精品解析：河南郑州市第二高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

2025-2026学年下期期末考试 高一数学试题卷 注意事项： 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 所以. 2. 已知一组数据从小到大排列：10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，则该组数据的60%分位数为（ ） A. 60 B. 65 C. 70 D. 75 【答案】B 【解析】 【分析】根据分位数的定义求解即可 【详解】因为这组数据共10个数，且，所以该组数据的分位数为第6个数与第7个数的平均值，即为65. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示列式计算. 【详解】向量，，由，得，所以. 故选：B 4. 如图，是水平放置的直观图，其中，轴，轴，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助余弦定理计算可得直观图中的长度，结合斜二测画法可知形状及边长，即可得. 【详解】在中，，， 由余弦定理可得：， 即，而，解得， 由斜二测画法可知：中，，， 故. 5. 某小区公益图书角现有存书500本，养生类300本，文化类150本，经济类50本，为了解该小区居民借阅的情况，用分层抽样从中抽取样本，若抽出的文化类图书是15本，则抽出经济类图书的本数为（ ） A. 50 B. 30 C. 15 D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】从150本文化类抽取15本，所以抽样比为， 所以抽出经济类图书的本数为：（本）. 6. 如图，在中，，，，D是边上一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用与表示出，，进而利用向量的数量积运算公式进行计算. 【详解】由 可得，， 所以. 因为， 所以 . 7. 如图，一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数大于4”，记事件“得到的点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件B与C互斥，A与C相互对立 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据互斥事件的概念分析判断；对于B：先求，结合古典概型分析判断；对于C、D根据独立事件概率乘法公式计算即可. 【详解】事件“得到的点数为偶数”，即， 记事件“得到的点数大于4”，即， 记事件“得到的点数为3的倍数”，即， 则，，， 对于A：，，故事件B与C不互斥，A与C不相互对立，A错误； 对于B：，，故B错误； 对于C：，，，，故，C正确； 对于D：，，故，D错误. 故选：C 8. 在正三棱锥中，侧棱与底面所成的角为，记三棱锥内切球、外接球的半径分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据计算可得，求出外接圆半径，再结合勾股定理可求出外接球的半径. 【详解】设正三棱锥底面边长为，底面正三角形的中心为，则顶点在底面的投影点为， 因为侧棱与底面所成的角为， 即， 在中，，，， ，， 正三棱锥体积为：, 因为，所以， 在正三棱锥中，外接球的球心在，设球心为， 设，根据球心到顶点距离相等可得，， 即，解得，所以， 所以. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则（ ） A. 向量，的夹角为 B. 若，则 C. 若，则 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，， 所以向量，的夹角为，A正确； 对于B，，若， 则，解得，B错误； 对于C，， 若，则，解得 ，C错误； 对于D，向量在向量上的投影向量为，D正确. 10. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，则 D. 若，则是钝角三角形 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，中，若，则，由正弦定理得，A正确； 对于B，由正弦定理得， 此时，则有两解，B正确； 对于C，因为，所以， 由正弦定理得，C正确； 对于D，，设，则为中的最大角， ，所以为锐角，是锐角三角形，D错误. 11. 已知正四棱台中，，侧棱与平面所成的角为，记该正四棱台的表面积为S，体积为V，则（ ） A. B. C. 二面角的正切值为 D. 正四棱台的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为40π 【答案】ACD 【解析】 【分析】设正方形、正方形的中心分别为，；设边，的中点分别为，，证明四边形为等腰梯形，过作，证明平面，，由此可得，，，再求正四棱台的表面积为，体积为，判断AB，证明是二面角的平面角，解三角形求其大小，判断C，确定球心位置及球的半径，结合球的表面积公式求外接球的表面积，判断D. 【详解】如图，设正方形、正方形的中心分别为，； 设边，的中点分别为，， 连接，，，，，，； 因为相交，所以四点共面， 因为平面平面，平面平面， 平面平面， 所以，又，，， 所以四边形为等腰梯形， 过作，则，又平面， 所以平面，故侧棱与平面所成的角为， 由已知， 在中，，， 所以，，， 因为，，， 又平面，平面，所以， 所以四边形为直角梯形，过作， 则为直角三角形，为直角，，， 所以， 对于A，可得， 所以，故A正确； 对于B，由于， 得，故B错误； 对于C，由于，，所以是二面角的平面角， 在中，，故C正确； 对于D，设外接球球心为，，又，，， 若点在平面的上方，则，，与矛盾， 所以，由得，，解得， 故点在该正四棱台的外部，即球的半径为， 所以，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 事件A与事件B为对立事件，已知，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为事件与事件为对立事件，且， 所以. 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且面积为，若，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】由面积得，再结合，求出值，再利用余弦定理求出即可. 【详解】，解得：； 又，代入，得：或； 根据余弦定理得：，解得：. 故答案为：3． 14. 如图，正方体的棱长为4，N为的中点，若过的平面平面，则平面截该正方体所得截面图形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】取BC的中点E，的中点F，先利用面面平行判定定理证明平面平面，得出四边形为平面截正方体所得截面图形，易得四边形是菱形，求得该菱形的边长即可求得面积. 【详解】如图，取BC的中点E，的中点F，连接DE，，，FD， 因为E，F分别为BC，的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又，，平面，所以平面平面， 即四边形为平面截正方体所得截面图形. 由正方体的棱长为，易得四边形是边长为的菱形， 对角线即为正方体的体对角线， 因为且，所以四边形为平行四边形， 又， 所求截面的面积. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某企业为了解员工对“工作任务安排”的认可程度，人力部门随机抽取了200名员工，根据这200名员工对“工作任务安排”的认可程度给出的评分（评分均在内），将所得数据分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求m的值，并估计这200名员工评分的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （2）为了了解部分员工对＂工作任务安排＂的认可程度较低的原因，人力部门从评分落在，，的员工中用分层抽样的方法随机抽取54人进行沟通，求抽取的评分落在内的人数. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据小矩形面积和为1得到关于m的方程，解出m值，再利用频率分布直方图中平均数公式即可； （2）求出各区间人数，再根据分层抽样的特点即可得到答案. 【小问1详解】 由题意知，解得. 估计这200名员工评分的平均数. 【小问2详解】 评分落在的人数： 评分落在的人数： 评分落在的人数： 所以评分落在区间，，的员工的人数比例为， 所以应抽取的评分落在内的人数为， 即应抽取的评分落在内的人数为24. 16. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． （1）求C； （2）若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的恒等变换以及正弦定理化简得到 （2）利用余弦定理将周长转化为关于角的函数或关于边的函数，通过求解函数的值域求解周长的范围. 【小问1详解】 已知,由正弦定理， 在三角形中，,故 得,因为，所以. 即， 因为，解得. 【小问2详解】 由正弦定理, ,所以. 所以 法一： 所以. 由为锐角三角形可得,得. 所以,所以设周长为， 法二: 由,不妨设,则,由为锐角三角形可得， 由余弦定理，, 又 所以，结合解得. 由式得, , 所以，且，所以周长为 17. 与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视.为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为，，，且三人答题互不影响. （1）求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率； （2）若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设“甲答对”，“乙答对”，则题意所求的事件为，结合互斥事件的定义与事件的独立性计算即可求解； （2）根据对立事件的定义分析题意，建立关于p的方程，解之即可求解. 【小问1详解】 设“甲答对”，“乙答对”， 则，，，， “甲，乙两位同学恰有一个人答对”的事件为，且与互斥 由三人答题互不影响，知A，互相独立，则A与，与，与均相互独立， 则， 所以甲，乙两位同学恰有一个人答对的概率为. 【小问2详解】 设“丙答对”，则， 设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人答对”，由（1）知， ，解得， 所以的值为. 18. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 如图，在梯形ABCD中，连接DE，因为 E是BC 的中点， 所以，又因为，且， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着AE翻折成后，平面，因为平面， 则 有，又平面， 所以平面， 由题意，易知,所以四边形是平行四边形，故， 所以平面. （2） （3）存在，此时点是线段的中点且 【解析】 【分析】（1）首先根据已知条件并结合线面垂直的判定定理证明平面，再证明即可证出结论； （2）根据（1）中线面垂直的结论并结合线面角的概念找出所求角，再结合已知条件即可求解； （3）首先假设存在，然后根据线面平行的性质以及已知条件，看是否能求出点的具体位置，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以线段在平面内的射影为线段， 所以与平面所成的角为， 由已知条件，可知，， 所以是正三角形，所以平分，所以， 所以与平面所成的角为. 【小问3详解】 假设线段上存在点，使得平面， 过点作交于，连接，如图所示： 所以，所以四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以是的中点， 故在线段上存在点，使得平面，且. 19. 现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. （1）当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； （2）若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； （3）若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得. 【答案】（1） 当时, , ​​​​​​​则​​​,. 因为， 故“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系. （2） （3） 由，得,由(2)同理可得, 即. 因为,所以. 因为,由, 所以. 由(2)同理可得,即. 因为,所以, 所以, 又因为,所以,所以, 即， ​​​​​​​所以存在有理数,使得. 【解析】 【分析】(1)当时, ,​​​,，由,即可证明“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； (2)由“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,可得，利用复数相等的条件得到,即可求； (3)由得,利用复数相等的条件得到和,则,则,进一步得,即可证明存在有理数,使得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为“2维形态复数”与“3维形态复数”相等, 所以, 因此， 解，得或, 解，得或, 由于两个方程同时成立,故只能有,即. 所以. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：利用复数相等求出参数然后求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下期期末考试 高一数学试题卷 注意事项： 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 已知一组数据从小到大排列：10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，则该组数据的60%分位数为（ ） A. 60 B. 65 C. 70 D. 75 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是水平放置的直观图，其中，轴，轴，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 5. 某小区公益图书角现有存书500本，养生类300本，文化类150本，经济类50本，为了解该小区居民借阅的情况，用分层抽样从中抽取样本，若抽出的文化类图书是15本，则抽出经济类图书的本数为（ ） A. 50 B. 30 C. 15 D. 5 6. 如图，在中，，，，D是边上一点，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数大于4”，记事件“得到的点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件B与C互斥，A与C相互对立 B. C. D. 8. 在正三棱锥中，侧棱与底面所成的角为，记三棱锥内切球、外接球的半径分别为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则（ ） A. 向量，的夹角为 B. 若，则 C. 若，则 D. 向量在向量上的投影向量为 10. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，则 D. 若，则是钝角三角形 11. 已知正四棱台中，，侧棱与平面所成的角为，记该正四棱台的表面积为S，体积为V，则（ ） A. B. C. 二面角的正切值为 D. 正四棱台的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为40π 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 事件A与事件B为对立事件，已知，则______． 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且面积为，若，则__________． 14. 如图，正方体的棱长为4，N为的中点，若过的平面平面，则平面截该正方体所得截面图形的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某企业为了解员工对“工作任务安排”的认可程度，人力部门随机抽取了200名员工，根据这200名员工对“工作任务安排”的认可程度给出的评分（评分均在内），将所得数据分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求m的值，并估计这200名员工评分的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （2）为了了解部分员工对＂工作任务安排＂的认可程度较低的原因，人力部门从评分落在，，的员工中用分层抽样的方法随机抽取54人进行沟通，求抽取的评分落在内的人数. 16. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． （1）求C； （2）若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围． 17. 与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视.为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为，，，且三人答题互不影响. （1）求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率； （2）若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求的值. 18. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. （1）当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； （2）若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； （3）若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $