D.四边形 为矩形 √ √ 课 堂 考 点 探 究 39 [解析] 由三角形中位线的性质知 ，，， ，所以, ， 所以四边形 为平行四边形，但不能确定是否为菱形或矩形， 故A，D不正确. 在 中，由中位线定理得, 在 中，由中位线定理得, 所以由等角定理知，，故B正确. 在 中，由中位线定理得, 因为,, , 所以，, , 所以，故C正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 40 课时作业 41 1.下列说法正确的是( ) A.任何一个平面图形都是一个平面 B.平面就是平行四边形 C.圆心和圆上两点可确定一个平面 D.梯形可确定一个平面 √ ◆ 基础热身 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 [解析] 平面是无限延展的，而平面图形有边界，故A，B错误； 若圆心与圆上两点共线，即在一条直径上，可确定无数个平面， 故C错误； 由平面的基本性质知，梯形可以确定一个平面，故D正确.故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 2.已知直线在平面 内，直线与平面 相交于点，且点 不在直 线 上，则它们的关系表达正确的是( ) A. , ,,共面 B. , ,, 共面 C. ,,,异面 D. ,,, 异面 [解析] 直线在平面 内，即 ， 直线与平面 相交于点 ，即， 则, ，点不在直线上，即 ， 根据异面直线的定义可知直线, 是异面直线.故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 3.[2025·山东临沂模拟]不重合的直线， 平行的一个充分条件是 ( ) A.， 都垂直于同一个平面 B.， 与同一个平面的夹角相等 C.， 都平行于同一个平面 D.， 都垂直于同一条直线 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 [解析] 对于A，若，都垂直于同一个平面，则 ，故A正确； 对于B，若，与同一个平面的夹角相等， 则直线， 可能相交、平行或异面，故B错误； 对于C，若， 都平行于同一个平面， 则直线，可能相交、平行或异面，故C错误； 对于D，若， 都垂直于同一条直线， 则直线， 可能相交、平行或异面，故D错误.故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 4.已知空间中不过同一点的三条直线，，，则“，， 在同一 平面”是“，， 两两相交”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 [解析] 依题意，,,是空间中不过同一点的三条直线， 当,, 在同一平面时，可能有，故不能得出,,两两相交. 当,, 两两相交时，设,, ， 根据基本事实的推论2可知,确定一个平面 ， 而 , ，根据基本事实2可知， 直线 ，即 ，所以,, 在同一平面. 综上所述，“,,在同一平面”是“,, 两两相交”的必要不充分条件. 故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 5.如图，点为正方形的中心，点 在平面 外，是线段 的中点，则下列各选项中两 条直线不是异面直线的为( ) A.与 B.与 C.与 D.与 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 [解析] 因为在平面内，不在直线上， 不在平面内， 所以与异面； 因为 在平面内，不在直线上， 不在平面 内，所以与异面； 因为在平面内， 不在 直线上， 不在平面内，所以与异面； 如图，连接 ,,，因为点为正方形的中心， 所以为的中点， 又 为的中点，所以，所以,,,四点共面， 所以与 不是异面直线.故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 6.[2025·辽宁大连二十四中质检]如图，在三棱 柱中，点,,,分别为 , ,, 的中点，则下列说法错误的是 ( ) A.,,,四点共面 B.与 是异面直线 C. D.,, 三线共点 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 [解析] 因为,,,分别为,,, 的中点， 所以，，所以， 所以, ,, 四点共面，故A中说法正确. 因为 平面， 平面，， 平面，所以与 是异面直线，故B中说法正确. 由 ，且 可知，四边形是梯形， 若 ，则梯形是等腰梯形， 而题设条件无法得出 ，故C中说法错误. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 如图，设，则， 又 平面，所以 平面， 同理可得 平面， 因为平面 平面 ， 所以，所以,, 三线共点， 故D中说法正确.故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.在正方体中，与 异面的棱有___条. 6 [解析] 如图，在正方体 中， 与异面的棱有，，，， ， ，共6条. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 54 8.在三棱锥中，,,,分别是,, 的中点，则 ____. [解析] 如图，由题意知，, ， 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 55 9.如图，在空间四边形中，,分别是 , 的中点，,分别在, 上，且 . （1）求证：,,, 四点共面； 证明：,分别为,的中点， ， ， ， ， ,,, 四点共面. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 56 （2）设与交于点，求证：,, 三点共线. 解：连接，， 平面， 平面 ， 平面， 平面 ， 又平面 平面 ， ，,, 三点共线. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 57 10.