第4单元 12 第30讲 余弦定理、正弦定理应用举例（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“余弦定理、正弦定理应用举例”专题，依据课标“解决简单实际问题”要求，系统梳理仰角俯角、方位角等核心概念，通过教材改编题和模拟题分析，明确测量距离、高度、角度三大常考题型，对接高考评价体系，体现备考针对性。 课件亮点在于“概念辨析+题型建模+真题演练”，如例1通过△ACD和△ABC关联，用正弦定理求基站距离，培养数学思维与模型意识。总结“定三角形—选定理—求未知”解题步骤，结合易错点分析，帮助学生掌握技巧，教师可据此高效指导复习。

第30讲 余弦定理、正弦定理应用举例 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题. 课 标 要 求 3 1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角叫______， 视线在水平线下方时与水平线的夹角叫______（如图①）. 2.方位角 从正北的方向线按顺时针方向到目标方向线所转过的水平角，范围 为 （如图②）. 仰角 俯角 ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 4 3.方向角 从指定方向线到目标方向线所转过的水平角（指定方向线是指正北 或正南或正东或正西，方向角小于 ，如图③）. 4.坡角与坡度 （1）坡角：坡面与水平面的夹角（如图④，角 为坡角）. （2）坡度：坡面的铅直高度与坡面的水平距离之比（如图④， 为 坡度）. 课 前 基 础 巩 固 5 题组一 常识题 1.［教材改编］如图所示，设， 两点在河的两岸， 一测量者在所在的同侧河岸边选定一点 ，测出 的距离为， ， 后，就可以计算出， 两点间的距离为________. ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 6 [解析] 在 中，由正弦定理得 ， 又 ，所以 课 前 基 础 巩 固 7 2.［教材改编］如图所示，为测量某树的高度 ，在地面上选取，两点，其中,, 三点 共线，从，两点测得树尖 的仰角分别为 ， ，且，两点之间的距离为 ， 则该树的高度为______________. 课 前 基 础 巩 固 8 [解析] 由题意知 ，所以 ，所以 该树的高度为 . . 由正弦定理得 ,所以 课 前 基 础 巩 固 9 3.［教材改编］已知两座灯塔和到海洋观察站 的距离都等于 ，灯塔在观察站的北偏东 方向上，灯塔在观察站 的南 偏东 方向上，则灯塔与灯塔 间的距离为________. [解析] 依题意知 ，所以由余弦定 理得 课 前 基 础 巩 固 10 题组二 常错题 ◆ 索引：仰角、俯角的概念不清致误;方向角、方位角的概念不清致误. 4.如图，在高的楼顶 处，测得正西方向 地面上，两点， 与楼底在同一水平线上 的俯角分别是 和 ，则， 两点之间 的距离为_________. 课 前 基 础 巩 固 11 [解析] 由题意得 ， 又 ，所以 . 课 前 基 础 巩 固 12 5.点在点的南偏西 方向上,若以点为基点,则点 的方位角是 ______. [解析] 根据方位角的概念可得点的方位角为 . 课 前 基 础 巩 固 13 探究点一 测量距离问题 例1 如图，在某市地面有四个基站，，，.已知基站， 建 在江的南岸，距离为，基站， 建在江的北岸，测得 ， ， ， ，则 基站， 之间的距离为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 14 ［思路点拨］在中,利用 ， ，得到 ，求出,在中,利用正弦定理求出,在 中, 利用余弦定理求出 . 课 堂 考 点 探 究 15 [解析] 因为 ， ， ，所以 ， . 在中，因为 ，所以 . 在 中， ，由正弦定 理得. 在 中，由余弦定理得，所以 ，即基站，之间的距离为 ，故选D. 课 堂 考 点 探 究 16 [总结反思] 测量距离问题的解题步骤: （1）选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若 其他量已知则直接求解，若有未知量,则把未知量放在另一确定的三 角形中求解； （2）确定用正弦定理还是余弦定理求解,如果都可用,那么就选择更 便于计算的定理. 课 堂 考 点 探 究 17 变式题（1）位于灯塔的正西方向且相距40海里的 处有一艘甲船 需要海上加油，位于灯塔的东北方向的 处有一艘乙船在甲船的北 偏东 方向上，则乙船前往支援 处的甲船需要航行的最短距离 是( ) A.海里 B.海里 C. 海里 D.30海里 √ 课 堂 考 点 探 究 18 [解析] 依题意，画出示意图如图，其中 ， , ， 在 中， ， 由正弦定理得 ， 因此 ，所以乙船前往支援 处的甲船需要航行的最短距离是 海里.故选B. 课 堂 考 点 探 究 19 （2）小华为测量，（视为质点）两地之间的距离，选取， （与，在同一水平面上）两点进行测量，已知在 的正东方向 上，米，在的北偏东 方向上，在 的南偏西 方向上，米，则， 两地之间的距离是( ) A.40米 B.米 C. 米 D.60米 √ 课 堂 考 点 探 究 20 [解析] 如图，由题可得， ， ， ， . 由 ，得 ，故 ， 则 ，则 ，故 . 故选C. 课 堂 考 点 探 究 21 探究点二 测量高度问题 例2（1）某船在海面上航行至处，测得山顶 位于其正西方向，且 仰角为 ，该船继续沿南偏东 的方向航行600米至 处，测得 山顶的仰角为 ，则该山顶高于海面( ) A.300米 B.400米 C.500米 D.600米 ［思路点拨］设山顶高于海面米，由已知求得,,在 中利 用余弦定理求解即可得 的值. √ 课 堂 考 点 探 究 22 [解析] 由题可画出示意图如图，其中 平面 ， ， ， . 设山顶高于海面 米，由题意得 ，， 在 中，因为， ，所以由余弦定理得 ， 即 ，即 ，解得或 （舍去），所以 该山顶高于海面600米. 故选D. 课 堂 考 点 探 究 23 （2）如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的 高度，他在自己家阳台处测得到楼地面底部点 的 距离为，假设电视塔底部为点 ，顶 A. B. C. D. 部为点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点，且，， 三点 共处同一水平线，，和点在同一平面内，在处测得阳台 、电 视塔顶部的仰角分别是 和 ，在阳台 处测得电视塔 顶部的仰角 ，则小明测得的电视塔的高度 为 ( ) √ 课 堂 考 点 探 究 24 ［思路点拨］根据题意可得,在 中利 用正弦定理可求得,进而在中可 求得 . 课 堂 考 点 探 究 25 [解析] 在中，. 在 中， ， ，则 ， 由正弦定理得 ，则 . 在 中， .故选A. 课 堂 考 点 探 究 26 [总结反思] （1）在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同 一铅垂面内视线与水平线之间的夹角. （2）要根据题意正确画出图形,同时空间图形和平面图形要区分开, 以免影响解答. 课 堂 考 点 探 究 27 变式题 [2025·福建部分优质高中4月适应性模拟]如图， 为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底 在 同一平面内的两个观测点与 ，现测得 ， ，米，在点 处 测得塔顶的仰角为 ，则该铁塔的高度约为( ) 参考数据：，，， A.40米 B.42米 C.51米 D.60米 √ 课 堂 考 点 探 究 28 [解析] 在 中， 由正弦定理得，可得 . 在 中， ， 则 ， ， ， 所以该铁塔的高度约为51米.故选C. 课 堂 考 点 探 究 29 探究点三 测量角度问题 例3 某渔船在航行过程中不幸遇险,发出求救信号,我国海军舰艇在 处获悉后,立即测出该渔船在方位角为 ,距离为10海里的 处,并测 得该渔船正沿方位角为 的方向以10海里/时的速度向小岛靠拢, 我国海军舰艇立即以海里/时的速度沿直线前去营救,恰好在 处 追上渔船，求舰艇航行的方位角和追上渔船所需的时间. ［思路点拨］设所需时间为小时,用表示出和,在 中应 用余弦定理可求出,再用正弦定理可求出 ，进而可得方位角. 课 堂 考 点 探 究 30 解：如图所示,设所需时间为小时,则 海里,海里, 在 中, ， 由余弦定理得 , 即, 整理得 ，可得,所以海里, 海里. 在中,由正弦定理得,所以 ,所以 ,所以舰艇 航行的方位角为 ，追上渔船所需的时间为1小时. 课 堂 考 点 探 究 31 [总结反思] （1）先明确题中所给各个角的含义,然后分析题意,分析已知和所求, 再根据题意画出正确的示意图,这是最关键和最主要的一步. （2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,再确定使用正弦 定理还是余弦定理解决问题. 课 堂 考 点 探 究 32 变式题（1）一艘巡逻舰从海岛出发，沿南偏东 的方向航行40 海里后到达海岛，然后从海岛出发，沿北偏东 的方向航行了 海里到达海岛.若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛 ，则航 行的方向和距离分别为( ) A.北偏东 ， 海里 B.北偏东 ， 海里 C.北偏东 ， 海里 D.北偏东 ， 海里 √ 课 堂 考 点 探 究 33 [解析] 如图，依题意知，在 中， ， 海 里， 海里， 所以由余弦定理得 ，所以 （海里）. 课 堂 考 点 探 究 34 由正弦定理得 ， 所以， 又因为 为锐角， 所以 ，所以航行的方向和距离分别为 北偏东 ， 海里.故选B. 课 堂 考 点 探 究 （2）（多选题）某货轮在处测得灯塔在北偏东 ，距离为 处，测得灯塔在北偏西 ，距离为 处.货轮 由处向正北方向航行到处时，测得灯塔在南偏东 方向上， 则下列说法正确的是( ) A.与之间的距离是 B.与之间的距离是 C.灯塔在的南偏西 方向上 D.在灯塔的北偏西 方向上 √ √ 课 堂 考 点 探 究 36 [解析] 如图，由题意可知 ， ， ， ， ，所以 . 在中，由正弦定理得 ，所以 ，故A正确； 在 中，由余弦定理得 ，即 ， 故B错误； 课 堂 考 点 探 究 37 由B项知 ，所以 ，所以灯塔在的南偏西 方向上，故C正确； 由 ，得在灯塔 的北偏西 方向上， 故D错误.故选 . 课 堂 考 点 探 究 课时作业 39 1.两座灯塔和与海岸观察站间的距离相等，灯塔 在观察站的北 偏东 方向上，灯塔在观察站的南偏东 方向上，则灯塔 在 灯塔 的( ) A.北偏东 方向上 B.北偏西 方向上 C.南偏东 方向上 D.南偏西 方向上 √ ◆ 基础热身 ◆ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 40 [解析] 如图，依题意知，因为灯塔 在观 察站的北偏东 方向上，灯塔 在观察站的南偏 东 方向上，所以 ，所以 ，所以灯塔在灯塔的北偏西 方向上，故选B. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 41 2.如图，，两点在河的两岸，在 同侧的河岸边选 取点，测得， ， ，则， 两点间的距离为( ) A. B. C. D. [解析] 由题知 ，在 中，由正弦定理得 ， .故选D. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 42 3.［2025·湖北（恩施高中、夷陵中学、郧阳中学）仿真］ 如图，某学生准备测量建筑物的高度，在高为 的 大楼的顶部处测得该建筑物的顶部的仰角为 ，底部 的俯角为与在同一水平面内 ，则该建筑物的高度 为( ) A. B. C. D. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 43 [解析] 过点作的垂线，垂足为 ，则 ，所以 ，则 该建筑物的高度为 .故选B. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.如图所示，从热气球上测得地面上点 的俯角为 ，点的俯角为 ，,, 在同一铅垂平面内， 已知，两点间的距离为 ，则热气球距地面 的高度 为( ) A. B. C. D. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 45 [解析] 在中， ，所以 在 中， ，所以. 因为， 两点间的距离为， 所以 ， 解得 ．故选C. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 46 5.[2025·云南昆明一中一模]如图，测量河对岸的塔 高时，可以选取与塔底 在同一水平面内的两个 测量基点与.现测得 ， ， 米，在点处测得塔顶 的 仰角， 则塔高约为 ( ) A.30.42米 B.42.42米 C.50.42米 D.60.42米 √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 47 [解析] 由题意，在 中， ，由正弦定理得 ，即，可得 . 在中，易知,因为 ，所以 .故选B. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 48 6.（多选题）一艘客船上午9：30在处，此时测得灯塔 在它的北偏 东 方向，之后它以每小时 的速度继续沿正北方向匀速 航行，上午10：00到达处，此时测得客船与灯塔相距 ， 则灯塔可能在 处的( ) A.北偏东 方向 B.南偏东 方向 C.东北方向 D.东南方向 √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 49 [解析] 由题意得， ， ，所以 ，解得 ，所以 或． 如图所示，当灯塔在 处时， ，所以 ； 当灯塔在 处时， ，所以 ． 综上，灯塔在处的北偏东 方向或南偏东方向．故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 50 7.[2025·陕西名校教育联盟检测] 已知甲船位于灯塔的北偏东 方向，且与相距的处，乙船位于灯塔的北偏西 方向上 的处.若两船相距，则乙船与灯塔之间的距离为___ . 2 [解析] 如图，由题可得， ， ，则由余弦定理可得 ,即 ，即 ， 所以 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 51 8.[2025·河北衡水中学三模]如图，，， 为某山脚两侧共线的三点， 在山顶处测得三点的俯角分别为 ， ， ， 现需要沿直线开通穿山隧道，已知 ， ，，则隧道 的长度为( ) A. B. C. D. √ ◆ 综合提升 ◆ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 52 [解析] 过向作垂线，垂足为 ，设 ，则在直角三角形 中可知 ，在直角三角形 中可知 ，在直角三角形 中可知， ，解得，因此 .故选A. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 53 9.[2025·江苏南通高品质高中模拟]如图①是某长方体建筑，图②中 的长方体是该建筑的直观图，点在 的延长线 上，是垂直于地面的测量标杆，其高为.现测得的长为 ， 在处测得点的仰角为 ，点的仰角为 ，则该建筑的高 为( ) 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 54 A. B. C. D. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 55 [解析] 设该建筑的高为，如图，在 上 取点,使，连接，则四边形 为矩形， 在上取点，使 ，连接 ，，则四边形 为矩形且四边形为矩形. ， ，故 . 同理得. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 56 ， 得 ，故选B. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.（多选题）在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东 方向，相距30公里的水面处有一艘 舰艇发出液货补给需求，它正 以每小时50公里的速度沿南偏东 方向前进，这个雷达兵立马协 调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东 方向与 舰艇对接并进行横向液货补给.若 舰艇要在最短的时间内实现横向 液货补给，则( ) A. 舰艇所需的时间为2小时 B.舰艇与舰艇对接时距离雷达兵处 70公里 C. D.舰艇与舰艇对接时距离 处50公里 √ √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 58 [解析] 如图所示，设舰艇经过 小时后 在处与舰艇对接，则 ， ， ， 由余弦定理得 ，整理得 ， 解得或（舍去），所以， . 由正弦定理得 ，所以.故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 59 11.某数学兴趣小组成员为测量， 两地（视为质点）之间的距离， 在的正北方向和西偏北 方向上分别选取点，，已知， 两 地相距千米，，两地相距千米，且在 的西南方向 上，在的西南方向上，则， 两地之间的距离是____千米. 20 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60 [解析] 如图，在中， , ，则 ，由正弦 定理得，解得. 在 中， ，设 ， 由余弦定理得 ，即 ，解得 （负值舍去）. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 61 12.如图，我校数学兴趣小组为了测量建筑物 的高 度，在地面上共线的三点，， 处分别测得建筑物 的顶点的仰角为 ， ， ，且 ，则该建筑物的高度 为________. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 62 [解析] 由题意，设 ，则 ， ， . 因为 ，所以在 中， ， 在 中， ，由①②可 得，即 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 63 13.[2025·湖南长沙一中一模] 如图，海岸上建有相距 海里的雷 达站，，某一时刻接到海上 船因动力故障发出的求救信号后， 调配附近的 船紧急前往救援，雷达站测得的角度数据为 ， ， ， . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 64 （1）救援出发时，船与雷达站 的距离为多少？ 解：在中，因为 ， ， ，所以 ， ， ，所以由正弦定理可得 ，即 ，解得 ，所以救援出发时，船与雷达站 的距离为120海里. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 65 （2）求，之间的距离，并判断若船以30海里/时的速度前往 处， 能否在3小时内赶到救援（说明理由）？ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 66 解：在 中，根据正弦定理可得 ， 即，解得 . 在 中，由余弦定理可得 ， 所以，即，之间的距离为 海里. 因为船以30海里/时的速度前往 处，而 ，所以能在3小时内赶到救援. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 67 $