专题1.9 等边三角形（举一反三讲义）数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦等边三角形核心知识点，系统梳理其概念（三边相等）、性质（三角60°、3条对称轴）及判定方法（定义法、三角相等、等腰+60°等），延伸至含30°角的直角三角形性质（30°角对直角边是斜边一半）和直角三角形斜边上中线性质，构建从基础到应用的学习支架。 资料特色在于题型归纳全面（10大题型含例题与变式），结合实际情境（如景区梁架、双翼闸机），通过作辅助线培养几何直观与推理意识，例题选自各地期中期末试题，课中辅助教学，课后助力查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

专题1.9 等边三角形（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 利用等边三角形的性质求角度】 2 【题型2 利用等边三角形的性质求线段长】 5 【题型3 利用等边三角形的性质证明】 7 【题型4 证明是等边三角形】 11 【题型5 等边三角形的判定与性质的综合】 16 【题型6 等边三角形中的多结论问题】 20 【题型7 含30°角的直角三角形的性质的简单应用】 27 【题型8 作垂线构造含30°角的直角三角形】 30 【题型9 直角三角形的性质的简单应用】 33 【题型10 构造辅助线利用直角三角形的性质】 36 考点1 等边三角形 知识点1 等边三角形及其性质 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：（1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴. （2）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点2 等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有两个角是60°的三角形是等边三角形． （4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【题型1 利用等边三角形的性质求角度】 【例1】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1-1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质，根据等边三角形的性质可知，根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和求出结果． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ． 故选：C． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是等边三角形，若，，，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用由等边三角形的性质证明，，再证明，，可得，再利用角的和差，从而可得答案. 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在与中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在等边三角形中，为边上一点，延长到点，使，连接． （）若，则的度数是______．（用含的代数式表示） （）过点作于点，的延长线与的延长线交于点，则的度数是______． 【答案】 /度 【分析】（）由等边三角形的性质及已知得，即得，进而根据三角形内角和定理即可求解； （）由等边三角形的性质及已知得，，即得，，进而得到，再根据直角三角形的性质即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：（）∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （）∵是等边三角形，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2 利用等边三角形的性质求线段长】 【例2】（24-25八年级下·甘肃平凉·阶段检测）如图，在中，B为边上一点，连接，恰为等边三角形，，则的长度为______． 【答案】14 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，根据等边三角形的性质求出，然后根据等角对等边得出，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为∶14． 【变式2-1】（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在等边三角形中，是高，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，根据三线合一的性质求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形，是高，， ∴， 故选：C． 【变式2-2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，如果，那么的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，连接，由题意可知，即为等边三角形，所以，推出，根据全等三角形的对应边相等知，则，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2-3】（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，是等边三角形的高，是延长线上一点，且．若，则的长是____． 【答案】6 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角定理等知识点． 先由等边三角形得到，，然后证明，再由求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3 利用等边三角形的性质证明】 【例3】如图，，都是等边三角形．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵和为等边三角形， ∴，，， ∵， ， ∴， 在和中，， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∴， 又， ∴． 【分析】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由等边三角形的性质得，，，，则，即可根据证明； （2）由全等三角形的性质得，结合即可得结论． 【变式3-1】（专题10等腰三角形共顶点）如图，以的边、为边，向外作等边和等边，连接、，相交于点．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出，得证； （2）由，利用全等三角形的对应边相等即可得到； （3）由，利用全等三角形的对应角相等得到，而为三角形的外角，利用外角的性质列出关系式，等量代换后即可求出其度数． 【详解】（1）解：证明：和都为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； （2）， ； （3）， ， 则． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键． 【变式3-2】如图，等腰中，和分别为等边三角形，与相交于点F，连接并延长，交于点G． (1)求证：； (2)求证：G为的中点． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵和为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 证明：根据（1）的结果有：． ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴G为的中点． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质推出，结合等边三角形的性质，再利用角的和差，即可证明； （2）根据（1）的结论，可得是线段的垂直平分线，即可解题． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定和性质、等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质以及线段垂直平分线的判定是解题的关键． 【变式3-3】如图，正方形ABCD的右侧作等边△ABE，连接DE、AC交于点F，连接BF， (1)求证： (2)求证：∠AFE＝60° 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据正方形的性质即可证得； （2）根据已知条件求得∠DAE＝∠DAB+∠BAE=90°+60°=150°，∠ADF=，根据三角形的外角定理即可求得结果． 【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，DA=BA，∠DAF=∠BAF=45°， 在△BAF与△DAF中， ∵， ∴（SAS）； （2）∵△ABE是等边三角形， ∴AD=AB=AE，∠BAE＝60°， ∴∠DAE＝∠DAB+∠BAE=90°+60°=150°， ∴∠ADF=， ∵∠DAC=45°， ∴∠AFE＝∠ADF+∠DAC=15°+45°=60°． 【点睛】本题主要考查的是正方形的性质以及等边三角形的性质，重点在于灵活运用已知条件，结合三角形外角定理进行求值． 【题型4 证明是等边三角形】 【例4】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定． （1）由，，，根据证明； （2）由全等三角形的性质得，，则可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：由（1）得， ， 是等边三角形． 【变式4-1】如图，在等边中，点，在边上，，点是点关于的对称点，连，．    (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质： （1）根据等边三角形的性质得到，进而证明，即可证明； （2）由轴对称的性质得到，进而推出，再证明，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵点是点关于的对称点， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴是等边三角形． 【变式4-2】已知：如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，结合以及三角形内角和定理，即可获得答案； （2）首先证明，，然后根据“”证明即可； （3）首先根据全等三角形的性质证明，再证明，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）得， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （3）由（2）得，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【变式4-3】如图，在中，，于，平分，交于，交于 (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定定理，等边三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等可得，，由角平分线的定义得到，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）由等边对等角，角平分线的定义和三角形内角和定理得到，由三角形外角的性质可得，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【题型5 等边三角形的判定与性质的综合】 【例5】如图，已知：和都是等边三角形，点分别是上的点，点是线段延长线上的一点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图1，若，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，点是线段的中点，连接并延长至使得，交于，连接，求证：是等边三角形． 【答案】(1) 证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴； (2) 证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3) 证明：∵为等边三角形， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．掌握相关的判定和性质，是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，得到，即可得证； （2）根据等边三角形的性质，得到，根据线段的和差关系，即可得出结论； （3）连接，证明，进而证明，得到，即可得证． 【变式5-1】如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点的对应点恰好落在边上时，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质得出，根据得出是等边三角形，可得，利用线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点的对应点恰好落在边上，， ∴． 【变式5-2】（25-26七年级下·海南儋州·期末）如图，是等边三角形，D是边上任意一点（与点B、C不重合），绕点A顺时针旋转后与重合．连接，则________度；设，则的度数为________度（用含有m的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质及旋转的性质可得，判定是等边三角形，即可求出的度数；在中利用三角形内角和定理表示出，结合即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵绕点A顺时针旋转后与重合， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 在中，， ∴， ∵， ∴． 【变式5-3】（25-26八年级下·浙江衢州·期末）数学发现 已知，点在正方形内部（不与点，重合）． 【特例感知】 (1)如图1，若，求的度数； 【规律探究】 (2)若，，．请探究是否为定值，写出推理过程． 【答案】(1) (2)是定值，推理过程如下： ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【分析】（1）首先证明是等边三角形，得到，然后结合等边对等角和三角形内角和定理求解即可； （2）首先由正方形得到，，求出，然后结合等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴； （2）略 【题型6 等边三角形中的多结论问题】 【例6】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，是上的点，过点作交于点，交的延长线于点，连接，，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③是等边三角形；④ 若，则． A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①② 【答案】A 【分析】由，，得出，可判断①；由①可证明，可判断②；可证明是等腰三角形但不能证明是等边三角形，可判定③；由，可求出，进而得出，继而证出，可判断④；即可得出答案． 【详解】∵， ∴，， ∵， ∴，①符合题意； ∵，， ∴，， ∴，②符合题意； ∵，，但不能判定是等边三角形，③不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，④符合题意； 综上，结论正确的是：①②④． 