下列各图是正方体或正四面体，，，， 分别是所在棱的中 点，这四个点不共面的图形是( ) A. B. C. D. √ ◆ 综合提升 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 58 [解析] 对于A，如图①，，，， 分别是所在棱的中点， ，,， 四边形 是平行四边形， ，，,,,四点共面. 对于B，如图②，取 的中点，由，，，分别是所在棱的中点， 可得, 交于直线延长线上一点， ，，，四点共面，设为平面 ， ，，，，四点共面，设为平面 ， , 都经过不共线的，，三点， 与 重合， ，，， 四点共面. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 59 对于C，如图③，，，，分别是所在棱的中点， ,，， ，，， 四点共面. 对于D，如图④， 平面， 平面且， 与 为异面直线，，，， 四点不共面.故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.（多选题）已知，是异面直线， ， ，那么 ( ) A.当 或 时， B.当 且 时， C.当 时， 或 D.当 ， 不平行时，与 不平行，且与 不平行 √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 61 [解析] 对于A，当 ， 时， ； 当 ， 时， ，故A正确. 对于B，当 ， 时，因为, 为异面直线，所以 ， 故B正确. 对于C，当 时，由 ，得 或与 相交； 当 时，由 ，得 或与 相交，故C错误. 对于D，当 , 不平行时，可能 或与 相交， 或与 相交，故D错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 62 12.（多选题）在长方体 中，直线与平面的交点为， 为 的中点，则下列结论正确的是 ( ) A.,,三点共线 B.，，， 四点共面 C.，，，四点共面 D.，，， 四点共面 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 63 [解析] 因为，所以,,, 四点共面. 因为，所以 平面， 又 平面， 所以点 在平面与平面 的交线上， 同理，，也在平面与平面 的 交线上， 所以,,三点共线，，，， 四点共面，故A，B正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 64 ,,三点均在平面内，而点不在平面 内， 所以直线与平面相交且点是交点， 所以点不在平面 内，即,,,四点不共面，故C错误； 点在直线上，点在直线 上， 所以，，， 四点都在平面内， 所以，，， 四点共面， 故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.设有下列四个命题： 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. 过空间中任意三点有且仅有一个平面. 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. 若直线 平面 ，直线 平面 ，则 . 则上述命题中是真命题的为_______. ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 66 [解析] 对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为 ， 若与相交，则交点在平面 内， 同理，与的交点 也在平面 内， 所以 ，即 ，故命题为真命题. 对于命题 ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个， 故命题 为假命题. 对于命题 ，空间中两条直线的位置关系有相交、平行或异面， 故命题为假命题. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 67 对于命题，若直线 平面 ，则垂直于平面 内所有直线， 因为直线 平面 ，所以，故命题 为真命题. 综上可知，，为真命题，, 为假命题. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 68 14.[2025·江西部分高中联考] 如图，正方体 的棱长 为1，，分别为，的中点，在上，且 ， 平面与棱所在直线交于点，则 __. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 69 [解析] 根据正方体的性质可得平面 与平面 平行， 利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线,平行， 过点作直线 的平行线与 的延长线交于一点， 此交点即为平面与棱所在直线的交点，连接，如图所示. 易知四边形 是平行四边形，所以， 又，分别为， 的中点，所以. 因为 ，所以 ， 所以， 又因为，所以 ， 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 70 15.如图，在四棱锥中，，，， 是 的中点，,分别在,上，且, . （1）证明：,,, 四点共面； ◆ 能力拓展 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 71 证明：如图所示，取的中点，连接 , ，因为,分别是, 的中点，所以 . 因为,， 所以 且 ， 又，，所以，且，所以四边形 为平行四边形，所以 . 因为，所以 ， 则,,, 四点共面. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 72 （2）若, 平面, ，求四棱锥 的体积. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 73 解：如图所示，过点作交于点 ， 则, ， 可得 ， . 连接, ，则 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 74 $