第5单元 03 教材拓展3 等和线求最值范围问题（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量等和线求最值范围”专题，依据高考评价体系梳理了三点共线定理、等和线定义与定理等核心内容，通过典型例题与巩固演练，明确参数和、平方和、分式最值等高频题型，构建系统的解题思路，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“定理推导+题型归类+技巧提炼”的复习策略，如以等边三角形外接圆动点问题为例，运用等和线平移与长度比计算法突破参数最值，培养学生的数学思维和数学语言。通过高仿真训练与易错点分析，帮助学生熟练答题技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

教材拓展3 等和线求最值范围问题 1 典型例题 巩固演练 2 ① 1.平面向量三点共线定理 如图①，若,,三点共线，则 ， 其中 . 此结论也可以描述成分点恒等式形式：若 ,则 . 3 2.推广的等和线结论 （1）等和线定义:已知平面内一个基,}及任一向量 , ,若点在直线上或在平行于直线 的直线上,则为定值;反之也成立.我们把直线 以及与直 线 平行的直线称为等和线. （2）等和线定理： 如图②，,两点共线，为直线外一点，为与 平行的直线，且,,共线，,,共线， .若点为 上一点，, 则 . ［课本探源：人教A版必修第二册P26例1］ 4 典型例题 例1 在中，为边上任意一点，为 的中点，且满足 ，则 的最小值为( ) A. B. C. D.1 √ 典 型 例 题 5 [解析] 在中，为边 上任意一点， 则， 为 的中点，且满足， 由等和线定理得,即 ， 因此， ， 当且仅当时取等号，此时为的中点， 的最小值为 . 典 型 例 题 6 例2 如图，边长为2的等边三角形的外接圆圆心为，为圆 上 任意一点，若，则 的最大值为__. 典 型 例 题 7 [解析] 如图，过点作的平行线，与直线 相交于点， 与直线相交于点，设与 相交于点. 由等和线定理知，当过圆心，并且 ，位于点两侧时， 取得最大值，此时， 的最大值为 . 典 型 例 题 8 [总结反思] 利用等和线定理解求最值问题的策略： （1）确定 的等和线； （2）平移（或旋转或伸缩）该直线，结合动点的可行域，分析在何 处取得最值； （3）从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值或最小值. 典 型 例 题 9 巩固演练 1.如图，在平行四边形中，，相交于点，为线段 的 中点，若,则 等于( ) A.1 B. C. D. √ 巩 固 演 练 10 [解析] 方法一（常规方法）为线段 的中点， , , ,则 . 方法二（等和线法）如图，延长，交于， 过点作 的平行线， 设,则，即 . 巩 固 演 练 11 2.在中，点在线段 上（不包括端点），向量 ，则 的最小值为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意知，向量，且点在线段 上 （不包括端点）， 由等和线定理可得，且, ， 故 ， 当且仅当，即,时取等号， 故 的最小值为 ，故选D. √ 巩 固 演 练 12 3.在矩形中，动点在以为圆心且与 相切的圆上，若 ，则 的最大值为( ) A.3 B. C. D.2 [解析] 根据题意可知，当过点 且与圆相切的直线与平行时， 取得最大值， 设与 相交于点，则. 如图，过点作过 点的切线和的垂线，垂足分别为， ， 则 .故选A. √ 巩 固 演 练 13 4.在平面直角坐标系中，已知点,, ，若动点 满足，且，则 的最大值 为_ _____. [解析] 方法一：如图，取的中点，连接，则 , 又，所以 . 作的平行线，与半径为1的圆 相切于点， 与轴相交于点在轴正半轴上， 由等和线定理知当 在处时 取得最大值， 巩 固 演 练 14 易知 ,连接 ，与交于点，连接， 因为，所以 . 设，则， 由三角形相似知 ，则， 此时 ， 所以 . 巩 固 演 练 方法二：因为，,, ， 所以,, ， 代入，可得 则 ，所以 . 由 ，得，当且仅当 时等号成立， 所以 ， 得，当且仅当 时等号成立， 巩 固 演 练 16 所以 ， 即 的最大值为 . 巩 固 演 练 $