精品解析：广西河池市2025-2026学年下学期高二校内期末学业水平质量检测数学试题

2026年春季学期高二校内期末学业水平质量检测 数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】抛物线的准线方程为. 2. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由函数的图象在点处的切线方程是， 得切线斜率为，则. 3. 已知数列是等差数列，且，，则（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】在等差数列中，，， 则，所以. 4. 已知函数在处取得极小值，则（   ） A. B. C. 或 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，根据已知得出方程，求解得出的值.代入检验，即可得出； 【详解】由已知. 又函数在处取得极小值， 所以有，解得或. 当时，有. 解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增； 解可得，，所以在上单调递减. 所以，函数在处取得极小值，满足条件； 当时，有. 解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增； 解可得，，所以在上单调递减. 所以，函数在处取得极大值，不满足条件，舍去. 综上，. 5. 在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】表示出，，后，利用空间向量坐标运算及垂直性质计算即可得. 【详解】，， ，， 由题意可得，解得. 6. 北京冬奥会奥运村有智能餐厅和人工餐厅各一个，某运动员连续两天均在奥运村用餐且每一天均在同一个餐厅用餐.他第一天等可能地随机选择其中一个餐厅用餐．若他第一天去智能餐厅，那么第二天去智能餐厅的概率为0.6；如果他第一天去人工餐厅，那么第二天去人工餐厅的概率为0.3．则该运动员第二天去智能餐厅用餐的概率为（ ） A. 0.45 B. 0.65 C. 0.75 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【详解】设“第1天去智能餐厅用餐”，“第1天去人工餐厅用餐”， “第2天去智能餐厅用餐”，“第2天去人工餐厅用餐”， 则，且与互斥，，且与互斥， 根据题意得，，，， 由全概率公式可知. 7. 现有甲、乙、丙、丁4名志愿者到、、三个村进行服务活动，要求每名志愿者只能去一个村，每村都要有志愿者，其中甲志愿者不去村，则一共有（ ）种安排方法 A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】根据分组分配问题，对特殊元素特殊考虑即可． 【详解】甲、乙、丙、丁4名志愿者到、、三个村的分组方法只有1，1，2； 分类讨论： 一个人去村：甲不去村，故村有种取法，其他三人分配两个村，按1，2分，有种排法，根据分步乘法计数原理可得种； 两个人去村：甲不去村，故村有种取法，其他两人分配两个村，按1，1分，有种排法，根据分步乘法计数原理可得种； 根据分类加法计数原理可知一共种安排方法． 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知内切圆的半径，可利用焦点三角形面积公式建立等式，得到关于的表达式，根据余弦定理建立的齐次式，进而计算离心率． 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由直线，整理可得，恒过点；故直线过点； 由点到直线的距离公式可知到的距离为； 则（为内切圆半径）， 因为点在右支上，所以， 则； 又因为；所以， 解得，故； 故，解得； 因为点在右支上，斜率为负，故，故， 代入直线方程可得，解得； 因为在双曲线上，所以代入可得， 由整理可得， 由；则； 则原式化简可得， 两边同乘可得， 约分可得 即，整理得； 即，化简得， 化简得，解得或或； 由题意得，则符合题意，故A正确. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. 直线（）恒过定点 B. 直线的倾斜角为 C. 圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 D. 圆被直线截得的弦长为2，则或 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，分离参数联立方程求定点判断对错； 选项B，化斜截式求斜率再算出倾斜角； 选项C求圆心到直线距离，结合半径分析平行线与圆交点个数； 选项D利用弦长公式求出圆心到直线距离，再由点到直线距离公式解方程得值． 【详解】对于A，由，， 联立，解得，， 所以定点为，不是，A错误； 对于B，由，得， 斜率，倾斜角，，得，B正确； 对于C，圆，圆心，半径， 圆心到直线距离， 到直线距离为的点，即与已知直线平行、距离1的两条平行线与圆交点： 一条在圆心外侧，距圆心，无交点； 一条朝向圆心，距圆心，过圆心，与圆交于个点； 因此圆上只有2个点满足条件，C正确； 对于D，圆，圆心，半径，弦长， 弦长公式：，即， 圆心到直线距离， 解得或， D正确． 10. 下列说法正确的有（ ） A. ， B. 设随机变量，若，则 C. 在线性回归模型中，决定系数越大，模型对数据的拟合效果越好 D. 甲、乙、丙、丁、戊5个人到5个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“5个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：理解并记忆期望，的性质；对于B：掌握标准正态分布密度曲线的对称性及其概率计算；对于C：理解决定系数的统计意义；对于D：理解“甲独自去一个景点”这一条件的含义，正确计算满足条件的样本空间大小，利用条件概率求解即可. 【详解】对于A： 因，，则，，A错误； 对于B：由标准正态分布密度曲线的对称性，，则，所以，B正确； 对于C：的值越接近1，表示模型的拟合效果越好，的值越接近0，表示模型的拟合效果越差，因此，决定系数越大，模型对数据的拟合效果越好； 对于D：，，，D正确. 11. 如图，在棱长为3的正方体中，点为线段上的一个动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 不存在点，使平面 C. 若，则点到直线的距离为 D. 若，则过点，，三点的平面截正方体所得截面的周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等体积转换法得到三棱锥体积不变，判断A选项；找正方体顶点，由线面垂直证明线线垂直，然后得到线面垂直，判断B选项；建立空间直角坐标系，由向量的投影计算出点到线的距离，判断C选项；利用平行作出截面，由平行得到交点位置，即可求截面的周长，判断D选项. 【详解】因为，又因为点在线段上运动， 且在正方体中，平面， 所以动点到平面的距离不变， 故不变，A选项正确； 当点与点重合时，因为平面，平面，所以， 因为四边形是正方形，所以， 因为，平面， 所以平面，又因为平面, 所以，同理可证明， 因为，平面，所以平面， 因此存在点，使平面，B 选项错误； 以正方体顶点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以在的投影， 所以点到直线的距离，C选项正确； 连接交于点，过点作，分别交于点， 连接和， 在正方体中，所以， 因为，所以过点，，三点的平面截正方体所得截面为四边形， 因为，所以， 所以， 所以，， 所以四边形的周长为，D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，的系数为___.（用数字作答） 【答案】40 【解析】 【分析】根据所给的二项式写出通项，要求自变量的二次方的系数，只要使得指数等于2，得出式子中的系数的表示式，得到结果． 【详解】∵（2x+1）5的通项式式是C5r（2x）5﹣r＝∁5r25﹣rx5﹣r 当5﹣r＝2时，即r＝3时，得到含有x2的项， ∴它的系数是C5322＝40 故答案为40． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是写出二项式的通项. 13. 已知函数，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【详解】函数的导数，因为，所以， 即函数在上单调递增， 因为，所以，即， 即，解得. 不等式的解集为. 14. 记上的可导函数的导函数为，满足（）的数列称为函数的“牛顿数列”．若，数列为函数的“牛顿数列”，且，，数列的前项和为，则满足的所有的和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用所给定义计算可得数列是以为首项，为公比的等比数列，再利用等比数列定义及其求和公式计算可得，解出即可得解. 【详解】，则， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 故，则，， 则， 令，解得，即可为， 故满足的所有的和为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某团队为探究大语言模型参数量与模型性能之间的关系，训练了6个不同参数量的模型，并在同一验证集上评估性能得分，得到如下统计数据： 参数量（亿） 2 4 6 8 10 12 性能得分（分） 2 3 4 4 5 6 （1）求相关系数（保留3位小数），并说明与的线性相关程度； （2）该团队比较了100次实验的实际性能与预测性能，得到“高效”（实际得分预测得分）和“低效”（实际得分预测得分）两种效率组别．同时，他们记录了每次实验所用的训练数据质量等级（优质/普通），得到如下列联表： 训练数据质量等级 训练效率 总计 高效 低效 优质 40 20 60 普通 20 20 40 总计 60 40 100 请依据小概率值的独立性检验，分析训练效率是否与训练数据质量有关（计算结果保留3位小数）． 附：，，，，． ． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）0.981，与的线性相关程度高． （2）认为训练效率与训练数据质量无关． 【解析】 【小问1详解】 由题意可得，，， ， 又因为，，，所以根据公式计算相关系数可得： ， 相关系数接近于1，说明与的线性相关程度高． 【小问2详解】 零假设：训练效率与训练数据质量无关， 根据列联表可得：，，，，， 所以卡方统计量为， 因为对应的临界值为，，所以接受， 依据的独立性检验，认为训练效率与训练数据质量无关． 16. 已知满足，，为等比数列，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由对任意正整数成立，可知是首项、公差的等差数列， 由等差数列通项公式得：； 设等比数列公比为，已知，故， 代入得：， 等比数列公比，两边同除以，可得， 即，解得， 因此． 【小问2详解】 由题意得， ① ② 得： ． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，与交于点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）因为底面是菱形，，， 所以为等边三角形，，，， 又，为中点，故， ， 已知，则， 则，故，即， 因为，，平面， 所以平面． （2）． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，两两垂直，以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系． 如图所示，则，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，得， 设直线与平面的夹角为， 则， 所以，， 直线与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知． （1）讨论函数的单调性并求极值； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，在单调递增，无极值；当时，在单调递减，在单调递增，，无极大值. （2） 【解析】 【分析】（1）由函数解析式写出函数定义域，由函数的导数，讨论的取值，由导数得到函数的单调性，然后求得函数的极值； （2）由分离常数法得的不等式，构造函数，由函数的导数得到函数的单调性，然后求得函数的最小值，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 函数定义域为， 由，得． ①当时，，在单调递增，无极值点； ②当时，由得，令得， 在单调递增， 令得，在单调递减， 当时有极小值，， 无极大值 【小问2详解】 由得，，即． 令，只需． ，再令，， 时，，在单调递增． ，即，在单调递增． ， 故 19. 已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点，为上顶点，为右焦点，为等腰直角三角形． （1）求椭圆的方程； （2）若过点的直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为． （ⅰ）求证：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）设，，， 当直线斜率为时，直线与轴重合，，，三点共线， 直线恒过定点，定点在轴上， 当直线斜率不为时，设直线方程为， 依题意， 得，， ，， 所以，即得直线的方程为：①． 由图形的对称性可知，若动直线过定点，则定点一定在轴上， 所以令代入①，可得 ， 由（*）得， 所以得， 所以直线恒过定点． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的性质列出方程解得参数即可写出椭圆方程； （2）（ⅰ）设交点坐标，讨论直线斜率，写出直线方程，联立方程组整理得到一元二次方程，由韦达定理得到交点坐标的关系式，从而写出直线的方程，由直线方程得到直线的定点坐标； （ⅱ）由（ⅰ）得并通过（ⅰ）中结论化简，通过换元法结合基本不等式求得面积的最大值. 【小问1详解】 依题意可知， 解得，， 椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ⅱ）由（ⅰ）可知直线恒过定点， 所以， 将（*）代入得， 设，则． 因为，所以， 所以，当且仅当时取面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期高二校内期末学业水平质量检测 数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列是等差数列，且，，则（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 4. 已知函数在处取得极小值，则（   ） A. B. C. 或 D. 3 5. 在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 北京冬奥会奥运村有智能餐厅和人工餐厅各一个，某运动员连续两天均在奥运村用餐且每一天均在同一个餐厅用餐.他第一天等可能地随机选择其中一个餐厅用餐．若他第一天去智能餐厅，那么第二天去智能餐厅的概率为0.6；如果他第一天去人工餐厅，那么第二天去人工餐厅的概率为0.3．则该运动员第二天去智能餐厅用餐的概率为（ ） A. 0.45 B. 0.65 C. 0.75 D. 0.8 7. 现有甲、乙、丙、丁4名志愿者到、、三个村进行服务活动，要求每名志愿者只能去一个村，每村都要有志愿者，其中甲志愿者不去村，则一共有（ ）种安排方法 A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. 直线（）恒过定点 B. 直线的倾斜角为 C. 圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 D. 圆被直线截得的弦长为2，则或 10. 下列说法正确的有（ ） A. ， B. 设随机变量，若，则 C. 在线性回归模型中，决定系数越大，模型对数据的拟合效果越好 D. 甲、乙、丙、丁、戊5个人到5个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“5个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则 11. 如图，在棱长为3的正方体中，点为线段上的一个动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 不存在点，使平面 C. 若，则点到直线的距离为 D. 若，则过点，，三点的平面截正方体所得截面的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，的系数为___.（用数字作答） 13. 已知函数，则不等式的解集为___________． 14. 记上的可导函数的导函数为，满足（）的数列称为函数的“牛顿数列”．若，数列为函数的“牛顿数列”，且，，数列的前项和为，则满足的所有的和为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某团队为探究大语言模型参数量与模型性能之间的关系，训练了6个不同参数量的模型，并在同一验证集上评估性能得分，得到如下统计数据： 参数量（亿） 2 4 6 8 10 12 性能得分（分） 2 3 4 4 5 6 （1）求相关系数（保留3位小数），并说明与的线性相关程度； （2）该团队比较了100次实验的实际性能与预测性能，得到“高效”（实际得分预测得分）和“低效”（实际得分预测得分）两种效率组别．同时，他们记录了每次实验所用的训练数据质量等级（优质/普通），得到如下列联表： 训练数据质量等级 训练效率 总计 高效 低效 优质 40 20 60 普通 20 20 40 总计 60 40 100 请依据小概率值的独立性检验，分析训练效率是否与训练数据质量有关（计算结果保留3位小数）． 附：，，，，． ． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知满足，，为等比数列，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，与交于点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的夹角的余弦值． 18. 已知． （1）讨论函数的单调性并求极值； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点，为上顶点，为右焦点，为等腰直角三角形． （1）求椭圆的方程； （2）若过点的直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为． （ⅰ）求证：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $