精品解析：江西定南中学2025-2026学年下学期期中考试高二年级数学试卷

江西省定南中学2025-2026学年度下学期期中考试 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟，试卷总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 数列的第8项为（ ） A. B. C. D. 2. 若一个质点在时间段内相应的平均速度为，则该质点在时的瞬时速度是（　　） A. B. 3 C. 6 D. 3. 已知等比数列满足 ，则（     ） A. 18 B. 27 C. 54 D. 81 4. 在数列中，，求这个数列从第100项到第200项的和的值为（ ）. A. 30303 B. 30300 C. 30600 D. 30603 5. 已知数列，通项公式为，那么的最小值是( ). A. B. C. D. 6. 已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列与等差数列，满足，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列叙述不正确的有（    ） A. 数列与是同一数列 B. 数列的通项公式是-1 C. 是常数列 D. 一个等比数列的首项是2，第2项与第3项的和是12．该数列的第8项的值为-4374或256． 10. 下列命题正确的有（     ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. C. 已知函数，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 11. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列是等差数列 B. C. 数列的前项的和为 D. 的前项的和小于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列中， 且，则这个数列的第10项为_______. 13. 函数的单调递增区间是________. 14. 已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知，. （1）求数列的通项公式; （2）求数列的前项和. 16. 已知数列是等比数列，，，数列满足：． （1）求，的通项公式； （2）数列求数列的前项和． 17. 已知函数，点在曲线上． （1）求的值； （2）求曲线在点处的切线方程； （3）求曲线过点的切线方程． 18. 设，已知函数；若函数曲线在点处的切线斜率为， （1）求实数的值，并求该切线方程； （2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围. 19. 已知数列的前项和为，且，数列为递增的等比数列，，. （1）求数列和的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求； （3）设，，求使得对任意，均有成立的最大整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省定南中学2025-2026学年度下学期期中考试 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟，试卷总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 数列的第8项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】数列 分子：，通项为； 分母：，通项为； 故数列通项为，第8项：. 2. 若一个质点在时间段内相应的平均速度为，则该质点在时的瞬时速度是（　　） A. B. 3 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，该质点在时的瞬时速度为. 3. 已知等比数列满足 ，则（     ） A. 18 B. 27 C. 54 D. 81 【答案】C 【解析】 【详解】数列为等比数列， 则. 4. 在数列中，，求这个数列从第100项到第200项的和的值为（ ）. A. 30303 B. 30300 C. 30600 D. 30603 【答案】D 【解析】 【分析】根据通项公式判断数列为等差数列并求出其首项和公差，然后求出数列的前n项和表达式，由可代入相应数值求得. 【详解】因为且， 所以数列是以5为首项，2为公差的等差数列， 设数列的前n项和为，则， . 故选：D 5. 已知数列，通项公式为，那么的最小值是( ). A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出首项，再利用等差数列前项和公式，求出关于的二次函数表达式 ，根据二次函数的性质求出的值，最后确定答案即可. 【详解】因为，则 ， 则 ， 所以当时，取得最小值，即. 6. 已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】令，则， 所以， 因为， ， 所以的图象在处的切线方程为，即． 7. 已知等比数列与等差数列，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助等比数列与等差数列性质计算可得、，再计算余弦即可得解. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，则， 设等差数列的公差为， 由，得，则， 所以． 8. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可构造函数，将转化为的函数值间的大小比较，根据导数研究的单调性，进而可得关于的不等式，解不等式即可. 【详解】设，则. 因为，所以，即，所以在上单调递减. 不等式等价于不等式，即. 因为，所以，所以. 因为在上单调递减，所以，解得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列叙述不正确的有（    ） A. 数列与是同一数列 B. 数列的通项公式是-1 C. 是常数列 D. 一个等比数列的首项是2，第2项与第3项的和是12．该数列的第8项的值为-4374或256． 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数列具有顺序性判断A；利用等差数列的通项公式判断B；根据常数列的概念判断C；根据已知条件列方程求出等比数列的公比，即可求出该数列的第8项判断D. 【详解】因为数列具有顺序性，所以数列与不是同一数列，A错误； 数列的通项公式是，B正确； 因为常数列是各项都相等的数列，所以不是常数列，C错误； 设等比数列的首项为，公比为，则，， 由题意可得，解得或，当时，， 当时，，D正确. 故选：AC 10. 下列命题正确的有（     ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. C. 已知函数，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据导数的定义结合 分析判断即可，对于B，利用导数的运算法则求解判断，对于C，先求出导函数，再由解方程求解判断，先求出，然后令，可求出进行判断. 【详解】对于A，因为函数在上可导，，则 ，所以 ， 所以 ，所以A正确， 对于B，，所以B错误， 对于C，由，得，则由，得，解得，所以C正确； 对于D，由，得， 所以，解得，所以D正确. 11. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列是等差数列 B. C. 数列的前项的和为 D. 的前项的和小于 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由前项和，利用与求出通项，再逐一验证各选项：A 判断数列类型，B 比较​与​，C 求的前n项和，D 用裂项相消法求的前项和并判断范围，最终确定正确选项. 【详解】对于A：根据题意，，当时，， 所以满足，所以数列是等差数列，正确； 对于B：，显然，不正确； 对于C：因为，所以，所以其前项的和为，正确； 对于D：因为，所以， 所以的前项的和为，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列中，且，则这个数列的第10项为_______. 【答案】19 【解析】 【详解】，且， 数列是以为首项，以为公差的等差数列， 通项公式为， . 13. 函数的单调递增区间是________. 【答案】 【解析】 【分析】 求出函数的导数，令即可求出. 【详解】，， 令，即，解得， 的单调递增区间是. 故答案为：. 14. 已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______. 【答案】## 【解析】 【分析】先分别设切点求导数得出切线斜率进而得出切线方程，由题意对照直线方程分别求出即得. 【详解】设直线 与曲线的切点为 ， 由求导得，则切线方程为 依题意，其与直线为同一条直线， 故 ,解得; 设直线l： 与曲线 的切点为 由求导得 则切线方程为 ， 依题意，其与直线为同一条直线， 故, 由②解得， 代入①，可得. 所以 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知，. （1）求数列的通项公式; （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列定义判断数列，根据首项，公差求数列的通项公式即可； （2）根据等差数列求和公式求出的前项和即可. 【小问1详解】 因为，，又， 由等差数列的定义知是首项为，公差为的等差数列， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 由等差数列的求和公式可得：，所以 16. 已知数列是等比数列，，，数列满足：． （1）求，的通项公式； （2）数列求数列的前项和． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】(1)根据等差数列与等比数列的基本量运算即可求得数列的通项公式； (2)利用裂项相消法即可求得. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，则， 于是 ； 则 ， 故的通项公式为，的通项公式为. 【小问2详解】 由题可知 数列的前项和为 . 17. 已知函数，点在曲线上． （1）求的值； （2）求曲线在点处的切线方程； （3）求曲线过点的切线方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）已知点在曲线上，将点的坐标代入函数表达式即可求出的值； （2）对函数求导，得到切线的斜率，利用点斜式求切线方程； （3）设出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式求出切线方程，代入已知点的坐标求出切点，进而求出切线方程. 【小问1详解】 因为点在曲线上， 所以，解得． 【小问2详解】 由， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 【小问3详解】 设切点坐标为，则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 将点的坐标代入切线方程， 可得，解得或． 当时，所求切线方程为； 当时，所求切线方程为． 综上所述，曲线过点的切线方程为或． 18. 设，已知函数；若函数曲线在点处的切线斜率为， （1）求实数的值，并求该切线方程； （2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），切线方程为； （2）. 【解析】 【分析】（1）由切线斜率等于导数值，直接求导代入解得，再写出切线方程； （2）将不等式转化为函数单调性，构造 ，则条件等价于  在上严格递减，求导得，要使且不恒为零，只需 ，因此可求的取值范围. 【小问1详解】 由，得， 已知函数在点处切线斜率为，即，所以， 此时，所以切线方程为，即. 【小问2详解】 ，对任意， 不等式等价于. 构造函数，则在上严格递减. 求导得. 在上，，且最大值为，最小值为. 要使严格递减，需恒成立且不恒为0，即，. 当时，，且仅在处为零，其余点， 故严格递减，满足条件； 当时，恒成立，也满足； 当时，，则在附近递增，存在两点使不等式不成立. 因此， 的取值范围是 . 19. 已知数列的前项和为，且，数列为递增的等比数列，，. （1）求数列和的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求； （3）设，，求使得对任意，均有成立的最大整数. 【答案】（1）， （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）讨论当和当时，根据递推公式可求出数列通项公式，验证当是否成立，根据等比数列的定义可求出通项公式； （2）由（1）可得到，再根据错位相减法即可求出； （3）由（1）可得，根据裂项相消法可求出，再根据不等式恒成立即可求解. 【小问1详解】 当时， 当时， 上式中当时，，所以数列的通项公式为 设的公比为，，所以， 数列为递增的等比数列，所以 【小问2详解】 ① ② ①-②，得 ， 所以 【小问3详解】 由（1）可得 则 显然随的增大而增大，故 于是若要恒成立，只需，解得， 所以存在最大的整数满足题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $