2.2 平方根与立方根（分层作业·练题型）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 本同步练以“分层进阶+素养导向”为特色，通过A/B/C组三级分层设计，实现从平方根、立方根基础概念到综合应用的梯度巩固，融入探究规律与实际情境题，培养抽象能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|平方根/立方根概念、性质、基本运算|以选择填空为主，如平方根概念辨析题，夯实基础，对应运算能力培养| |B组能力进阶|算术平方根非负性、估算、综合应用|含解答题与情境题，如直角三角形边长计算，提升知识迁移能力| |C组思维拔高|规律探究、程序问题|设计规律猜想与开放题，如算术平方根探究规律题，发展创新意识| |拓展链接中考|中考真题题型|整合中考常见考点，如立方根估算与实际应用题，衔接升学需求|

分层作业 2.2 平方根与立方根 目 录 A组 巩固过关 题型01 平方根概念的理解 题型02平方根的性质 题型03 算术平方根的性质 题型04 算术平方根的非负性 题型05 算术平方根的估算 题型06 算术平方根整数部分的确定 题型07 算术平方根的探究规律问题 题型08 算术平方根的实际应用 题型09 立方根概念的理解 题型10 立方根的性质 题型11 平方根立方根的综合应用 题型12 程序问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 平方根概念的理解题型01 一、单选题 1．7的平方根是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：7的平方根是． 2．的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：且， 的平方根是． 3．的平方根是（   ） A．-4 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题需要先求出的结果，再对所得结果求平方根，注意区分算术平方根和平方根的概念，避免直接对16求平方根导致错误． 【详解】解：，的平方根是 ∴的平方根是． 4．下列各式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根和算术平方根的求解方法，逐个判断即可． 【详解】解：是的算术平方根，为，A选项错误，不符合题意； 是的平方根，为，B选项错误，不符合题意； ，C选项正确，符合题意； ，D选项错误，不符合题意． 5．下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方根与算术平方根的定义对各选项逐一计算即可． 【详解】解：A：，故该选项不合题意； B：，故该选项不合题意； C：，故该选项不合题意； D：，故该选项符合题意． 6．若，则（     ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，则． 7．的平方根是（     ） A． B．9 C． D． 【答案】A 【分析】本题需先计算出的值，再根据平方根的定义求解． 【详解】解：∵， ∴根据平方根的定义，一个正数有两个互为相反数的平方根，3的平方根为． 8．的平方根是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方根的定义即可求解． 【详解】的平方根是． 9．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、表示的平方根，结果为，选项计算错误； B、表示的算术平方根，结果为，选项计算错误； C、，选项计算正确； D、，算术平方根的结果为非负数，选项计算错误． 10．下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D：，故D错误； 故选：C． 二、填空题 11．直接写出结果： （1）________；（2）________． 【答案】 【分析】（1）根据平方根的定义，求出25的正负平方根； （2）先计算平方，再依据算术平方根结果为非负数化简求值． 【详解】解：（1）； （2）． 12．若，则的平方根是__________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，先求出的值，再计算，最后求的平方根即可． 【详解】解：算术平方根和绝对值都是非负数，且 ∴ ， 解得， 的平方根为． 13．若是的一个平方根，则的平方根是______． 【答案】 【分析】根据平方根的定义求出的值． 再计算的值， 最后根据平方根的定义求出的平方根即可． 【详解】解：是的一个平方根， ， ， 又， 的平方根为，即的平方根是． 三、解答题 14．一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查平方根： （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出a的值，再根据平方根求出b的值； （2）将（1）中结果代入，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵正数b的平方根是与， ∴， ∴． ∴，， ∵9的个平方根是， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 即平方根是． 15．一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，熟记平方根定义与性质是解决问题的关键． （1）根据平方根性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中，代入，利用平方根定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴，解得， ∴； （2）解：将代入中， 得， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 平方根的性质题型02 一、单选题 1．下列各数没有平方根的是（    ） A． B．0 C．7 D．16 【答案】A 【分析】根据平方根的定义，负数没有平方根，非负数（0和正数）才有平方根，据此解答即可． 【详解】解：∵负数没有平方根， ∴四个选项中只有没有平方根． 2．下列说法中，正确的是（     ） A．的平方根是 B．的平方根是和 C．没有平方根 D．的平方根是和 【答案】D 【详解】解：对应选项A：∵， ∴的平方根是，故A错误； 对于选项B：∵，的平方根是， ∴的平方根是，故B错误； 对于选项C：，正数有平方根，故C错误； 对于选项D：∵ ， ∴的平方根是和，故D正确． 3．下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根与算术平方根的定义逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 4．若有平方根，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根的基本性质，只有非负数才有平方根，列不等式即可求解的取值范围． 【详解】解：∵ 只有非负数才有平方根，且有平方根 ， ∴ ， 解得：． 5．下列说法中：①不带根号的数都是有理数；②没有立方根：③平方根等于本身的数是1；④有意义的条件是为正数；其中正确的有（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据有理数的定义，立方根、平方根的概念，算术平方根的双重非负性，逐个判断说法正误即可． 【详解】解：①不带根号的数不一定都是有理数，例如不带根号，但是无理数，因此①错误； ②，的立方根是，因此②错误； ③平方根等于本身的数只有，因此③错误； ④有意义的条件是被开方数，即为非负数，不只是正数，因此④错误； 四个说法全部错误，故正确的有个． 6．正数的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根的定义，解题时需要牢记正数有两个平方根的概念． 【详解】根据定义一个正数有两个平方根且互为相反数，记作 ． 7．“25的平方根是”用数学式子表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一个正数的平方根有两个，且互为相反数，正数的平方根记作，据此求解即可． 【详解】解：“25的平方根是”用数学式子表示正确的是． 8．关于“”的三种说法：①表示25的平方根；②；③是无理数．其中正确的个数是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】根据算术平方根、平方根的定义以及无理数的定义，逐一判断三种说法的正误，统计正确的个数即可．本题主要考查算术平方根与平方根的区别，无理数的定义，明确算术平方根是非负数是解题的关键． 【详解】解：∵表示25的算术平方根，25的平方根是， ∴①说法错误． ∵， ∴②说法正确． ∵，5是有理数， ∴③说法错误． 综上，正确的个数是1个； 故选：C． 9．已知一个数的一个平方根是2025，则它的另一个平方根为（    ） A．2025 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查“平方根的概念”，掌握两个平方根的关系是解题关键． 根据平方根的性质，一个正数的平方根有两个且互为相反数，由此即可判断出答案． 【详解】解：∵ 一个正数的平方根有两个，且互为相反数， 又∵ 一个平方根是2025， 则另一个平方根为， 故选：C． 10．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．25 B．5 C． D．2 【答案】A 【分析】一个正数的两个不同平方根互为相反数，利用这一性质先求出a的值，再计算得到这个正数即可． 【详解】∵一个正数的两个不同平方根互为相反数， ∴， 解得 ， 把代入得，两个平方根分别为和， ∴这个正数为． 二、填空题 11．5的平方根是__________． 【答案】 【详解】根据平方根的定义，若，则称为的平方根，正数有两个平方根，且互为相反数． 因为， 所以的平方根是． 12．若的平方根只有一个，则的值是____________． 【答案】2 【分析】根据平方根的性质可知，只有的平方根只有一个，据此得到，求解即可得到的值． 【详解】解：的平方根只有一个， ， 解得． 13．已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是__________． 【答案】121 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数的性质，列出一元一次方程求解，再计算得到这个正数． 【详解】解： 一个正数的两个平方根互为相反数， ， 合并同类项得 ， 解得 ， 将代入得其中一个平方根为 ， 因此这个正数为 14．如果的平方根是a和b，那么_______． 【答案】600 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，整体代入求值即可． 【详解】解：∵的平方根是a和b， ∴， ∴． 三、解答题 15．已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求和的值； (2)若的立方根为，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据“一个正数的平方根互为相反数”可得，求解确定的值，然后计算的值即可； （2）首先根据立方根的定义确定的值，进而可得的值，然后根据平方根的定义，即可获得答案． 【详解】（1）解：依题意，得， 解得：， ； （2）的立方根是， ， ， ，且64的平方根为， ∴的平方根为． 算术平方根的性质题型03 一、单选题 1．49的算术平方根是（     ） A． B． C．7 D．23 【答案】C 【详解】解：∵， ∴ 49的算术平方根是． 2．化简的结果正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴． 3．下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．是的算术平方根 C． D．负数有平方根 【答案】B 【分析】根据平方根与算术平方根的定义，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：选项A：的平方根是，A错误； 选项B：是的算术平方根，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：负数没有平方根，D错误． 4．的算术平方根等于（     ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题需要先计算出的值，再根据算术平方根的定义求解，注意明确需要求算术平方根的对象是的运算结果． 【详解】解：，， ∴的算术平方根等于2． 5．的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把化为假分数，再算即可． 【详解】解：∵， 又∵算术平方根的结果为非负数， ∴． 6．下列说法正确的是（     ） A．没有平方根 B．4的平方根是2 C．的算术平方根是 D．8的立方根是 【答案】A 【详解】解：根据平方根的性质，负数没有平方根. ∵，∴没有平方根，A选项正确； ∵，∴的平方根是，B选项错误； ∵，且算术平方根为非负数，∴的算术平方根是，不是，C选项错； ∵，∴的立方根是，D选项错误. 二、填空题 7．的相反数是______ ；的算术平方根是______ ． 【答案】 8 【分析】先根据有理数乘法法则计算的结果，再根据相反数的定义求解第一个空，最后根据算术平方根的定义求解第二个空. 【详解】解：计算乘积得 . 根据相反数的定义，的相反数是. 因为，且算术平方根为非负数，所以的算术平方根是. 8．如图，正方形的面积为6，它的顶点在数轴上，且表示的数为2．以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点的左侧），则点所表示的数为___________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式求得边的长，即为的长，结合点在点的左侧，利用数轴上两点间的距离关系即可得到点所表示的数． 【详解】解：由正方形面积公式得， （负值舍）， 由作图可知， 顶点在数轴上，且表示的数为2，点在点的左侧， 点表示的数为． 9．已知x的平方根是与，则x的算术平方根是______． 【答案】 【分析】利用正数的两个平方根互为相反数求出的值，再求出，最后计算的算术平方根． 【详解】解：∵的平方根是与， ∴， 整理得， 解得， 将代入得，其中一个平方根为， ∴， ∴的算术平方根为． 三、解答题 10．求下列各数的算术平方根： (1)64； (2)225； (3)． 【答案】(1)8 (2)15 (3) 【详解】（1）解：∵， ∴64的算术平方根是8； （2）解：∵， ∴225的算术平方根是15； （3）解：∵， ∴的算术平方根是． 11．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：. 12．计算： (1) (2)； 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先运算算术平方根，绝对值，乘方，再运算加减法，即可作答． （2）方程同时除以2，再开平方，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， 则， ∴， 解得， 算术平方根的非负性题型04 一、单选题 1．下列没有算术平方根的是（     ） A． B．0 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的性质，解题关键是掌握只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根，只需判断各选项数的正负性即可． 【详解】解：选项A：是负数，因此没有算术平方根； 选项B：是非负数，算术平方根为； 选项C：是正数，有算术平方根； 选项D：，是正数，有算术平方根． 2．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．为任意实数 【答案】A 【分析】利用算术平方根的非负性即可确定的取值范围． 【详解】解：，， ∵， ∴， 根据绝对值的性质，绝对值等于自身的数是非负数， ∴． 3．关于代数式的值说法正确的是（     ） A．时最小 B．时最大 C．时最大 D．时最小 【答案】B 【分析】根据算术平方根的非负性，分析代数式的取值变化，判断其最值对应的值即可． 【详解】解：∵算术平方根的值为非负数， ∴， ∵代数式中，被减数固定，越小，代数式的值越大， ∴当取最小值时，代数式取得最大值，令， 解得，又不存在最大值，因此代数式不存在最小值， 故时，代数式的值最大． 4．若一直角三角形的两边长x，y满足，则此三角形第三边的边长为（     ） A． B．3或 C．3或 D．或 【答案】D 【分析】先利用非负数的性质求出x和y的值，再分两种情况结合勾股定理计算第三边，需要考虑已知两边均为直角边，或较长边为斜边两种情况． 【详解】解：∵，，且 ∴，， 解得， 分两种情况计算第三边： (1)当，都为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得： 第三边长， (2)当为斜边，为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得： 第三边长， ∴此三角形第三边的边长为或． 二、填空题 5．已知，则的值是__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 6．若，则______． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出，，，再代入所求代数式计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，，， ∴，，， ∴，，， ∴． 三、解答题 7．若是的三边长，且满足． (1)求的值； (2)是直角三角形吗？请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)是直角三角形． 【分析】根据“几个非负数的和为，则每个非负数都为”求出的值； 计算两条较短边的平方和，验证是否等于最长边的平方，即可判断是否为直角三角形． 【详解】（1）解：∵且，，， ∴，，， 解得，，； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，，其中是最长边， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 算术平方根的估算题型05 一、单选题 1．估计的值（     ） A．在4到5之间 B．在3到4之间 C．在5到6之间 D．在6到7之间 【答案】C 【分析】使用夹逼法估计无理数的大小，只需找到与29相邻的两个完全平方数，即可确定的取值范围． 【详解】解：，，且， ，即， 因此的值在5到6之间． 2．已知是整数，且，则的值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题利用算术平方根的性质，即被开方数越大，对应的算术平方根越大，通过比较与相邻整数平方的大小，确定的取值范围，即可得到整数的值． 【详解】解：∵，， ∴， 不等式两边同时开算术平方根，得， ∵，且为整数， ∴． 3．估计的值应在（） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】本题用夹逼法估算无理数的范围，先找出与61相邻的两个完全平方数，确定的范围，再推导的取值范围． 【详解】解：∵， ∴，即， 不等式两边同时减3，得， 即， ∴的值在4到5之间． 二、填空题 4．若，其中n为正整数，则_______． 【答案】6 【分析】找到与相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，再结合已知不等式求出正整数的值． 【详解】解：， ， 即， 又，且为正整数， ． 三、解答题 5．根据下表回答下列问题： x 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 x² 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01 (1)_______，__________，__________ (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数n有__________个． 【答案】(1)14.6；144；0.142 (2)148；1.45 (3)286 【分析】观察表格中数据，找到对应的数据即可解决问题． 【详解】（1）解：观察表格中数据，发现：当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵22000与21904更接近， ∴与最接近的整数是148； ∵，且2.1与2.1025更接近， 且， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴整数n的个数为：． 算术平方根整数部分的确定题型06 一、单选题 1．已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 二、填空题 2．若的整数部分为a，小数部分为b，求的值为______． 3．若规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定：____． 4．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值为________． 三、解答题 5．已知：，其中是的整数部分，是的小数部分． (1)填空：的整数部分是______，小数部分是______； (2)求代数式的值． 6．阅读下列材料： ∵．即，∴的整数部分为2，小数部分为，仿照上例回答下列问题； (1)介于连续的两个整数a和b之间，且，那么______，______； (2)x是的小数部分，y是的整数部分，求______，______； (3)在（2）的条件下求的平方根． 算术平方根的探究规律问题题型07 一、单选题 1．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据被开方数的小数点向左（右）移动两位，则算术平方根的小数点向左（右）移动一位求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 2．某种编码规则为“开方密码”：一个数的算术平方根是其对应的密码．例如：数对应的密码是，数对应的密码是．已知数对应的密码约为，数对应的密码约为，则数对应的密码约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根的性质，被开方数缩小为原来的，它的算术平方根缩小为原来的，利用该性质结合已知条件即可求解． 【详解】解：∵一个数的算术平方根是其对应的密码， ∴数对应的密码为， ∵数对应的密码约为， ∴， ∴． 3．利用计算器计算出下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.15 0.4743 1.5 4.743 … 根据以上规律，（     ） A．47.43 B．15 C．474.3 D．150 【答案】A 【分析】先观察表格数据，总结被开方数与对应算术平方根的小数点移动规律，再根据规律计算所求结果. 【详解】解：由表格数据可得规律：被开方数的小数点向左或向右每移动2位，算术平方根的小数点向相同方向移动1位， ∵的小数点向右移动2位得到，且， ∴的结果是将的小数点向右移动1位，即. 二、填空题 4．已知，，则______；已知，，则______． 【答案】 【分析】算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． 立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． 【详解】解：； ． 5．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，，，…… 规律为 ∴． 原式 ． 6．观察下表规律： 利用规律求值：若，，________． 【答案】 【分析】先观察表格得到算术平方根的变化规律：被开方数的小数点每移动两位，算术平方根的小数点向相同方向移动一位，将的被开方数与已知被开方数对比，根据规律求解． 【详解】解： 又 ． 三、解答题 7．阅读素材： ，，，…按照此规律： (1)初步探究： ①填空：________________； ②计算：； (2)迁移应用：计算： 【答案】(1)①；② (2)23 【分析】（1）①总结题中规律，即可解答； ②根据①中规律解答即可； （2）总结题中规律，即可解答； 【详解】（1）解：①∵，，，…， ∴（是正整数，且）； ∴； ②根据①中规律可得：当时，， ∴ ． （2）解：∵，，，…， ∴ （是正整数，且）； 最后一项中，，符合规律， ∴ ． 8．小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】(1)25； (2)①；② 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）①根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案；②根据（2）①所求可得的值，求出C的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长C为； ②由（2）①得， ∵， ∴． 算术平方根的实际应用题型08 一、单选题 1．关于“”，下列说法不正确的是（     ）． A．它是一个无理数 B．它可以用数轴上的一个点表示 C．它可以表示面积为的正方形的边长 D．它不是实数 【答案】D 【分析】根据无理数定义，数轴的意义，正方形面积公式和实数的分类，逐一判断各选项，选出说法错误的选项即可． 【详解】解：∵11不是完全平方数，开方开不尽， ∴是无理数，A选项说法正确，不符合题意； ∵所有实数都可以用数轴上的一个点表示，是实数， ∴它可以用数轴上的一个点表示，B选项说法正确，不符合题意； ∵若正方形面积为，设边长为，则且，可得， ∴可以表示面积为11的正方形的边长，C选项说法正确，不符合题意； ∵是无理数，无理数属于实数，∴“它不是实数”的说法错误，D选项符合题意． 2．图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形．以数轴上表示的点为圆心，拼接的正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，如图2所示，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的面积由组成正方形的小正方形个数决定，计算即可得出拼接的正方形的边长；观察作图过程得出拼接的正方形的边长=点到的距离，再根据实数与数轴的关系即可求解． 【详解】解：∵由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形 ∴正方形的面积 ∴拼接的正方形的边长， 观察作图过程得出点到的距离， ∴点表示的数是． 二、填空题 3．如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形；通过动手操作，小张同学把长为，宽为的长方形如图2所示进行裁剪拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为________． 【答案】 【分析】先求出大正方形的面积，再求边长即可． 【详解】解：由题意可知，正方形的面积为， 因此边长为． 三、解答题 4．阅读材料：在引入无理数时，如图1，是把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为，则，从而求出，就得到了大正方形的边长为，借助此过程就可以将在数轴上表示出来．阅读后解答下列问题： (1)上述材料中蕴含的数学思想是______思想；（填序号） ①数形结合    ②分类讨论    ③转化与化归 (2)类比阅读材料完成下列问题： ①某同学受到启发，把长为2，宽为1的两个长方形沿着对角线（设为）剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即的值）； ②在数轴上画出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)① (2)①内部正方形的边长为；② 【分析】（1）分析材料即可； （2）①由图形面积之间的关系列方程求解即可； ②记的对应点为，1的对应点为，在数轴上方作以为底，为高的三角形，连接，以点为圆心，线段长为半径画弧，在点右侧与数轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：上述材料中蕴含的数学思想是数形结合思想， （2）解：①由题意得：， ， ∵是正方形的边长， ∴， ， 答：内部正方形的边长为． ②略 立方根概念的理解题型09 一、单选题 1．的立方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义：若，则是的立方根，计算出结果即可选出正确选项． 【详解】解：∵ ， ∴ 的立方根是． 2．下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 C．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 D．一个不为的数的立方根与被开方数同号 【答案】D 【详解】解：∵负数有立方根，例如，∴A选项错误； ∵负数有立方根，但负数没有平方根，∴ B选项错误； ∵任意数都只有一个立方根，∴ C选项错误； ∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，因此不为的数的立方根与被开方数同号，∴ D选项正确． 3．要使成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意数 【答案】D 【详解】解：开立方与立方运算互为逆运算，任意实数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是， 对任意实数，都满足． 4．下列选项正确的是（    ） A．8的立方根是 B． C． D．立方根等于本身的数只有1和0 【答案】C 【分析】根据立方根的定义分别判断即可．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根． 【详解】解：A. 8的立方根是，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. 立方根等于本身的数只有和0，故该选项不正确，不符合题意． 5．一个数的立方根等于它本身，且这个数的平方根也等于它本身，则这个数是（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 【答案】A 【详解】解：∵立方根等于本身的数为，平方根为本身的数只有0， 故这个数为0. 6．下列说法：①是4的平方根；②16的平方根是4；③的平方根是15；④0.25的算术平方根是0.5；⑤的立方根是；⑥的平方根是9．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：①、∵，∴是4的平方根，故①正确； ②、∵，∴ 16的平方根是 ，故②错误； ③、∵负数没有平方根，∴没有平方根，故③错误； ④、∵，∴ 0.25的算术平方根是，故④正确； ⑤、∵，∴的立方根是 ，故⑤错误； ⑥、∵，，∴的平方根是，故⑥错误； 综上所述，正确的说法共2个． 7．给出下列各式：，，，．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的定义与计算，掌握通过计算立方值来验证立方根的正确性是解题的关键． 逐一验证每个立方根表达式是否正确． 【详解】解：对于第一个：∵ ，且 ，∴ 正确； 对于第二个：∵ ，且 ，∴ 正确； 对于第三个：∵ ，∴ ，错误； 对于第四个：∵ ，∴ ，∴ 错误； 综上，正确的个数为． 故选：B． 8．已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于立方根，若被开方数扩大为原来的倍，则开方后的数比原来扩大10倍，据此解答即可． 【详解】解：， 又， ． 9．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是（   ） A．0，1 B．1， C．0， D．0， 【答案】D 【详解】解：0，的立方根等于本身． 二、填空题 10．已知，则的值是_______． 【答案】2 【详解】解：， ， 把代入得． 11．若有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】任意实数 【分析】本题考查了立方根有意义的条件，熟练掌握立方根有意义的条件是解题的关键． 根据立方根的性质，立方根有意义的条件是被开方数可以是任意实数，因此的取值范围没有限制． 【详解】解：∵立方根运算对任意实数都有意义， ∴对于，可以是任意实数， 即的取值范围是任意实数． 故答案为：任意实数． 12．已知，，则____________． 【答案】 【分析】本题考查立方根的运算性质，将变形为，再利用立方根的乘法性质拆分计算，结合已知条件即可求出结果． 【详解】． 13．填空题． （1）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是 _________ ． （2） ___________________ ；_____ ． （3）的平方根是 _______ ；的立方根是 _____ ． 【答案】 0或 8 2 【分析】（1）结合立方根的性质，得出0或都满足自身的立方根等于它本身，即可作答． （2）结合立方根的性质，进行计算，即可作答． （3）先开立方根再算平方根得出的平方根是；先求出64的算术平方根，再求出其立方根，即可作答． 【详解】解：（1）的立方根等于0，的立方根等于，的立方根等于 即如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是0或； （2）， （3）先化简得，的平方根为； 化简，的立方根为． 14．已知和的值互为相反数，且的平方根是它本身，则的平方根为_______． 【答案】 【分析】根据相反数的性质得到两个立方根的等量关系，利用立方根的性质求出的值，再根据平方根的定义求出的值，计算得到后，求其平方根即可． 【详解】解：∵和互为相反数 解得 的平方根是它本身，平方根等于本身的数只有， 解得 ∵的平方根是 的平方根为． 15．观察下列各式：，，，，按照此规律，第8个等式是_____． 【答案】 【分析】观察已知等式中各部分的数字特征，归纳出一般性规律，即可得到第8个等式． 【详解】解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， 第个等式：， ∴第8个等式为：． 三、解答题 16．求下列各数的立方根： (1) (2) (3)0.125 【答案】(1) (2) (3)0.5 【分析】本题考查立方根的定义，理解立方根的定义是解答的关键． （1）根据立方根的定义求解即可； （2）根据立方根的定义求解即可； （3）根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：因为，所以的立方根是，即； （2）解：因为，所以的立方根是，即； （3）解：因为，所以的立方根是，即． 17．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)30 (2) (3) 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：∵ ∴； （3）解：∵ ∴． 18．已知与互为相反数，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了相反数、立方根、解一元一次方程的应用，解题的关键是能根据题意得出方程． 根据相反数及立方根的性质列出方程即可求解． 【详解】解：与互为相反数， ， ，即， 解得． 19．计算及解方程 (1)计算： (2)解方程：． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）先计算算术平方根，立方根，再计算加减即可求解； （2）利用立方根即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：开立方得，， ∴． 20．阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以 的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为 ，所以是两位数； ②其次观察了立方数： ， ，猜想个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，所以的十位数字应为，于是猜想、验证，得的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)计算：________． (2)若，则________． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（）参照题干材料进行猜想、验证，可得答案； （）根据被开方数互为相反数列出方程解答即可求解； （）将所给等式变形为 ，根据立方根等于它本身的数是，，解答即可求解； 本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：因为， 所以是两位数； 其次观察立方数， ，猜想个位数字是； 接着将 往前移动位小数点后约为，因为， 所以的十位数字应为，于是猜想、验证，得 的立方根是； 得到， 故答案为：； （2）解：， 与互为相反数， 与互为相反数， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， 或或， 解得或或． 立方根的性质题型10 一、单选题 1．已知是整数，则满足条件的正整数最小是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】先得出是一个整数的立方，再根据要求满足条件的正整数最小解答即可． 【详解】解：∵是整数， ∴是一个整数的立方， 又∵要求满足条件的正整数最小， ∴正整数最小是，此时，符合题意． 二、填空题 2．若，则___________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 3．已知，则的值是_____． 【答案】3 【分析】根据立方根的定义，对等式两边同时开立方，转化为一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解：∵， ∴， 解得：. 三、解答题 4．求下列各式中x的值：(1)；(2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用平方根定义解答； （2）利用立方根定义解方程． 【详解】（1）解： 时，解得； 时，解得． （2）解： ． 5．计算(1)．(2)已知的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根及立方根的定义分别化简，再计算加减法； （2）根据平方根和立方根的定义，并结合题意可得，，，从而求得，，再代入求得，最后求算术平方根即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵的平方根为， ∴，， ∵的立方根为3， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴的算术平方根为10． 6．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：(1) ；(2)若，则 ；(3)已知，且与互为相反数，求，的值． 【答案】(1) (2) (3) 或或 【分析】（1）依照题干中的解题思路求出； （2）由可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （3）根据可得，由立方根等于它本身的数有和，可得：或或，分别求出当或或时，的值，再根据与互为相反数，求出的值． 【详解】（1）解：，，， 是两位数， ， 的个位数字应是， 将的小数点向前移动后约为， ，， 的十位数字应为， ， 依据“负数的立方根是负数”得到：； （2）解：， ， 解得：； （3）解：， ， ， 或或， 或或， 当时，可得：， 与互为相反数， ， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：． 平方根立方根的综合应用题型11 一、单选题 1．若，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用乘方法比较正数大小，带根号的正数同时乘相同次数的方去掉根号后，结果越大则原数越大，据此依次比较得到三者的大小关系． 【详解】解：∵，，均为正数，正数乘方后大小关系与原数一致， 先比较与，将两数同时平方得： ， ， ∵ ， ∴ ， 再比较与，将两数同时立方得： ， ， ∵ ， ∴ ， 综上可得 ． 二、填空题 2．一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 【答案】 【分析】先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案． 【详解】解：∵一个正数的平方根分别是和， ∴分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； ∵的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为． 三、解答题 3．计算与解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先利用平方差公式、立方根的性质化简各项，再进行加减乘除混合运算即可； （2）利用平方根的性质解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 或， ，． 4．已知是27的立方根，是的算术平方根与的立方根的和，是的平方根． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小； (2)求的所有可能值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根及实数的大小比较，解题的关键是掌握立方根和算术平方根的定义，注意一个正数有两个平方根， (1)中由27的立方根得，由的算术平方根与的立方根求和得，再计算，比较三个数的大小； (2)中先计算，再由平方根的定义得． 【详解】（1）解：是27的立方根， ， 的算术平方根为的立方根为， ， ， ， ； （2）解：， 是的平方根， ． 5．（1）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． （2）一个正数x的平方根分别是和，求正数x． 【答案】（1）；（2）9 【分析】本题考查了平方根和立方根的综合，熟练掌握相关定义列出方程是解题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的性质求出a，b的值，再估算出的大小，可得c的值，即可求解． （2）根据平方根的性质可得，求出a的值，即可． 【详解】解：（1）∵的立方根是3， ∴， 解得， 又∵的算术平方根是4， ∴， ∵， 解得：， ∵c是的整数部分，而， ∴， ∴， ∴的平方根是； （2）∵正数x的平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴正数． 程序问题题型12 一、填空题 1．如图是小宇用电脑设计的一个程序计算，当输入x的值是64时，输出y的值是______． 【答案】 【详解】解：由程序计算图可得：当输入x的值是64时，则第一次输出结果为，，是有理数， ∴第二次输出结果为． 2．按如图所示的数值转换器原理进行运算，当输入的数为81时，最终输出的数是_______． 【答案】 【分析】根据数值转换器原理，输入 x后先计算其算术平方根，若结果为有理数则继续取算术平方根，直到结果为无理数时输出． 【详解】解：由算术平方根的定义判断可得： 当输入的数x为81时，，不是无理数，需要继续计算； 取算术平方根，不是无理数，需要继续计算； 取算术平方根，是无理数，输出． 故答案为：． 3．根据图中的程序，当输入的为时，输出的值是______． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的立方根，算术平方根，读懂题意是解题的关键．根据流程图逐步求解即可． 【详解】解：∵当，， ∴， ∵不是无理数，进入循环， 当，， ∴， ∵不是无理数，进入循环， 当，， ∴， ∵是无理数，退出循环， ∴输出． 故答案为：． 4．有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的值为64时，输出的值是___________． 【答案】 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握算术平方根，立方根，无理数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，是有理数， ∴，是有理数， ∴的算术平方根为，是无理数，可以输出， ∴， 故答案为：． 5．小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是64时，输出的值是________． （2）分析发现，当非负数取________时，该程序无法输出值． 【答案】 0或1 【分析】本题考查了实数，立方根，算术平方根，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． （1）按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可． （2）按照计算流程，探索即可得出答案解： 【详解】解：（1）当x值为64时，则64的算术平方根得8， ∴8的立方根是2， ∴2的算术平方根得是，是无理数， ∴输出的数为； 故答案为：． （2）依题意，按照计算流程发现最后都是无理数输出， ∴当非负数取0或1时该程序无法输出值， 故答案为：0或1． 一、单选题 1．已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 2．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（     ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】根据算术平方根，立方根，无理数等内容，按照程序框图求解即可． 【详解】解：输入x的值是64时，取算术平方根可得，， 是有理数，则取立方根，可得， 是有理数，则取算术平方根，可得， 为无理数，则输出， 即． 3．若一直角三角形的两边长x，y满足，则此三角形第三边的边长为（     ） A． B．3或 C．3或 D．或 【答案】D 【分析】先利用非负数的性质求出x和y的值，再分两种情况结合勾股定理计算第三边，需要考虑已知两边均为直角边，或较长边为斜边两种情况． 【详解】解：∵，，且 ∴，， 解得， 分两种情况计算第三边： (1)当，都为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得： 第三边长， (2)当为斜边，为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得： 第三边长， ∴此三角形第三边的边长为或． 二、填空题 4．课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出，……线段（如图所示）．”即：，过A作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；…以此类推，则_______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求得、、，观察归纳得，即可求解． 【详解】解：∵是直角三角形，，， ∴； ∵是直角三角形，，， ∴； ∵是直角三角形，，， ∴； ⋯， ∴， ∴． 5．若规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定：____． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，再推导的取值范围，最后根据题目规定的的定义求出结果． 【详解】解：，， ， 不等式两边同时减，得 ， 根据表示实数的整数部分的定义，可得． 三、解答题 6．实数在数轴上对应的点的位置如图所示．化简 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及绝对值与数轴，正确化简各式是解题关键，直接利用数轴得出各式的符号，进而化简得出答案． 【详解】解：由数轴可知：，且， ，， ． 7．计算与解方程 (1)计算； (2)解方程①； ②． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）先计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减即可得出结果； （2）①利用平方根的定义计算即可得出结果； ②利用立方根的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解：①∵， ∴， ∴或； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．已知的平方根是，的立方根是3，m是的算术平方根． (1)求a、b、m的值； (2)若m的整数部分是x，小数部分是y，求的值． 【答案】(1) ，， (2) 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是3， ∴， ∴， ∴， ∵m是的算术平方根， ∴； （2）解：由（1）可知，且， ∴， ∴，， ∴. 9．已知的立方根是，的算术平方根为3，，且． (1)求，，的值； (2)求的平方根； (3)求的立方根． 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）解：的立方根是， ， ； 的算术平方根为3， ， ，且， ； （2）解：由（1）可知：，，， ∴， 的平方根为； （3）解：， 的立方根为. 10．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)已知是一个整数的立方，求； ①由，，可以确定是________位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是________； ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是________；由此求得________ (2)已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值． 【答案】(1)两；；， (2) 【分析】先根据和的大小确定立方根的位数，再根据原数个位数字的立方的个位特征确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，比较剩余数与相邻整数的立方，确定立方根的十位数字，即可得到结果． 【详解】（1）， ， 是两位数； 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是； ， 的十位数字是， ； （2）， ， 是两位数， 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是，划去后三位，得到数， ， 十位数的数是， ． 一、单选题 1．如图，在数轴上方作一个的方格（每一方格的边长为1个单位），依次连接四边的中点A，B，C，D得到一个正方形，点落在数轴上，用圆规在点的左侧的数轴上取点，使，若点在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，算术平方根的应用，利用面积法求出的长并熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题关键． 根据A、B、C、D为的方格各边中点可得正方形的面积等于的方格面积的一半，即可求出的长，点在原点右侧且到原点的距离为1个单位可得点A表示的数，根据数轴上两点间距离公式即可求出点E表示的数． 【详解】解：∵A、B、C、D为的方格各边中点， ∴正方形的面积等于的方格面积的一半， ∴， ∴， ∵点在原点右侧且到原点的距离为1个单位， ∴点A表示的数为1， ∵， ∴， ∵点E在点A左侧， ∴点E表示的数为， 故选：B． 二、填空题 2．如果与互为相反数，那么的算术平方根是_________． 【答案】1 【分析】根据相反数的定义和非负数的性质求出x、y的值，然后求出的值，最后根据的算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 的算术平方根是1． 三、解答题 3．如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）由数值转换器得到的式子，将值代入计算即可； （2）逆向运用数值转换器计算即可； （3）由题意得出取算术平方根始终为有理数，再由的算术平方根是其本身即可得到答案． 【详解】（1）解：由图中的数值转换器得到式子， 当时，；当时，，再将代入得； （2）解：当时，，则； （3）解：由于始终不输出，说明取算术平方根始终为有理数，根据的算术平方根是其本身， ∴当或1时，始终输不出值． 4．对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：对于1，4，9这三个数，，，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． (1)1，9，24这三个数________“漂亮数”（填“是”或“不是”）； (2)请判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”，若是，请求出其“最小算术平方根”；若不是，请说明理由； (3)已知正整数9，25，是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求的值． 【答案】(1)不是 (2)是“漂亮数”，最小算术平方根为 (3) 【分析】（1）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后判断即可； （2）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后进行解答即可； （3）分别根据已知条件中的定义和最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，列出关于m的方程，求出m即可． 【详解】（1）解：对，，计算任意两个乘积的算术平方根：，是整数；，不是整数；根据定义，这三个数不是“漂亮数”． （2）解：对，，计算任意两个乘积的算术平方根：，是整数；，是整数； ，是整数； 所有算术平方根都是整数，因此这三个数是“漂亮数”． 三个算术平方根为，，， 因此最小算术平方根是． （3）解：已知正整数，，，，是“漂亮数”， ，是整数； 使是整数，可得是整数， 设，是正整数，则． 由得， 此时是整数，满足“漂亮数”要求． 三个算术平方根分别为，，， 由得，且，因此最小算术平方根为，最大算术平方根为． 根据题意得， 解得， 因此． 5．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 【答案】(1) (2) (3) 或或 【分析】（1）依照题干中的解题思路求出； （2）由可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （3）根据可得，由立方根等于它本身的数有和，可得：或或，分别求出当或或时，的值，再根据与互为相反数，求出的值． 【详解】（1）解：，，， 是两位数， ， 的个位数字应是， 将的小数点向前移动后约为， ，， 的十位数字应为， ， 依据“负数的立方根是负数”得到：； （2）解：， ， 解得：； （3）解：， ， ， 或或， 或或， 当时，可得：， 与互为相反数， ， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：． 6．阅读与探究： 在第八章《实数》中，我们学习了平方根和立方根．下面类比平方根和立方根的学习方法理解四次方根． (1)填表与定义 ①填表 1 16 81 ___________ ___________ ②结合上述①中表格情况，类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： 平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根． 立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根． 四次方根的定义：一般地，___________． (2)思考与归纳 求一个数的四次方根的运算叫做开四次方．开四次方和四次方互为逆运算． ①探究： 的四次方根是___________，的四次方根是___________，的四次方根是___________． ___________（填“有”或“没有”）四次方根． ②归纳： 根据上述①中正数、、负数情况，类比平方根和立方根的特征，归纳四次方根的特征：___________． ③总结： 我们归纳四次方根的特征时，分了正数、、负数三类进行研究，这种思想叫___________． A．类比思想                         B．分类讨论思想 C．由一般到特殊的思想    D．由特殊到一般的思想 (3)巩固与应用 类似于平方根和立方根，一个数的四次方根用符号“”表示，读作“正、负四次根号”，其中是被开方数，是根指数．例如表示16的四次方根，． ①___________（将结果直接填到横线上） ②比较大小：___________（填“<”或“=”或“>”） 【答案】(1) ①，；②如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根.这就是说，如果，那么叫做的四次方根 (2) ①，，，没有；②正数有两个四次方根，它们互为相反数；的四次方根是；负数没有四次方根；③B (3) ①；② 【分析】（1）①仿照平方根、立方根的求法，分别求出、的四次方根；②根据计算结果总结四次方根的定义； （2）①根据四次方根的定义分别求、、、的四次方根；②归纳四次方根的特征；③我们归纳四次方根的特征时，分了正数、、负数三类进行研究，这种思想叫分类讨论思想； （3）①根据四次方根的定义求出结果；②分别求出和的四次方，通过比较它们的四次方，比较两数的大小． 【详解】（1）①解：， 若，则； ， 若，则； ②解：四次方根的定义：一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根； （2）①解：， 的四次方根是； ， 的四次方根是； ， 的四次方根是； 任何数的次方都不等于， 没有四次方根； ②解：正数有两个四次方根，它们互为相反数；的四次方根是；负数没有四次方根； ③解：我们归纳四次方根的特征时，分了正数、、负数三类进行研究，这种思想叫分类讨论思想； （3）①解：， ； ②解：，， 又， ． 一、单选题 1．下列实数中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“正数大于0，0大于负数”的基本性质即可求解． 【详解】解：∵所有负数都小于，所有正数都大于，又，是负数，不是正数，是正数， ∴， 因此最大的实数是． 2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ）    A． B．b C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了化简绝对值，求一个数的算术平方根，实数与数轴，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值，求算术平方根即可得到答案． 【详解】解；由题意得，， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 3．计算：________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 4．计算的结果为__________． 【答案】 【详解】解：原式=1−8+4=−3． 5．若，为实数，且，则的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得m、n值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 6．已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b=___． 【答案】9 【详解】解∵16<17<25， ∴ ∴a=4，b=5． ∴a+b=9， 故答案为：9． 三、解答题 7．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 目 录 A组 巩固过关 题型01 平方根概念的理解 题型02平方根的性质 题型03 算术平方根的性质 题型04 算术平方根的非负性 题型05 算术平方根的估算 题型06 算术平方根整数部分的确定 题型07 算术平方根的探究规律问题 题型08 算术平方根的实际应用 题型09 立方根概念的理解 题型10 立方根的性质 题型11 平方根立方根的综合应用 题型12 程序问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 2.2 平方根与立方根 平方根概念的理解题型01 一、单选题 1．7的平方根是（   ） A．7 B． C． D． 2．的平方根是（     ） A． B． C． D． 3．的平方根是（   ） A．-4 B． C． D．4 4．下列各式，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若，则（     ） A．5 B． C． D． 7．的平方根是（     ） A． B．9 C． D． 8．的平方根是（     ）． A． B． C． D． 9．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 10．下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．直接写出结果： （1）________；（2）________． 12．若，则的平方根是__________． 13．若是的一个平方根，则的平方根是______． 三、解答题 14．一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 15．一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 平方根的性质题型02 一、单选题 1．下列各数没有平方根的是（    ） A． B．0 C．7 D．16 2．下列说法中，正确的是（     ） A．的平方根是 B．的平方根是和 C．没有平方根 D．的平方根是和 3．下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 4．若有平方根，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．下列说法中：①不带根号的数都是有理数；②没有立方根：③平方根等于本身的数是1；④有意义的条件是为正数；其中正确的有（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．正数的平方根是（    ） A． B． C． D． 7．“25的平方根是”用数学式子表示正确的是（   ） A． B． C． D． 8．关于“”的三种说法：①表示25的平方根；②；③是无理数．其中正确的个数是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 9．已知一个数的一个平方根是2025，则它的另一个平方根为（    ） A．2025 B．0 C． D． 10．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．25 B．5 C． D．2 二、填空题 11．5的平方根是__________． 12．若的平方根只有一个，则的值是____________． 13．已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是__________． 14．如果的平方根是a和b，那么_______． 三、解答题 15．已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求和的值； (2)若的立方根为，求的平方根． 算术平方根的性质题型03 一、单选题 1．49的算术平方根是（     ） A． B． C．7 D．23 2．化简的结果正确的是(   ) A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．是的算术平方根 C． D．负数有平方根 4．的算术平方根等于（     ） A．4 B． C． D．2 5．的值等于（     ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（     ） A．没有平方根 B．4的平方根是2 C．的算术平方根是 D．8的立方根是 二、填空题 7．的相反数是______ ；的算术平方根是______ ． 8．如图，正方形的面积为6，它的顶点在数轴上，且表示的数为2．以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点的左侧），则点所表示的数为___________． 9．已知x的平方根是与，则x的算术平方根是______． 三、解答题 10．求下列各数的算术平方根： (1)64； (2)225； (3)． 11．化简： (1)； (2)； (3)． 12．计算： (1) (2)； 算术平方根的非负性题型04 一、单选题 1．下列没有算术平方根的是（     ） A． B．0 C．6 D． 2．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．为任意实数 3．关于代数式的值说法正确的是（     ） A．时最小 B．时最大 C．时最大 D．时最小 4．若一直角三角形的两边长x，y满足，则此三角形第三边的边长为（     ） A． B．3或 C．3或 D．或 二、填空题 5．已知，则的值是__________． 6．若，则______． 三、解答题 7．若是的三边长，且满足． (1)求的值； (2)是直角三角形吗？请说明理由． 算术平方根的估算题型05 一、单选题 1．估计的值（     ） A．在4到5之间 B．在3到4之间 C．在5到6之间 D．在6到7之间 2．已知是整数，且，则的值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．估计的值应在（） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 二、填空题 4．若，其中n为正整数，则_______． 三、解答题 5．根据下表回答下列问题： x 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 x² 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01 (1)_______，__________，__________ (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数n有__________个． 算术平方根整数部分的确定题型06 一、单选题 1．已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 二、填空题 2．若的整数部分为a，小数部分为b，求的值为______． 3．若规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定：____． 4．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值为________． 三、解答题 5．已知：，其中是的整数部分，是的小数部分． (1)填空：的整数部分是______，小数部分是______； (2)求代数式的值． 6．阅读下列材料： ∵．即，∴的整数部分为2，小数部分为，仿照上例回答下列问题； (1)介于连续的两个整数a和b之间，且，那么______，______； (2)x是的小数部分，y是的整数部分，求______，______； (3)在（2）的条件下求的平方根． 算术平方根的探究规律问题题型07 一、单选题 1．若，，则（     ） A． B． C． D． 2．某种编码规则为“开方密码”：一个数的算术平方根是其对应的密码．例如：数对应的密码是，数对应的密码是．已知数对应的密码约为，数对应的密码约为，则数对应的密码约为（     ） A． B． C． D． 3．利用计算器计算出下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.15 0.4743 1.5 4.743 … 根据以上规律，（     ） A．47.43 B．15 C．474.3 D．150 二、填空题 4．已知，，则______；已知，，则______． 5．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 6．观察下表规律： 利用规律求值：若，，________． 三、解答题 7．阅读素材： ，，，…按照此规律： (1)初步探究： ①填空：________________； ②计算：； (2)迁移应用：计算： 8．小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 算术平方根的实际应用题型08 一、单选题 1．关于“”，下列说法不正确的是（     ）． A．它是一个无理数 B．它可以用数轴上的一个点表示 C．它可以表示面积为的正方形的边长 D．它不是实数 2．图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形．以数轴上表示的点为圆心，拼接的正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，如图2所示，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 3．如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形；通过动手操作，小张同学把长为，宽为的长方形如图2所示进行裁剪拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为________． 三、解答题 4．阅读材料：在引入无理数时，如图1，是把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为，则，从而求出，就得到了大正方形的边长为，借助此过程就可以将在数轴上表示出来．阅读后解答下列问题： (1)上述材料中蕴含的数学思想是______思想；（填序号） ①数形结合    ②分类讨论    ③转化与化归 (2)类比阅读材料完成下列问题： ①某同学受到启发，把长为2，宽为1的两个长方形沿着对角线（设为）剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即的值）； ②在数轴上画出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹） 立方根概念的理解题型09 一、单选题 1．的立方根是（     ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 C．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 D．一个不为的数的立方根与被开方数同号 3．要使成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意数 4．下列选项正确的是（    ） A．8的立方根是 B． C． D．立方根等于本身的数只有1和0 5．一个数的立方根等于它本身，且这个数的平方根也等于它本身，则这个数是（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 6．下列说法：①是4的平方根；②16的平方根是4；③的平方根是15；④0.25的算术平方根是0.5；⑤的立方根是；⑥的平方根是9．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．给出下列各式：，，，．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 9．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是（   ） A．0，1 B．1， C．0， D．0， 二、填空题 10．已知，则的值是_______． 11．若有意义，则x的取值范围是_________． 12．已知，，则____________． 13．填空题． （1）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是 _________ ． （2） ___________________ ；_____ ． （3）的平方根是 _______ ；的立方根是 _____ ． 14．已知和的值互为相反数，且的平方根是它本身，则的平方根为_______． 15．观察下列各式：，，，，按照此规律，第8个等式是_____． 三、解答题 16．求下列各数的立方根： (1) (2) (3)0.125 17．化简： (1)； (2)； (3)． 18．已知与互为相反数，求a的值． 19．计算及解方程 (1)计算： (2)解方程：． 20．阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以 的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为 ，所以是两位数； ②其次观察了立方数： ， ，猜想个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，所以的十位数字应为，于是猜想、验证，得的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)计算：________． (2)若，则________． (3)已知，求的值． 立方根的性质题型10 一、单选题 1．已知是整数，则满足条件的正整数最小是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 二、填空题 2．若，则___________． 3．已知，则的值是_____． 三、解答题 4．求下列各式中x的值： (1)； (2) 5．计算 (1)． (2)已知的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根． 6．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 平方根立方根的综合应用题型11 一、单选题 1．若，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 三、解答题 3．计算与解方程： (1)． (2)． 4．已知是27的立方根，是的算术平方根与的立方根的和，是的平方根． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小； (2)求的所有可能值． 5．（1）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． （2）一个正数x的平方根分别是和，求正数x． 程序问题题型12 一、填空题 1．如图是小宇用电脑设计的一个程序计算，当输入x的值是64时，输出y的值是______． 2．按如图所示的数值转换器原理进行运算，当输入的数为81时，最终输出的数是_______． 3．根据图中的程序，当输入的为时，输出的值是______． 4．有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的值为64时，输出的值是___________． 5．小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是64时，输出的值是________． （2）分析发现，当非负数取________时，该程序无法输出值． 一、单选题 1．已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 2．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（     ） A． B． C．2 D．8 3．若一直角三角形的两边长x，y满足，则此三角形第三边的边长为（     ） A． B．3或 C．3或 D．或 二、填空题 4．课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出，……线段（如图所示）．”即：，过A作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；…以此类推，则_______． 5．若规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定：____． 三、解答题 6．实数在数轴上对应的点的位置如图所示．化简 7．计算与解方程 (1)计算； (2)解方程①； ②． 8．已知的平方根是，的立方根是3，m是的算术平方根． (1)求a、b、m的值； (2)若m的整数部分是x，小数部分是y，求的值． 9．已知的立方根是，的算术平方根为3，，且． (1)求，，的值； (2)求的平方根； (3)求的立方根． 10．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)已知是一个整数的立方，求； ①由，，可以确定是________位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是________； ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是________；由此求得________ (2)已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值． 一、单选题 1．如图，在数轴上方作一个的方格（每一方格的边长为1个单位），依次连接四边的中点A，B，C，D得到一个正方形，点落在数轴上，用圆规在点的左侧的数轴上取点，使，若点在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．如果与互为相反数，那么的算术平方根是_________． 三、解答题 3．如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 4．对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：对于1，4，9这三个数，，，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． (1)1，9，24这三个数________“漂亮数”（填“是”或“不是”）； (2)请判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”，若是，请求出其“最小算术平方根”；若不是，请说明理由； (3)已知正整数9，25，是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求的值． 5．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 6．阅读与探究： 在第八章《实数》中，我们学习了平方根和立方根．下面类比平方根和立方根的学习方法理解四次方根． (1)填表与定义 ①填表 1 16 81 ___________ ___________ ②结合上述①中表格情况，类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： 平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根． 立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根． 四次方根的定义：一般地，___________． (2)思考与归纳 求一个数的四次方根的运算叫做开四次方．开四次方和四次方互为逆运算． ①探究： 的四次方根是___________，的四次方根是___________，的四次方根是___________． ___________（填“有”或“没有”）四次方根． ②归纳： 根据上述①中正数、、负数情况，类比平方根和立方根的特征，归纳四次方根的特征：___________． ③总结： 我们归纳四次方根的特征时，分了正数、、负数三类进行研究，这种思想叫___________． A．类比思想                         B．分类讨论思想 C．由一般到特殊的思想    D．由特殊到一般的思想 (3)巩固与应用 类似于平方根和立方根，一个数的四次方根用符号“”表示，读作“正、负四次根号”，其中是被开方数，是根指数．例如表示16的四次方根，． ①___________（将结果直接填到横线上） ②比较大小：___________（填“<”或“=”或“>”） 一、单选题 1．下列实数中最大的是（   ） A． B． C． D． 2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ）    A． B．b C． D． 二、填空题 3．计算：________． 4．计算的结果为__________． 5．若，为实数，且，则的值为______． 6．已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b=___． 三、解答题 7．计算：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 分层作业 2.2平方根与立方根 A组 巩固过关 题型01 平方根概念的理解 一、单选题 1.D2.D3.B4.C5.D6.D7.A8.D9.C10.C 二、填空题 115 312.5 133V3 三、解答题 14.(1)解：，正数b的平方根是2a-1与-a+2, .-a+2+2a-1=0. ∴.a=-1. -a+2=-(-1)+2=32a-1=2×(-1)-1=-3 .9的个平方根是±3， .b=9 (2)解：a=-1,b=9, :5a+h=5x(←1)+9=4 t5a+-2 即5a+b平方根是±2. 15.(1)解：：一个正数x的两个不同的平方根分别是2a-3和5-a, :(2a-3)+(6-a)=0 解得a=-2 :x=(2a-3)}=49 (2)解：将x=49,a=-2代入x+12a中， 试卷第1页，共3页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 得x+12a=49-12×2=25, ,25的平方根为±5， ∴x+12a的平方根为5. 题型02 平方根的性质 一、单选题 1.A2.D3.C4.C5.A6.B7.B8.C9.C 二、填空题 11.±5 12.213.12114.600 三、解答题 15.(1)解：依题意，得3-a+2a+1=0, 解得：a=-4, :m=3-=[3-（4订=49： (2)2b-1的立方根是-5， .2b-1=(-5)=-125 .b=-62 0-6=(4)(62)=4.且64的平方根为8 1 20-b的平方根为8 题型02 平方根的性质 一、单选题 1.A2.D 3.C4.C5.A6.B7.B8.C9 二、填空题 11.±5 12.213.12114.600 三、解答题 15.(1)解：依题意，得3-a+2a+1=0, 解得：a=-4, 试卷第2页，共3页 上好每一堂课 10.A C10.A 函学科网·上好课 www.zxxk.com m=(3-a}=[3-(（4]=49 (2)2b-1的立方根是-5， .2b-1=（-5)3=-125 .b=-62. 1 0=b)-4)-62)=64.日64的平方银 1 :20-b的平方根为8 颗型03 算术平方根的性质 一、单选题 1.C2.C3.B4.D5.D6.A 二、填空题 7.83 8.2-√69.6 三、解答题 10.(1)解：82=64， ∴.64的算术平方根是8： (2)解：152=225. ∴.225的算术平方根是15： (32_9 (3)解：416， 9 3 ·16的算术平方根是4 11.(1)解： √100=V102=10 (3)解：13=13 试卷第3页，共3页 上好每一堂课 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 12.(1)解： 16-2+(-3)月 =4-2+9 =11: (2)解：.2(x+3)2=8 则(x+3}=4 .x+3=2, x=-1x2=-5 解得 颗型04 算术平方根的非负性 一、单选题 1.A2.A3.B4.D 二、填空题 5.16. -24 三、解答题 7.4)解：：a-2矿+b-万+c3=0且a-2j≥0，b-万20，c-320, :a-5=0.6-7=0c-3=0 解得4=V2,b=V万，c=3 (2)解：△ABC是直角三角形，理由如下： a=5,b=万，c=3,其中是最长边， :a2+=(2j+万j=2+7=9,c2=3=9, .a2+b2=c2, ∴.△ABC是直角三角形 题型05 算术平方根的估算 一、单选题 1.C2.A3.C 试卷第4页，共3页 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 4.6 三、解答题 5(1)解：观察表格中数据，发现：当x=14.6时，x2=213.16, √213.16=14.6 当x=14.4时，x2=207.36, :V20736=V20736x10=V207.36×V100=14.4x10=14 当x=14.2时，x2=201.64, √0.020164=√201.64÷10000=√201.64÷√10000=14.2÷100=0.142 (2)解：21904<22000<22201， :148<V220<149 .22000与21904更接近， V22000 与 最接近的整数是148： 2.0736<2.1<2.1025,且2.1与2.1025更接近， V2.1025=√210.25÷100=√210.25÷V100=14.5÷10=1.45 且 .V2.1≈1.45 (3)解：V204.49=143.V20736=14.4 :V2049-143.V20736=14 .143<Vn<144 、√20449<Vn<√20736 .20449<n<20736, 试卷第5页，共3页 函学科网·上好课 www.zxxk.com .整数n的个数为：20736-20449-1=286 题型06 算术平方根整数部分的确定 一、单选题 1.A 二、填空题 2.3+66+5 3.24.5 三、解答题 :4=16<V17<√25=5 5.(1)解： v17 的整数部分是4， 六小数部分是7-4 (②)解：x是8+i 的整数部分，'是8+厅 的小数部分 :x=8+4=12.y=8+V7-12=V17-4 则x~y+V7 =12-(17-4)+17 =16 6.(1)解：16<17<25， .16<17<√25 .4<V17<5 :. 介于连续的两个整数a和b之间，a<b, .a=4,b=5; 4<V17<5 (2)解： 试卷第6页，共3页 上好每一堂课 学科网·上好课 www zxxk.com .6<17+2<73<V17-1<4 厅+2的小数部分为：而+2-6=-4，厅-1的整数部分为3， ∴.x=17-4,y=3； (3)解：x=7-4y=3 (7-x=(7-7+4=4=64,64的平方根为±8 (N17-x)y 的平方根为8 题型07 算术平方根的探究规律问题 一、单选题 1.B2.B 3.A 二、填空题 4. 14.63 6.69 5.-1013 6.177.5 三、解答题 93 2n+1 n ∴.V 0m+)n+1(n是正整数，且n≥1)： ，17 64_8 .V-81V819: 8944 ②根据①中规律可得：当n=44时， 202545, 89 2025 =x2x2x…x4 234 5 试卷第7页，共3页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 1 45· 593 +2m+1_m+l 1+ m(m是正整数，且m≥2)； 最后一项中2025=452,2×45+1=91，符合规律， 34546 234 45 =23 8(山)解：由题意得，若v6=25 那么100a=25 若6=1.2 1000000b=-120 ,那么 (2)解：①， x+y-8=4 x+y-8=4=64 .x+y=72, ,2(x+y)=144 .该长方形的周长C为144： ②由(2)①得C'=14400, VG=v14=12 :VC=V140=120 试卷第8页，共3页 上好每一堂课 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型08 算术平方根的实际应用 一、单选题 1.D2.D 二、填空题 三、解答题 4.(1)解：上述材料中蕴含的数学思想是数形结合思想， (2)解：①由题意得：+2×1×2×4=(2+1=9， .x2=5 ,x是正方形的边长， x>0, ..x=5 答：内部正方形的边长为5 ②略 颗型09 立方根概念的理解 一、单选题 1.B2.D3.D4.C5.A6.B7.B8.A9.D 二、填空题 10.211.任意实数 12.0.27144 13.0或±1 8 2 +2 9 9 14.±3 15. V728 9728 三、解答题 16.1)解：因为-2)=8，所以-8的立方根是2，即8=-2： =125 125 125_5 (2)解：因为6216，所以216的立方根是6，即V2166; 试卷第9页，共3页 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 （3)解：因为0,5)=0.125，所以0.125的立方根是0.5，即0.125=0,5. 17.1)解：.303=27000 :27000=30 (2)解：(-50'=-125000 .-125000=-50 (3)解：(-100)°=-1000000 -1000000=-100 :a-2,2a-7 18.解： 与 互为相反数， .a-2+2a-7=0 ∴.(a-2)+(2a-7)=0 ,即3a-9=0 解得a=3. 19.(1)解：原式-5-(-2)-4=5+2-4=3 (2)解：开立方得，x-1=3, .x=4. 20.(1)解：因为103=1000,1003=1000000,1000<175616<1000000， 175616 所以 是两位数； 其次观察立方数13=1,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216,73=343. 8=512,9=729…,猜想个位数字是6； 接着将175616往前移动3位小数点后约为175，因为53=125,63=216， 试卷第10页，共3页 丽学科网·上好课 175616 所以 的十位数字应为， 175616=56 得到 故答案为：56： (2)解：“x-3+6=0 3x-3,6 与 互为相反数， .3x-3与6互为相反数， .3x-3+6=0, .x=-1, 故答案为：1： (3)解：-3+3=x .x-3=x-3 x-3=0或x-3=-1或x-3=1, 解得x=3或x=2或x=4. 颗型10 立方根的性质 一、单选题 1.B 二、填空题 2.273.3 三、解答题 4.(1)解：(-2}=9 x-2=±3 x-2=3时，解得x=5； x-2=-3时，解得x=-1. www.zxxk.com 上好每一堂课 于是猜想、验证，得175616 的立方根是56： 试卷第11页，共3页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：3(+1)=9 (x+1)°=27 x+1=3 x=2. 21_5+5 5.(1)解：原式3+83 33 8: (2)解：，a-2的平方根为±2， ∴.a-2=4,a=6, ,2a+b+7的立方根为3， .2a+b+7=27,即12+b+7=27, .b=8 a2+b2=36+64=100, ：.00=10 :(a+)的算术平方根为10， 6.(1)解：103=1000,1003=1000000,1000<3375<1000000， .3375 是两位数， :53=125 3375 的个位数字应是5， 将3375的小数点向前移动3后约为3， 13=1,23=8, 3375 的十位数字应为， .3375=15 试卷第12页，共3页 可学科网·上好课 www.zxxk.com -3375=-15 依据“负数的立方根是负数”得到： 5-4x=-x+10 (2)解： ∴.5-4x=-（x+10) 解得：x=5: ,x-2+2=x (3)解： .x-2=x-2 .(x-2)°=x-2 .x-2=0或1或-1， .x=2或3或1， 当=引时，可得： 1-2x=-1=-1 ~3y-与-2x互为相反数， 3y-1=1 解得：子 [x=1 当2 1-2x=-3=-3 时，可得： :3y与-2x互为相反数， “3y-1=5 即3y-1=3. 试卷第13页，共3页 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com 4 解得：y= 3 x=2 4 即y=3 当=3时，可得： 1-2=5=-5 :3y-可与-2x互为相反数， 3y-1=5 即3y-1=5 解得：y=2 题型11 平方根立方根的综合应用 一、单选题 1.D 二、填空题 2.2 三、解答题 3.(1)解： -4+0-87-- -04+号25x9 -04*g1周 =0.4+0.8+15×5 =1.2+75 =76.2； 试卷第14页，共3页 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com (2)解 2(x+1)2=8 (x+1)2=4 x+1=2或x+1=-2, x=1x2=-3 4.(1)解：a是27的立方根， a=27=3 11 9的算术平方根为V938的立方根为8=2， a-63-(8-3+8. 119 63 19 6 ..b<a<a-b; a+6b=3+6× (2)解： 83-12 :c是a+6b的平方根， c=t/2 5.解：(1)5a+2的立方根是3， .5a+2=27, 解得a=5, 又.3a+b-1的算术平方根是4， .3a+b-1=16, a=5, 解得：b=2, 试卷第15页，共3页 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com 3 <13<4 c是的整数部分，而 c=3, .3a-b+c=16, ∴.3a-b+c的平方根是±4； (2),正数x的平方根分别是2a-5和2a+1, .2a-5+2a+1=0. 解得：a=1, 正数r=(2a-5)=(-3)2-9 颗型12 程序问题 一、填空题 2.5 3.② 4 0或1 B组 能力进阶 一、单选题 1.C2.B 3.D 二、填空题 4.V2027 52 三、解答题 >la 6.解：由数轴可知：b<c<0<a,且 ∴.c-a<0,a+b<0 :.c+la+bl+/(c-a) =c-(a+b)+(a-c) =c-a-b+a-c =-b 试卷第16页，共3页 上好每一堂课 函学科网·上好课 www .zxxk.com 7.1)解：--27+3-2 =1-(-3)+2-V5 =1+3+2-√3 =6-V3, (2)解：①5x2=125, x2=25, .x=5或x=-5; ②2(-1)八°+128=0 :2(-=128 :(x-1=-64 .x-1=-4, .x=-3 8.(1)解：，2a-1的平方根是±3,25+b的立方根是3， .2a-1=9,25+b=27, .a=5,b=2, .a+b=7, m是a+b的算术平方根， :msV万 (②)解：由(1)可知，m=万月4<万<g .2<V7<3 x=2.y=V万-2 试卷第17页，共3页 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :y-x=7-2-2=7-4 9.(1)解：a+2的立方根是-2， a+2=-8, .a=-10: b-2的算术平方根为3， ∴.b-2=9, .b=11 .c2=25mc<0 ,且 c=-5: (2)解：由(1)可知：a=-10,b=11,c=-5, ,b-3a+c=11-（-30)+(-5)=36 ∴.b-3a+c的平方根为6： a+b+c=-10+11+(-5)=-4 (3)解： ..a+b+c 的立方根为 10.(1)①103=1000<24389<1000000， .10<24389<100 .24389 是两位数： ②24389 90-9 9 9 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， .24389 29 的个位数字是； ③23=8<24<27=33 .24389 的十位数字是2， .24389=29 试卷第18页，共3页 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)103=1000<592704<1000000=1003, .10</592704<100 .592704 是两位数， 592704的个位数字是4,0~9中只有数字4的立方的个位数字是4， .592704 的个位数字是4，划去592704后三位，得到数592， .83=512<592<729=93 .592704 8 十位数的数是， .592704=84 C组 思维拔高 一、单选题 1.B 二、填空题 2.1 三、解答题 3。(《山)解：由图中的数值转换器得到式子"= 当=5时，y=5:当=36时.=36=6，再将=6代入y=G得=6 (2)解：当y=万时，(V7矿=7，则x=7严=49： (3)解：由于始终不输出'，说明取算术平方根始终为有理数，根据0,1的算术平方根是其本身， 当x=0或1时，始终输不出少值 4.(山)解：对八，9,24计算任意两个乘积的算术平方根： V1×9=3 是整数： V1×24=V24 不是整 数；根据定义，这三个数不是“漂亮数”. 试卷第19页，共3页 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：对4,16,25 V4×16=V64=8 计算任意两个乘积的算术平方根： 是整数； V4×25=V100=10 ,是整数； V16×25=√400=20 ,是整数： 所有算术平方根都是整数，因此这三个数是“漂亮数”. 三个算术平方根为8,10,20， 因此最小算术平方根是8. (3)解：已知正整数9,25，m,m>25,是“漂亮数”， V9×25=15 ,是整数； 使vm=3 是整数，可得Vm是整数， 设m=水 是正整数，则m= 由m>25得k>5, 25m=5k 此时 是整数，满足“漂亮数”要求 三个算术平方根分别为15,3k,5k, 由k>5得3k>15,且5k>3k,因此最小算术平方根为15，最大算术平方根为5k。 根据题意得5k=3×15, 解得k=9, 因此m=k2=92=81. 5.(1)解：103=1000,1003=1000000,1000<3375<1000000， 3375 是两位数， 53=125 .3375 的个位数字应是5， 将3375的小数点向前移动3后约为3， 试卷第20页，共3页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 13=1,23=8, 3375 的十位数字应为， 3375=15 -3375=-15 依据“负数的立方根是负数”得到： .5-4x=-x+10 (2)解： .5-4x=-(x+10) 解得：x=5: (3)解： x-2+2=x .x-2=x-2 .(x-2)=x-2 .x-2=0或1或-1， x=2或3或1， 当=1时，可得： 1-2x=-1=1 :3y-可与-2x互为相反数， .3y-1=1 2 解得：y=3, x=1 2 即y=3 当=2时，可得： 1-2x=3=-5 :3y-1与1-2x互为相反数， 试卷第21页，共3页 上好每一堂课 可学科网·上好课 3y-1=5 即3y-1=3. 解得：y=3 x=2 4 即y= 当=3时，可得： 1-2x=5=-5 :3y-与-2x互为相反数， :3y-1=5 即3y-1=5, 解得：y=2 6.(1)①解：（±2）-16 ∴若x4=16,则x=+2: (±3)=81 若x4=81,则x=3: ②解：四次方根的定义：一般地，如果 (2)①解：·(3)°=81 ∴.81的四次方根是±3： 的四次方根是±号。 16 :04=0 www.zxxk.com 上好每一堂课 个数的四次方等于a,那么这个数叫做a的四次方根： 试卷第22页，共3页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .0的四次方根是0： ,任何数的4次方都不等于-4， ∴.-4没有四次方根： ②解：正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根： ③解：我们归纳四次方根的特征时，分了正数、0、负数三类进行研究，这种思想叫分类讨论思想： (3)①解： (±5)=625 ±625=+5 ②解， ,.81、64 又1616 1.5>4 拓展 链接中考 一、单选题 1.A2.C 二、填空题 3.24.-35.16.9 三、解答题 -2 7.解：g-(2026-°++-4)×2 =3-1+4+(-8) =6-8 =-2」 试卷第23页，共3页