【变式6-1】（2026·天津红桥·一模）如图，在中，，以为边向外作等边三角形，连接，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质、等边三角形的性质及判定、平行线的判定逐一判断即可. 【详解】解：∵以为边向外作等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由旋转可知：， ∴C错误； ，， ∴即：三点共线， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴A错误； ∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴B正确； ∵不一定相等， ∴不一定垂直于， ∴D错误. 【变式6-2】（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，分别以的边，向外作两个等边三角形与，连接、交点F，连接．以下四个结论：①；②；③平分；④，其中正确结论的是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定等知识，证明，即可判断①；由①中，得出，然后结合三角形外角的性质即可判断②；过A作于M，于N，根据等面积法证明，然后根据角平分线的判定即可判断③；由②得，延长至点K，使，连接，可得是等边三角形，得到，，证明得到，根据线段的和差即可判断④． 【详解】解：、都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 设和相交于O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 过A作于M，于N， ∵， ∴，即， 又， ∴， ∴平分，故③正确； 由②知，， 延长至点K，使，连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．故④正确． 综上所述，正确的结论是①②③④． 故选：A． 【变式6-3】（25-26八年级上·安徽·期末）如图等边三角形中，点，是线段，上的动点且，连接，交于点，连接，下面结论：①；②；③若，则；④若，则，其中结论正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和与外角性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 利用等边三角形的性质，结合已知条件，通过可得，可证明①；由全等得到，根据等边三角形性质和三角形内角和公式，推导出，可证明②；当时，和是等边三角形两边的垂直平分线，则，可证③；作辅助线构造等边三角形，然后通过证明三角形全等得出，再结合等边三角形性质和得出，可知进而得出，可判断④错误． 【详解】解：在和中， ， ，①正确， ， 是等边三角形， ， ， ，②正确， 如图，当，为中点，则为中点， 是等边三角形， ，， 垂直平分，垂直平分， ，， ，③正确， 如图，延长至点，使，连接， 据②可知，则， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，④错误， 综上，正确的结论有①②③． 故选：． 考点2 含30°角的直角三角形的性质 知识点3 含30°角的直角三角形的性质 1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2. 拓展：（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题 【题型7 含30°角的直角三角形的性质的简单应用】 【例7】（25-26八年级下·广东深圳·期中）景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴． 【变式7-1】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】证明，结合，，可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴． 【变式7-2】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 【答案】11 【分析】先证出，则，，进而可得，再根据含角的直角三角形的性质求出的长，由此即可得． 【详解】解：是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式7-3】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和轴对称的性质，求出，然后根据等腰三角形的判定，求出，再根据直角三角形的性质求得，所以，，即可得到答案． 【详解】解：矩形纸片沿对角线折叠， ，，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 【题型8 作垂线构造含30°角的直角三角形】 【例8】（25-26八年级下·江西萍乡·期末）在等腰中，已知，，则的面积为________． 【答案】25 【分析】过点作，交的延长线于点，先求出的度数，得到的长度，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图， ，， ， ∴， 的面积为． 【变式8-1】（2026·内蒙古包头·二模）如图，左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图．已知交于点与水平线相交于点，．若分米，，则点到水平线的距离为___________分米． 【答案】 【分析】作于点，求得，利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴，即点到水平线的距离为分米． 【变式8-2】（2026·四川凉山·中考真题）如图，点P是的平分线上一点，过点P作交于点C，若，，则点P到的距离的长是_______． 【答案】1 【分析】根据角平分线定义和平行线性质证得是等腰三角形，求出的长，过点作于点，求出，根据角平分线的性质得出点到的距离． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴,, ∴， 过点作于点， ∴， ∵平分，， ∴, 即点到的距离为1． 【变式8-3】（2026·上海浦东新·二模）如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘，与闸机侧立面夹角，双翼展开时端点、的间距为．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为_______． 【答案】68 【分析】过点作于点，过点作于点，求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵双翼展开时端点、的间距为， ∴当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为． 考点3 直角三角形的性质 知识点4 直角三角形的性质 1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 在△ABC内作∠ACD=∠A，可得AD=DC(等角对等边），由∠B与∠A互余，∠BCD与∠ACD互余，可得∠B=∠BCD(等角的余角相等)，从而可得BD=DC(等角对等边），于是得到CD=-AB（这里 CD是斜边AB上的中线). 【题型9 直角三角形的性质的简单应用】 【例9】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，一根长为8米的钢缆斜拉在竖直的电线杆与地面之间，电线杆与地面垂直，垂足为点．若点是钢缆的中点，则，两点间的距离为（     ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】C 【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：连接， ∵电线杆与地面垂直， ∴， ∵点D是的中点， ∴在中，（米）， 即，两点间的距离为4米． 【变式9-1】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，在中，，为中点，且，则的度数为________． 【答案】60 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，证明是等边三角形，可知的度数． 【详解】解：∵，为中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【变式9-2】（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为______． 【答案】/26度 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，根据直角三角形斜边中线的性质，，则有，，再通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，分别是斜边，上的中线， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式9-3】（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，已知：在中，，，点在边的延长线上，，． (1)求证：； (2)如果是的中点，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，再结合，，证明； （2）结合，得，又因为三角形内角和性质，得出，根据是的中点，得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 则， ∴， ∵，， 即， （2）证明：依题意，如图所示： 由（1）得， ∴， ∵， ∴， 即， ∵是的中点， ∴． 【题型10 构造辅助线利用直角三角形的性质】 【例10】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于G，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质是解答本题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形三线合一的性质，即可得到结论． 【详解】证明：如图，连接， ∵是边上的高线， ∴． ∵是边上的中线， ∴． ∵， ∴． ∵于G， ∴． 【变式10-1】（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题综合考查了直角三角形斜边上的中线定理； （1）由直角三角形，线段中点的条件和定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到辅助线作法，连接进而得到等腰三角形，再根据定理“三线合一”即可证明． （2）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，根据三角形的周长公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接 , , 是的中点， 同理可得, 是的中点, ； （2）， ∴， ∴的周长为． 【变式10-2】（25-26八年级上·广东湛江·期末）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为“黄金三角形”，这条直线称为这个三角形的“黄金分割线”． (1)如图①，在中，，，平分交于点．求证：是“黄金三角形”． (2)如图②，在中，，求证：是“黄金三角形”． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和性质，三角形外角性质，直角三角形的性质． （1）根据等腰三角形的性质与判定，进行角度的推导即可； （2）取的中点连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进行判断可得两个等腰三角形，进而可求出结论． 【详解】（1）证明：，， ． 平分， ． ， 是等腰三角形， ， ，． ， 是等腰三角形， 是“黄金三角形”． （2）证明：如图，取的中点连接， ，点为的中点， ， 和是等腰三角形， 是“黄金三角形”． 【变式10-3】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在正方形 中，点 是 上一点，连接 ，点 是线段 的中点，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明：连接， ∵正方形， ∴，， ∵点 是线段 的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)． 【分析】（1）连接，求得，推出，得到，利用证明，即可得到； （2）证明是等边三角形，再利用等边对等角求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.9 等边三角形（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 利用等边三角形的性质求角度】 2 【题型2 利用等边三角形的性质求线段长】 3 【题型3 利用等边三角形的性质证明】 4 【题型4 证明是等边三角形】 5 【题型5 等边三角形的判定与性质的综合】 6 【题型6 等边三角形中的多结论问题】 7 【题型7 含30°角的直角三角形的性质的简单应用】 9 【题型8 作垂线构造含30°角的直角三角形】 10 【题型9 直角三角形的性质的简单应用】 11 【题型10 构造辅助线利用直角三角形的性质】 12 考点1 等边三角形 知识点1 等边三角形及其性质 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：（1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴. （2）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点2 等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有两个角是60°的三角形是等边三角形． （4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【题型1 利用等边三角形的性质求角度】 【例1】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是等边三角形，若，，，则的度数是______． 【变式1-3】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在等边三角形中，为边上一点，延长到点，使，连接． （）若，则的度数是______．（用含的代数式表示） （）过点作于点，的延长线与的延长线交于点，则的度数是______． 【题型2 利用等边三角形的性质求线段长】 【例2】（24-25八年级下·甘肃平凉·阶段检测）如图，在中，B为边上一点，连接，恰为等边三角形，，则的长度为______． 【变式2-1】（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在等边三角形中，是高，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2-2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，如果，那么的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-3】（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，是等边三角形的高，是延长线上一点，且．若，则的长是____． 【题型3 利用等边三角形的性质证明】 【例3】如图，，都是等边三角形．    (1)求证：； (2)求证：． 【变式3-1】（专题10等腰三角形共顶点）如图，以的边、为边，向外作等边和等边，连接、，相交于点．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求的度数． 【变式3-2】如图，等腰中，和分别为等边三角形，与相交于点F，连接并延长，交于点G． (1)求证：； (2)求证：G为的中点． 【变式3-3】如图，正方形ABCD的右侧作等边△ABE，连接DE、AC交于点F，连接BF， (1)求证： (2)求证：∠AFE＝60° 【题型4 证明是等边三角形】 【例4】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 【变式4-1】如图，在等边中，点，在边上，，点是点关于的对称点，连，．    (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 【变式4-2】已知：如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：是等边三角形． 【变式4-3】如图，在中，，于，平分，交于，交于 (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：是等边三角形． 【题型5 等边三角形的判定与性质的综合】 【例5】如图，已知：和都是等边三角形，点分别是上的点，点是线段延长线上的一点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图1，若，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，点是线段的中点，连接并延长至使得，交于，连接，求证：是等边三角形． 【变式5-1】如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点的对应点恰好落在边上时，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26七年级下·海南儋州·期末）如图，是等边三角形，D是边上任意一点（与点B、C不重合），绕点A顺时针旋转后与重合．连接，则________度；设，则的度数为________度（用含有m的代数式表示）． 【变式5-3】（25-26八年级下·浙江衢州·期末）数学发现 已知，点在正方形内部（不与点，重合）． 【特例感知】 (1)如图1，若，求的度数； 【规律探究】 (2)若，，．请探究是否为定值，写出推理过程． 【题型6 等边三角形中的多结论问题】 【例6】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，是上的点，过点作交于点，交的延长线于点，连接，，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③是等边三角形；④ 若，则． A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①② 【变式6-1】（2026·天津红桥·一模）如图，在中，，以为边向外作等边三角形，连接，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，分别以的边，向外作两个等边三角形与，连接、交点F，连接．以下四个结论：①；②；③平分；④，其中正确结论的是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 【变式6-3】（25-26八年级上·安徽·期末）如图等边三角形中，点，是线段，上的动点且，连接，交于点，连接，下面结论：①；②；③若，则；④若，则，其中结论正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 考点2 含30°角的直角三角形的性质 知识点3 含30°角的直角三角形的性质 1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2. 拓展：（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题 【题型7 含30°角的直角三角形的性质的简单应用】 【例7】（25-26八年级下·广东深圳·期中）景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式7-1】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式7-2】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 【变式7-3】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长为________． 【题型8 作垂线构造含30°角的直角三角形】 【例8】（25-26八年级下·江西萍乡·期末）在等腰中，已知，，则的面积为________． 【变式8-1】（2026·内蒙古包头·二模）如图，左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图．已知交于点与水平线相交于点，．若分米，，则点到水平线的距离为___________分米． 【变式8-2】（2026·四川凉山·中考真题）如图，点P是的平分线上一点，过点P作交于点C，若，，则点P到的距离的长是_______． 【变式8-3】（2026·上海浦东新·二模）如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘，与闸机侧立面夹角，双翼展开时端点、的间距为．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为_______． 考点3 直角三角形的性质 知识点4 直角三角形的性质 1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 在△ABC内作∠ACD=∠A，可得AD=DC(等角对等边），由∠B与∠A互余，∠BCD与∠ACD互余，可得∠B=∠BCD(等角的余角相等)，从而可得BD=DC(等角对等边），于是得到CD=-AB（这里 CD是斜边AB上的中线). 【题型9 直角三角形的性质的简单应用】 【例9】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，一根长为8米的钢缆斜拉在竖直的电线杆与地面之间，电线杆与地面垂直，垂足为点．若点是钢缆的中点，则，两点间的距离为（     ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【变式9-1】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，在中，，为中点，且，则的度数为________． 【变式9-2】（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为______． 【变式9-3】（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，已知：在中，，，点在边的延长线上，，． (1)求证：； (2)如果是的中点，求证：． 【题型10 构造辅助线利用直角三角形的性质】 【例10】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于G，．求证：． 【变式10-1】（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【变式10-2】（25-26八年级上·广东湛江·期末）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为“黄金三角形”，这条直线称为这个三角形的“黄金分割线”． (1)如图①，在中，，，平分交于点．求证：是“黄金三角形”． (2)如图②，在中，，求证：是“黄金三角形”． 【变式10-3】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在正方形 中，点 是 上一点，连接 ，点 是线段 的中点，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $