精品解析：河南三门峡市2025-2026学年高二下学期7月期末质量检测数学试题

2025—2026学年度下学期期末质量检测 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 5．考试结束，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知随机变量X服从正态分布，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】X服从正态分布，则正态曲线关于直线对称，所以． 2. 某物体沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该物体在时的瞬时速度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 所以该物体在时的瞬时速度是. 3. 市图书馆古籍修复志愿队有15名男志愿者和12名女志愿者（均已完成基础培训），现要从男、女志愿者中各选1人，组成见习搭档协助修复师完成线装古籍的辅助工作，则不同的搭档组合种数为（ ） A. 27 B. 66 C. 105 D. 180 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】根据分步乘法计数原理可得不同的搭档组合种数为． 4. 随机变量，则等于（ ） A. 3 B. 5 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【详解】，则. 5. 已知变量，具有线性相关关系，由样本数据（，2，3，4，5）得到关于的经验回归方程为，若，，则当时，的预测值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，，得，， 点在回归直线上，故，解得， ， 故当时，． 6. 已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”结合题意得到，，且和，结合贝叶斯概率公式，即可求解. 【详解】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”， 由题意得，，且， 所以. 故选：C. 7. 已知是定义域为的函数的导函数，的图象如图所示，且有3个零点，则下列结论正确的是（ ） A. 在单调递增 B. 有3个极大值点 C. 不可能小于0 D. ，可以同时小于0 【答案】C 【解析】 【分析】AB选项，由图象直接得到函数单调性和极值点情况；C选项，假设推出矛盾；D选项，若，同时小于0，不满足函数的零点个数，D错误 【详解】A选项，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，A错误； B选项，根据导函数图象可知，为极小值点，2为极大值点，B错误； C选项，当时，，时，， 结合A可知，在，上单调递减，在，上单调递增， 假设，则，故上函数无零点， 则至多有2个零点，分别在区间和上， 不满足有3个零点，故假设不成立，不可能小于0，C正确； D选项，若，同时小于0，若， 由函数的单调性和零点存在性定理可知，此时只有2个零点， 区间上各有1个， 若，则只有1个零点，即2， 若，则无零点， 综上，若，同时小于0，无法满足有3个零点，D错误. 8. 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国的半个象棋棋盘（的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”．若马从图中的B处跳到C处，且要求走的步数最少，则马不同的行走路径有（ ） A. 7种 B. 6种 C. 5种 D. 4种 【答案】B 【解析】 【分析】枚举即可得. 【详解】“马”从B处走到C处，最少需要3步，不同的行走路线有（如图所示）： 若第一步为，再从到有2种走法； 若第一步为，再从到有2种走法； 若第一步为，再从到有2种走法， 所以不同的行走路径有种． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，得到如下的列联表： 喜欢该项运动 不喜欢该项运动 总计 男 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110 由公式，算得 附表 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 参照附表，以下结论正确的是（ ） A. 依据小概率值的独立性检验，认为“爱好该项运动与性别有关” B. 依据小概率值的独立性检验，认为“爱好该项运动与性别无关” C. 认为“爱好该项运动与性别无关”，此推断犯错的概率不超过1% D. 认为“爱好该项运动与性别有关”，此推断犯错的概率不超过1% 【答案】BD 【解析】 【分析】对比临界值表，根据独立性检验的思想直接判断即可 【详解】由题意，本题所给的观测值， 则依据小概率值的独立性检验，可认为“爱好该项运动与性别无关”，即 B正确； 又因， 则可认为“爱好该项运动与性别有关”，此推断犯错的概率不超过1%，即D正确. 10. 若展开式中所有二项式系数之和为1024，且，则（ ） A. B. C. 能被200整除 D. 除以7所得的余数为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意得到，结合换元法得到；结合通项公式判断A；根据赋值法即可判断B；结合求导及赋值法判断C；结合赋值法及二项式定理判断D. 【详解】由题意知，，解得. 于是，， 令，则，代入得. 展开式的通项公式为. 对于A：令，则，所以，故，A正确. 对于B：令，则， 令，则， 所以，B错误. 对于C：对两边求导得，， 令，则， 故能被200整除，C正确. 对于D：令，则. ， 因为均能被7整除，所以只需判断的余数即可. 又，所以. 综上，除以7所得的余数为2，D正确. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有两个极值点 B. 直线与的图象有且仅有两个公共点 C. 若有三个零点，则 D. 若，对，都有 【答案】AC 【解析】 【详解】已知，求导得， 选项A：因为，有两个不同的实根， 且在两侧导数符号改变，因此有两个极值点，A选项正确； 选项B：令，得，即，解得， 因此直线与图象有个公共点，B选项错误； 选项C：的极大值为（恒成立）， 极小值为有三个零点等价于极小值小于， 即，结合得，即，C选项正确； 选项D：当时，，所以在上恒成立， 在单调递减，， 当时，，不满足，D选项错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，其中，则的单调增区间为________． 【答案】 【解析】 【分析】求定义域，求导数，利用导数可得答案. 【详解】由，即，可得函数定义域为. 易知， 即在定义域内恒成立， 综上，的单调增区间为. 13. 无人机送货成为一种新的物流配送方式．现在有3部不同无人机可供调用给4个街区送货（如图），若每部无人机只能给1个街区或者两个相邻街区进行送货，所有街区均需配送，则不同分配方案的种数为__________． 【答案】18 【解析】 【分析】先确定所有满足两个区块相邻的分组情况数，再将三个分组分配给3部不同的无人机，通过分步乘法计数原理得到总方案数. 【详解】总共有4个街区，3部不同无人机，每部最多送2个街区、最少送1个街区， 因此分配必然是1部无人机送2个相邻街区，另外2部各送1个街区. 第一步，确定相邻街区组合，根据街区位置，相邻的双街区组合只有，共3种选法； 第二步，将分好的3组（1组双街区+2组单街区）分配给3部不同的无人机，全排列为种； 则不同分配方案的种数为种. 14. 对芯片的性能要求很高，传统的硅基芯片在逐渐接近工艺之后面临的技术限制很多，某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进，试产期每天都需要同步进行产品检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“”或“”，连续生成次，把次的数字相加，若和小于，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式．设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】先由题意得次数字的和服从二项分布，进而得，再由全概率公式得，进而再构造等比数列可得. 【详解】因为连续生成次数字“”或“”，每次生成“”或“”的概率均为, 所以次数字的和服从二项分布, 所以, , 所以第天为智能检测的条件下第天为智能检测的概率：， 第天为人工检测的条件下第天为智能检测的概率：， 由全概率公式得 , 所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，所以 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等． （1）求； （2）求含的项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的性质，列式求解； （2）首先写出展开式的通项公式，根据特征项求，再代回通项公式求系数. 【小问1详解】 由已知得，由二项式系数具有对称性，得． 【小问2详解】 由（1）得所求二项式为， 其展开式的通项为：，其中且， 令，解得， 将代入通项，得含的项为：． 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为和，单调递减区间为． （3）最小值． 【解析】 【分析】（1）先求处函数值得切点，用乘积求导法则算出导函数并代入得切线斜率，再用点斜式整理出切线方程； （2）因式分解导函数，依据恒正只解二次不等式，分别得到导函数正负对应的单调增减区间； （3）先由单调性求出极大、极小值，再因式分解原函数判断函数正负分布，对比得出函数最小值. 【小问1详解】 ，函数定义域为， ，即切点坐标为． ， 切线斜率． 切线方程为， 整理得． 【小问2详解】 由（1）得， 对任意，恒成立， 得，解得或， 得，解得， 的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【小问3详解】 由（2）知极大值为，极小值为， 又， 当或时，，当，时， 当时，取得最小值． 17. 随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，2006年，在国家节能减排的宏观政策指导下，科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升，小张同学对某品牌新能源汽车近8年出售的数量及广告费投入情况进行了统计，具体数据见下表： 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 年销售量/十万辆 3 4 5 6 7 9 10 12 广告费投入/亿元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1 （1）求广告费投入y（亿元）与年销售量x（十万辆）之间的线性回归方程（精确到0.01）； （2）若某人随机在甲、乙两家汽车店购买一辆汽车，如果在甲汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.6；如果在乙汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.8，求这个人购买的是新能源汽车的概率. 参考数据： 附：回归直线中. 【答案】（1） （2）0.7 【解析】 【分析】（1）由数据求得回归方程系数，即可求解； （2）由全概率公式即可求解. 【小问1详解】 ，， 由参考数据 所以 故广告费投入y关于年销售量x的回归方程为. 【小问2详解】 设“在甲汽车店购买汽车”，“在乙汽车店购买汽车”， “购买的是新能源汽车”， ，，， 由全概率公式得，. 18. 已知函数． （1）当时，证明：； （2）若存在两个极值点，，且， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）的定义域为， 当时，， ．令，则， 当时，；当时，． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 所以， 所以． （2）（i）． （ii）由（i）可得，， ， 所以． 要证， 只需证 即证． 令， 只需证， 令，则， 所以，所以在上单调递增， 因为，所以，即．所以． 【解析】 【分析】（1）代入，对求导，判得单调性求出最小值为，从而证得； （2）（i）把存在两个极值点，，且，转化成在上有两个不等正根，利用根的分布即可得的取值范围； （ii）由根与系数的关系得和，代入化简，再令，构造函数证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为，所以， 因为存在两个极值点，，且，所以在上有两个不等正根， 即有两个不等正根，令, 则，即，解得． 故实数的取值范围为 （ii）略 19. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄都位于，得到如下直方图： （1）利用直方图中的数据，求的值，并估计该AI工具用户的平均年龄； （2）已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为s，第二组的人数为n．设，求的分布列及其期望； （3）已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，当t变化时，要使得恰好答对3个问题的概率取到最大值，求此时的取值． 【答案】（1）， （2） 0 1 2 3 4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的特征求即可，利用平均数的求解公式求解即可； （2）根据题意得到各组抽取的人数，进而可知的所有可能取值为0，1，2，3，4，结合组合数求出对应概率，列出分布列并得到期望即可； （3）由题可得恰好答对3个问题的概率为，设，求出，进而分析得出最值及的值． 【小问1详解】 根据频率直方图的性质可得，解得, 利用中点值可估计平均年龄为； 【小问2详解】 由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有（人）， 年龄在第二组内有 人，年龄在第三组内有 人， 年龄在第四组内有 人，年龄在第五组内有 人， 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 所以； 【小问3详解】 从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率为， 设，由，且得， 所以， 显然，， 令， 当时，有，，即， 此时； 当时，有，，即， 此时，即，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期期末质量检测 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 5．考试结束，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知随机变量X服从正态分布，则（ ） A. B. C. D. 2. 某物体沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该物体在时的瞬时速度是（ ） A. B. C. D. 3. 市图书馆古籍修复志愿队有15名男志愿者和12名女志愿者（均已完成基础培训），现要从男、女志愿者中各选1人，组成见习搭档协助修复师完成线装古籍的辅助工作，则不同的搭档组合种数为（ ） A. 27 B. 66 C. 105 D. 180 4. 随机变量，则等于（ ） A. 3 B. 5 C. 12 D. 15 5. 已知变量，具有线性相关关系，由样本数据（，2，3，4，5）得到关于的经验回归方程为，若，，则当时，的预测值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义域为的函数的导函数，的图象如图所示，且有3个零点，则下列结论正确的是（ ） A. 在单调递增 B. 有3个极大值点 C. 不可能小于0 D. ，可以同时小于0 8. 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国的半个象棋棋盘（的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”．若马从图中的B处跳到C处，且要求走的步数最少，则马不同的行走路径有（ ） A. 7种 B. 6种 C. 5种 D. 4种 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，得到如下的列联表： 喜欢该项运动 不喜欢该项运动 总计 男 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110 由公式，算得 附表 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 参照附表，以下结论正确的是（ ） A. 依据小概率值的独立性检验，认为“爱好该项运动与性别有关” B. 依据小概率值的独立性检验，认为“爱好该项运动与性别无关” C. 认为“爱好该项运动与性别无关”，此推断犯错的概率不超过1% D. 认为“爱好该项运动与性别有关”，此推断犯错的概率不超过1% 10. 若展开式中所有二项式系数之和为1024，且，则（ ） A. B. C. 能被200整除 D. 除以7所得的余数为2 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有两个极值点 B. 直线与的图象有且仅有两个公共点 C. 若有三个零点，则 D. 若，对，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，其中，则的单调增区间为________． 13. 无人机送货成为一种新的物流配送方式．现在有3部不同无人机可供调用给4个街区送货（如图），若每部无人机只能给1个街区或者两个相邻街区进行送货，所有街区均需配送，则不同分配方案的种数为__________． 14. 对芯片的性能要求很高，传统的硅基芯片在逐渐接近工艺之后面临的技术限制很多，某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进，试产期每天都需要同步进行产品检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“”或“”，连续生成次，把次的数字相加，若和小于，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式．设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，则_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等． （1）求； （2）求含的项． 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）求的最小值． 17. 随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，2006年，在国家节能减排的宏观政策指导下，科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升，小张同学对某品牌新能源汽车近8年出售的数量及广告费投入情况进行了统计，具体数据见下表： 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 年销售量/十万辆 3 4 5 6 7 9 10 12 广告费投入/亿元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1 （1）求广告费投入y（亿元）与年销售量x（十万辆）之间的线性回归方程（精确到0.01）； （2）若某人随机在甲、乙两家汽车店购买一辆汽车，如果在甲汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.6；如果在乙汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.8，求这个人购买的是新能源汽车的概率. 参考数据： 附：回归直线中. 18. 已知函数． （1）当时，证明：； （2）若存在两个极值点，，且， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 19. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄都位于，得到如下直方图： （1）利用直方图中的数据，求的值，并估计该AI工具用户的平均年龄； （2）已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为s，第二组的人数为n．设，求的分布列及其期望； （3）已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，当t变化时，要使得恰好答对3个问题的概率取到最大值，求此时的取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $