专题1.6 空间向量的应用（二）：用空间向量研究距离、夹角问题（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量在距离与夹角问题中的应用，衔接空间向量基本运算，构建从基础到应用的学习支架，涵盖点到平面、平行平面、点到直线、异面直线的距离，以及异面直线所成角、线面角、二面角的向量求法及探索性问题。 资料题型分类系统，例题与变式结合，通过建立坐标系、求法向量等步骤，培养学生空间观念（数学眼光）、推理与运算能力（数学思维）及向量模型表达（数学语言）。如点到平面距离题型，助力教师授课，学生课后可通过练习巩固，弥补盲点。

专题1.6 空间向量的应用（二）：用空间向量研究距离、夹角问题（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 点到平面距离的向量求法】 2 【题型2 平行平面距离的向量求法】 3 【题型3 点到直线距离的向量求法】 5 【题型4 异面直线距离的向量求法】 6 【题型5 向量法求异面直线所成的角】 7 【题型6 向量法求线面角】 8 【题型7 向量法求二面角】 10 【题型8 利用空间向量研究探索性问题】 11 考点1 用空间向量研究距离问题 知识点1 用空间向量研究空间距离 1．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面α的一个法向量为，A是α内任意点，则点P到α的距离为. 【题型1 点到平面距离的向量求法】 【例1】（25-26高二上·山东泰安·期末）在空间直角坐标系中，已知点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面， ，为的中点，则点到平面的距离为（   ）    A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. (1)求证：平面； (2)若平面平面，，.若点到平面的距离为，求的值. 【变式1-3】（25-26高二上·新疆昌吉·期末）如图，长方体中，，点P为的中点． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离． 【题型2 平行平面距离的向量求法】 【例2】（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二下·全国·课堂例题）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【变式2-3】（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【题型3 点到直线距离的向量求法】 【例3】（25-26高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【题型4 异面直线距离的向量求法】 【例4】（25-26高二上·辽宁大连·期中）在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【变式4-1】（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D．2 【变式4-2】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·四川眉山·阶段检测）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为的正方体中，直线与之间的距离是（     ） A． B． C． D． 考点2 用空间向量研究空间角问题 知识点2 用空间向量研究空间角 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则cos θ＝|cos|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则cos θ＝|cos|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【题型5 向量法求异面直线所成的角】 【例5】（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，三棱锥中，，，，为的中点，点满足，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A．30° B．45° C． D．75° 【变式5-2】（25-26高二上·安徽六安·期末）我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高二上·新疆昌吉·期末）在直三棱柱中，分别是的中点，则直线与直线所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【题型6 向量法求线面角】 【例6】（25-26高二上·四川达州·期末）在直三棱柱中，，，，E为的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·北京·期末）如图，在长方体中，，，那么直线与平面所成的角的余弦值是（　　）    A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·贵州铜仁·期末）如图，在四棱锥中，，，底面，，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【变式6-3】（25-26高三上·江西·阶段检测）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，，，平面平面．    (1)证明：； (2)若，点D在棱上，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【题型7 向量法求二面角】 【例7】（25-26高二上·新疆·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，分别是，的中点，点在平面内，，若平面，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·广东广州·阶段检测）在三棱锥中，平面平面，，，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面ASB与平面SCB夹角的余弦值． 【变式7-3】（25-26高二上·湖南怀化·期末）如图1，在直角梯形中， ，，点D为PC的中点．将绕AD翻折使得（如图2所示）构成一个四棱锥，此时棱PC的中点记为E．在四棱锥中， (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小． 【题型8 利用空间向量研究探索性问题】 【例8】（25-26高二上·河北石家庄·期末）如图，在多面体中，平面平面，，，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【变式8-1】（25-26高二上·福建厦门·期末）在如图所示的多面体中，四边形为菱形.在梯形中，，，，平面平面. (1)证明：平面； (2)若，，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，则求出，若不存在，说明理由. 【变式8-2】（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，且. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在棱上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由. 【变式8-3】（25-26高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6 空间向量的应用（二）：用空间向量研究距离、夹角问题（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 点到平面距离的向量求法】 2 【题型2 平行平面距离的向量求法】 6 【题型3 点到直线距离的向量求法】 10 【题型4 异面直线距离的向量求法】 13 【题型5 向量法求异面直线所成的角】 17 【题型6 向量法求线面角】 21 【题型7 向量法求二面角】 26 【题型8 利用空间向量研究探索性问题】 31 考点1 用空间向量研究距离问题 知识点1 用空间向量研究空间距离 1．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面α的一个法向量为，A是α内任意点，则点P到α的距离为. 【题型1 点到平面距离的向量求法】 【例1】（25-26高二上·山东泰安·期末）在空间直角坐标系中，已知点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据点到平面距离公式，直接求出结果即可. 【解答过程】已知点，则， 所以点到平面的距离为. 故选：A. 【变式1-1】（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面， ，为的中点，则点到平面的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用空间关系可证明线面垂直，从而可建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即可用空间向量法求出点到平面的距离. 【解答过程】由取的中点为，连接，则， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又因为，所以可如图建立空间直角坐标系：    由，则， 可得：， 又因为为的中点，所以， 即， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 则点到平面的距离为， 故选：A. 【变式1-2】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. (1)求证：平面； (2)若平面平面，，.若点到平面的距离为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)； 【解题思路】（1）利用线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，根据点到面的向量法建立方程求解即可. 【解答过程】（1）连接，交于点，连接，如图所示： 因为四边形为正方形，所以为的中点， 又为中点，所以为的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）因为平面平面，，平面平面， 平面，所以平面， 所以以点为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 由，则， 设，所以， 由，所以， 即，所以， 由， 设平面的一个法向量为：， 由，令，则，所以， 又， 所以点到平面的距离为： ， 又，解得：. 【变式1-3】（25-26高二上·新疆昌吉·期末）如图，长方体中，，点P为的中点． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析. (2). 【解题思路】（1）先得到，，再利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式直接计算即可. 【解答过程】（1）长方体中，，平面， 因为平面,所以， 因为，平面， 所以平面. （2）由题意可知两两垂直，所以以为原点所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意可得 则， 设平面的法向量为， 则，令，得到； 因为， 所以点D到平面的距离. 【题型2 平行平面距离的向量求法】 【例2】（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式求结论. 【解答过程】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量， 两平面间的距离. 故选：B. 【变式2-1】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【解答过程】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 故选：B. 【变式2-2】（25-26高二下·全国·课堂例题）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用向量求解可得； （2）平面与平面间的距离等于点到平面的距离，利用向量法求解即可． 【解答过程】（1）以D为原点，为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则 所以，所以，即， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的一个法向量为， 则，令，则，又， 所以点到平面的距离.      （2）由（1）知平面，同理，平面， 又，平面， 所以平面平面， 即平面与平面间的距离等于点到平面的距离． 由（1）知，点到平面的距离. 所以平面与平面间的距离为. 【变式2-3】（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【解答过程】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 【题型3 点到直线距离的向量求法】 【例3】（25-26高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出与的坐标，再根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解． 【解答过程】因为， 所以，， 所以，， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 【变式3-1】（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【解答过程】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，确定相关点以及向量的坐标，利用点到直线的距离的向量求法，即可得答案. 【解答过程】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，由，可得， 为的重心，所以，，， 则，，， 故点到直线的距离为. 故选：A. 【变式3-3】（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】以为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 设，其中，利用空间向量法可求得点到直线的距离的取值范围，即可得解. 【解答过程】因为平面，， 所以以为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，则，，设，其中， 所以，，则点到直线的距离： . 设，因为，所以，则. 所以点到直线的距离的最小值为.    故选：D. 【题型4 异面直线距离的向量求法】 【例4】（25-26高二上·辽宁大连·期中）在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解题思路】建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出与的公垂线的一个方向向量，由空间向量的数量积即可得解. 【解答过程】分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，E为AB的中点， 则，，，， 则，， 设与DE的公垂线的一个方向向量为， 则，取，得，则， 又， 所以异面直线与DE之间的距离为. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】求出公垂线的一个方向向量，然后计算即得． 【解答过程】由已知， 是公垂线的一个方向向量， 则，取，得， 又， 所以异面直线与之间的距离为， 故选：A． 【变式4-2】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【解答过程】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 【变式4-3】（25-26高二上·四川眉山·阶段检测）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为的正方体中，直线与之间的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设点为上一点， 则点到距离的最小值即为直线与之间的距离，利用空间中点到直线的距离公式结合二次函数的最值即可求解. 【解答过程】 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设点为上一点， 则点到距离的最小值即为直线与之间的距离， 已知正方体棱长为2，所以， 设，所以，， 设与共线的单位向量， 所以点到的距离 ， 令， 则当时，， 所以直线与之间的距离为. 故选：C. 考点2 用空间向量研究空间角问题 知识点2 用空间向量研究空间角 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则cos θ＝|cos|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则cos θ＝|cos|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【题型5 向量法求异面直线所成的角】 【例5】（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立空间直角坐标系，由异面直线向量法计算即可求解. 【解答过程】设正方体棱长为，以为原点，为 轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ，，，. 由题意可得，． ， ， 所以， 即异面直线和所成角的余弦值为. 故选：C． 【变式5-1】（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，三棱锥中，，，，为的中点，点满足，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A．30° B．45° C． D．75° 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，分别求得两直线的方向向量，即可根据向量的夹角求解. 【解答过程】由于，，故均为等边三角形， 不妨设， ，， 则，即，则， ，， 又，平面 平面， 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 可得， 设异面直线与所成角为，而故, 由于，故， 故选：A. 【变式5-2】（25-26高二上·安徽六安·期末）我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标，利用异面直线夹角的向量求法结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【解答过程】如图，作，以为原点，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，， 因为，分别为，的中点，所以由中点坐标公式得，， 则，，设异面直线与所成角为， 可得，而，则， 由同角三角函数的基本关系得，解得（负根舍去）， 则异面直线与所成角的正弦值为，故C正确. 故选：C. 【变式5-3】（25-26高二上·新疆昌吉·期末）在直三棱柱中，分别是的中点，则直线与直线所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】以为原点建系，由向量法求两直线所成角的余弦值，再由平方关系求正弦值. 【解答过程】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，所以， 设直线与直线所成角为，则. 所以， 故选：B. 【题型6 向量法求线面角】 【例6】（25-26高二上·四川达州·期末）在直三棱柱中，，，，E为的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即可. 【解答过程】在直三棱柱中，可得平面， 因为，所以， 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 由题意得，，，，， 因为E为的中点，所以由中点坐标公式得， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，解得，， 故，设与平面所成角为， 则，故D正确. 故选：D. 【变式6-1】（25-26高二上·北京·期末）如图，在长方体中，，，那么直线与平面所成的角的余弦值是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【解答过程】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，    由，得， 则，设平面的法向量， 则，取，得，设直线与平面所成角为， 因此，， 所以直线与平面所成的角的余弦值是. 故选：A. 【变式6-2】（25-26高二上·贵州铜仁·期末）如图，在四棱锥中，，，底面，，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）取的中点通过题中条件证得四边形为平行四边形，从而得到，利用线面平行判定定理得到平面. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设与平面所成的角为，利用向量的数量积求出，利用公式求出，即为直线与平面所成角的余弦值. 【解答过程】（1）取的中点，连接，. 为的中点，且， 又，，，，且， 四边形为平行四边形，， 平面，平面， 平面. （2）以为原点，直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，， ，，，，，， ，， ，， 设平面的法向量为， 则有，取，则，， 则平面的法向量为， 则，. 设与平面所成的角为， 则有， ， ， 直线与平面所成角的余弦值为. 【变式6-3】（25-26高三上·江西·阶段检测）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，，，平面平面．    (1)证明：； (2)若，点D在棱上，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）根据题意，证得，得到，再由平面平面，利用面面垂直的性质，证得平面，即可证得． （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【解答过程】（1）证明： 因为四边形是菱形，且，所以， 又因为，，所以， 因为，所以， 又因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以． （2）由（1）知两两垂直， 所以，，所以， ， 以为原点，以所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， ，则， 设平面的法向量， 则， 取，可得， 所以平面的法向量． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为．    【题型7 向量法求二面角】 【例7】（25-26高二上·新疆·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，分别是，的中点，点在平面内，，若平面，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，写出点坐标得到向量坐标，由空间向量的数量积求出平面法向量，由平面法向量通过空间向量的数量积求得面面角的余弦值. 【解答过程】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，. 设平面的法向量为， 则令，得. 取平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 故选：A. 【变式7-1】（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据面面垂直的性质定理，可得平面，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后利用向量法直接求解面面角的余弦值即可． 【解答过程】如图，连接， 因为为中点， 所以， 又平面底面，平面底面平面， 所以平面，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，由， 可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，得， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为． 故选：B． 【变式7-2】（25-26高二上·广东广州·阶段检测）在三棱锥中，平面平面，，，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面ASB与平面SCB夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由已知的面面垂直证明，再证，可证得平面； （2）建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值. 【解答过程】（1），为中点， ，又平面平面，平面平面，平面， 平面，而平面， ，又为的中点， ，又， ．又平面， 平面． （2）过作交于点，设， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 故，，，． 设为平面的法向量，则，即， ，取，则， 是平面的一个法向量． 设为平面的法向量，则，即， ，取，则， 是平面的一个法向量． 设平面ASB与平面SCB夹角为， 则， 则平面ASB与平面SCB夹角的余弦值为． 【变式7-3】（25-26高二上·湖南怀化·期末）如图1，在直角梯形中， ，，点D为PC的中点．将绕AD翻折使得（如图2所示）构成一个四棱锥，此时棱PC的中点记为E．在四棱锥中， (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据中位线得出，再应用线面平行判定定理证明； （2）先求出平面与平面的法向量，再应用二面角的余弦公式计算求解. 【解答过程】（1）如图所示，连接交于点F，连接． 因为在四边形中，，且， 所以四边形是正方形．所以点F是的中点， 又因为点E是的中点，所以在中，． 而平面，平面，故平面 （2）由（1）可知四边形是正方形，所以． 又因为，，所以， 所以  ，而由题意知 ， 且平面， 所以可得平面． 以分别为轴建立空间直角坐标系，得 所以． 设平面的法向量， 由，得，取． 设平面的法向量， 由，得，取． 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角大小为． 【题型8 利用空间向量研究探索性问题】 【例8】（25-26高二上·河北石家庄·期末）如图，在多面体中，平面平面，，，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【解题思路】（1）先由余弦定理求解得出，再应用面面垂直性质定理证明； （2）建立空间直角坐标系，设，分别求出平面与平面的法向量，最后计算二面角余弦值列式求解参数即可. 【解答过程】（1）因为，所以四边形为平行四边形. 因为，，所以，，又， 由余弦定理得， 则，因此； 又平面平面，平面平面，平面， 因此平面. （2）由（1）平面， 又因为，所以直线，，两两垂直， 以点为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 由是平行四边形，得，则. 设平面的法向量， 则取，得， 假设线段上存在一点， 使得平面与平面的夹角的余弦值为， ，，，， 设，则， 设平面的法向量， 则取，得， 设平面与平面的夹角为， 则， 而，解得， 所以存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为， 此时. 【变式8-1】（25-26高二上·福建厦门·期末）在如图所示的多面体中，四边形为菱形.在梯形中，，，，平面平面. (1)证明：平面； (2)若，，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，则求出，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在实数 【解题思路】（1）利用面面垂直的性质定理可得线面垂直，即由线线垂直再证明线面垂直； （2）利用空间向量法来求线面角正弦值，通过方程来求解即可. 【解答过程】（1）因为平面平面，，平面，平面平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 又，平面，所以平面； （2）设，取中点，连接，得， 因为平面，所以平面， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为菱形，所以， 又因为，所以为等边三角形， 所以，. 则，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量， 则，即，取，可得，， 故， 设，由，得， 即，则. 设直线与平面所成的角为， 则， 解得，即或， 又，所以， 故存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为. 【变式8-2】（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，且. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在棱上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，，是靠近的三等分点. 【解题思路】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求角即可； （2）假设存在，分别求出平面与平面的法向量，根据法向量的夹角列方程求解即可. 【解答过程】（1）由得，， 在正方形中，，所以，，两两垂直， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图： 则，，，， 故，，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为 . （2）存在. 假设存在，设， 又，则，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 由(1)知平面，则， 又，，，平面， 所以平面，故为平面的一个法向量，且， 所以， 解得或（舍去）， 所以在棱上存在一点，满足题意，此时是靠近的三等分点. 【变式8-3】（25-26高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在点， 【解题思路】（1）取的中点，连接，由中位线性质以及线面平行判定定理即可证明出结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面平面的法向量，即可求得二面角的余弦值； （3）假设存在点到平面的距离是，设可得，利用点到平面距离的向量求法计算可得，即可求出. 【解答过程】（1）取的中点，连接，如下图： 因为为棱的中点，所以， 又，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）由题意知平面，且，可知两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 易知 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，可得； 又， 设平面的一个法向量为， 可得，令，可得，即， 所以， 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； （3）假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是， 设，，即，可得, 所以， 则点到平面的距离是，又，可得, 所以，， 即存在点到平面的距离是，. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $