25.2降次—解一元二次方程（5知识点+25大题型+针对训练）【暑假自学讲义】2026-2027学年九年级数学上册（人教版）

25.2降次—解一元二次方程 学习目标导航 1.熟练掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的基本步骤，并能根据方程特征灵活选择合适的方法。 2.理解根的判别式与方程根的情况之间的关系，能够利用判别式判断方程根的性质并进行相关的参数求解。 洞悉◆教材知识 知识点1：直接配平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 方程x2＝p的解的情况： 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点2：配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点3：公式法 1.求根公式的推导： 一元二次方程（），可用配方法进行求解：得：． 对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1 当时， 利用开平方法，得：， 即： 2 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． 2.一元二次方程（）的求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 知识点4：公根的判别式 1.一元二次方程根的判别式： 我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 知识点5：因式分解 （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； 　 　②将方程左边分解为两个一次式的积； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 核心题型◆归纳 【题型1】用直接开方法解方程 【题型2】直接开平方法的应用 【题型3】 配方 【题型4】 配方法解方程 【题型5】用配方的非负性求代数式的值 【题型6】 用配方法求代数式的最值 【题型7】 用配方法求三角形的周长 【题型8】 用配方法判断三角形的形状 【题型9】 用配方法求特殊方程的解 【题型10】一元二次方程的求根公式 【题型11】公式法解一元二次方程 【题型12】不解方程判断一元二次方程的根的情况 【题型13】已知解的情况求字母的值 【题型14】根的判别式的综合应用 【题型15】根的判别式与三角形问题 【题型16】 利用乘积为零解方程 【题型17】 利用提公因式法解方程 【题型18 】 利用因式分解法解方程 【题型19】用合适的方法解方程 【题型20 】用因式分解法解方程的过程出错问题 【题型21】因式分解法进行求值 【题型22】因式分解法的应用 【题型23】新定义问题 【题型24】含绝对值的一元二次方程 【题型25】利用十字相乘法解方程 针对训练 题型解析◆精准备考 【题型1】用直接开方法解方程 1．用直接开方法解方程． （1） （2） （3） （4）． 2．用直接开平方法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型2】直接开平方法的应用 3．关于的方程，下列说法正确的是　　 A．有两个解 B．当 时，有两个解 C．当时，有两个解 D．当时，方程无实根 4．若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是　　 A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 【题型3】 配方 5．将一元二次方程配方后可化为　　 A． B． C． D． 6．将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是　　 A． B． C． D． 【题型4】 配方法解方程 7．解方程：． 8．利用配方法解方程：． 【题型5】用配方的非负性求代数式的值 9．已知，求的值为　　 A．3 B．6 C．9 D．27 10．已知，，满足，，，则的值为　　 A． B．5 C．6 D． 【题型6】 用配方法求代数式的最值 11．探究代数式的最小值时，我们可以这样处理： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： （1）当 　　 时，有最小值是 　　 ； （2）多项式有最 　　 （填“大”或“小” 值，该值为 　　 ； （3）已知，求的最小值． 12．上数学课时，胡老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答问题：求代数式的最小值． 同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以， 所以有最小值，最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列问题： （1）知识再现：求代数式的最小值； （2）知识运用：代数式有最 　　 （填“大”或“小” 值，这个最值是 　　 ； （3）知识拓展：若，求的立方根． 【题型7】 用配方法求三角形的周长 13．已知，，为△的三条边． （1）若，，△的周长是小于17的奇数，求的长． （2）若△为等腰三角形，且，满足，求△的周长． 14．阅读材料：若，求，的值． 解：， ， ． ，． ． 阅读上面的材料，解决以下两个问题： （1）已知，求的值； （2）已知等腰三角形的三条边分别为，，，其中，满足，求这个等腰三角形的周长． 【题型8】 用配方法判断三角形的形状 15．已知，，为三边长． （1）求证：． （2）当，试判断的形状． 【题型9】 用配方法求特殊方程的解 16．若关于的方程，，均为常数，的解是，，求方程的解． 17．已知关于的方程，，为常数，的解是，，那么方程的解为　　 A．， B．， C．， D．， 【题型10】一元二次方程的求根公式 18．以为根的一元二次方程可能是　　 A． B． C． D． 19．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是　　 A． B． C． D． 【题型11】公式法解一元二次方程 20．用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3） ． 21．用公式法解下列方程． （1）； （2）； （3）． 【题型12】不解方程判断一元二次方程的根的情况 22．关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 23．一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【题型13】已知解的情况求字母的值 24．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是　　 A． B． C． D． 25．若关于的方程有实数根，则实数的取值及范围为　　 ． 【题型14】根的判别式的综合应用 26．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，求此时方程的根． 27．已知关于的一元二次方程有实根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数时，求该方程的两个根． 【题型15】根的判别式与三角形问题 28．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为△三边的长． （1）若该△是等边三角形，求该方程的根； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断△的形状，并说明理由． 29．已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有实数根； （2）若等腰△的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？ 【题型16】 利用乘积为零解方程 30．方程的解是　　 A． B．， C．， D．无实数根 31．方程的解是　　 A． B． C．， D．， 【题型17】 利用提公因式法解方程 32．一元二次方程的解是　　 A． B． C．， D．， 33．一元二次方程的根是　　 A． B．， C．， D．． 【题型18 】 利用因式分解法解方程 34．用因式分解法解方程： （1）； （2）． 35．运用平方差解方程：． 【题型19】用合适的方法解方程 36．用适当的方法解下列方程 （1） （2） （3） （4）． 37．用合适的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型20 】用因式分解法解方程的过程出错问题 38．习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程： 嘉嘉：解方程， 解：方程两边同时除以得， 第一步， 第二步， 第三步， （1）嘉嘉的解答过程从第　　 步开始出现错误的； （2）请给出这道题的正确解答过程． 39．小李与小王两位同学解方程的过程如下框： 小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“”；若错误请在框内打“”，并写出正确的解答过程． 【题型21】因式分解法进行求值 40．已知是实数，且满足，则的值为　　 A．3 B．3或 C．或6 D．6 41．已知，，则的值为　　． 【题型22】因式分解法的应用 42．已知一个菱形的边长是方程的一个根，该菱形一条对角线长为8，则该菱形的面积为　　 A．48 B．24 C．24或 D．48或 43．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是　　 A．24或 B．24 C． D．或24 【题型23】新定义问题 44．现定义运算“★”，对于任意实数，，都有★，如：3★，若★，则实数的值是　　 A． B．4 C．或4 D．1或 45．在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：☆，，则方程2☆★6的解为 　　 ． 【题型24】含绝对值的一元二次方程 30．先阅读例题，再解答问题． 例：解方程． 解：当时，， 解得（不合题意，舍去），； 当时，， 解得（不合题意，舍去），． 综上所述，原方程的解为或． 依照上述解法解方程：． 【题型25】利用十字相乘法解方程 31．将分解因式时，可依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积的和在中央”，即 所以． 我们把这种因式分解的方法叫做“十字相乘法”，用式子表示为． 依照上面的方法，解下列方程： （1）； （2）． 32．用十字相乘法解方程： （1）；（2）． 针对训练 一、单选题 1．一元二次方程的根是（   ） A． B． C．， D． 2．方程的解为（　　） A． B． C． ， D．， 3．用配方法解方程，配方后可得（    ） A． B． C． D． 4．方程的解为（  ） A． B． C．， D．， 5．已知关于x的一元二次方程的两个实数根的和为2，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 6．方程的解是__________． 7．若是一元二次方程的两个实数根，则________ 8．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 9．已知（a2+b2+1）（a2+b2﹣3）＝0，则a2+b2的值等于______． 三、解答题 10．用适当的方法解下列方程: (1)； (2)； 11．已知关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，满足，求的值． 12．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)设、是方程的两根，且，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2降次—解一元二次方程 学习目标导航 1.熟练掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的基本步骤，并能根据方程特征灵活选择合适的方法。 2.理解根的判别式与方程根的情况之间的关系，能够利用判别式判断方程根的性质并进行相关的参数求解。 洞悉◆教材知识 知识点1：直接配平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 方程x2＝p的解的情况： 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点2：配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点3：公式法 1.求根公式的推导： 一元二次方程（），可用配方法进行求解：得：． 对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1 当时， 利用开平方法，得：， 即： 2 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． 2.一元二次方程（）的求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 知识点4：公根的判别式 1.一元二次方程根的判别式： 我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 知识点5：因式分解 （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； 　 　②将方程左边分解为两个一次式的积； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 核心题型◆归纳 【题型1】用直接开方法解方程 【题型2】直接开平方法的应用 【题型3】 配方 【题型4】 配方法解方程 【题型5】用配方的非负性求代数式的值 【题型6】 用配方法求代数式的最值 【题型7】 用配方法求三角形的周长 【题型8】 用配方法判断三角形的形状 【题型9】 用配方法求特殊方程的解 【题型10】一元二次方程的求根公式 【题型11】公式法解一元二次方程 【题型12】不解方程判断一元二次方程的根的情况 【题型13】已知解的情况求字母的值 【题型14】根的判别式的综合应用 【题型15】根的判别式与三角形问题 【题型16】 利用乘积为零解方程 【题型17】 利用提公因式法解方程 【题型18 】 利用因式分解法解方程 【题型19】用合适的方法解方程 【题型20 】用因式分解法解方程的过程出错问题 【题型21】因式分解法进行求值 【题型22】因式分解法的应用 【题型23】新定义问题 【题型24】含绝对值的一元二次方程 【题型25】利用十字相乘法解方程 针对训练 题型解析◆精准备考 【题型1】用直接开方法解方程 1．用直接开方法解方程． （1） （2） （3） （4）． 【分析】方程变形后利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：（1）开方得：或， 解得：，； （2）方程变形得：， 开方得：，； （3）方程开方得：， 解得：； （4）方程变形得：， 开方得：， 解得：，． 2．用直接开平方法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】各方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解． 【详解】解：（1），即， 开方得：； （2），即， 开方得：； （3），即， 开方得：， 解得：，； （4），即， 开方得：， 解得：，． 【题型2】直接开配方法的应用 3．关于的方程，下列说法正确的是　　 A．有两个解 B．当 时，有两个解 C．当时，有两个解 D．当时，方程无实根 【答案】 【分析】由于，左边是一个完全平方式，所以必须大于等于0才会有意义，然后用直接开平方法进行解答． 【详解】解：在方程中，因为，所以当时，方程才有意义．即有两个解． 故选：． 4．若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是　　 A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 【答案】 【分析】方程的两根互为相反数，据此可得，求得的值，继而可得答案． 【详解】解：由题意知，方程的两根互为相反数， ， 解得， ，， 故选：． 【题型3】 配方 5．将一元二次方程配方后可化为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先把常数项移到等式的另一边，方程两边都加一次项系数一半的平方，按公式整理即可． 【详解】解： 把一元二次方程变形， 两边都加9，， ． 故选：． 6．将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：． 【题型4】 配方法解方程 7．解方程：． 【分析】根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： ，． 8．利用配方法解方程：． 【答案】，． 【分析】先移项，二次项的系数化成1，再根据完全平方公式配方，开方，即可得出两个一元一次方程，最后求出方程的解即可． 【详解】解：， ， ． 配方得：， ， 开方得：， 解得：，． 【题型5】用配方的非负性求代数式的值 9．已知，求的值为　　 A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】 【分析】依据题意，由，可得，从而，，则，进而计算可以得解． 【详解】解：由题意，， ． ． ，． ． ． 故选：． 10．已知，，满足，，，则的值为　　 A． B．5 C．6 D． 【答案】 【分析】题目中的式子相加，然后利用配方法变形为完全平方的形式，再利用非负数的性质即可求得所求式子的值． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ，，， 解得，，，， ． 故选：． 【题型6】 用配方法求代数式的最值 11．探究代数式的最小值时，我们可以这样处理： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： （1）当 　　 时，有最小值是 　　 ； （2）多项式有最 　　 （填“大”或“小” 值，该值为 　　 ； （3）已知，求的最小值． 【答案】（1）；； （2）大；17； （3）． 【分析】（1）（2）利用配方法把原式变形，再根据偶次方的非负性解答； （3）根据题意得到，利用配方法把变形，再根据偶次方的非负性解答． 【详解】解：（1）， ， 当时，的值最小，最小值是0． ． 当时，有最小值是， 故答案为：；； （2）， ， ， 有最大值0， 有最大值，最大值为17， 故答案为：大；17； （3）， ， ， 则的最小值为． 12．上数学课时，胡老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答问题：求代数式的最小值． 同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以， 所以有最小值，最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列问题： （1）知识再现：求代数式的最小值； （2）知识运用：代数式有最 　大　 （填“大”或“小” 值，这个最值是 　　 ； （3）知识拓展：若，求的立方根． 【答案】（1）3； （2）大；； （3）的立方根是． 【分析】（1）利用配方法把原式变形，再根据偶次方的非负性解答； （2）同（1）的作法解答； （3）把配方后：，再利用平方的非负性即可解答． 【详解】解：（1）， ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的最小值是3； （2） ， 则当时，有最大值，最大值是， 故答案为：大；； （3）， ， ，， ，， ， 的立方根是． 【题型7】 用配方法求三角形的周长 13．已知，，为△的三条边． （1）若，，△的周长是小于17的奇数，求的长． （2）若△为等腰三角形，且，满足，求△的周长． 【答案】（1）或； （2）7或8． 【分析】（1）三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求出的范围，再根据周长是小于17的奇数进一步确定的范围以及是偶数，据此可得答案； （2）利用完全平方公式得到，则由非负数的性质可求出、的值，再分腰长为何腰长为两种情况，结合构成三角形的条件讨论求解即可． 【详解】解：（1）已知，，为△的三条边，则， ，， ， 由题意可得：， ， ， 且是偶数， 或； （2）若△为等腰三角形，且，满足， ， ， ，， ， ，， ，， 当腰长为2时，则该等腰三角形的三边长为2，2，3， ， 此时能构成三角形， 该三角形的周长为； 当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为2，3，3， ， 此时能构成三角形， 该三角形的周长为； 综上所述，该三角形的周长为7或8． 14．阅读材料：若，求，的值． 解：， ， ． ，． ． 阅读上面的材料，解决以下两个问题： （1）已知，求的值； （2）已知等腰三角形的三条边分别为，，，其中，满足，求这个等腰三角形的周长． 【答案】（1）； （2）15． 【分析】（1）根据题意，可以将代数式化为两个完全平方和等于0的形式，可以求得、的值，从而得到答案； （2）根据题意，可以将代数式化为两个完全平方和等于0的形式，可以求得，值，根据等腰三角形的定义及三角形的三边关系分别讨论求解即可得到答案． 【详解】解：（1）由条件可知， ， ，， ，， ； （2）由条件可知， ， ，， 解得，， 当为腰长时，三边分别为3，3，6，因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，所以不能构成三角形， 当为腰长时，三边分别为3，6，6，因为，，满足三角形三边关系， 此时三角形周长为． 综上所述，这个等腰三角形的周长为15． 【题型8】 用配方法判断三角形的形状 15．已知，，为三边长． （1）求证：． （2）当，试判断的形状． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）是等边三角形． 【分析】（1）先依据完全平方公式将原式变形为，然后再利用平方差公式进行分解，然后结合三角形的三边关系进行判断即可； （2）先利用完全平方公式将原式变形为，然后，依据非负数的性质可得到、、之间的关系，从而可对的形状作出判断． 【解答】（1）证明：， ，，为三边长， ，， ，， ； （2）解：是等边三角形． 理由：， ， ， ， 是等边三角形． 【题型9】 用配方法求特殊方程的解 16．若关于的方程，，均为常数，的解是，，求方程的解． 【答案】，． 【分析】利用直接开平方法得方程的解，则，，再解方程得，所以，． 【详解】解：解方程，，均为常数，得， 而关于的方程，，均为常数，的解是，， 所以，， 方程的解为， 所以，． 17．已知关于的方程，，为常数，的解是，，那么方程的解为　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】先把方程可变形为：，然后根据题意可得：或，从而进行计算即可解答． 【详解】解：方程可变形为：， 由题意得：或， 解得：，， 故选：． 【题型10】一元二次方程的求根公式 18．以为根的一元二次方程可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：、，故该选项不正确，不符合题意； 、，故该选项不正确，不符合题意； 、，故该选项不正确，不符合题意； 、，故该选项正确，符合题意； 故选：． 19．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】判断出，，，可得结论． 【详解】解：由题意，，． 故选：． 【题型11】公式法解一元二次方程 20．用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【分析】先把方程化成标准形式，再求出，，的值， 判断出△的符号， 再代入求根公式， 进行计算即可 ． 【详解】解： （1）， ， ，，， ， ， ，； （2）， ； ，，， ， ， ，； （3）， ，，， ， ． 21．用公式法解下列方程． （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）去括号，移项方程化为一般式为：，然后把，，代入求根公式计算即可； （2）把，，代入求根公式计算即可； （3）把，，代入求根公式计算即可． 【详解】解：（1）去括号，移项方程化为一般式为：， ，，， ， ，； （2），，， ， ， ，； （3），，， ， ， ，． 【题型12】不解方程判断一元二次方程的根的情况 22．关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】 【分析】根据△，即可判断根的情况． 【详解】解：由条件可得△， 方程有两个不相等的实数根， 故选：． 23．一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】 【分析】先计算求出根的判别式△的值，再根据△的值来判断根的情况即可． 【详解】解：由条件可知△， 该方程没有实数根， 故选：． 【题型13】已知解的情况求字母的值 24．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可． 【详解】解：根据题意得△， 解得． 故选：． 25．若关于的方程有实数根，则实数的取值及范围为　　 ． 【答案】． 【分析】对于一元二次方程，判别式△，当△时，方程有实数根，据此代入数值计算，即可作答． 【详解】解：有实数根， △， 解得． 故答案为：． 【题型14】根的判别式的综合应用 26．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，求此时方程的根． 【答案】（1）且；（2），． 【分析】（1）由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得且△，即，两个不等式的公共解即为的取值范围； （2）求出的值，解方程即可解答． 【详解】解：（1）由题意得△且， 所以且； （2），且，为正整数， ， 方程为， △ ，． 27．已知关于的一元二次方程有实根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数时，求该方程的两个根． 【答案】（1）的取值范围是； （2）方程的两个根都是1． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）结合（1）中的取值范围，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， 因为关于的一元二次方程有实根， 所以△， 解得， 所以的取值范围是． （2）由（1）知，的最大整数值为0， 则该方程为， 解得， 所以方程的两个根都是1． 【题型15】根的判别式与三角形问题 28．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为△三边的长． （1）若该△是等边三角形，求该方程的根； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断△的形状，并说明理由． 【答案】（1），； （2）直角三角形，理由见解析． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，继而可将方程化简，再进行求解即可； （2）根据题意可知根的判别式的值为0，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：（1）当△是等边三角形时，， 原方程可化为：，即， ， ， ，； （2）是直角三角形，理由如下： 方程有两个相等的实数根， △， ， ，即， △是直角三角形． 29．已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有实数根； （2）若等腰△的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？ 【答案】（1）见解答； （2）10． 【分析】（1）先计算判别式的值得到△，配方得到△，根据非负数的性质易得△，则根据判别式的意义即可得到结论； （2）分类讨论：当时，则△，解得，然后解方程得到，根据三角形三边关系可判断这种情况不符合条件；当或时，把代入方程可解得的值，则代入方程可解答． 【解答】（1）证明：△ ， ， ，即△， 无论取何值，此方程总有实数根； （2）解：①当时，△， 解得， 方程化为，解得， ， 此种情况不成立； ②当或时，把代入方程得， 解得：， 方程化为，解得，， 即三边为4，4，2，能够成三角形， 则周长， 所以这个等腰三角形的周长是10． 【题型16 】 利用乘积为零解方程 30．方程的解是　　 A． B．， C．， D．无实数根 【答案】 【分析】根据已知方程得到两个关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：， 或， 解得，， 故选：． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 31．方程的解是　　 A． B． C．， D．， 【答案】 【分析】方程利用因式分解法求出解即可． 【详解】解：方程， 可得或， 解得：，， 故选：． 【点睛】此题考查了一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【题型17 】 利用提公因式法解方程 32．一元二次方程的解是　　 A． B． C．， D．， 【答案】 【分析】用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 或， ，． 故选：． 【点睛】本题考查一元二次方程因式分解法，熟练掌握直因式分解法解一元二次方程是解本题的关键． 33．一元二次方程的根是　　 A． B．， C．， D． 【答案】 【分析】把方程右边的部分移到左边，再利用提取公因式法分解因式，然后转化成两个一元一次方程求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， ，， 故选：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握利用分解因式法解一元二次方程． 【题型18 】 利用因式分解法解方程 34．用因式分解法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【分析】（1）先移项，然后提公因式即可解答本题； （2）方程变形后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， 或， 解得，； （2）， ， ， ， 或， 解得，． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 35．运用平方差解方程：． 【答案】，． 【分析】方程移项后，左边利用平方差公式分解，再利用两数相乘积为0两数至少有一个为0转化为两个一元一次方程求出解即可． 【详解】解：方程移项得：， 分解因式得：， 整理得：， 所以或， 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【题型19】用合适的方法解方程 36．用适当的方法解下列方程 （1） （2） （3） （4）． 【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可； （2）方程利用因式分解法求出解即可； （3）方程整理后，利用因式分解法求出解即可； （4）方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】解：（1）分解因式得：， 可得或， 解得：，； （2）分解因式得：， 可得或， 解得：，； （3）分解因式得：， 可得或， 解得：，； （4）方程整理得：，即， 分解因式得：， 可得或， 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 37．用合适的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2），； （3），． （4），． 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用直接开方法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1）原方程可化为，即， 或， ，； （2）原方程可化为， 或， ，； （3）原方程可化为，其中，，， △， ， ，． （4）原方程可化为， ， 或， ，． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是学会根据方程的特征正确寻找解方程的方法． 【题型20 】用因式分解法解方程的过程出错问题 39．习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程： 嘉嘉：解方程， 解：方程两边同时除以得， 第一步， 第二步， 第三步， （1）嘉嘉的解答过程从第　第一　 步开始出现错误的； （2）请给出这道题的正确解答过程． 【答案】（1）第一； （2）见解析． 【分析】（1）根据解一元二次方程的计算的步骤检查即可； （2）根据因式分解法解答即可． 【详解】解：（1）根据解一元二次方程的计算的步骤可知： 嘉嘉是第一步， 故答案为：第一； （2）原方程移项得：， 分解因式， 即或， 所以，． 【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 40．小李与小王两位同学解方程的过程如下框： 小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“”；若错误请在框内打“”，并写出正确的解答过程． 【答案】；；，．正确的解答过程见解析． 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：两个都错：； ， ， ， ， ，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法． 【题型21】因式分解法进行求值 41．已知是实数，且满足，则的值为　　 A．3 B．3或 C．或6 D．6 【答案】 【分析】把看作一个整体，将已知方程左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：， 分解因式得：， 可得或， 而中，△，无解， 则． 故选：． 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 42．已知，，则的值为　2　． 【答案】2． 【分析】将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 或， （舍去）或， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【题型22】因式分解法的应用 43．已知一个菱形的边长是方程的一个根，该菱形一条对角线长为8，则该菱形的面积为　　 A．48 B．24 C．24或 D．48或 【答案】 【分析】解，可得，，如图，，，则，由，可得，由勾股定理得，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：， ， 解得，，， 如图，，，则， ， ， 由勾股定理得，， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，菱形的性质，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 44．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是　　 A．24或 B．24 C． D．或24 【答案】 【分析】先解方程得到或，当第三边长为10时，则可利用勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为8和6，据此利用三角形面积公式求解即可；当第三边长为6时，如图所示，不妨设，，过点作于，则，利用勾股定理求出的长，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：解方程得或， 该三角形的第三边的长为10或6， 当第三边长为10时， ， 该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为8和6， 该三角形的面积为； 当第三边长为6时，如图所示，不妨设，， 过点作于，则， ， 该三角形的面积为； 综上所述，该三角形的面积为或24， 故选：． 【点睛】此题考查的是解一元二次方程、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【题型23】新定义问题 45．现定义运算“★”，对于任意实数，，都有★，如：3★，若★，则实数的值是　　 A． B．4 C．或4 D．1或 【分析】原式根据题中的新定义，进行列式计算即可得到结果． 【详解】解：对于任意实数，，都有★， ★， 即：， ， ， 或， ，． 故选：． 【点睛】此题考查了用因式分解的方法解一元二次方程，解答本题关键是明确新定义的运算符号所代表的运算法则，属于基础题． 46．在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：☆，，则方程2☆★6的解为 　，　 ． 【答案】，． 【分析】根据新运算法则列出一元二次方程，然后求解即可． 【详解】解：☆★6， ， ， ， ，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，理解题中的新定义运算法则是解题的关键． 【题型24】含绝对值的一元二次方程 47．先阅读例题，再解答问题． 例：解方程． 解：当时，， 解得（不合题意，舍去），； 当时，， 解得（不合题意，舍去），． 综上所述，原方程的解为或． 依照上述解法解方程：． 【答案】或． 【分析】根据绝对值的性质，可化简方程，根据因式分解法解方程，可得答案． 【详解】解：当时，， ， 解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）； 当时，， ， 解得，． 综上所述，原方程的解为或． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元二次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题的关键，要分类讨论，以防遗漏． 【题型25】利用十字相乘法解方程 48．将分解因式时，可依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积的和在中央”，即 所以． 我们把这种因式分解的方法叫做“十字相乘法”，用式子表示为． 依照上面的方法，解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可． 【详解】解：（1）， 或， 所以，； （2）， 或， 所以，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 49．用十字相乘法解方程： （1）；（2）． 【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：（1）； ， ，， ，． （2） ， ，， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，主要考查学生 针对训练 一、单选题 1．一元二次方程的根是（   ） A． B． C．， D． 【答案】C 【分析】先移项，再两边开平方即可． 【详解】解：， ， ， 即． 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 2．方程的解为（　　） A． B． C． ， D．， 【答案】D 【分析】直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得，， 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 3．用配方法解方程，配方后可得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，即可得． 【详解】解：， ， 则，即， 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 4．方程的解为（  ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】方程变形后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：方程变形得：x2-3x=0， 分解因式得：x（x-3）=0， 可得x=0或x-3=0， 解得：x1=3，x2=0． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 5．已知关于x的一元二次方程的两个实数根的和为2，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的定义以及根与系数的关系、根的判别式，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，易错点容易忽略二次项系数不为0． 先根据一元二次方程的定义以及有实数根得到且，再由根与系数的关系即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得且． ∵方程的两个实数根之和为2， ∴，解得，此时方程有实数解， 故选：A． 二、填空题 6．方程的解是__________． 【答案】， 【分析】直接令每个因式等于0求解即可． 【详解】解：∵， ∴x-1=0，或x-3=0， ∴，． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 7．若是一元二次方程的两个实数根，则________ 【答案】4 【详解】∵是一元二次方程x2−3x−1=0的两个实数根， ∴==3，x1⋅x2==−1， 则=3-(-1)=4， 故答案为4. 8．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ． 故答案为：． 9．已知（a2+b2+1）（a2+b2﹣3）＝0，则a2+b2的值等于______． 【答案】3 【分析】把a2＋b2看成整体m，方程变形后利用因式分解法求解，再根据a2＋b2≥0，可知m≥0，可以得到答案． 【详解】解：设a2＋b2＝m， 原方程化为：（m＋1）（m－3）＝0， 解得m1＝－1，m2＝3， ∵a2＋b2≥0， ∴a2＋b2＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，掌握如何换元是解题关键． 三、解答题 10．用适当的方法解下列方程: (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法是解题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或， ，； （2）解：， ， ， ， ，． 11．已知关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若,是方程的两个根, 则有，，掌握该知识点是解答本题的关键． （1）根据方程有两个的实数根, 可知方程的判别式，据此列不等式即可求解； （2） 根据根与系数的关系得出，代入中即可求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根，， ∴，即 ∴； （2）∵，， 由得，， ∴， 解得，， ∵， ∴． 12．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)设、是方程的两根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况与判别式的关系、及根与系数的关系及解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）由一元二次方程的根的情况与判别式的关系可得，由此可解得的值． （2）根与系数的关系及已知条件可得关于的一元二次方程，解得的值并根据（1）中的所得的的取值范围作出取舍即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 解得：． 的取值范围是． （2）解：根据题意得：，， ， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 的值是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $