2026年新高一数学暑假结业测试卷（人教A版，范围：必修第一册全册，暑假预习举一反三）（培优篇）

**基本信息** 暑假结业培优卷，全面覆盖人教A版必修第一册核心知识，以鱼灯生产利润、抽象函数性质等问题设计，考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、充要条件、函数概念|基础概念辨析，如第3题同一函数判断| |多选|3/18|命题否定、不等式性质|多选项分层考查逻辑推理，如第9题命题真假判断| |填空|3/15|函数定义域、不等式解集|抽象函数奇偶性应用，如第14题奇函数不等式| |解答|5/77|三角计算、集合运算、利润函数、三角函数性质、抽象函数|结合传统民俗（鱼灯生产）设计利润模型（17题），抽象函数奇偶性与单调性探究（19题），体现数学建模与逻辑推理|

暑假结业测试卷（培优篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意确定集合B，根据集合的交集运算，即可得答案. 【解答过程】由题意可知，则， 所以， 故选：C. 2．（5分）（25-26高一上·广东江门·阶段检测）“，”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据不等式的性质和充分条件、必要条件的定义进行判断即可. 【解答过程】若，，则根据不等式的性质有． 当时，，不一定同时成立，如，，，． 故“，”是“”的充分不必要条件． 故选：B. 3．（5分）（25-26高一上·贵州贵阳·期末）下列哪一组中的函数与是同一函数（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】分别求每个选项的两个函数的定义域和对应关系即可得正确选项. 【解答过程】对于A：的定义域为 ，定义域为 ， 定义域不同，所以不是同一函数，故选项A不正确； 对于B：的定义域为，的定义域为， 对应关系不同，所以不是同一函数，故选项B错误； 对于C：的定义域为，的定义域为， 定义域和对应关系都相同，所以是同一函数，故选项C正确； 对于D：的定义域为， 的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，故选项D错误； 故选：C. 4．（5分）（25-26高一上·湖北荆州·期末）已知，，且，则的最小值为（ ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据“1”的变形技巧及基本不等式求最值即可. 【解答过程】因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 5．（5分）（25-26高一上·四川成都·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先判断函数的奇偶性，再结合特殊值，即可判断. 【解答过程】由，可得，即函数的定义域为且，关于原点对称， 由，可知函数为奇函数，故排除B、D； 又因为，故排除A. 故选：C. 6．（5分）（25-26高一上·四川成都·期末）如图，这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面.已知扇子扇形的圆心角为，则此扇面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用扇形面积公式计算扇形和扇形的面积，最后相减即可. 【解答过程】扇子扇形的圆心角为，， 由扇形面积公式得，扇形的面积为， 扇形的面积为， 扇面的面积为. 故选：B. 7．（5分）（25-26高一上·湖北武汉·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A． B．该函数的解析式为 C．将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数 D．函数的减区间为 【答案】C 【解题思路】由图象可以得出振幅和周期，进而求得和，且有取最大值，结合正弦函数的图象性质，结合，可解得，进而求出，以此判断ABD，对于C，将函数的图象向右平移个单位可得，易得为奇函数，故C正确. 【解答过程】对于AB，由图象，易得，，解得， 则， 因为，则有， 即，因为，所以， 则，故B错误； ，故A错误， 对于C，将函数的图象向右平移个单位，即， 易得为奇函数，故C正确； 对于D，若求的单调递减区间， 则有， 解得， 即的减区间为，故D错误. 故选：C. 8．（5分）（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知奇函数的定义域为，满足对任意、 ，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造辅助函数，判断其奇偶性与单调性，分和两种情况转化不等式求解. 【解答过程】设，定义域为， 因为是定义域为的奇函数，故， 则， 因此是定义域为的偶函数。 对任意，，由， 可得当时，，即， 因此在上单调递增；由偶函数对称性可知，在上单调递减， 由，得，且， 当时，两边同乘（不等号方向不变），得，即， 结合在上单调递增，得； 当时，两边同乘（不等号方向改变），得，即， 又在上单调递减，得； 综上，不等式的解集为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·湖南常德·期末）在下列四个命题中，正确的是（   ） A．命题“，使得”的否定是“，都有” B．命题“，”是真命题 C．已知集合，若，则的值为 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】AC 【解题思路】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断A，根据绝对值的性质判断B，分类讨论求出参数的值，即可判断C，根据充分条件、必要条件的定义判断D. 【解答过程】对于A：“，使得”的否定是“，都有”，故A正确， 对于B：因为，则，所以对，， 即命题“，”是假命题，故B错误； 对于C：若，解得，则集合，符合题意， 若，此时无解，因此若，则的值为，故C正确； 对于D：由，即，解得或， 所以由推得出，即充分性成立； 由推不出，即必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件，故D错误. 故选：AC. 10．（6分）（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】先由同角三角函数关系可得，再结合诱导公式及和差角公式，及二倍角公式计算可得. 【解答过程】由，，再由同角三角函数基本关系式得. 由诱导公式，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：AC. 11．（6分）（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知是定义在R上的函数，且满足，又当时，，且，则以下说法正确的是（   ） A． B．函数在R上单调递减. C．函数是偶函数 D．不等式的解集为. 【答案】ABD 【解题思路】赋值，代入计算，可判断A的正误；赋值，代入计算，可判断C的正误；任取，且，根据条件，代入整理，结合单调性的定义，可判断B的正误；根据条件，整理变形，可得，根据的单调性，结合一元二次不等式的解法，可得x的范围，即可判断D的正误. 【解答过程】选项A：令，则，解得，故A正确； 选项C：令，则， 所以，则函数是奇函数，故C错误； 选项B：任取，且，则， 所以，即， 所以函数在R上单调递减，故B正确； 选项D：因为是奇函数， 所以， 又，所以， 因为，所以， 因为函数在R上单调递减， 所以，解得，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·天津·期末）函数的定义域为___________． 【答案】 【解题思路】根据具体函数对定义域的限制，列不等式求解即可得. 【解答过程】函数有意义，等价于， 解得 即函数的定义域为. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高一上·上海·期末）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___________. 【答案】 【解题思路】根据一元二次不等式的解集性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【解答过程】因为关于的不等式的解集是， 所以有， 所以，或， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高一上·河北承德·期末）已知函数是定义在上的奇函数，．若且，都有，则不等式的解集为______． 【答案】 【解题思路】设，即可判断为偶函数且在上单调递增，不等式即，结合单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【解答过程】设， 由且，， 得，所以在上单调递增． 因为为奇函数，所以， 所以，即为偶函数． 因为，所以， 所以不等式，即， 所以． 又因为在上单调递增，所以，即，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）（1）计算的值； （2）已知，，试用表示. 【答案】（1）； （2） 【解题思路】（1）根据对数运算，指数运算法则运算求解即可； （2）根据换底公式，结合对数运算求解即可. 【解答过程】（1）原式. （2）因为，所以， 所以. 16．（15分）（25-26高一上·广东深圳·期末）已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【解题思路】（1）当时，求出集合B的取值范围； （2）根据题意得到集合B是集合A的真子集，分类和两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）当时，， 因为，所以或，. （2）因为“”是“”的必要不充分条件，则集合B是集合A的真子集， 当时，，解得； 当时，要使集合B是集合A的真子集，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 17．（15分）（25-26高一上·安徽黄山·期末）鱼灯是黄山市传统民俗工艺品，深受广大游客喜爱.某厂家欲生产一款鱼灯，经过市场调研发现，生产该款鱼灯需投入固定成本10万元，每生产万盏鱼灯另需投入变动成本万元.若这款鱼灯的售价为80元／盏，且该厂家2026年生产的万盏鱼灯均能售完. (1)求该厂家2026年利润（单位：万元）的函数解析式； (2)求该厂家2026年产量为多少万盏时所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)6万盏时所获年利润最大，最大年利润是110万元 【解题思路】（1）根据题设条件，求解分段函数的表达式即可； （2）利用二次函数和基本不等式求分段函数在各段的最大值，比较大小，即可求解. 【解答过程】（1）由题意知，鱼灯的售价为80元／盏，则2026年生产的万盏鱼灯售万元， 当时， ， 当时， ， 所以，. （2）当时时，， 所以时，取到最大值108. 当时，， 当且仅当时，取到最大值110. 综上可得：该厂家2026年的产量为6万盏时，所获年利润最大，最大年利润是110万元. 18．（17分）（25-26高一上·四川攀枝花·期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求在的单调递减区间； (3)若函数在区间上有且仅有一个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由和差角公式及辅助角公式化简函数解析式，由解析式即可求得最小正周期. （2）根据正弦函数的单调区间，即可求得函数在的单调递减区间； （3）由范围求得的范围，由正弦函数图象可知取值范围，即可求得结果. 【解答过程】（1） . . 的最小正周期为. （2）令 ， ∴ ， 又∵，∴令， 则， 在的单调递减区间为. （3），. 令，则， 结合函数图象：. 解得，即. 19．（17分）（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，总有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数为R上的奇函数，证明见解析 (2)在上的单调递增，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据奇函数的定义即可证明； （2）先说明，再根据函数单调性的定义即可证明； （3）由（1）（2）得，在上单调递增，问题转化为对恒成立，列出不等式组求解即可． 【解答过程】（1）函数为R上的奇函数， 证明如下：函数的定义域为R， 令，则，又， 所以，所以函数为奇函数． （2）在上的单调递增， 证明如下：由（1）知，， 当时，，所以， 从而， ，则 ， 因为，所以，又当时，， 所以，所以，所以， 故在上的单调递增． （3）由（1）知，函数为R上的奇函数，所以， 由（2）知，当时，，且在上的单调递增， 所以在R上单调递增， 所以当时，函数的最大值为，最小值为， 又任意，总有恒成立， 所以，即， 由题意，对恒成立， 令，则， 所以，解得或， 故实数的取值范围是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假结业测试卷（培优篇） 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版必修第一册全册； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高一上·广东江门·阶段检测）“，”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（5分）（25-26高一上·贵州贵阳·期末）下列哪一组中的函数与是同一函数（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（5分）（25-26高一上·湖北荆州·期末）已知，，且，则的最小值为（ ） A．6 B． C． D． 5．（5分）（25-26高一上·四川成都·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高一上·四川成都·期末）如图，这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面.已知扇子扇形的圆心角为，则此扇面的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高一上·湖北武汉·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A． B．该函数的解析式为 C．将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数 D．函数的减区间为 8．（5分）（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知奇函数的定义域为，满足对任意、 ，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·湖南常德·期末）在下列四个命题中，正确的是（   ） A．命题“，使得”的否定是“，都有” B．命题“，”是真命题 C．已知集合，若，则的值为 D．“”是“”的必要不充分条件 10．（6分）（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 11．（6分）（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知是定义在R上的函数，且满足，又当时，，且，则以下说法正确的是（   ） A． B．函数在R上单调递减. C．函数是偶函数 D．不等式的解集为. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·天津·期末）函数的定义域为___________． 13．（5分）（25-26高一上·上海·期末）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___________. 14．（5分）（25-26高一上·河北承德·期末）已知函数是定义在上的奇函数，．若且，都有，则不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）（1）计算的值； （2）已知，，试用表示. 16．（15分）（25-26高一上·广东深圳·期末）已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 17．（15分）（25-26高一上·安徽黄山·期末）鱼灯是黄山市传统民俗工艺品，深受广大游客喜爱.某厂家欲生产一款鱼灯，经过市场调研发现，生产该款鱼灯需投入固定成本10万元，每生产万盏鱼灯另需投入变动成本万元.若这款鱼灯的售价为80元／盏，且该厂家2026年生产的万盏鱼灯均能售完. (1)求该厂家2026年利润（单位：万元）的函数解析式； (2)求该厂家2026年产量为多少万盏时所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18．（17分）（25-26高一上·四川攀枝花·期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求在的单调递减区间； (3)若函数在区间上有且仅有一个零点，求实数m的取值范围. 19．（17分）（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，总有恒成立，求实数的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $