第6单元 03 第38讲 等比数列及其前n项和（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“等比数列及其前n项和”专题，依据课标要求梳理概念、通项公式、前n项和公式及性质等核心考点，对接高考评价体系分析基本量运算、性质应用等高频考点权重，归纳判定证明、前n项和性质等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题融入与素养导向训练，如以2023全国乙卷等比数列性质题为例，通过方程思想和分类讨论突破基本量运算，培养数学思维与推理能力，总结忽视公比讨论等易错点，帮助学生掌握答题技巧，为教师复习教学提供系统指导。

第38讲 等比数列及其前 项和 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义. 2.探索并掌握等比数列的前 项和公式,理解等比数列的通项公式与前 项和公式的关系. 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题. 4.体会等比数列与指数函数的关系. 课 标 要 求 3 1.等比数列中的有关公式 已知等比数列的首项为,公比是,前项和为 ,则 等比数列定义式 ___且为常数 等比中项 是与的等比中项 通项公式 ____________或_______________________ 前 项和公式 当时,_____;当时, _ _______ _ ______ ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 4 2.等比数列的性质 已知是等比数列,是的前 项和. （1）通项公式的推广：__________ . （2）若，则 _______ ____. （3）若数列，（项数相同）是等比数列，则， ，，， 仍然是等比数列. （4）在等比数列 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列， 即，，，， 为等比数列，公比为 ． 课 前 基 础 巩 固 5 3.等比数列与函数的关系 （1）等比数列的通项公式可以写成,前 项和公式可以 写成 . （2）①当或时, 是递增数列; ②当或时, 是递减数列; ③当时,数列 是常数列; ④当时,数列 为摆动数列. 课 前 基 础 巩 固 6 常用结论 1.等比数列的通项公式可以写成，这里， . 2.等比数列的前项和可以写成 . 3.设数列是等比数列，是其前 项和. （1） . （2）若，则，,， 成等比数列. （3）若数列的项数为，则；若项数为 ,则 . 课 前 基 础 巩 固 7 题组一 常识题 1.［教材改编］已知等比数列的前项和为，若， ， 则 的值为_______. 或 [解析] 由 ， 得，即， 解得或 ， 或 . ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 8 2.［教材改编］已知数列为等比数列，其前项和为 ，若 ，，则___,公比 ____. 2 [解析] 依题意得，因为即 所以 课 前 基 础 巩 固 9 3.［教材改编］在等比数列中，，是方程 的两根，则 的值为___. 3 [解析] ，是方程 的两根， ，， ， ，， 又数列 为等比数列，等比数列奇数项的符号相同， ， . 课 前 基 础 巩 固 10 题组二 常错题 ◆ 索引：忽视项的符号的判断;忽视对公比的讨论;对等比数列的性 质不熟导致出错. 4.在等比数列中，，，则 ___. 4 [解析] 设数列的公比为， ，， 又， ． 课 前 基 础 巩 固 11 5.已知数列的通项公式是，则其前项和 _ ___________________. [解析] 因为，， 所以是以为首项， 为公比的等比数列. 当时，； 当时， . 课 前 基 础 巩 固 12 6.已知等比数列的前项和为，且，,则 ____. 28 [解析] 因为等比数列的前项和为， 所以,, 成等比数列. 因为，， 所以 ，， 所以 . 课 前 基 础 巩 固 13 探究点一 等比数列的基本量运算 例1（1）[2025·杭州模拟]若等比数列满足 ， ，则数列 的公比等于( ) A.或 B.或 C. D. ［思路点拨］根据等比数列的性质求解即可； [解析] 设的公比为,可得且 ， 则，解得 .故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 14 （2）（多选题）[2025·全国二卷］记为等比数列的前 项和， 为的公比，.若, ，则( ) A. B. C. D. ［思路点拨］根据等比数列的定义和已知条件可求出 ,进而可判断 各选项的正误. √ √ 课 堂 考 点 探 究 15 [解析] 由已知条件得 ， 即 ，即, 又，所以，解得 , 则,所以, ， 则, , , 故A，D正确，B，C错误.故选 . 课 堂 考 点 探 究 16 [总结反思] 解决等比数列基本量运算问题的思想方法 （1）方程思想:等比数列的基本量为首项和公比 ,通常利用已知条 件及通项公式或前项和公式列方程（组）求解,等比数列中包含 , ,,, 五个量,可“知三求二”. （2）整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用, 表 示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解. （3）分类讨论思想:若题目中公比未知,则运用等比数列前 项和公 式时要对分和 两种情况进行讨论. 课 堂 考 点 探 究 17 变式题（1）[2025·山东聊城二模]各项均为正数的等比数列 的前 5项和为，且，则 ( ) A.2 B.4 C.8 D.16 [解析] 设等比数列的首项为，公比为 ， 根据题意得，即，可得 ， 又，所以，所以 .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 18 （2）设等比数列的公比为，前项和为.若，， 成 等差数列，则 的值为____. [解析] 因为，，成等差数列，所以 . 若，则，上式显然不成立； 若 ，则， 故 ，即， 因此或 （舍去）. 课 堂 考 点 探 究 19 探究点二 等比数列的判定与证明 例2（1）（多选题）[2025·辽宁锦州模拟]已知首项为1的数列 的 前项和为，若 ，则下列结论正确的是 ( ) A. B.数列 为等比数列 C.数列 为等比数列 D.数列 为等比数列 √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 20 ［思路点拨］对于A，令 即可判断；对于C，降标作差即可求 出，，验证 时，上式是否成立，即 可判断；对于B，利用等比数列通项公式即可求出，进而求出 ， 最后利用等比数列的定义求证；对于D，利用通项公式化简 ，最后利用等比数列的定义求证. 课 堂 考 点 探 究 21 [解析] 对于A， ，故A正确； 对于C，当时，， ， 两式作差得，即， 又 ，所以当时，为等比数列，公比为2， 又 ，所以，， 即， ， 显然不满足， 所以 故C错误； 课 堂 考 点 探 究 22 对于B，当 时， ， 又 符合上式，所以， 因为当 时，， 所以 为等比数列，故B正确； 对于D，由C知，，则 ， 所以为等比数列，故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 （2）记数列的前项和为，已知 ， . ①证明：数列 是等比数列； ［思路点拨］根据数列的和与项的转化关系及等比数列的定义，即 可证明； 课 堂 考 点 探 究 24 证明：， ， ， ， ， ， ，又， 数列 是首项为3，公比为3的等比数列. 课 堂 考 点 探 究 25 ②求 的通项公式. ［思路点拨］根据①得的通项公式，由 得时，的通项公式，验证 时，上式是否成立，即可求解. 解：由①可得 ，， 当时， ， 两式相减可得 ， 又 满足上式， ， . 课 堂 考 点 探 究 26 [总结反思] 判定数列 为等比数列的常用方法 （1）定义法:若是非零常数,则数列 是等比数列. （2）等比中项法:若,则数列 是等比数列. （3）通项公式法:若,为非零常数,则数列 是等比数列. 课 堂 考 点 探 究 27 变式题 [2026·广东六校联盟一联] 在数列中， ， . （1）证明数列为等比数列，并求数列 的通项公式； 解：由题意可得 ， 因为， ， 所以， ， 所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，解得 . 课 堂 考 点 探 究 28 （2）令，证明： . 证明：由（1）知 . 因为，所以数列 是各项均为正数的递减数列， 所以， ， ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 29 探究点三 等比数列性质的应用 角度1 等比数列项的性质 例3（1）[2025·湛江一模]在等比数列中， ， ，则 ( ) A. B.567 C.451 D.699 ［思路点拨］由已知根据等比中项可得 ，分两种情况求解即可； √ [解析] 由，可得. 当 时，，无解，所以 ， 所以，所以， 所以 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 30 （2）[2023·全国乙卷] 已知为等比数列， , ,则 ____. ［思路点拨］根据等比数列的性质即可求解. [解析] 设等比数列的公比为， 由 ,结合等比数列的性质有，得 ， 所以，则 ， 故 . 课 堂 考 点 探 究 31 [总结反思] 根据等比数列的通项公式和等比数列项的性质“若 ，则 ，其中,,,.特别地，若 ，则 ，其中,, ”可减少运算量. 课 堂 考 点 探 究 32 变式题（1）[2025·江苏南京二模]已知等比数列 的各项均为正数， 且，则 ( ) A.12 B.10 C.9 D. [解析] 等比数列 的各项均为正数， ，， .故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 33 （2）[2025·宁夏中卫三模] 已知递增的等比数列 满足 ，，则的前3项和 ____. 21 [解析] 因为是递增的等比数列，所以 ， 又因为，所以或（舍去）， 则 的公比,, 所以 . 课 堂 考 点 探 究 34 角度2 等比数列前 项和的性质 例4（1）[2023· 新课标Ⅱ卷］记为等比数列的前 项和，若 ，，则 ( ) A.120 B.85 C. D. ［思路点拨］思路一：根据等比数列的前 项和公式求出公比，再根 据, 的关系即可解出； 思路二：根据等比数列的前项和的性质,,, 成 等比数列先求出，再求 即可. √ 课 堂 考 点 探 究 35 [解析] 方法一：由题易知公比且， ，， ， ， 则， .故选C. 课 堂 考 点 探 究 36 方法二：由等比数列的性质可得，，， 成等 比数列，因此， 将， 代入上式，解得或. 当时， ，不满足题意， 所以，则 ， 由等比数列的性质可知， 得 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 37 （2）[2025·广东佛山联考] 已知等比数列共有项， ， 所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则公比 ___. 2 ［思路点拨］根据题意，利用 进行求解即可. [解析] 因为等比数列有项， 所以奇数项有 项，偶数项有项， 设公比为，由 ， 得到奇数项的和为 ， 偶数项的和为，整体代入得 . 课 堂 考 点 探 究 38 [总结反思] 等比数列前项和的性质：若等比数列的前项和为，则 ， ，仍成等比数列（当为偶数时， 的公比 ）． 课 堂 考 点 探 究 39 变式题（1）[2025· 全国一卷］若一个等比数列的各项均为正数，且 前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于___. 2 [解析] 方法一：设该等比数列为，是其前项和， 则 , ， 设的公比为 ，因为，， 所以 ，所以 ， 所以该等比数列的的公比为2. 课 堂 考 点 探 究 40 方法二：设该等比数列为，是其前项和，则, ， 设的公比为. 当时，，即 ， 则，显然不成立； 当时， ,， 两式相除得，即 ， 则，所以 . 综上，该等比数列的公比为2. 课 堂 考 点 探 究 41 方法三：设该等比数列为，是其前项和， 则, ， 设的公比为， 则 ， ， 所以，则，所以 ， 所以该等比数列公比为2. 课 堂 考 点 探 究 42 （2）[2025·石家庄二中模拟] 设等比数列的前项和是 ,已知 ,,则 ____. 13 [解析] 因为是等比数列的前项和且, 所以, , 成等比数列, 则. 因为 , , 所以,解得 , 所以 . 课 堂 考 点 探 究 43 角度3 等比数列的最值 例5 [2025·北京西城区4月测试]已知等比数列的前项和为 ， 前项的乘积为，若 ，则( ) A.无最小值，无最大值 B.有最小值， 无最大值 C.无最小值，有最大值 D.有最小值， 有最大值 ［思路点拨］利用基本量法，可求出公比满足 ，根据前 项和与前项积的定义进行讨论计算，可以得出有最小值， 有 最大值. √ 课 堂 考 点 探 究 44 [解析] 由，得，可得 . 若，则，， 当 时，， 所以为 的最小值. 若，则当时，， 所以 的最小值为.综上可得，有最小值. 由，可得 ， 根据等比数列的性质必有满足对于任意的，， 因为 一定是正负交替出现，所以 一定存在最大值.故选D. 课 堂 考 点 探 究 45 [总结反思] 1.等比数列的最值可类比等差数列最值的求解思想，多借助函数思想 或是数列的增减性处理. 2.在等比数列中，若或，则 是递增数列； 若或，则 是递减数列. 课 堂 考 点 探 究 46 变式题 （多选题）[2025·安徽宿州联考]已知各项均为正数的等比数 列的前项积为，若 ，则( ) A. B. C. D. √ √ [解析] 依题意知，， . 对于A，因为，，所以 ，故A错误； 对于B，因为，所以， ， 所以，，所以 ，故B正确； 对于C,D，由B可知 ， 所以的最小值为，即， 无最大值，故C正确，D错误. 故选 . 课 堂 考 点 探 究 47 课时作业 48 1.在等比数列中,,，则 ( ) A.14 B.32 C.16 D.54 [解析] 由题意可知，则 .故选B. √ ◆ 基础热身 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 2.已知等比数列的前项和为，， ， 则 ( ) A.62 B.50 C.40 D.22 [解析] 设数列的公比为，由题意可得 解得则 .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 3.在各项均为正数的等比数列中， ，则 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 [解析] 因为数列为等比数列，且 ， 所以 ， 所以 .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 4.（多选题）已知数列的前项和为 ，则下列说法正确的是 ( ) A.若数列为等差数列，则 恒成立 B.若数列为等差数列，则，，， 为等差数列 C.若数列为等比数列，且，，则 D.若数列为等比数列，则，，， 为等比数列 √ √ [解析] 对于A，设数列的公差为 ，则 ，， 所以 不恒成立，故A错误； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 对于B，若数列为等差数列，则， ，， 为等差数列，故B正确； 对于C，设数列的公比为 ，因为， ， 所以，得或 ，若，则，故C错误； 对于D，若数列 为等比数列，则由等比数列前项和的性质可得，，， 为等比数列，故D正确.故选. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 5.[2025·江苏苏北七市模拟]在各项均为正数的数列 中，设甲： ，乙： 是等比数列，则( ) A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 [解析] 根据题意，各项均为正数的数列中，有 ， 若甲：，令，得， 故数列 是等比数列，乙成立，充分性成立； 反之，若数列是等比数列，设其公比为 ，则， 所以， ，则， 当时，，当 时， ， 即必要性不成立. 综上，甲是乙的充分不必要条件.故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 6.[2025·武汉模拟]记为等比数列的前项和，若 ， ，则 ( ) A. B. C.85 D.120 [解析] 设等比数列的公比为， 由 ，得， 即 ，所以， 由 ， 可得， 所以 .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 7.[2023·全国甲卷]设等比数列的各项均为正数，前项和为 ， 若，，则 ( ) A. B. C.15 D.40 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 [解析] 设数列的公比为， 当时， ，，，不合题意； 当 时，由，得， 即 ，即， 即，即 ， 解得（舍去）或（舍去）或 ， 因此 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知等比数列共有项，其和为 ，且奇数项的和比偶数 项的和大80，则公比 ___. 2 [解析] 由题意，得 解得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 9.已知公比大于1的等比数列满足， . （1）求 的通项公式； 解：设的公比为 . 由题设得，， 解得（舍去）或 . 由题设得，所以的通项公式为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 （2）记为在区间中的项的个数，求数列 的前100项和 . 解：由题设及（1）知，且当时， ， 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 10.[2026·嘉兴模拟]已知数列的前项和为,, , ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由,，得 ， 由，得，故 ， 则，， ， ， 则 .故选A. √ ◆ 综合提升 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 11.已知数列是公比为2的等比数列，且， ， 则不等式成立时对应 的最小值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 [解析] 因为数列 是公比为2的等比数列，且， 所以 ，所以. 由，得 ，即， 因为函数是增函数，且当 时，， 当时， ， 所以不等式成立时对应 的最小值为5.故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 12.（多选题）已知等比数列的首项，公比为，前 项和 为，前项积为，函数 ， 若 ，则( ) A.{ 为递减的等差数列 B. C. 为递增的等比数列 D.当取得最大值时， 的值是10 √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 [解析] 对于B，由题可得 ， 则，则， 由 ，得，则 ，故B错误； 对于A，， 则数列{ 是首项为，公差为的等差数列， 因为，所以 ， 所以数列{ 为递减的等差数列，故A正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 对于C，因为， 所以数列 为等比数列， 又，且，所以数列 为递增数列， 故C正确； 对于D，易知数列 的各项均为正数且为递减数列， 由，得， 则数列 的前5项大于1，第6项等于1，从第7项开始小于1， 则取得最大值时， 的值为5或6，故D错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知等差数列的前项和为，是等比数列，若 ， ，且，则 的最小值为___. 5 [解析] ,的公差， ， 又，, ， ， ，， ， 的最小值为5. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 14.[2025·江苏南京模拟] 已知数列的前项和为 ， ， . （1）证明：数列 为等比数列. 证明： ， ， 由得 ， ， ， ， 在①中令，得 ， , ， 是首项为1，公比为 的等比数列. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 （2）设，求数列的前 项和. 解：由（1）知 ， ， 又，是首项为 ，公差为2的等差数列， ，， ， 的前 项和为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 （3）是否存在正整数,，使得，， 成等差数列? 若存在，求出, 的值;若不存在，请说明理由. 解： ， 若存在满足题意的正整数,，则 ， 即 ，即（*）. 当，2，3，4时，，当 时，， 则，可得 . 综上，存在, 符合题意. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 15.（多选题）[2025·湖南师大附中模拟]已知等比数列的前 项和 为，且,为等差数列，且, ，记集 合中元素的个数为 ，则下列结论正确的 是( ) A. B. C. D. √ √ √ ◆ 能力拓展 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 [解析] 设等比数列的公比为，由 ， 得 ， 两式相减得， 即 ，所以， 又,，所以 ， 所以，故A正确； 因为 ,所以，故B不正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 设等差数列的公差为 ，由,， 得，解得 ， 所以，故C正确； 由 ，得， 则集合 中元素的个数为 ，所以，故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 73 16.将个数排成行 列的一个数阵，如图所示. 该数阵第一列的个数从上到下构成以 为公差 的等差数列，每一行的 个数从左到右构成以 为公比的等比数列 （其中）. 已知，， 记这个数的和为 . 给出下列结论： ① ；② ；③ ； ④ .其中正确的是________.（填序号） ①③④ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 74 [解析] 由题意可知， ， ，所以， 解得 或 （舍去），故①正确； ，故②不正确； ，故③正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 75 ， 故④正确.故填①③④. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $