陕西商洛市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

陕西省商洛市2025-2026学年第二学期期末考试 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．椭圆的短轴长为 A． B． C． D． 3．已知向量，，且，则向量与的夹角为 A． B． C． D． 4．某校学生会共有6名女干部和4名男干部，现从中随机选取3名干部组成“校园文明督察队”，则该督察队中至少含有1名男干部的概率为 A． B． C． D． 5．若函数的最大值为，则的最小正周期为 A． B． C． D． 6．已知事件与相互独立，的对立事件为，当时，，则 A．0.3 B．0.15 C．0.85 D．0.7 7．已知函数若，则的取值范围为 A． B． C． D． 8．已知抛物线：的焦点为，点在的准线上，且线段与交于点．若，则直线的斜率为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则 A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 10．一质点的运动方程为，其中是时间（单位：），是位移（单位：），若该质点在时的瞬时速度为，瞬时加速度为，则 A． B． C． D． 11．在棱长为4的正方体中，点在棱上，且，是底面内的动点，则 A．的最小值是 B．正方体内切球的表面积为 C．当时，的最小值为 D．当取得最小值时，四棱锥的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若的展开式的常数项为54，则 ▲ ． 13．已知双曲线：的右焦点为，是的一条渐近线上的点．若的最小值为2，且的实轴长为6，则的离心率为 ▲ ． 14．对于数列，，若（为常数），则称是的“和数列”．已知为等差数列，，，且是的“和数列”，则 ▲ ，数列的前项和 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某校研究性学习小组随机抽取了该校120名学生，调查了他们每天的睡眠时长（单位：小时）与课堂注意力状况，整理数据后得到下表： 单位：人 课堂注意力 睡眠时长 在内 在内 在内 集中 一般 分散 （1）以频率估计概率，分别估计该校学生睡眠时长在、内的概率； （2）若将注意力集中和注意力一般合称为“注意力正常”，将注意力分散称为“注意力不集中”，根据所给数据，完成下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断课堂注意力状况与睡眠时长有关？ 单位：人 课堂注意力状况 睡眠时长 合计 少于8小时 不少于8小时 正常 不集中 合计 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（15分） 设等差数列的前项和为，已知，． （1）求的通项公式； （2）记，数列的前项和为，证明：． 17．（15分） 在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，且，，． （1）求四棱锥的体积． （2）若为的中点，点满足，证明：平面． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分） 水产实验室对甲、乙两种鱼苗饲料进行两轮标准化培育测试：鱼苗饲料需依次通过适口性筛选、养殖存活率实测，两轮测试独立进行，任意一轮不达标则淘汰，两轮测试全部通过则该种鱼苗饲料测试合格．两种鱼苗饲料各阶段的通过率如下表所示（其中）： 适口性筛选通过率 养殖存活率实测通过率 甲 乙 （1）试问甲、乙两种鱼苗饲料哪一种测试合格的概率更高？ （2）若，记这两种鱼苗饲料中测试合格的饲料种数为，求的分布列与数学期望． 19．（17分） （1）证明：． （2）已知函数． （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）若，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学参考答案 1．C 2．B 3．D 4．C 5．D 6．D 7．A 8．A 9．BCD 10．BC 12．3 13． 14．； 15．解：（1）由表知睡眠时长在内的频率为， 2分 睡眠时长在内的频率为， 4分 故该校学生睡眠时长在、内的概率估计值分别为0.25和0.75． 5分 （2）列联表如下： 单位：人 课堂注意力状况 睡眠时长 合计 少于8小时 不少于8小时 正常 64 36 100 不集中 16 4 20 合计 80 40 120 8分 零假设为：课堂注意力状况与睡眠时长无关． 9分 ，12分 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为课堂注意力状况与睡眠时长无关． 13分 16．（1）解：因为，所以． 3分 又，所以公差， 5分 所以． 7分 （2）证明：由（1）知， 10分 所以 13分 ． 15分 17．（1）解：因为梯形的面积， 1分 所以四棱锥的体积． 2分 （2）证明：过点作，交于点，连接．因为，所以．因为为的中点，，所以． 4分 又，所以四边形是平行四边形，则． 因为平面，平面，所以平面， 6分 同理可证平面． 7分 因为，所以平面平面． 因为平面，所以平面． 9分 （3）解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，． 10分 设平面的法向量为． 由得 取，则． 12分 易知平面的一个法向量为， 13分 所以， 14分 故平面与平面夹角的余弦值为． 15分 18．解：（1）设甲、乙两种鱼苗饲料测试合格的事件分别为，， ， 2分 ， 4分 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 6分 因为， 7分 所以，即甲种鱼苗饲料测试合格的概率更高． 8分 （2）若，则由（1）可得． 9分 由题意可知的可能取值为0，1，2． ， 11分 ， 13分 ， 15分 所以的分布列为 16分 所以． 17分 19．（1）证明：令，则． 1分 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 3分 则，所以，即． 4分 （2）解：（i）因为， 5分 ，， 6分 所以曲线在点处的切线方程为． 7分 （ii）令，则，． 8分 当时，， 9分 所以是减函数，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，符合题意． 10分 当时，． 当时，，因为函数在上单调递减，所以， 所以，． 12分 当时，，所以在上单调递减， 因为，所以当时，， 13分 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，符合题意． 14分 当时，，存在，使得当时，， 所以在上单调递增． 15分 因为，所以当时，，所以在上单调递增． 因为，所以当时，，不符合题意． 16分 综上，的取值范围为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $