第6单元 01 第36讲 数列的概念及其函数特性（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“数列的概念及其函数特性”专题，依据新课标要求和高考评价体系，梳理了数列的概念、表示法、an与Sn的关系、函数性质及递推公式五大核心考点，通过近三年高考真题分析明确an与Sn关系、递推公式求通项等高频考点占比，归纳选择、填空、解答题三类常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“分层突破+素养导向”设计，如针对递推公式求通项，通过累加法、构造等比数列等方法解析典型例题，培养学生的数学思维和运算能力。课时作业融入模拟题，特设易错点警示，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准把握学情，提升复习效率。

1.知识网络 单 元 教 学 设 计 1 2.课时安排 本单元共5讲、1个培优专题、2个重点强化练,每讲建议各1课时完成, 培优专题建议1课时完成，2个重点强化练建议各1课时完成，本单元 大约共需8课时. 单 元 教 学 设 计 2 第36讲 数列的概念及其函数特性 3 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 4 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）. 2.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数. 课 标 要 求 5 ◆ 知识聚焦 ◆ 有关概念 定义 数列 按______________排列的一列数 数列的项 数列中的____________ 数列的通项 数列的第项 通项公式 数列的第项 与序号___之间的对应关系 前 项和 我们把数列从第1项起到第 项止的各项之和，称为数列的前项和，记作,即 ____________________ 一定次序 每一个数 1.数列的有关概念 课 前 基 础 巩 固 6 2.数列的表示法 表示法 定义 列表法 通过表格表示与 的函数关系 图象法 用平面直角坐标系内的 轴_______一系列孤立的点表示 公式法 通项公式 _______ 递推公式 右侧 课 前 基 础 巩 固 7 3.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数______ 无穷数列 项数______ 项与项间的 大小关系 递增数列 ___ 其中 递减数列 ___ 常数列 ___ 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项 有限 无限 课 前 基 础 巩 固 8 4.与 的关系 已知数列的前项和为，则 课 前 基 础 巩 固 9 5.数列的最大（小）项 在数列中，若最大，则；若 最 小，则 . 课 前 基 础 巩 固 题组一 常识题 1.［教材改编］数列1，，，，， 的一个通项公式是 _____. [解析] 因为，，， ， ， ， 所以 . ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 11 2.［教材改编］已知数列的前项和 ，那么它的通 项公式为 _______. [解析] ， ， 当时，， . 课 前 基 础 巩 固 12 3.［教材改编］古希腊人常用小石子在沙滩上摆 成各种形状来研究数，如图中的数1,5,12,22， 称为五边形数，则第7个五边形数是____. 70 [解析] ,,， 相邻两个图形的小石子个数的差值依次增加3， 第5个五边形数是 ， 第6个五边形数是， 第7个五边形数是 . 课 前 基 础 巩 固 13 题组二 常错题 ◆ 索引：不能正确求出通项公式；忽视数列是特殊的函数,其自变量 属于正整数集或,2, ,;根据求时忽视对 的验证. 4.已知数列1,,,,3,, ，则 是这个数列的第____项. 22 [解析] 由题意可得数列的通项公式为 ， 由，解得， 所以 是这个数列的第22项. 课 前 基 础 巩 固 14 5.在数列中， ，则此数列最大项的值是 ____. 30 [解析] 因为 ， 所以当或6时， 取得最大值30. 课 前 基 础 巩 固 15 6.已知数列的前项和，则数列 的 通项公式为_ __________________. [解析] 当时，； 当 时，， 所以. 综上， 课 前 基 础 巩 固 16 探究点一 根据数列的前几项求数列的通项公式 例1（1）数列，，，， ，则该数列的第 项应为( ) A. B. C. D. [解析] 数列的前几项可化为， ， ， ， 则其通项公式为 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 17 （2）数列1，，1，, 的一个通项公式为( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，当时， ，故A错误； 对于B，当为奇数时，为偶数， ，与 数列奇数项为1相符， 当为偶数时， 为奇数，， 与数列偶数项为 相符，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当 时， ，故D错误.故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 18 [总结反思] 由数列前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略: （1）常用方法:观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、转化 （转化为特殊数列）、联想（联想常见的数列）.可以使用添项、还 原、分割等方法,转化为一个常见数列,通过常见数列的通项公式求得 所给数列的通项公式.#1.1.1 课 堂 考 点 探 究 19 （2）具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征,如 递增时可考虑关于的一次递增或以, 等形式递增;③拆项后的特 征;④各项的符号特征和绝对值的特征;⑤化异为同,对于分式还可以 考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符 号交替出现的情况,可用或, 来处理.#1.1.2 课 堂 考 点 探 究 20 探究点二 由与 的关系求通项公式 例2（1）已知数列的前项和，则数列 的通项 公式为 _ ____________. ［思路点拨］利用 进行求解； [解析] 当时，； 当 时， . 所以 课 堂 考 点 探 究 21 （2）[2025·广州模拟] 已知数列 满足 ,则数列 的通项公式为 _ ______________. ［思路点拨］先将代入表达式计算出的值,当 时, 由 ,可得 ,两式相减进一步计算即可推导出数列 的通项公式. 课 堂 考 点 探 究 22 [解析] 当时,, 当 时,由 , 可得 , 两式相减得,解得. 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 与 的关系问题的求解思路： （1）利用转化为只含有， 的关系式再 求解，注意对时的结果进行检验,看是否符合 ； （2）利用转化为只含有， 的关系式再 求解. 课 堂 考 点 探 究 24 变式题（1）已知数列的前项和为，且 , ，则 _______. [解析] 由，可得 ， 即，则， 所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 25 （2）[2026·安徽江淮十校二联] 记为数列的前 项和，已知 ，，则数列 的通项公式是_________. [解析] ,， 当 时，， 由 得 ， ,， 是等差数列，又， . 课 堂 考 点 探 究 26 探究点三 数列的函数性质 例3（1）（多选题）[2025·佛山期末]已知数列的前项和为 ， ，则( ) A.数列 是递减数列 B.当且仅当时， 取得最小值 C.数列 是递减数列 D.当且仅当时， 取得最小值 √ √ 课 堂 考 点 探 究 27 [解析] ， 易知在上单调递减，在 上单调递减， 且当时，，当时， . 对于A，因为，，所以， 所以数列 不是递减数列，故A错误； 对于B，因为 ，， 所以当时 取得最小值，故B正确； 课 堂 考 点 探 究 对于C， 因为，， 所以，数列 不是递减数列，故C错误； 对于D，因为前7项中，，到 为负数， 当时，，所以是前 项和中最小的， 所以当且仅当时，取得最小值，故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 （2）已知数列的首项，， ，记 为数列的前项和，则 的值是_ ____. ［思路点拨］由已知递推公式求出数列的前7项，结合 的 周期，确定数列 的周期为6，根据周期性求和. 课 堂 考 点 探 究 30 [解析] 因为，所以 ， ， ， ， ， ， 又的周期为6，所以 的周期为6， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 31 [总结反思] 1.求数列的最大项与最小项的常用方法:（1）利用图象或最值法;（2） 利用单调性及或 确定;（3） 比较法. 2.判断数列单调性的方法如下:（1）利用数列对应的函数的单调性判 断;（2）对数列的前后项作差（或作商）,利用比较法判断. 3.理解递推数列周期性的概念,掌握求递推数列周期性的常用方法 （赋值法、迭代法、加减法、归纳法等）和常见类型,有利用递推数 列周期性解决问题的意识. 课 堂 考 点 探 究 32 变式题（1）已知数列满足，且，则 __. [解析] 由，得，则 ， 则，则， 所以数列 是周期为4的周期数列， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 33 （2）（多选题）[2025·泉州模拟]已知数列的前 项和 ，则下列说法正确的是( ) A.若是等差数列，则 B.若不是递增数列，则 C.若，则 D.若的最小值为3，则 √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 34 [解析] 对于A，若 为等差数列，则 ， 所以 ，解得， ，故A正确； 对于B，由题知 ， 则 ， 又，所以 因为不是递增数列，所以或 解得 ，故 B正确； 课 堂 考 点 探 究 35 对于C，若 ， 则， 整理得 ， 又单调递增且当 时，， 所以 ，故C错误； 对于D，因为的最小值为3，所以 恒成立， 即恒成立，当 时，不等式成立， 当时，，则，故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 探究点四 解数列的递推公式不同类型的方法 微点1 形如 例4 若数列满足，，则 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］化简递推公式，然后利用累加法求解数列的通项公式 即可. √ 课 堂 考 点 探 究 37 [解析] 由 ， 得 ， 所以当时，， 又满足上式，所以 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 38 [总结反思] 根据形如是可以求和的函数 的递推公式求通项 公式时,常用累加法求出与的关系式,进而得到 的通项公式. 课 堂 考 点 探 究 39 微点2 形如 例5 已知数列满足，，则 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］根据累乘法，可求得数列 的通项公式. [解析] ， ， ， 又满足上式，所以 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 40 [总结反思] 根据形如是可以求积的函数 的递推公式求通 项公式时,常用累乘法求出与的关系式,进而得到 的通项公式. 课 堂 考 点 探 究 41 微点3 形如 例6 在数列中，， ，则该数列的 通项公式为 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］先由递推公式证明 是等比数列，再利用 的通项公式写出 的通项公式即可. [解析] 由，得， 又 ,， 数列 是以4为首项，2为公比的等比数列， ， .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 42 [总结反思] 根据形如且 的递推公式求通项公式时,一 般先构造公比为的等比数列 ,即将原递推公式化为 的形式,再求出数列 的通项公式,最后求 的通项公式. 课 堂 考 点 探 究 43 微点4 形如 例7 已知数列满足，，则 _______________. 课 堂 考 点 探 究 44 ［思路点拨］本题中数列 的递推公式满足 ,均不为0和1且 ，求通项公式的方 法较多. 思路一：可以先两边同除以构造新数列 ，再利用累加法求通 项公式； 思路二：可以先两边同除以构造等比数列 , 再利用等比数 列的性质求通项公式； 思路三：设 ，可以利用待定系 数法求得，，则是等比数列，进而可得 的通项公式. 课 堂 考 点 探 究 45 [解析] 方法一：因为 ， 所以， 利用累加法可得 ， 所以，又 满足上式， 所 . 课 堂 考 点 探 究 46 方法二：因为， 所以 ， 所以， 所以是首项为 ，公比为的等比数列， 所以 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 47 方法三：设 ， 则. 因为 ，所以，， 所以 ， 所以是首项为 ，公比为3的等比数列， 所以，所以 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 根据形如 的递推公式求通项公式时,可分两类:（1） ,直接同除以,构造,即利用等差数列求 的通 项公式,再求出 的通项公式; （2）,则先构造公比为的等比数列 ,求出数列 的通项公式,最后求出 的通项公式. 课 堂 考 点 探 究 49 微点5 形如,,为常数 例8 在数列中，已知，，则 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］由递推关系证明数列是以为公差， 为首项的等差 数列，从而得，进而求出 . [解析] 由，整理得，又， 所以 是以为公差，为首项的等差数列， 所以，所以 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 50 [总结反思] 根据形如,,为常数 的递推公式求通项公式时,一般 对递推公式两边同时取倒数.当时,化为 的形式,可 构造等差数列;当时,化为 的形式,可构 造公比为的等比数列,其中用待定系数法求 是关键. 课 堂 考 点 探 究 51 应用演练 1.已知数列满足，，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 52 [解析] 由，得 ， 则 ， ，，， 所以 ， 又满足上式，所以 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 2.已知数列满足,,，则 的通项 公式是( ) A. B. C. D. [解析] 由，得 , , 数列 是以2为首项，2为公比的等比数列， ， .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 54 3.[2025·四川攀枝花质检]已知数列满足 ， ，则满足不等式 的最大正 整数 为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 [解析] 因为，所以 , 又因为 , 所以, 又 满足上式，所以. 因为，所以 ， 解得，所以满足条件的最大正整数 为9.故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 55 4.已知数列满足， ，则数列 的通项公式是___________. [解析] 由，可得， 又 ，所以是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以 , 所以 . 课 堂 考 点 探 究 56 5.已知数列满足，且，则 _____. [解析] 因为，， 所以，, ，, ，即，， 所以 ，所以， 又，所以 ，， 所以，所以数列是首项为 ，公比为2的等比数列， 所以，所以，所以 . 课 堂 考 点 探 究 57 课时作业 58 1.已知数列，，，，， ，则 是这个数列的 ( ) A.第11项 B.第12项 C.第13项 D.第14项 [解析] 由该数列的前几项观察归纳，知根号内的被开方数是以6为首 项，4为公差的等差数列， 所以该数列的通项公式为 ， 当时， .故选B. √ ◆ 基础热身 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 2.已知数列的前项和,则 ( ) A.77 B.153 C.161 D.238 [解析] .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 3.已知数列满足,，则 ( ) A. B. C. D.3 [解析] 由数列满足, ， 可得,, , ， ， 所以数列 是周期数列，且周期为4， 所以 .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 4.已知数列满足，则数列 的最小项是 ( ) A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项 [解析] 由，可得 ， 则 . 由，且，，即 ， 可得数列 的最小项是第6项.故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 5.[2025·惠州模拟]数列的通项公式为,那么“ ” 是“ 为递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 令，得 , 即， 若为递增数列，则， 所以是 为递增数列的充分不必要条件.故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 6.（多选题）[2025·郑州期末]已知是数列的前 项和， ，则下列结论正确的是( ) A.数列是等差数列 B.数列 是递增数列 C. D. [解析] 在中，令，得 ， 解得. 当时， ， 则，即 ， 所以，所以 是以1为首项，3为公比的等比数列， 故A错误，B正确. ，则，故C，D正确.故选 . √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 7.在数列中，，，则数列 的通项公式 为______________. [解析] 由，得 ， 因为，所以 是首项为1，公比为3的等比数列， 所以，则 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 8.[2025·湖南岳阳模拟] 已知数列 满足 ，则 _______. [解析] 由 ， 可得，所以 ， 两式相减得， 所以 ， 当时，，所以，符合上式， 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 9.已知数列满足，且 . （1）证明： 为等差数列； 证明：因为，所以 ， 则 ， 即 . 所以数列是首项为，公差为 的等差数列. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 （2）若，且，求数列 的通项公式. 解：由（1）得，则 ， 因为，即， 所以当 时， ，即， 又，所以当时，， 又 满足上式，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 10.[2025·江西上饶模拟]已知是首项为1的数列的前 项和，且 ，则 ( ) A. B. C. D. √ ◆ 综合提升 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 [解析] 易得 ， 则 ， 化简得，即， 由题知 ，所以， 则 ， 即，所以， 又 满足上式，所以，所以 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 11.（多选题）[2025·昆明模拟]已知数列，定义数列 为数列的“2倍差数列”.若 的“2倍差数列”的通项公式为 ，且 ，则下列结论错误的是( ) A. B. C.数列 是递减数列 D.数列的前项和 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 [解析] 由，且，可得 ， 则数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以 ，则， 则，数列 是递增数列，故A中结论正确，B，C中结论错误； ， 则， 两式相减可得， 则，故D中结论错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 12.[2025·广东江门模拟] 在数列中， ，且 ，则 的通项公式为__________________. [解析] 由 ，可得 ， 所以是首项为 ， 公比为3的等比数列， 所以，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 73 13.已知数列满足， ，若 ， ，且数列 是递增数列，则实 数 的取值范围为________. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 74 [解析] 由，可得 ，则， 数列 是首项为2，公比为2的等比数列， ， ，且数列 是递增数列， ，即 ， 可得，，故实数 的取值范围为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.在数列和中，数列的前项和为，若点 在函 数的图象上，点在函数 的图象上.设 . （1）求数列 的通项公式； 解： 点在函数 的图象上， . 当时，， 当 时，， 又 满足上式， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 76 （2）求数列 的最大项. 解： 点在函数的图象上， ， ， ， . 令，解得， 当时，递增，当 时，递减， 又 ， ， 数列的最大项为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 77 15.[2025·扬州模拟] 已知数列的各项都为正整数，且 ， ，若对任意， ，则 的最小值为____. 21 ◆ 能力拓展 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 78 [解析] 因为数列的各项都为正整数，且对任意 ， ， 所以 ，， 或， . 当时，的最小值为4； 当 时，的最小值为. 由 ，可得的最小值为； 由 ，可得的最小值为 . 又， ， 所以的最小值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 79 16.[2025·湖北黄石模拟] 无穷数列由个不同的数组成， 为 的前项和，若对任意，，3，，则整数 的最大 值为___. 6 [解析] 当时，， 因为，所以首项 只能是2，3或4中的一个. 当时，，且 ，所以. 若，则可能为0，1，2；若，则 可能为,0,1； 若，则可能为,,0. 综上， 的可能取值为,,0,1,2. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 80 当时，， ，所以. 因为，所以的可能取值同样为, , 0,1,2. 显然当时，的可能取值仍为,,0,1,2. 构造数列 ，取，,，,， ， , ,，,,, , 此时数列 包含的不同数字为4,，0，1，，2，共6个； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取, ，，,,,, ,, , ,, , 此时数列包含的不同数字为3， ，0，1，，2，共6个. 其他情况数列 包含的不同数字的个数均不超过6. 故整数 的最大值为6. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $