第5单元 06 第34讲 平面向量的综合问题（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量的综合问题”专题，依据课标要求梳理了向量法解几何问题、三角形“四心”向量形式、物理应用三大核心考点，通过近五年高考真题分析明确“四心”判定占30%、向量数量积与几何综合占45%的高频考点分布，归纳出12类常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+技巧建模+素养提升”的备考策略，如以2025年山东临沂模拟题为例，用“三步曲”将几何问题转化为向量运算，培养数学思维与数学语言素养。特设“易错陷阱警示”和“变式训练库”，助力学生掌握“四心”向量快速判定法等解题技巧，教师可据此精准突破考点，实现高效复习。

第34讲 平面向量的综合问题 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 【课标要求】 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问 题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用. 课 标 要 求 3 1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用______表示问题中涉及的几何 元素，将平面几何问题转化为__________； 向量 向量问题 （2）通过__________，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等 问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系.#1.3 向量运算 ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 4 2.三角形“四心”的概念与性质 （1）重心——三角形的三条中线的交点. （2）垂心——三角形的三条垂线的交点. （3）内心——三角形的三个内角平分线的交点（三角形内切圆的圆 心）. （4）外心——三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆 心）. （5）各心的性质：重心将中线长度分成 ；垂线与对应边垂直； 角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的 距离相等.#2.5 课 前 基 础 巩 固 5 3.向量在物理中的应用 （1）向量有着丰富的物理背景,如物理学中的力、速度、加速度都是 既有大小又有方向的量.力的做功是向量数量积的物理背景;向量加法 的三角形法则和平行四边形法则与位移的合成、力的合成、速度的 合成有着密切的联系.#3.1 课 前 基 础 巩 固 6 （2）用向量法解决物理问题的一般步骤: ①问题的转化:把物理问题转化成数学问题. ②模型的建立:建立以向量为主体的数学模型. ③参数的获取:求出数学模型的相关解. ④问题的答案:利用建立起来的数学模型,解释和回答相关的物理现象. 课 前 基 础 巩 固 7 常用结论 1.“四心”向量形式的条件： 已知，，，是所在平面上的任意点，，， 分别为三 个内角，， 所对的边. （1） 为垂心 . 课 前 基 础 巩 固 8 （2）为重心 . （3） 为外心 . （4）为内心 . 课 前 基 础 巩 固 2.平面向量与平面几何综合的有关结论 （1）是 的平分线. （2）在中， 是菱 形； 是矩形. 课 前 基 础 巩 固 10 3.平面四边形对角线向量定理及其相关结论 （1）在平面四边形中，有 . （2）在平面四边形中，若 ，则有 . （3）在平面四边形中，有， . 4.三角形面积公式的向量表示 平面上，，三点不共线，设 ， ，则 . 课 前 基 础 巩 固 11 题组一 常识题 1.［教材改编］在平面四边形中，若， ， 则该四边形的面积为___. 5 [解析] ，， 四边形的面积 . ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 12 2.［教材改编］如图，在中，点是 的中 点，过点的直线分别交直线， 于不同的两 点，.设，，则 ___. 2 课 前 基 础 巩 固 13 [解析] 因为， ， 所以，. 又，， 三点共线，所以 ， 则有. 因为与 不共线，所以， 因此 . 因为点是 的中点， 所以 ，整理得 ， 课 前 基 础 巩 固 14 3.［教材改编］一个物体在大小为的力 的作用下产生大小为 的位移，且与的夹角为 ，则力所做的功_____ . 300 [解析] . 课 前 基 础 巩 固 15 题组二 常错题 ◆ 索引：不理解各心的概念致误. 4.已知是平面上的一定点，，， 是平面上不共线的三个动点， 若动点满足，，则点 的轨迹一 定过 的____心. 重 [解析] 由题得，即 ， 根据向量加法的平行四边形法则知为的中点 ， 所以点的轨迹一定过 的重心. 课 前 基 础 巩 固 16 5.已知点是 的内心（三个内角的平分线的交点）、外心 （三条边的中垂线的交点）、重心（三条中线的交点）、垂心 （三条高的交点）之一，且满足，则点 一定 是 的______. 外心 [解析] 设为的中点，则 ， ， ， 又 ，， ，即 ， ， 点一定是 的外心. 课 前 基 础 巩 固 17 探究点一 平面向量与三角形的“四心” 例1（1）[2025·山东临沂模拟]在平行四边形中， ， ， ，为边上一点，若，则线段 的长为( ) A. B. C.3 D. ［思路点拨］利用向量垂直则数量积为0，求出 ，再 平方求向量的模即可. √ 课 堂 考 点 探 究 18 [解析] 设， 因为 ，所以 ,即， 解得 ，所以 ， 则 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 19 （2）点，，在 所在平面内，且满足 ， ， ，则，，依次是 的( ) A.重心、外心、内心 B.重心、外心、垂心 C.外心、重心、内心 D.外心、重心、垂心 ［思路点拨］由三角形“四心”的性质即可得出答案. √ 课 堂 考 点 探 究 20 [解析] ，， 设 的中点为，则， ，，三点共线，即为 的中线上的点，且， 为 的重心. ，，为 的外心. ，， 即 ，. 同理可得，，，为 的垂心.故选B. 课 堂 考 点 探 究 21 [总结反思] 用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题 解决几何问题. 课 堂 考 点 探 究 22 变式题（1）已知平面四边形的四条边，，， 的中 点依次为，，，，且 ，则四边形 一定为( ) A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.直角梯形 √ [解析] 连接，，由题意结合中位线定理可得 , ，,， , ，即四边形 为平行四边形. ， 课 堂 考 点 探 究 ， ， ， ，即，即，， 又， ， ，故四边形 为矩形.故选C. 课 堂 考 点 探 究 24 （2）已知正三角形的边长为2，点在边上且 ，点 为边的中点，与交于点，则 的余弦值为_ ___. [解析] 因为在正三角形中，点为 边的中点， 所以， 如图，以为原点， , 所在直线分别为, 轴建立平 面直角坐标系， 则,,, ， 课 堂 考 点 探 究 25 因为，所以 ，则，则 ， 又 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 探究点二 平面向量在物理中的应用 例2 ［北师大版必修第二册P128例18改编］在日常生活 中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景， 如图，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为 ， A. B.当时， C.当 越大时，用力越小 D.当时， ，且，与的夹角为 ，则当两人拎起行李 包且保持平衡时，下列结论正确的是 ( ) √ 课 堂 考 点 探 究 27 ［思路点拨］根据题意可得 ，则 ，再分析各个选项即可得出答案. [解析] 根据题意可得 ， 当 时，， 即 ， 故B正确； 则 ， 故A错误； 课 堂 考 点 探 究 28 ， 因为 在上单调递减，且行李包所受的重力 不变， 所以当 越大时，用力越大，故C错误； 当 ，即 时， 解得，又， 所以 ，故D错误.故选B. 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 1.用向量方法解决物理问题的“三步曲” 2.向量在物理学中的应用一般涉及力、速度或位移的合成与分解，充 分借助向量的平行四边形法则或三角形法则把物理问题抽象转化为 数学问题，同时正确作图是前提. 课 堂 考 点 探 究 30 变式题 [2025· 全国一卷]帆船比赛中，运动员可借 助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航 海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风 风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其 中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相 等、方向相反.下表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系. 已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向 量如图线段长度代表速度大小，单位 ,则真风为 ( ) 课 堂 考 点 探 究 31 级数 名称 风速大小 2 轻风 3 微风 4 和风 5 劲风 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 √ 课 堂 考 点 探 究 32 [解析] 设真风风速、船行风速、视风风速、船速对应的向量分别为 , , ,， 由题意知，， 则，又 ，， , ， 故真风为轻风.故选A. 课 堂 考 点 探 究 33 探究点三 平面向量数量积与解三角形综合 例3 [2025·湖南长沙一中月考（六）已知的面积为 ，且 . （1）求 的值； ［思路点拨］根据向量数量积的定义结合三角形的面积公式即可求 出 ，再结合二倍角公式进行计算即可； 解：设的内角,,所对的边分别为,,, ， ，可得 ， , . 课 堂 考 点 探 究 34 （2）若，，求 . ［思路点拨］利用两角和的正弦公式求出 的值，再结合正弦定 理以及三角形的面积公式进行计算即可. 课 堂 考 点 探 究 35 解：由得, ， ， ，, . 由正弦定理得， , 则 . 课 堂 考 点 探 究 36 [总结反思] 求解平面向量数量积与解三角形综合题的方法:选取合适的基,把三 角形中的边对应的向量用基表示,利用平面向量数量积结合正余弦 定理沟通边角关系求解. 课 堂 考 点 探 究 37 变式题 [2025·重庆九龙坡区5月调研]在中，内角，， 所 对的边分别为，， ，已知 , ，若 ，则 的最小值为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 38 [解析] 因为 ， 所以由正弦定理得，即 ， 由余弦定理得， 又，所以 . 由知， 课 堂 考 点 探 究 39 因为 ,所以 ， 当且仅当 时等号成立.故选D. 课 堂 考 点 探 究 课时作业 41 1.设是单位向量，若,,，则四边形 一定是( ) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 [解析] 由,，得， ， 所以四边形 一定是菱形.故选B. √ ◆ 基础热身 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 42 2.已知点是 的重心，则( ) A. B. C. D. [解析] 设的中点为，连接， 因为点是 的重心，所以 在线段上， 且 ，故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 43 3.在中，，，且，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由题知，解得， 又 ，所以 .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 44 4.马戏表演中小猴子模仿人做引体向上运动的节目深受观众们的喜爱， 当小猴子两只胳膊拉着单杠处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小 为，此时两只胳膊的夹角为 ，则估算小猴子的体重 单位:约为参考数据：取重力加速度大小为 ， ( ) A.9.2 B.7.5 C.8.7 D.6.5 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 45 [解析] 设小猴子两只胳膊的拉力分别为， ， 则 ， ， . 设小猴子的体重（单位：）为，则 ， 解得 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 46 5.[2025·长沙一中一模]已知菱形的边长为1, , 是 的中点，与相交于点，则 ( ) A. B. C.1 D. [解析] 因为，所以， ， 所以，所以 ， 所以 ， 故 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 47 6.（多选题）无人机的飞行速度向量、风速向量会影响其实际飞行轨 迹.无人机不受风影响时的飞行速度对应的向量称为空速向量，实际 观测到的飞行速度对应的向量称为地速向量，其为空速向量与风速 向量之和.无人机搭载的设备可监测线路缺陷，当无人机相对线路的 横向偏移量（垂直线路方向的向量分量）超过或纵向偏移量 沿线路方向的向量分量，其标准值为超过标准值 时， 需调整飞行姿态.已知某区域风速稳定，某次无人机计划以 轴正方 向为线路巡检时，空速向量为单位： ，风速向量为 单位： ，则( ) 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 48 A.地速大小为 B.地速向量的方向与空速向量的方向相同 C.纵向偏移量与标准值无偏差 D.该无人机需要调整飞行姿态 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 49 [解析] 设空速向量为，风速向量为，地速向量为， 则 , ，所以 ， 所以，所以地速大小为 ，故A正确； 由, 可知地速向量的方向与空速向量的方向不相同， 故B错误； 纵向偏移量为 ，与标准值无偏差，故C正确； 因为横向偏移量为，所以需要调整飞行姿态，故D正确. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 50 7.[2025·湖北孝感八校三模] 在中，已知， ， 边上的中线，那么 ___. 9 [解析] 由 ，得 ， 所以 ， 即，解得 ， 由余弦定理得，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 51 8.[2025·河南濮阳一模] 向量, 在边长为1的正方形网格中的位置如 图所示，则以向量, 为邻边的平行四边形的面积是___. 3 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 52 [解析] 根据题意，将向量, 平移至同一起点， 以起点为原点建立平面直角坐标系， 以, 为邻边作平行四边形，如图所示， 则 ,， 故, ， 又向量,的夹角为锐角，所以, ， 则该平行四边形的面积, . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 53 9.若平面上的三个力，， 作用于一点，且处于平衡状态，已知 ， ，与的夹角为 ，求： （1） 的大小； 解：如图，设，的合力为，与 的夹角为 ， 记，，分别为 ，，. 过点作延长线的垂线，与 的延长线相交于点 . 在中， ，， 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 54 在中， ， 所以，从而得 ， 所以 ， 于是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 （2）与 夹角的大小. 解：因为 ，所以与的夹角为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 56 10.已知在平面四边形中，,, 是四边形 外接圆的直径，，则 ( ) A. B. C. D. √ ◆ 综合提升 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 57 [解析] 因为 ， 所以， 由题易知 ， 所以， ， 则，可得. 在直角三角形中可得 ，故 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.[2025·金华十校一模]设 为两个非零向量, 的夹角，已知对任 意，的最小值为，则 ( ) A. B. C.或 D.或 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 59 [解析] 如图，令,,， 则即为线段 的长度. 由题知对任意，的最小值为，即 ， 显然当时，线段 最短， 此时，所以， 又 ，所以或 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 12.如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为 ，一艘船从河岸 的地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为 ， 水流速度的大小为 ，船的速度与水流速度的合速度 为 ，那么当航程最短时，下列说法正确的是( ) A.船头方向与水流方向垂直 B., C. D.该船到达对岸所需时间为 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 61 [解析] 由题意可知， ，当船的航程最短时，， 而船头的方向与 的方向相同，A选项错误； 由 ， 可得， 所以, ，B选项正确； ，C选项错误； 该船到达对岸所需时间为 ，D选项错误.故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 62 13.[2025·辽宁大连育明中学最后一模] 如图， 一滑轮组中有两个定滑轮，，在从连接点 出发的三根绳的端点处挂着三个重物，它们所 受的重力分别为，， ，此时整个系 统处于平衡状态，则 ___. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 63 [解析] 依题意， , ， 则 ， 即，解得 ， 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 14.如图，在中，，分别为， 上的点，且满足 ，，则直线一定经过 的______ （填“重心”“垂心”“内心”或“外心”）；若线段和相交于点 ， 则 的值为___. 重心 4 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 65 [解析] 由，可得为 的中点， 所以直线一定经过的重心. 由,, 三点共线，可设，故 ， 又 ， ， 且, 共线， 所以，解得，故 , 所以,故 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 66 15.在等腰直角三角形中，，,是边 上的点， 且 . （1）若，是边的中点，是边上靠近 的四等分 点，用向量,表示, ； 解： . . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 67 （2）求 的取值范围. 解：由题易知，设， ， 则 ， 所以， 因为，所以的取值范围是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 68 16.已知在中，,,分别为 的重心和外心，且 ，则 的形状是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.上述三种情况都有可能 √ ◆ 能力拓展 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 69 [解析] 如图，取边的中点，连接， ， 因为为的外心，所以. 因为 为的重心，所以. 过点作 于点，过点作于点 ， 因为 ，，为在 上的投影向量， 所以由数量积的几何意义得. 由及，得， 又 ，所以点,重合，故 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 70 17.若是的垂心，且，则 的值为 _ ___. [解析] 方法一：设边的中点为，连接， 设内角，, 的对边分别为,,， 由 ，得 ， 所以，故垂心在中线上，故 . 由，得 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 71 因为，， 所以 ， 所以 ， 即，所以 ， 由余弦定理得， 又，所以 ，所以， 所以 ,可得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 方法二：根据奔驰定理得 ， 又，所以 ， 所以, . 因为 ， 所以， 可得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $