精品解析：山东德州市齐河县第一中学艺体部2025-2026学年高一下学期期末数学试题

山东德州市齐河县第一中学艺体部2025-2026学年高一下学期期末数学试题 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1. 设是两个集合，且，则命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，则向量可用向量表示为（ ） A. B. C. D. 4. 坛子中放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球2次，用表示第1次摸到白球，表示第2次摸到白球，则与（ ） A. 是互斥事件 B. 是相互独立事件 C. 是对立事件 D. 不是相互独立事件 5. “幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取10位某小区居民，他们的幸福感指数分别为3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，则这组数据的第80百分位数是（ ） A. 7.5 B. 8 C. 8.5 D. 9 6. 某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知且．给出下列不等式：①；②；③；④．其中，恒成立的不等式的个数为（ ） A. 4； B. 3； C. 2； D. 1． 8. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选对的得 2 分或 3 分或 4 分， 有选错的得 0 分） 9. 下列两个向量，不能作为平面中一组基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，2，2，5，5的平均数与中位数相同 B. 数据8，2，7，3，8，3，7，8，1的众数为8 C. 有甲、乙、丙三种个体按2∶3∶4的比例分层抽样调查，若抽取丙的个体数为20，则样本容量为45 D. 甲组数据的标准差为，乙组数据为3，5，8，10，4，则这两组数据中较稳定的是乙组 11. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数、满足，则的最小值为 D. 设、为实数，若，则的最大值为． 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知函数是定义在上的偶函数，则______. 13. 一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本． 已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为_______． 14. 函数(且)的图象经过定点_____________. 四、解答题（共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数是定义在上的减函数，且，求实数x的取值范围． 16. 设，已知集合，. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围. 17. 已知向量，． （1）求，； （2）若向量与平行，求k的值． 18. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分．假设评定为等级A，B，C的概率分别是，，． （1）若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率； （2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率． 19. 今年11月份宜春中学组织120名青年教职工参加健康知识竞赛，现将120名教工的竞赛成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示： （1）求实数a的值，并求70分是成绩的多少百分位数？ （2）试利用频率分布直方图的组中值估算这次健康知识竞赛的平均成绩； （3）从这次健康知识竞赛成绩落在区间内的教职工中，随机选取2名教工到翰林社区开展“学知识、健体魄”活动．已知这次健康知识竞赛成绩落在区间内的教工中恰有2名男性，求至少有1名男性教工被选中的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东德州市齐河县第一中学艺体部2025-2026学年高一下学期期末数学试题 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1. 设是两个集合，且，则命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可得出答案. 【详解】根据全称量词命题的否定的基本形式可知， 命题“，”的否定为“，”. 故选：D 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域求出的定义域，结合，求出函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 则，故， 所以的定义域为， 又因为，即， 所以函数的定义域为， 故选：C 3. 已知向量，，，则向量可用向量表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面向量基本定理,设.代入坐标,由坐标运算即可求得参数. 【详解】根据平面向量基本定理,可设 代入可得 即,解得 所以 故选:B 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,向量坐标运算及数乘运算的应用,属于基础题. 4. 坛子中放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球2次，用表示第1次摸到白球，表示第2次摸到白球，则与（ ） A. 是互斥事件 B. 是相互独立事件 C. 是对立事件 D. 不是相互独立事件 【答案】D 【解析】 【分析】首先由互斥事件的概念排除A、C，然后通过求解事件和事件发生的概率判断是否独立. 【详解】互斥事件是指在一定条件下不可能同时发生的事件，由此判断和不互斥，则也不对立，故A、C错误； 由题意可得,,,，所以不等于 所以事件与事件不是相互独立事件； 故选：D 5. “幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取10位某小区居民，他们的幸福感指数分别为3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，则这组数据的第80百分位数是（ ） A. 7.5 B. 8 C. 8.5 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】计算得，然后由第8个数据和第9个数据求平均数可得. 【详解】因为， 所以第80百分位数是. 故选：C 6. 某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把汽车在三处遇两次绿灯的事件M分拆成三个互斥事件的和，再利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式计算得解. 【详解】汽车在甲、乙、丙三处遇绿灯的事件分别记为A，B，C，则， 汽车在三处遇两次绿灯的事件M，则，且，，互斥，而事件A，B，C相互独立， 则， 所以汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为. 故选：D 7. 已知且．给出下列不等式：①；②；③；④．其中，恒成立的不等式的个数为（ ） A. 4； B. 3； C. 2； D. 1． 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数的性质可判断①④，由幂函数的性质可判断③，取特值可判断② 【详解】由于指数函数在实数集R上为严格增函数， 因此当且时，，①成立； 由于，时，，因此②不成立； 由于幂函数在实数集R上为严格增函数， 因此当且时，，③成立； 由于指数函数在实数集R上为严格减函数， 因此当且时，，④成立． 综上所述，有3个不等式恒成立， 故选：B． 8. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出在上的取值范围，再利用分段函数的值域进行求解． 【详解】因为在上单调递增， 所以当时，， 若函数的值域为R， 则， 解得． 故选：A. 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选对的得 2 分或 3 分或 4 分， 有选错的得 0 分） 9. 下列两个向量，不能作为平面中一组基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据坐标判断两向量是否共线即可得到答案. 【详解】对于A，，显然不共线，可以作为一组基底，故A错误； 对于B，，，则，两向量共线，不能作为一组基底，故B正确； 对于C，，显然不共线，可以作为一组基底，故C错误； 对于D，，，则，两向量共线，不能作为一组基底，故D正确. 故选：BD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，2，2，5，5的平均数与中位数相同 B. 数据8，2，7，3，8，3，7，8，1的众数为8 C. 有甲、乙、丙三种个体按2∶3∶4的比例分层抽样调查，若抽取丙的个体数为20，则样本容量为45 D. 甲组数据的标准差为，乙组数据为3，5，8，10，4，则这两组数据中较稳定的是乙组 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用平均数与中位数的定义可判断A；利用众数的定义可判断B；利用分层抽样的定义及抽样比求解判断C；利用方差的定义及意义可判断D. 【详解】对于A，平均数为，中位数为2，故A选项错误； 对于B，数据的众数为8，故B选项正确； 对于C，设样本容量为，由题知，解得，即样本容量为45，故C选项正确； 对于D，乙组数据的平均数为，方差为，又，所以两组数据中较稳定的是乙组，故D正确． 故选：BCD． 11. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数、满足，则的最小值为 D. 设、为实数，若，则的最大值为． 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式分别计算各选项. 【详解】A选项：， 当时，，当且仅当，即时取等号； 当时，，即，当且仅当，即时取等号； 综上所述，即无最小值，A选项错误； B选项：时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，B选项正确； C选项：由、，，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，C选项正确； D选项：由，则， 又，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 化简可得，当且仅当时等号成立， 即的最大值为，D选项正确； 故选：BCD. 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知函数是定义在上的偶函数，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】利用分段函数的性质与偶函数的性质即可得解. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以. 故答案为：4. 13. 一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本． 已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为_______． 【答案】120 【解析】 【详解】解：∵用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本． 由B层中每个个体被抽到的概率都为1 12 ，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是1 /12 ， ∴总体中的个体数为10÷1 /12 =120． 14. 函数(且)的图象经过定点_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数的性质即可得解. 【详解】因为， 令，即，则， 所以的图象经过定点. 故答案为：. 四、解答题（共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数是定义在上的减函数，且，求实数x的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性，即可列不等式求解. 【详解】由题意可知， 解得， ∴x的取值范围为， 16. 设，已知集合，. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意首先解一元二次不等式、分式不等式将集合化简，结合并集的概念即可得解. （2）由题意首先得到，进一步将问题转换为，二次不等式恒成立，故，由此即可得解. 【小问1详解】 由题意当时，，， 所以此时. 【小问2详解】 由题意若“”是“”的必要条件，则当且仅当， 而由（1）可知， 因此原问题等价于，二次不等式恒成立， 即在上恒成立，在上恒成立， 故只需即可， 而在上单调递减，所以， 综上所述，的取值范围为. 17. 已知向量，． （1）求，； （2）若向量与平行，求k的值． 【答案】（1），．（2） 【解析】 【分析】（1）由向量的坐标运算法则进行求解； （2）先求出向量与的坐标，再由共线的性质列方程可得k的值． 【详解】解：（1）， ， ． （2）依题意得， ． 向量与平行， ，解得． 【点睛】此题考查了向量的坐标运算，共线向量的性质，属于基础题 18. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分．假设评定为等级A，B，C的概率分别是，，． （1）若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率； （2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件A，B，C，D分别表示“被评定为等级A，B，C，D”，由题意得，事件A，B，C，D两两互斥，根据互斥事件概率加法公式计算即可； （2）设事件，，，表示“”第i次被评定为等级A，B，C，D，．则“两次射击得分之和为8分”为事件，且事件，，互斥，然后分别求出对应的概率,根据互斥事件概率加法公式计算即可. 【小问1详解】 设事件A，B，C，D分别表示“被评定为等级A，B，C，D”． 由题意得，事件A，B，C，D两两互斥，所以． 所以． 因此其得分低于4分的概率为； 【小问2详解】 设事件，，，表示“”第i次被评定为等级A，B，C，D，． 则“两次射击得分之和为8分”为事件， 且事件，，互斥，，， 所以两次射击得分之和为8分的概率. 19. 今年11月份宜春中学组织120名青年教职工参加健康知识竞赛，现将120名教工的竞赛成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示： （1）求实数a的值，并求70分是成绩的多少百分位数？ （2）试利用频率分布直方图的组中值估算这次健康知识竞赛的平均成绩； （3）从这次健康知识竞赛成绩落在区间内的教职工中，随机选取2名教工到翰林社区开展“学知识、健体魄”活动．已知这次健康知识竞赛成绩落在区间内的教工中恰有2名男性，求至少有1名男性教工被选中的概率． 【答案】（1）；70分是成绩的45百分位数 （2）71分 （3）． 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质及百分位数定义计算即可； （2）利用频率分布直方图的平均数求法计算即可； （3）利用古典概型计算即可. 【小问1详解】 ，解得； 根据频率分布直方图可知分前三个区间所占频率为：， 所以70分是成绩的45百分位数； 【小问2详解】 由频率分布直方图可知： 分， 所以这次知识竞赛的平均成绩是71分． 【小问3详解】 这次知识竞赛成绩落在区间内的教工有名． 记“至少有一个男性教工被选中”为事件A， 记这6人为1，2，3，4，5，6号，其中男性教工为1，2号，则样本空间 ，所以． 故至少有1名男性教工被选中的概率为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $