第7单元 01 第41讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“基本立体图形、表面积与体积”核心考点，依据课标要求覆盖结构特征描述、公式应用及直观图画法，对接高考评价体系分析体积计算（占比45%）、表面积公式（30%）等高频考点，归纳选择填空及解答题常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+技巧突破+素养提升”策略，如以2022新高考Ⅰ卷棱台体积题为例，详解割补法与祖暅原理应用，培养数学思维中的推理能力和运算能力。特设易错点警示（如分类讨论漏解）和答题模板，助力学生掌握空间观念与几何直观，教师可依托知识网络与分层训练实现高效复习。

1.知识网络 单 元 教 学 设 计 1 2.课时安排 本单元共7讲、1个教材拓展、3个增分微课、1个培优专题、2个重点 强化练，每讲建议1课时完成,教材拓展、培优专题建议1课时完成， 3个增分微课建议各1课时完成，2个重点强化练建议各1课时完成,本 单元大约共需14课时. 单 元 教 学 设 计 2 第41讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 3 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 4 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形,掌握柱、锥、台、球及简单 组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.知道棱柱、棱锥、棱台、球的表面积和体积的计算公式,能用公式 解决简单的实际问题. 3.能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱 及其简单组合体）的直观图. 课 标 要 求 5 1.空间几何体的结构特征 （1）多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相______且 ____________ 多边形 互相______且 ______ 平行 全等 平行 相似 ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 6 名称 棱柱 棱锥 棱台 侧棱 ____________ 相交于 ______， 但不一定相等 延长线交于 ______ 侧面形状 ____________ ________ ______ 平行且相等 一点 一点 平行四边形 三角形 梯形 续表 课 前 基 础 巩 固 7 （2）旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等， ______于底面 相交于 __________ 延长线交于 ______ 垂直 一点 一点 课 前 基 础 巩 固 8 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 轴截面 全等的 ______ 全等的 __________ 全等的 __________ ____ 侧面展 开图 ______ ______ ______ 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 矩形 扇形 扇环 续表 课 前 基 础 巩 固 9 2.直观图 （1）画法：常用____________. 斜二测画法 （2）规则： ①原图形中轴、轴、轴两两垂直，直观图中轴、 轴的夹角为 或 ，轴与轴和 轴所在平面______. 垂直 ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍__________________， 平行于轴和轴的线段在直观图中保持原长度______，平行于 轴的 线段，长度在直观图中变为原来的______. 分别平行于坐标轴 不变 一半 课 前 基 础 巩 固 10 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 _____ ____ __________ 课 前 基 础 巩 固 11 4.柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体 _____ 锥体 _ _____ 台体 球 ______ _ _____ （其中柱体、锥体、台体的高为，球的半径为 ） 课 前 基 础 巩 固 12 常用结论 1.与体积有关的几个结论 （1）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． （2）底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等 （祖暅原理）． 2.直观图与原平面图形面积间的关系： ， . 课 前 基 础 巩 固 13 3.球的截面的性质 （1）球的任何截面都是圆面; （2）球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面; （3）球心到截面的距离与球的半径及截面的半径 的关系为 . 课 前 基 础 巩 固 14 题组一 常识题 1.［教材改编］下列说法中错误的是______. ①经过不共面的四点的球有且仅有一个；②平行六面体的每个面都 是平行四边形；③正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直；④棱台的 每条侧棱均与上下底面不垂直； ⑤有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体叫作棱锥. ④⑤ ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 15 [解析] 对于①，经过不共面的四点的球，即为由这四个点组成的 四面体的外接球，有且仅有一个，故①中说法正确； 对于②，平行六面体的每 个面都是平行四边形，故②中说法正确； 对于③，正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直，故③中说法正确； 对于④，棱台的每条侧棱延长后交于一点，侧棱有可能与底面垂直， 故④中说法错误； ⑤有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体叫 作棱锥是错误的,因为这些三角形不一定有一个公共顶点， 如图.故填④⑤. 课 前 基 础 巩 固 16 2.［教材改编］如图是用斜二测画法画出的水平 放置的的直观图（图中虚线分别与轴、 轴平行），则原图形的底边 的长是___， 高是____. 4 16 [解析] 根据题意，原图形的底边 的长为4，高为16. 课 前 基 础 巩 固 17 3.［教材改编］已知圆锥的表面积为 ，其侧面展开图是一个 半圆，则圆锥的底面半径为___ . 2 [解析] 设圆锥的底面半径为，母线长为 ，由条件得 可得 . 课 前 基 础 巩 固 18 题组二 常错题 ◆ 索引：对空间几何体的相关公式掌握不牢致误；对空间几何体的 结构特征认识不到位致误;几何体形状不确定时,不会分类讨论致误. 4.已知正四棱台上底面边长为，侧棱和下底面边长都是 ， 则它的体积为_ _____ . 课 前 基 础 巩 固 19 [解析] 如图，设正四棱台 的上、 下底面的中心分别为，，连接，， ， 结合正四棱台的性质可知四边形 为直角梯形， 且， ， 所以 ， 即正四棱台的高为 ， 所以正四棱台的体积为 . 课 前 基 础 巩 固 20 5.如图所示，将一个长方体用过同一顶点的三条棱 中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下 的几何体体积的比为______. [解析] 设长方体的过同一顶点的三条棱的长分别为，， ， 则截出的棱锥的体积 ， 剩下的几何体的体积， 所以 . 课 前 基 础 巩 固 21 6.圆柱的侧面展开图是边长为 和 的矩形，则圆柱的体积是 ____________. 或 [解析] 设圆柱的底面半径为.若圆柱的母线长是 ,则 ， 所以，所以圆柱的体积为 . 若圆柱的母线长是 ,则，所以 ， 所以圆柱的体积为. 故圆柱的体积是或 . 课 前 基 础 巩 固 22 探究点一 基本立体图形与直观图 角度1 直观图 例1 如图，矩形 是用斜二测画法画出的 水平放置的一个平面四边形 的直观图，其 中,，那么 的面积为 ( ) A.4 B. C.8 D. ［思路点拨］求出矩形 的面积，再利用斜二测画法中直观图 面积与原图形面积的关系，求得结果. √ 课 堂 考 点 探 究 23 [解析] 依题意，矩形的面积 ， 因为斜二测画法中直观图面积是原图形面积的， 所以的面积为 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 24 [总结反思] （1）在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.平行于 轴的线段 平行性不变，长度不变；平行于 轴的线段平行性不变，长度减半. （2）按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的 面积的关系： 课 堂 考 点 探 究 25 变式题 如图，是水平放置的 用 斜二测画法画出的直观图，若 是边长 为3的等边三角形，则 的面积为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 26 [解析] 如图，过点作轴，并与 轴交于点， 则 ， ，， 则 ，得， 则的高为 ，面积为 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 角度2 展开图 例2 如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线 长为3，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 出发，绕圆 锥爬行一周后回到点 处，若该小虫爬行的最短路程 为 ，则这个圆锥的高为_____，体积为_ _____. ［思路点拨］根据最短路程为圆锥的侧面展开图中 ，由余弦定理 求得及 ，再求得圆锥的高与体积. 课 堂 考 点 探 究 28 [解析] 作出该圆锥的侧面展开图，如图所示， 该小虫爬行的最短路程为 ， 由余弦定理可得 ， 所以. 设底面圆的半径为，则有 ， 解得， 所以这个圆锥的高 ， 体积 . 课 堂 考 点 探 究 29 [总结反思] 在解决空间折线段最短问题时可适当考虑其展开图,将空间问题平面化. 课 堂 考 点 探 究 30 变式题（1）[2025·贵州贵阳七校联考]现有一把折 扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为 ， 上板长为 ，若把该扇环围成一个圆台，则圆台 的高为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 31 [解析] 设小扇形的半径为 ，则大扇形的半径为 ， 设圆台的上、下底面的半径分别为，， 则 ，，所以 ， 所以 ， 所以圆台的高为 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 32 （2）某三棱柱的平面展开图如图所示，网 格中的小正方形的边长均为1，是线段 上的点，则在原三棱柱中， 的最小 值为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 33 [解析] 将展开图还原成立体图形得到三棱柱 ，如图①. 由已知可得，，，， 易知 为直角三角形且 . 将三棱柱的上底面沿翻折至平面上， ， 在两侧,连接，如图②所示. 因为， ，所以， 则的最小值为 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 34 探究点二 简单几何体的表面积与体积 微点1 侧面积和表面积 例3（1）已知某圆锥的轴截面是正三角形，从该圆锥高的一半处作 平行于底面的平面截圆锥得一个小圆锥和一个小圆台，则该小圆台 与原圆锥的表面积之比为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］设原圆锥的底面半径为2，由圆锥和圆台的表面积公式 计算可得. √ 课 堂 考 点 探 究 35 [解析] 不妨设原圆锥的底面半径为2，则高为 ， 则原圆锥的表面积为 . 小圆台的上、下底面的面积之和为 ， 侧面积为 ，则表面积为 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 36 （2）[2025·辽宁锦州质检]如图，攒尖是中国古代 建筑中屋顶的一种结构形式，多见于亭阁式建筑. 某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近 似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的高为1且侧 棱长为 ，则该正六棱锥的侧面积为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］设底面边长为，根据侧棱长和高求出 ，进而求 出棱锥的斜高，最后求出棱锥的侧面积. √ 课 堂 考 点 探 究 37 [解析] 设正六棱锥的底面边长为 ，则由正六边形的 性质可知底面中心到底面顶点的距离为 ， 又正六棱锥的高为1且侧棱长为 ， 根据正六棱锥的性质得，解得 ， 所以侧面等腰三角形的 高 ， 所以该正六棱锥的侧面积 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 38 [总结反思] 求空间几何体表面积的方法: （1）旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄 清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系; （2）多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积注意衔 接部分的处理. 注意表面积与底面积、侧面积的区别. 课 堂 考 点 探 究 39 微点2 体积 例4（1） 新课标Ⅰ卷］已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧 面积相等，且它们的高均为 ,则圆锥的体积为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］设出底面半径，通过高结合侧面积相等，求出底面半 径，然后求解圆锥的体积； [解析] 设底面半径均为，圆锥的母线长为，则 . 由题可知,解得,则, , 圆锥的体积 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 40 （2）[2025·山东烟台三模]如图，在六面体 中， 平面，四边形与 为两个全等的矩形， 且，，若 ， ，则该六面体的体积为( ) A.14 B. C. D.24 √ 课 堂 考 点 探 究 41 ［思路点拨］先根据题意把六面体 看成长方体的 一部分，再结合柱体体积和锥体体积用该长方体的体积减去多余部 分的体积即可求解. [解析] 在长方体 中， ， ， 根据题意可知，六面体 可以 看成长方体 的一部分. 课 堂 考 点 探 究 42 因为长方体 的体积， 直三棱柱 的体积 ， 直三棱柱 的体积 ， 三棱锥 的体积 ， 所以六面体 的体积为 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 求空间几何体体积的常用方法: （1）公式法:规则几何体的体积,直接利用公式进行求解; （2）割补法:把不规则的几何体分割成规则的几何体,或者把不规则 的几何体补成规则的几何体; （3）等体积法:通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,特 别是三棱锥的体积. 课 堂 考 点 探 究 44 应用演练 1.[2022·新高考全国Ⅰ卷]南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短 缺问题，其中一部分水蓄入某水库，已知该水库水位为海拔 时，相应水面的面积为;水位为海拔 时，相应水面 的面积为 .将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台， 则该水库水位从海拔上升到 时，增加的水量约为 ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 45 [解析] 由题意知，水库水位为海拔 时，相应水面（棱台的上 底面）的面积为, 水库水位为海拔 时，相应水面（棱台的下底面）的面积 为 , 水面上升的高度为 ， 所以增加的水量（棱台的体积） .故选C. 课 堂 考 点 探 究 46 2.[2025·重庆七校联盟质检]如图，在直三棱柱 中，底面是正三角形， ， ，为的中点，则三棱柱 截去三棱锥 后所得几何体的表面积为( ) A. B. C.12 D. √ 课 堂 考 点 探 究 47 [解析] 由题意得 ， ， ， 因为，所以 ， 所以 ， ， ， 课 堂 考 点 探 究 48 易知， ， ， 所以三棱柱截去三棱锥 后所得几何体的表 面积为 . 故选A. 课 堂 考 点 探 究 3.（多选题）如图，圆锥 的底面半径为3，高为 ，过靠近点的三等分点 作平行于底面的截 面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正 确的是( ) A.圆锥的母线与底面的夹角为 B.圆锥的侧面积为 C.挖去圆柱的体积为 D.剩下几何体的表面积为 √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 50 [解析] 如图，因为圆锥 的底面半径为3，高为， 所以母线长，则 ， 即圆锥的母线与底面的夹角为 ，故A正确； 圆锥的侧面积 ，故B错误； 因为为 的三等分点，所以, ， 则圆柱的体积为 ，故C正确； 圆柱的侧面积 ，则剩下几何体的表面 积 ，故D正确. 故选 . 课 堂 考 点 探 究 51 4.[2023·新课标Ⅱ卷］底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面 所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积 为____. 28 [解析] 方法一：依题意可知，原正四棱锥的高为6，故棱台的体积 . 方法二：由题可知所得棱台的高为3，上底面是边长为2的正方形， 下底面是边长为4的正方形， 由棱台的体积公式可得棱台的体积 . 课 堂 考 点 探 究 52 课时作业 53 1.已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为6，则该正 四棱台的体积为( ) A.60 B.20 C.40 D.56 [解析] 因为正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为6， 所以该正四棱台的体积 .故选D. √ ◆ 基础热身 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 54 2.将一个半径为的金属球熔化后，先浇铸成6个半径为 的小 球，再把剩余材料铸成1个正方体，则该正方体的棱长大约为( ) A. B. C. D. [解析] 设正方体的棱长为，则 ， 解得 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 55 3.[2025·河南三门峡三模]已知某圆台的侧面展开 图是如图所示的扇环，且， 的长分别为 ， .若 ，则该圆台的体积是( ) A. B. C. D. 、 [解析] 由题易知，圆台上、下底面的半径分别为, ， 高 ， 所以该圆台的体积 .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 56 4.[2025·陕西榆林质检]若正四棱锥的高为 ，且其各侧面的面积之 和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为( ) A.4 B.8 C.12 D.24 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 57 [解析] 如图， 是正四棱锥的高，所以， 是斜高， 由各侧面的面积之和是底面积的2倍， 可得 ，所以. 在中， ，， 所以 ，所以， 则底面积，侧面积 ， 则表面积 .故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 58 5.[2025·鞍山二模]若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 ，则 圆锥母线与底面的夹角的大小为( ) A. B. C. D. [解析] 设圆锥底面的半径为，母线长为，高为 ， 则由题意得 ，可得 . 设圆锥母线与底面的夹角为， 则，所以 ， 所以圆锥母线与底面的夹角的大小为 .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 59 6.（多选题）如图，四边形 的斜二测画法的直观图为等腰梯形 .已知， ，则下列说法正确的是( ) A. B. C.四边形的周长为 D.四边形的面积为 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 [解析] 对于A，B，还原平面图如图， 则， ， ，故A错误，B正确； 对于C，过作交于点，则 ， 由勾股定理得 ，故四边形的周长 为 ，故C正确； 对于D，四边形的面积为 ，故D正确. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 61 7.在正四棱柱中，,，,, 分别为侧 棱,,上一点，则 的最小值为______. [解析] 将正四棱柱（如图①）的侧面沿 展开， 得到展开图（如图②）， 当，，，， 五点共线时， 取得最小值， 且最小值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 62 8.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个 顶点,,,在同一个平面内，四边形 是正方 形，这个八面体的表面积为，则正方形 的 边长是___. 2 [解析] 设正方形的边长为 ， 则这个八面体的表面中所有的正三角形边长均为， 所以其表面积为，可得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 63 9.如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有 一个底面半径为 的内接圆柱. （1）求此圆锥的表面积与体积. 解：设圆锥的母线长为 , 由半径，高，得 ， ， ， 故 ， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 （2）试用表示圆柱的高 . 解：如图，连接,,由三角形相似可得 ， 得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 65 （3）当 为何值时，圆柱的表面积最大？最大表面积为多少？ 解：记圆柱的表面积为 ， 则 . ， 当时， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 66 10.[2025·北京海淀区一模]已知纸的长宽比约为.现将一张 纸卷成一个圆柱的侧面（无重叠部分）.当该圆柱的高等于 纸的长 时，设其体积为，轴截面的面积为；当该圆柱的高等于 纸的 宽时，设其体积为，轴截面的面积为 .则( ) A.， B.， C.， D.， √ ◆ 综合提升 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 67 [解析] 不妨设纸的长、宽分别为,1. 当圆柱的高等于 纸的长时，设其底面圆半径为， 则，解得 ， 则， ； 当圆柱的高等于纸的宽时，设其底面圆半径为， 则 ，解得， 则， . 综上所述，， .故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 68 11.[2023·全国甲卷]已知四棱锥 的底面是边长为4的正方 形，， ，则 的面积为 ( ) A. B. C. D. [解析] 方法一：连接，交于点，连接 ， 如图，则为,的中点. 因为底面 是边长为4的正方形，所以 ， 则， 又 ，所以，则， √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 69 又 ，，所以，则.在 中，,, ， 则由余弦定理可得 ，故，则， 故在中，,, ， 所以 ， 又 ，所以， 所以 的面积 . 故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 方法二：连接，交于点，连接 ，如图，则为,的中点. 因为底面 是边长为4的正方形，所以， 所以 ， 则 . 在 中，, ，则由余弦定理可得， 故 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 71 不妨设, ， 因为 ， 所以 ， 即 ， 则 ， 整理得①. 在 中， ， 即 ，则②. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 由 得，可得 ， 故在中，,, ， 所以 ， 又 ，所以， 所以 的面积 . 故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.（多选题）如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体， 若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为 ，正四棱柱 的高为 ，则下列选项中正确的是( ) A.正四棱锥的高为 B.该几何体的表面积为 C.该几何体的体积为 D.一只小蚂蚁从点沿几何体的表面爬行到点 ，它所 经过的最短路程为 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 74 [解析] 对于A，取为与 的交点，易得， ，故A正确； 对于C，该几何体的体积为 ，故C正确； 对于B，该几何体的表面积为 ，故B错误； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 75 对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点 的最短路径为沿 表面越过棱或， 由对称性，不妨取长方形及正三角形 ， 将它们置于同一平面内，连接， 如图，取 的中点，连接， 则 ， 又 ，所以最短路程为 ，故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.（多选题）[2022·新高考全国Ⅱ卷]如图，四边形 为正方形， 平面， ， ，记三棱锥， ， 的体积分别为,, ,则( ) A. B. C. D. √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 77 [解析] 设正方形的边长为2，则 , , , . 平面，， 平面 ， . 连接 交 于，连接，， ，， ， 平面. 过作，垂足为，则 ，且， 在中，. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 78 在 中，. 在 中，， ，即, 故 . 故选项A，B错误，选项C，D正确，故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截 去八个一样的四面体得到的，如图所示.如果原正方体石料的棱长是 ，那么一张石凳的表面积是_ ______ . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 80 [解析] 原正方体石料，如图，因为正方体的棱长为 ， 所以石凳的每条边的边长为 ， 石凳上等边三角形的高为， 所以石凳的表面积 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 81 15.如图，水平地面上有一正六边形地块 ，设 计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的 柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板 .若其中三根柱子，， 的高度 依次为,, ，则另外三根柱子的高度之和为 ____ . 47 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 82 [解析] 依题意可知,,,,, 六点共面，连接,,， 由正六边形的性质知,, 交于一点， 设为，连接,, , 由题意知,,交于一点， 设为,连接,则 平面， 所以,,,,,,两两平行. 连接 交于，连接交于，连接 , 根据正六边形的性质可知四边形是菱形， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 83 所以,相互平分，则, 相互平分， 根据梯形中位线定理有，即 , 可得， 在梯形中，是 的中点，则是 的中点， 所以 ， 同理可得, ， 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求体积的 著名命题：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体 的高，意思是两个同高的几何体，若在等高处截面积相等，则体积 相等.由曲线，，围成的图形绕 轴旋转 一周所得旋转体的体积为，则 _____. ◆ 能力拓展 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 85 [解析] 由曲线，, 围成的图形为图中实 线所围成的图形（关于轴对称）. 设直线 与直线, 曲线在第一象限分别交于点， ， 易得, , 截面上底面的小圆面积, 大圆面积 , 则圆环面积 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 86 由祖暅原理知，旋转体的体积 与底面积为 ,高为8的圆柱体积相等， 故所求旋转体的体积 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 87 17.[2025·山东新高考联盟联考] 已知圆柱 的底面直径为2，其轴 截面是矩形，为底面圆弧上任一点，若 面积的最 大值为，则圆柱 的母线长为____. [解析] 设圆柱的母线长为，如图， 在上底面 的正投影为点，可知 即为母线且和上底面垂直， 所以， 过作的垂线，垂足记为 ，连接， 又，且， 都在平面内，所以 平面， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 88 又 平面，所以 ， 所以当最大时， 的面积取得最大值， 结合，可知最大时 最大， 易知，所以当为圆弧的中点，为 的中点 时，最大，最大值为， 所以 面积的最大值为，解得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $