第5单元 02 第32讲 平面向量基本定理及坐标表示（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量基本定理及坐标表示”专题，依据课标要求覆盖定理应用、坐标运算、共线判定等核心考点，通过知识聚焦梳理爪子定理等常用结论，结合对点演练分析忽视基向量共线等易错点，对接高考评价体系明确高频考点分布。 课件亮点在于“真题示例+变式训练+素养提升”，如2025年北京朝阳区二模题用坐标法破解向量分解，培养数学思维与运算能力。课时作业分层设计基础到拓展题，帮助学生掌握坐标运算技巧，教师可依托系统考点梳理与易错点分析实现精准复习，助力高考冲刺。

第32讲 平面向量基本定理及坐标表示 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.掌握平面向量基本定理. 2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 4.能用坐标表示平面向量共线. 课 标 要 求 3 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果e1和e2是同一平面内两个　 　的向量,那么对该平面内任意 一个向量a,存在唯一的一对实数λ1,λ2,使a=　 　.   (2)基 把　 　的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基,记为{e1,e2}.  不共线 不共线 λ1e1+λ2e2 课 前 基 础 巩 固 4 2.平面向量运算的坐标表示 （1）平面向量运算的坐标表示 已知，，则 ________________， _________________， __________. （2）平面向量的坐标求法 已知,,则________________, _______________________. 课 前 基 础 巩 固 5 3.平面向量共线的坐标表示 设,,其中,则 _______________. 课 前 基 础 巩 固 6 ① 常用结论 1.爪子定理 形式1：如图①，在中，是边 上的 点，若， ，则 ，其中，，可知二求一.特别地，若 为边的中点，则. 课 前 基 础 巩 固 7 ② 形式2：如图②，在中，是边 上的 点，且，则 ， 其中，，可知二求一.特别地，若 为 边的中点，则 . 2.三角形的重心坐标公式：已知的顶点， ， ，则线段的中点坐标为， 的重心坐 标为 . 课 前 基 础 巩 固 8 题组一 常识题 1.［教材改编］已知向量，点的坐标为，则点 的 坐标为______. [解析] 方法一：设，则 ， 解得，，所以 . 方法二：设为坐标原点，因为 ， 所以，所以 . ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 9 2.［教材改编］设平面向量，，则 _________. [解析] . 课 前 基 础 巩 固 10 3.［教材改编］在中，点为边上一点，且 ， 设，，则_ ________.（用， 表示） [解析] 由题意，可得 . 课 前 基 础 巩 固 11 题组二 常错题 ◆ 索引：忽视构成基的两个向量不能共线致误；两个向量共线的 坐标表示公式掌握不牢致误；忽视共线包括两种情况致误. 4.给出下列四组向量：， ； ，；， ； ， .其中可以构成基的是____.（填序号） ② [解析] 两个不共线的向量可以构成一个基， ①③④中与 均共线，②中与 不共线.故填②. 课 前 基 础 巩 固 12 5.已知向量，，若，则 ____. [解析] 因为，，且 ， 所以，解得 . 课 前 基 础 巩 固 13 6.已知，，点在直线上，，则点 的坐标为_ _____________. 或 [解析] 由点在直线上，且， 可得 或. 当时，设 ，则， 解得，，此时点 的坐标为. 当时，设 ，则， 解得，，此时点 的坐标为. 综上，点的坐标为或 . 课 前 基 础 巩 固 14 探究点一 平面向量基本定理 例1（1）如图，在中，点， 分别在 ，边上，且，，点 为 的中点，则 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］根据条件，结合图形，得到 ，再利 用向量的线性运算，即可求解； √ 课 堂 考 点 探 究 15 [解析] 因为点为 的中点， 所以， 又, ， 所以 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 16 （2）[2025·北京朝阳区二模]在矩形中，, , ，点为线段的中点，与交于点 .设 ，其中,分别是与, 方向相同 的单位向量，则( ) A., B., C., D., ［思路点拨］根据条件，可得 ，然后利用平面向量 基本定理即可得解. √ 课 堂 考 点 探 究 17 [解析] 在矩形中，因为点为线段 的中点， 所以，所以 ， 则有. 因为,， , 分别是与,方向相同的单位向量, 所以, ， 则 ， 又因为，所以, .故选B. 课 堂 考 点 探 究 18 [总结反思] （1）应用平面向量基本定理表示向量,实质是利用平行四边形法则或 三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. （2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一个基, 并用该基将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解 决问题. 课 堂 考 点 探 究 19 变式题（1）[2025·湖南长沙雅礼中学一模]在中， , ,,.若，则 的 值为( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以为的中点，所以 . 因为，所以，所以 ， 所以 ， 所以, ，所以 .故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 20 （2）[2025·天津卷节选] 在中，为 边的中点， ，，，则_________（用， 表示）. [解析] 因为，所以 ， 所以， 又为 边的中点，所以 . 课 堂 考 点 探 究 21 探究点二 平面向量的坐标运算 例2（1）在平面直角坐标系内，的三个顶点分别为 ， ，，则 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］将各点的坐标代入即可求解. [解析] 因为，， ， 所以 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 22 （2）已知向量,, 在正方形网格（规定小方格的 边长为1）中的位置如图所示，若 ，则 的值为____. ［思路点拨］根据题意建立平面直角坐标系， 然后表示出,,的坐标，代入 中可求出 , 的值，从而可求得结果. 课 堂 考 点 探 究 23 [解析] 根据题意建立如图所示的平面直角坐标系， 则 ， ， 因为， 所以 ， 所以 解得 所以 . ， 所以 ， 课 堂 考 点 探 究 24 [总结反思] （1）利用向量的坐标运算解题时,首先利用加、减、数乘运算法则进 行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一 原则,转化为方程（组）进行求解. （2）向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使 向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化 为我们熟知的数量运算. 课 堂 考 点 探 究 25 变式题（1）已知,，若表示向量,, 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量 的坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 由题得 ，， 因为表示向量,, 的有向线段首尾相接能构成三角形， 所以， 则 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 26 （2）如图,在直角梯形中,, , ,为 的中点,若 ,则 的值为__. 课 堂 考 点 探 究 27 [解析] 不妨设,则, 以为原点， ，所在直线分别为, 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系, 则，, ,, , ,, , , , 解得故 . 课 堂 考 点 探 究 探究点三 平面向量共线的坐标表示 例3（1）[2025·南通押题卷]已知两个不相等的向量 ， ，若，则 ( ) A. B.0 C. D. ［思路点拨］根据向量的坐标运算得 ， 然后根据向量共线的坐标运算求得或 ，再代入验证即 可求解. √ 课 堂 考 点 探 究 29 [解析] 因为向量， ， 所以， 由 得， 所以 ，解得或. 当时，， ，此时，不符合题意； 当时，， ，此时 ，符合题意.故选C. 课 堂 考 点 探 究 30 （2）已知平面四边形的三个顶点，， ， 且，则顶点 的坐标为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］设出点的坐标,求出, 的坐标,利用向量相等构造 方程组求解. [解析] 设，则，， 因为 ，所以解得 所以顶点的坐标为 .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 31 [总结反思] 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式： ①若，，则 的充要条件是 ； ②若，则 . 2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数. 当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解. 课 堂 考 点 探 究 32 变式题（1）[2026·杭州学军中学开学考]已知向量 ， ，.若，，三点共线，则 ( ) A. B. C.11 D. [解析] 因为向量，， ， 所以. 因为，，三点共线，所以 ， 所以，解得 .故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 33 （2）已知向量,.若,则实数 _ ____. 0或 [解析] ,, 因为 , 所以, 解得或 . 课 堂 考 点 探 究 34 课时作业 35 1.已知点，，向量，则向量 等于( ) A. B. C. D. [解析] 因为，，所以 ， 所以 ，故选D. √ ◆ 基础热身 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 36 2.若{，是平面 内的一个基，则下列四组向量能构成平面 的一个基的是( ) A.， B.， C.， D.， √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 37 [解析] 由{，是平面 内的一个基，可知， 非零不共线. 对于A，，故， 共线，A不满足 题意； 对于B，， 不共线，B满足题意； 对于C，，故， 共线，C不满足题意； 对于D，，故 ， 共线， D不满足题意.故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 38 3.如图，已知，用，表示，则 等于( ) A. B. C. D. [解析] 因为 , 所以 . 故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 39 4.知，，，，若与共线，则 ( ) A.1 B.2 C.或2 D. 或1 [解析] 因为，，， ， 所以，， 又与 共线，所以， 解得或 .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 40 5.[2025·吉林长春二模]在中，，点在 上，若 ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以 ， 则 ， 又,,三点共线，所以，解得 .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 41 6.（多选题）[2025·湖北华中师大附中月考]已知向量 ， ，，若，， 三点能构成三角形， 则实数 的值可以是( ) A. B. C.1 D. [解析] 由题意知 ， . 假设 ，，三点共线，则，解得 ， 所以只要，，，三点就能构成三角形.故选 . √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 42 7.[2025·安徽合肥示范中学三模] 已知向量， ， 若，则 ____. [解析] ，， ， ，解得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 43 8.在中，点是边的中点，点在 边上，且 ，与相交于点，设， ，则向量 __________.（用, 表示） 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 44 [解析] 由题意得，，三点共线， 所以存在 ，使得. 又，， 三点共线， 所以存在，使得 . 由平面向量基本定理可得解得 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9.已知，，，设， ， ，且， . （1）求 ； 解： . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 46 （2）求满足的实数， 的值； 解：方法一：， ， ， 解得 方法二:， ，又 ， ， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 47 （3）如果且，求 的值. 解：， ， . ，，解得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 48 10.已知,,是坐标原点，点满足 ， 且，则点 的轨迹方程为( ) A. B. C. D. [解析] 设，则,, ， 由题意 可知， ， 所以消去 ，得点的轨迹方程为 .故选D. √ ◆ 综合提升 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 49 11.在中，点是线段上任意一点，点在线段 上，且满 足，若存在实数和，使得 ，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 50 [解析] 方法一：设， , ， ， .故选C. 方法二（等和线定理） ， 则， 由等和线定理得 ， 则 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 51 12.（多选题）在平面直角坐标系中，已知点, , ， ，则下列说法正确的是 ( ) A.若，则 B.若点在直线上，则 C.若，则 D.若与共线，则 √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 52 [解析] 由题知，,, ， 所以. 对于A，若 ，则，即 ， 故A正确； 对于B，， 若点在直线 上，则，所以， 即 ，故B错误； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 53 对于C， ， ， ， 若，则 ， 即 解得所以 ，故C正确； 对于D，， 若与 共线，则， 即 ，故D错误. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.如图所示，在中，，分别在边， 上，且，，与交于 点， ，，则__________.（用， 表示） [解析] ，，三点共线， 设 ，，三点共线， 设 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 55 由平面向量基本定理得 解得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.[2025·柳州三模] 在中， ，，， 为 内（包括边界）一点，且.若 ，则 的最大值为____. [解析] 如图，以为坐标原点，, 所在直线分 别为,轴建立平面直角坐标系， 则, , , 设 ,则， 过点作 轴的垂线，垂足为，则 , ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 57 所以， 所以 ,,. 因为 ，所以， 所以 , ， 则 ， 又 ，所以， 所以当 ，即时， 取得最大值 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 58 15.如图，在中，为线段上靠近点的三等分点， 是线段 （不包括端点）上一点，过点的直线与边， 分别交于点 ，，设， . （1）若，，求 的值； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 59 解：由点,,三点共线，可设 ， 即 ， 即 ， ，， . 为线段上靠近点的三等分点， . 由点,,三点共线可设 ， 即 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 故解得 故 ， 故 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 （2）若点为线段的中点，求 的最小值. 解：由（1）可知， ， 又， ， ， 又为线段 的中点， ， ， 故得 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 62 ， 当且仅当，即 时，等号成立， 故 的最小值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.（多选题）[2025·湖北黄冈二模]设平面向量,的夹角为 ， 若，且 ，则( ) A.当时，,, 三点共线 B.当,时，平分 C.当时， 的最大值为2 D.当时，的取值范围为 √ √ √ ◆ 能力拓展 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 [解析] 对于A，当 时，， 可得,, 三点共线，故A正确. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 65 对于B，当, 时，由， 可得 ， 即， 故,,三点共线，且. 过点作 ，交于点， 因为，，所以， ， 故，则， 由可得 ，则 ， 故平分 ，故B正确. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 66 对于C，如图，以为坐标原点，所在直线为 轴,建立平面 直角坐标系，则 ,，即， 因为 ，所以不妨设， ， 由 可得 ， 故 解得 故 ，其中， 故的最大值为 ，故C错误. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对于D，根据C选项可得 则， 因为 ，所以 ， 即的取值范围为 ，故D正确. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.已知点为扇形的弧上任意一点，且 ，若 ，则 的取值范围是_ ______. [解析] 以为坐标原点，所在直线为轴，过点 作的垂线，以该直线为 轴建立平面直角坐标系，如图. 设扇形的半径为1，则, , 设，其中 , . 由 ， 得 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 69 整理得 , ， 解得 , ， 则 , 因为 ，所以 , 所以，故 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $