专题03 集合的基本运算（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“概念-性质-运算-应用”为主线，系统构建集合运算方法体系，通过12类题型实现从基础到综合的逻辑递进，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|6题型/6典例|定义法、性质应用、数轴/Venn图工具|交集→并集→补集概念生成，符号与图形语言转化| |参数问题|4题型/4典例|集合关系转化、分类讨论、端点验证|运算结果逆向推导，空集特殊性处理| |综合应用|5题型/5典例|德摩根定律、容斥定理、补集思想|混合运算→实际应用→新定义拓展，知识迁移与创新|

专题03 集合的基本运算 （题型突破·举一反三） 题型01 交集的概念与运算 1 题型02 由交集运算结果求集合或参数 3 题型03 并集的概念及运算 5 题型04 由并集的结果求集合或参数 6 题型05 补集的概念及运算 8 题型06 根据补集结果求集合或参数 10 题型07 集合的交、并、补混合运算 12 题型08 集合混合运算中的求参问题 14 题型09 Venn图为载体的集合运算题 16 题型10 补集思想的应用 19 题型11 集合实际应用中的元素个数问题 21 题型12 集合运算中的新定义问题 24 ▌题型01 交集的概念与运算 1.交集的概念 知识点 自然语言 符号语言 图形语言(Venn图) 交集 对于两个集合、，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合，叫做集合与的交集.记作，读作“A交B”. 2.交集的性质 A ， B 3.求交集的基本思路 首先要识别所给集合，其次要化简集合，使集合中的元素明朗化，最后再依据交集的定义写出结果，有时要借助于Venn图或数轴写出交集．借助于数轴时要注意数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集． 【典例1】（宁夏石嘴山市2025-2026学年高二下学期7月期末）已知集合{是小于5的正整数}，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，所以. 【变式1-1】（贵州遵义市2025-2026学年高二下学期7月期末数学试卷）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，所以. 【变式1-2】（25-26高二下·山东德州·期末）已知集合，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【详解】因为， 所以，即中元素个数为5. 【变式1-3】（四川德阳市2025-2026学年高二下学期期末练习数学试题）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合，，则 ▌题型02 由交集运算结果求集合或参数 1．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集； A∩B=等价于A与B没有公共元素. 2．由交集运算结果求参数的思路 (1)将交集运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系． (2)将交集运算关系转化为方程或不等式是否有解，或解集为怎样的范围的问题． (3)解方程(组)或解不等式(组)来确定参数的值或范围，解题时，需注意两点： (4)对于涉及A∩B＝B的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性． 【注意】由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性，在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件． 【典例2】（25-26高二下·山西阳泉·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据交集的定义求解即可； （2）分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，又， ． （2）由， 若，则，解得； 若，则或，解得. 综上所述，实数的取值范围为． 【变式2-1】（2026·云南·三模）已知集合，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以或， 当时，与集合元素的互异性矛盾； 当时，可得，此时,满足 故. 【变式2-2】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，，对实数的取值范围进行分类讨论，求出集合，根据集合的包含关系验证可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则，且集合或，. 当时，则，合乎题意； 当时，则， 因为，则，解得； 当时，， 因为，则，解得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【变式2-3】已知集合.，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】对是否为空集进行分类讨论，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】若，则， 当时，，即； 当时， ，得， 则实数m的取值范围为. ▌题型03 并集的概念及运算 1.并集的概念 知识点 自然语言 符号语言 图形语言(Venn图) 并集 对于两个集合、，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做集合与的并集. 记作，读作“A并B”. 2．并集的性质 ， 【典例3】（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以 【变式3-1】（25-26高一下·贵州铜仁·期末）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的定义求解. 【详解】， . 【变式3-2】（25-26高二下·广西来宾·期末）设集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，则． 【变式3-3】（25-26高二下·浙江嘉兴·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 所以，即 ▌题型04 由并集的结果求集合或参数 1．集合关系的转化 A∪B=A等价于B是A的子集. 2．由并集运算结果求参数的思路 (1)将并集运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系． (2)将并集运算关系转化为方程或不等式是否有解，或解集为怎样的范围的问题． (3)解方程(组)或解不等式(组)来确定参数的值或范围，解题时，需注意两点： (4)对于涉及A∪B=A的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性． 【注意】由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性，在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件． 【典例4-1】集合或.若，求的取值范围； 【答案】 【详解】集合或， 由，得，解得， 所以的取值范围为. 【典例4-2】（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由并集性质得，分类讨论为空集和非空集两种情况列不等式求解； （2）由交集为空集的条件，分类讨论为空集和非空集，结合集合端点的大小关系列不等式求解. 【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或， 即. 【变式4-1】（2026·陕西西安·三模）已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，列出关系式，即可求解. 【详解】因为，即，结合集合元素的互异性，可得或，解得或． 【变式4-2】（2026·云南·模拟预测）已知全集，，则集合B可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的定义求解. 【详解】若，则，故A错误； 若,则，故B错误； 若,则，故C错误； 若,则，故D正确； 【变式4-3】（2026·河北部分学校高二下期末）已知全集，集合，. (1)若a=1，求； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先解一元二次不等式化简集合，写出的补集，再代入化简集合，最后取两集合的交集得到结果； （2）由推出，结合集合非空与子集区间端点约束列出不等式组，解不等式组得到参数的取值范围. 【详解】（1）因为的解集为， 所以，则或， 当时，，所以. （2）若，则， 因为，所以， 解得，即的取值范围为. ▌题型05 补集的概念及运算 1.全集与补集的概念 知识点 自然语言 符号语言 图形语言(Venn图) 全集与补集 （1）全集：如果一个集合含有我们研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，记作. （2）对于一个集合，由全集中所有不属于的元素组成的集合，叫做中子集的补集（或余集）. ＝ 2.补集的性质 （1）补集是全集的子集，即; （2）= . 3.求补集的原则和方法 (1)一个基本原则． 求给定集合A的补集，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集． (2)两种求解方法： ①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍． ②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解． 【典例5】（辽宁沈阳市联合体2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷）已知全集，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 集合由中满足的元素构成， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， 所以，则. 【变式5-1】（24-25高一上·辽宁鞍山·阶段练习）已知，，则的子集个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】依题意，，所以的子集有个. 【变式5-2】（24-25高一上·天津河西·期中）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集，集合， 所以或. 故选：D. 【变式5-3】（24-25高一上·新疆·期中）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， ，，，，ABD错误，C正确. 故选：C. ▌题型06 根据补集结果求集合或参数 根据补集结果求集合或参数的策略： 1.当集合是有限数集：明确全集，依据补集元素反向推导原集合元素；求参数时，代入后需验证集合元素的互异性，排除重复元素情况. 2.当集合是由不等式解组成的集合：先化简补集对应的不等式，结合全集借助数轴分析边界点关系；求参数时，注意端点是否可取，需代入验证补集运算的准确性. 【典例6】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分，两种情况，结合题意讨论求解即可； （2）结合（1），根据题意讨论求解即可. 【详解】（1）由，得， 当时，即时，，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围． （2）由（1）知，当时，，所以，满足； 当或时，，， 由可得，所以． 综上所述，实数的取值范围． 【变式6-1】（25-26高一上·四川宜宾·期中）已知全集，且则（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由全集，且，故，从而. 【变式6-2】（2026·河南驻马店·三模）已知全集，集合，若，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】全集，集合，， ，，故选项D正确. 【变式6-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，． (1)若，求集合； (2)设，若，求实数a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到且，列出方程组，求得的值，得到集合，利用集合并集的运算即可求解； （2）根据题意，得到，求得的值，验证集合元素的互异性，进而得到答案. 【详解】（1）由集合，， 若，可得且，则，解得， 所以，可得． （2）由集合，，， 若，则，解得或， 当时，，满足； 当时，，，不满足集合中元素的互异性，舍去. 综上所述，实数的值为． ▌题型07 集合的交、并、补混合运算 1．德·摩根定律（拓展） （1）交集的补集等于补集的并集： ;. （2）并集的补集等于补集的交集： . 利用这些性质能简化集合的交、并、补的综合运算. 2．集合的交、并、补混合运算求解策略 解决解合的交、并、补混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求(CuA) ∩B）时，可先求出(CuA)，再求交集;求Cu(AB)时，可先求出AB,再求补集，即将集合的混合运算分成多步分别进行. 【典例7-1】（25-26高二下·河南南阳·期末）设全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为全集，，， 所以. 【典例7-2】（2026·陕西西安·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（   ） A． B． C．中元素个数为 D． 【答案】BD 【分析】分析可知，所以方程有两个相异实根、，且、异号，结合全集中的元素可确定集合，结合韦达定理求出的值，再利用集合运算可判断BCD选项. 【详解】在集合中，因为，所以方程有两个相异实根， 设为、，由韦达定理可得，所以、异号，且， 因为全集的元素中两元素之积为的只有两组、和、， 所以或. 当时，，则， 所以，，； 当时，，则， 所以，，. 综上，则或，，中元素个数为，， 故A错误，B正确，C错误，D正确. 【变式7-1】（福建三明市2025-2026学年高二下期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合在实数集下的补集，再计算该补集与集合的交集即可． 【详解】由，得， 因为，所以． 【变式7-2】（多选）（2025·四川眉山·三模）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交并补运算逐项判断即可. 【详解】对A,由，选项A错误； 对B,，选项B错误； 对C,，选项C错误； 对D,因为，所以，所以选项D正确. 故选：D. 【变式7-3】（河南新乡市部分学校2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, ▌题型08 集合混合运算中的求参问题 对集合包含关系的考查常常会出现在探究性问题中，解决这类问题，首先要分清集合的代表元素，进而将集合语言转化为我们习惯的语言形式来求解. 【典例8】（25-26高二·全国·学业考试模拟）设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】解：（1）解法1  易知，所以．又，且，所以，解得，故实数的取值范围是． 解法2  由，知，又，，所以，解得，故实数的取值范围是． （2）因为，，，所以，解得，故实数的取值范围是． （3）因为，或，，所以，解得，故实数的取值范围是． 【变式8-1】（多选）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合是否为空集分类讨论，结合列不等式，求得的取值范围逐一判断即可. 【详解】①当时，令，得，此时符合题意； ②当时，，得， 则或， 因为，所以，所以或， 解得或， 因为，所以 综上，的取值范围为或，故选：BC 【变式8-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，． (1)在①，②，③这三个条件中选择一个条件，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先将代入集合中，再根据集合的并集运算求解即可； （2）先求出，再分和两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）选择①，则，所以； 选择②，则，所以； 选择③，则，所以． （2）由，则， 又，所以， （ⅰ）若，即，则，满足题意； （ⅱ）若，即，由，得或，解得或． 综上实数的取值范围为或． 【变式8-3】（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知集合，，其中． (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)集合中的所有整数为 (2) 【分析】（1）先根据题意化简集合，进而写出集合中的所有整数即可； （2）先根据题意化简集合，再根据集合之间的关系得到，进而分类讨论即可求出的取值范围． 【详解】（1）由，解得，则， 所以集合中的所有整数为． （2）， 当时，，此时，满足题意； 当时，，所以，即， 又，则， 即，解得， 所以的取值范围为． ▌题型09 Venn图为载体的集合运算题 1．Venn图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，如 2．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 3．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 【典例9】（2026·北京·三模）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由韦恩图可得阴影部分为集合与集合的补集的交集求解即可. 【详解】因为，所以，由韦恩图可得阴影部分为集合与集合的补集的交集， 所以集合的补集为或，所以集合与集合的补集的交集为. 【变式9-1】（多选）（25-26高一上·湖南衡阳·期中）如图矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】阴影部分位于集合内，且不属于与的交集，即阴影部分为“中除去的部分”. 【详解】选项A：表示“的全部”与“中的补集”的并集，包含了外的部分区域，与阴影部分不符，故A错误； 选项B：表示“中的补集”，就等于阴影部分，故B正确； 选项C：表示“以为全集时，的补集”，就等于阴影部分，故C正确； 选项D：表示“中的补集”与的交集，就等于阴影部分，故D正确； 故选：BCD 【变式9-2】（多选（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】本题考查集合的交、并、补基本运算，需根据各类运算的定义逐一计算各选项判断正误 【详解】选项A：根据并集定义，合并两个集合的所有元素并去重，可得，A正确; 选项B：根据交集定义，取两个集合的公共元素，可得，因此，B错误 选项C：先得，再求其在全集中的补集，即中去掉的剩余元素，得，C正确 选项D：先求在中的补集，得，再和求交集，公共元素只有，因此，D正确. 【变式9-3】（25-26高一下·四川内江·期中）设全集为，集合，． (1)求如图阴影部分表示的集合； (2)已知且，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）解不等式求出，再计算即可求出答案； （2）由得，分为和两种情况分别求解，即可求出答案. 【详解】（1）解不等式得或， 所以或， 或， 所以或. （2）由得， 当，即时，，符合题意； 当，即时， 则，解得， 综上所述，， 所以实数的取值范围为. ▌题型10 补集思想的应用 对于一些比较复杂、抽象，条件和结论之间关系不明确，难于从正面入手的问题，在解题时，应及时调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决.. 【典例10】已知集合A＝{x|x2－4x＋6－2a＝0}，B＝{x|x＜0}，若A∩B≠，则实数a的取值范围为 . 【答案】a＞3 【分析】由集合A，B及A∩B≠可知，方程x2－4x＋6－2a＝0有实数根，且至少有一个负根，即有两个负根，或一个负根和一个零根，或一个负根和一个正根三种情况．如果分别求解会比较麻烦，可以先求出方程有实数根时实数a的取值范围作为全集，然后考虑方程的两根都非负时a的取值范围，最后利用补集求得符合条件的实数a的取值范围． 【解析】设全集U＝{a|16－4(6－2a)≥0}＝. 若方程x2－4ax＋2a＋6＝0的两根都非负，则a∈U，且 解得1≤a≤3，即方程两根都非负时，实数a的值组成的集合为. 其在全集U＝中的补集为{a|a＞3}． ∴满足题意的实数a的取值范围是a＞3. 【变式10-1】（2026·湖南株洲·三模）设集合，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ，说明区间与存在公共元素， 当时，内的元素均不大于0，与无公共元素，不符合要求； 当时，满足区间与存在公共元素， 综上，的取值范围是. 【变式10-2】（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (3)若，求m的取值范围. 【答案】(1)，或． (2) 【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 【变式10-3】已知集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0}，B＝{x|x2＋2x－a＝0}，C＝{x|x2＋2ax＋2＝0}，若三个集合中至少有一个集合不是空集，求实数a的取值范围． 【详解】假设三个集合都是空集，即三个方程均无实根， 则有即，解得 ． ∴ 当 或 时，三个方程中至少有一个方程有实即三个集合中至少有一个集合不是空集． ∴ 的取值范围为 或 ． ▌题型11 集合实际应用中的元素个数问题 1.容斥定理 在部分有限集中,我们经常遇到有关集合中元素的个数问题,我们常用Venn图表示两集合的交、并、补,如果用card表示有限集合中元素的个数,即card(A)表示有限集A的元素个数,则有如下结论: (1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); (2) card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C). 这一结论被称为容斥定理. 2．容斥定理的两种重要变形 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(A∪B). 3.集合实际应用中元素个数问题求解策略 对于这类问题，一般有两种策略：一是画出Venn图，设出未知数，借助Venn图列出方程（组）求解；二是利用容斥定理速解. 【典例11】在开秋季运动会时，某班共有28名同学参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有同时参加三项比赛的同学，问：同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的同学有多少人？ 【答案】同时参加田赛和球类比赛的有3人，只参加径赛的同学有9人. 【分析】 本题考查集合命题中的实际应用问题，涉及元素个数问题时，可用公式card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)的推广形式card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，或利用Venn图解决． 【详解】 解法一：设同时参加田赛和球类比赛的共有x人，参加径赛的为集合A，参加田赛的为集合B，参加球类比赛的为集合C， 则有card(A)＝15，card(B)＝8，card(C)＝14， 由条件知card(A∩B)＝3，card(A∩C)＝3，A∩B∩C＝，即card(A∩B∩C)＝0. 故有15＋8＋14－3－3－x＋0＝28，解得x＝3. 即同时参加田赛和球类比赛的共有3人． 只参加径赛的有15－3－3＝9(人)． 解法二：设参加径赛的为集合A，参加田赛的为集合B，参加球类比赛的为集合C，根据题意画出Venn图，如图所示． 在图中相应的位置填上数字，设同时参加田赛和球类比赛的人数为x.由题意得 9＋3＋3＋(8－3－x)＋x＋(14－3－x)＝28， 解得x＝3. 即同时参加田赛和球类比赛的人数为3人，只参加径赛的人数为9人． 【变式11-1】（25-26高一上·云南·期中）某幼儿园老师给班上30位小朋友提供红、白、蓝三种颜色进行涂色练习，每位小朋友都至少选择其中一种颜色，其中有18人选择了红色，有9人选择了白色，有15人选择了蓝色，同时选择了红色、白色的有5人，同时选择了红色、蓝色的有5人，同时选择了三种颜色的有1人，则只选择了白色的小朋友有（   ） A．1人 B．2人 C．4人 D．3人 【答案】B 【分析】设只选择了白色的小朋友有人，由题意列出方程求解即可. 【详解】设只选择了白色的小朋友有人， 则同时只选择了白色、蓝色这两种颜色的小朋友有人， 只选择了蓝色的小朋友有人， 所以，解得. 故选：B 【变式11-2】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【答案】A 【分析】根据选择三类项目的人数，得出选择两类项目和一类项目的人数，求和可得答案. 【详解】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择和两个项目的同学有4人， 只选择和两个项目的同学有2人，只选择和两个项目的同学有1人， 只选择一个项目的同学有17人，只选择一个项目的同学有13人，只选择一个项目的同学有13人，如图， 所以班级人数为：. 故选：A 【变式11-3】（25-26高一下·河北保定·期中）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 【答案】5 【分析】将参加各队的学生转化为集合，利用三个集合的容斥原理公式，设三项都参加的人数为未知数，代入已知数据列方程求解． 【详解】设参加足球队的学生组成集合，参加排球队的学生组成集合，参加游泳队的学生组成集合， 则，，，，，． 设三项都参加的人数为， 则， 因为， 所以由 得， 解得，即三项都参加的有5人． 故答案为：5． ▌题型12 集合运算中的新定义问题 与集合的运算有关的新定义题求解的关键是：通过读题、审题，充分挖掘问题中所隐含的信息，弄懂运算的规律，进而求解． 【典例12】已知A，B是非空集合，若，且满足，则称a，b是集合A，B的一对“基因元”．若集合，则A，B的“基因元”的对数是 ． 【答案】13 【详解】，当a取2时，分别为1，1，4，6，共3对；当a取3时，分别为2，0，3，5，共3对；当a取5时，分别为4，2，1，3，共3对；当a取9时，分别为8，6，3，1，共4对．． 【变式12-1】(多选)（25-26高一上·四川凉山·期末）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据差集定义计算可得AB正确，结合并集运算以及差集混合运算法则，可得C错误，D正确. 【详解】依题意可得且， 当时，可得，即A正确； 同时，所以B正确； 结合A选项可得，即C错误； 易知，又， 所以，即D正确. 故选：ABD 【变式12-2】已知A，B是非空集合，若，且满足，则称a，b是集合A，B的一对“基因元”．若集合，则A，B的“基因元”的对数是 ． 【答案】13 【解析】，当a取2时，分别为1，1，4，6，共3对；当a取3时，分别为2，0，3，5，共3对；当a取5时，分别为4，2，1，3，共3对；当a取9时，分别为8，6，3，1，共4对．． 【变式12-3】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【分析】（1）根据闭集合定义及集合交集运算即可证明； （2）根据闭集合定义及集合并集运算即可判断； （3）根据闭集合定义、真子集及集合并集运算即可证明. 【详解】（1）且为闭集知：，成立， 故而，从而命题成立. （2）取， 知不一定是闭集合. （3）若或，且均是的真子集，命题显然成立， 故不妨设存在满足，且存在满足, 取知，否则 或者而得出矛盾，故命题成立. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 集合的基本运算 （题型突破·举一反三） 【典例1】A 【详解】由题意得，，所以. 【变式1-1】C 【详解】由题意得，所以. 【变式1-2】D 【详解】因为， 所以，即中元素个数为5. 【变式1-3】B 【详解】集合，，则 ▌题型02 由交集运算结果求集合或参数 【典例2】 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据交集的定义求解即可； （2）分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，又， ． （2）由， 若，则，解得； 若，则或，解得. 综上所述，实数的取值范围为． 【变式2-1】C 【详解】因为， 所以或， 当时，与集合元素的互异性矛盾； 当时，可得，此时,满足 故. 【变式2-2】A 【分析】分析可知，，对实数的取值范围进行分类讨论，求出集合，根据集合的包含关系验证可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则，且集合或，. 当时，则，合乎题意； 当时，则， 因为，则，解得； 当时，， 因为，则，解得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【变式2-3】 【分析】对是否为空集进行分类讨论，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】若，则， 当时，，即； 当时， ，得， 则实数m的取值范围为. ▌题型03 并集的概念及运算 【典例3】C 【详解】因为，所以 【变式3-1】C 【分析】根据并集的定义求解. 【详解】， . 【变式3-2】A 【详解】，则． 【变式3-3】D 【详解】，， 所以，即 ▌题型04 由并集的结果求集合或参数 【典例4-1】 【详解】集合或， 由，得，解得， 所以的取值范围为. 【典例4-2】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由并集性质得，分类讨论为空集和非空集两种情况列不等式求解； （2）由交集为空集的条件，分类讨论为空集和非空集，结合集合端点的大小关系列不等式求解. 【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或， 即. 【变式4-1】B 【分析】根据题意，得到，列出关系式，即可求解. 【详解】因为，即，结合集合元素的互异性，可得或，解得或． 【变式4-2】D 【分析】根据并集的定义求解. 【详解】若，则，故A错误； 若,则，故B错误； 若,则，故C错误； 若,则，故D正确； 【变式4-3】 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先解一元二次不等式化简集合，写出的补集，再代入化简集合，最后取两集合的交集得到结果； （2）由推出，结合集合非空与子集区间端点约束列出不等式组，解不等式组得到参数的取值范围. 【详解】（1）因为的解集为， 所以，则或， 当时，，所以. （2）若，则， 因为，所以， 解得，即的取值范围为. ▌题型05 补集的概念及运算 【典例5】A 【详解】由， 集合由中满足的元素构成， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， 所以，则. 【变式5-1】C 【详解】依题意，，所以的子集有个. 【变式5-2】D 【详解】因为集，集合， 所以或. 故选：D. 【变式5-3】C 【详解】，，， ，，，，ABD错误，C正确. 故选：C. ▌题型06 根据补集结果求集合或参数 【典例6】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分，两种情况，结合题意讨论求解即可； （2）结合（1），根据题意讨论求解即可. 【详解】（1）由，得， 当时，即时，，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围． （2）由（1）知，当时，，所以，满足； 当或时，，， 由可得，所以． 综上所述，实数的取值范围． 【变式6-1】B 【详解】由全集，且，故，从而. 【变式6-2】D 【详解】全集，集合，， ，，故选项D正确. 【变式6-3】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到且，列出方程组，求得的值，得到集合，利用集合并集的运算即可求解； （2）根据题意，得到，求得的值，验证集合元素的互异性，进而得到答案. 【详解】（1）由集合，， 若，可得且，则，解得， 所以，可得． （2）由集合，，， 若，则，解得或， 当时，，满足； 当时，，，不满足集合中元素的互异性，舍去. 综上所述，实数的值为． ▌题型07 集合的交、并、补混合运算 【典例7-1】B 【详解】因为全集，，， 所以. 【典例7-2】BD 【分析】分析可知，所以方程有两个相异实根、，且、异号，结合全集中的元素可确定集合，结合韦达定理求出的值，再利用集合运算可判断BCD选项. 【详解】在集合中，因为，所以方程有两个相异实根， 设为、，由韦达定理可得，所以、异号，且， 因为全集的元素中两元素之积为的只有两组、和、， 所以或. 当时，，则， 所以，，； 当时，，则， 所以，，. 综上，则或，，中元素个数为，， 故A错误，B正确，C错误，D正确. 【变式7-1】C 【分析】先求出集合在实数集下的补集，再计算该补集与集合的交集即可． 【详解】由，得， 因为，所以． 【变式7-2】D 【分析】根据集合的交并补运算逐项判断即可. 【详解】对A,由，选项A错误； 对B,，选项B错误； 对C,，选项C错误； 对D,因为，所以，所以选项D正确. 故选：D. 【变式7-3】A 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, ▌题型08 集合混合运算中的求参问题 【典例8】 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】解：（1）解法1  易知，所以．又，且，所以，解得，故实数的取值范围是． 解法2  由，知，又，，所以，解得，故实数的取值范围是． （2）因为，，，所以，解得，故实数的取值范围是． （3）因为，或，，所以，解得，故实数的取值范围是． 【变式8-1】BC 【分析】根据集合是否为空集分类讨论，结合列不等式，求得的取值范围逐一判断即可. 【详解】①当时，令，得，此时符合题意； ②当时，，得， 则或， 因为，所以，所以或， 解得或， 因为，所以 综上，的取值范围为或，故选：BC 【变式8-2】 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先将代入集合中，再根据集合的并集运算求解即可； （2）先求出，再分和两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）选择①，则，所以； 选择②，则，所以； 选择③，则，所以． （2）由，则， 又，所以， （ⅰ）若，即，则，满足题意； （ⅱ）若，即，由，得或，解得或． 综上实数的取值范围为或． 【变式8-3】 【答案】(1)集合中的所有整数为 (2) 【分析】（1）先根据题意化简集合，进而写出集合中的所有整数即可； （2）先根据题意化简集合，再根据集合之间的关系得到，进而分类讨论即可求出的取值范围． 【详解】（1）由，解得，则， 所以集合中的所有整数为． （2）， 当时，，此时，满足题意； 当时，，所以，即， 又，则， 即，解得， 所以的取值范围为． ▌题型09 Venn图为载体的集合运算题 【典例9】B 【分析】由韦恩图可得阴影部分为集合与集合的补集的交集求解即可. 【详解】因为，所以，由韦恩图可得阴影部分为集合与集合的补集的交集， 所以集合的补集为或，所以集合与集合的补集的交集为. 【变式9-1】BCD 【分析】阴影部分位于集合内，且不属于与的交集，即阴影部分为“中除去的部分”. 【详解】选项A：表示“的全部”与“中的补集”的并集，包含了外的部分区域，与阴影部分不符，故A错误； 选项B：表示“中的补集”，就等于阴影部分，故B正确； 选项C：表示“以为全集时，的补集”，就等于阴影部分，故C正确； 选项D：表示“中的补集”与的交集，就等于阴影部分，故D正确； 故选：BCD 【变式9-2】ACD 【分析】本题考查集合的交、并、补基本运算，需根据各类运算的定义逐一计算各选项判断正误 【详解】选项A：根据并集定义，合并两个集合的所有元素并去重，可得，A正确; 选项B：根据交集定义，取两个集合的公共元素，可得，因此，B错误 选项C：先得，再求其在全集中的补集，即中去掉的剩余元素，得，C正确 选项D：先求在中的补集，得，再和求交集，公共元素只有，因此，D正确. 【变式9-3】 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）解不等式求出，再计算即可求出答案； （2）由得，分为和两种情况分别求解，即可求出答案. 【详解】（1）解不等式得或， 所以或， 或， 所以或. （2）由得， 当，即时，，符合题意； 当，即时， 则，解得， 综上所述，， 所以实数的取值范围为. ▌题型10 补集思想的应用 【典例10】a＞3 【分析】由集合A，B及A∩B≠可知，方程x2－4x＋6－2a＝0有实数根，且至少有一个负根，即有两个负根，或一个负根和一个零根，或一个负根和一个正根三种情况．如果分别求解会比较麻烦，可以先求出方程有实数根时实数a的取值范围作为全集，然后考虑方程的两根都非负时a的取值范围，最后利用补集求得符合条件的实数a的取值范围． 【解析】设全集U＝{a|16－4(6－2a)≥0}＝. 若方程x2－4ax＋2a＋6＝0的两根都非负，则a∈U，且 解得1≤a≤3，即方程两根都非负时，实数a的值组成的集合为. 其在全集U＝中的补集为{a|a＞3}． ∴满足题意的实数a的取值范围是a＞3. 【变式10-1】C 【详解】 ，说明区间与存在公共元素， 当时，内的元素均不大于0，与无公共元素，不符合要求； 当时，满足区间与存在公共元素， 综上，的取值范围是. 【变式10-2】 【答案】(1)，或． (2) 【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 【变式10-3】 【详解】假设三个集合都是空集，即三个方程均无实根， 则有即，解得 ． ∴ 当 或 时，三个方程中至少有一个方程有实即三个集合中至少有一个集合不是空集． ∴ 的取值范围为 或 ． ▌题型11 集合实际应用中的元素个数问题 【典例11】 【答案】同时参加田赛和球类比赛的有3人，只参加径赛的同学有9人. 【分析】 本题考查集合命题中的实际应用问题，涉及元素个数问题时，可用公式card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)的推广形式card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，或利用Venn图解决． 【详解】 解法一：设同时参加田赛和球类比赛的共有x人，参加径赛的为集合A，参加田赛的为集合B，参加球类比赛的为集合C， 则有card(A)＝15，card(B)＝8，card(C)＝14， 由条件知card(A∩B)＝3，card(A∩C)＝3，A∩B∩C＝，即card(A∩B∩C)＝0. 故有15＋8＋14－3－3－x＋0＝28，解得x＝3. 即同时参加田赛和球类比赛的共有3人． 只参加径赛的有15－3－3＝9(人)． 解法二：设参加径赛的为集合A，参加田赛的为集合B，参加球类比赛的为集合C，根据题意画出Venn图，如图所示． 在图中相应的位置填上数字，设同时参加田赛和球类比赛的人数为x.由题意得 9＋3＋3＋(8－3－x)＋x＋(14－3－x)＝28， 解得x＝3. 即同时参加田赛和球类比赛的人数为3人，只参加径赛的人数为9人． 【变式11-1】B 【分析】设只选择了白色的小朋友有人，由题意列出方程求解即可. 【详解】设只选择了白色的小朋友有人， 则同时只选择了白色、蓝色这两种颜色的小朋友有人， 只选择了蓝色的小朋友有人， 所以，解得. 故选：B 【变式11-2】A 【分析】根据选择三类项目的人数，得出选择两类项目和一类项目的人数，求和可得答案. 【详解】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择和两个项目的同学有4人， 只选择和两个项目的同学有2人，只选择和两个项目的同学有1人， 只选择一个项目的同学有17人，只选择一个项目的同学有13人，只选择一个项目的同学有13人，如图， 所以班级人数为：. 故选：A 【变式11-3】5 【分析】将参加各队的学生转化为集合，利用三个集合的容斥原理公式，设三项都参加的人数为未知数，代入已知数据列方程求解． 【详解】设参加足球队的学生组成集合，参加排球队的学生组成集合，参加游泳队的学生组成集合， 则，，，，，． 设三项都参加的人数为， 则， 因为， 所以由 得， 解得，即三项都参加的有5人． 故答案为：5． ▌题型12 集合运算中的新定义问题 【典例12】13 【详解】，当a取2时，分别为1，1，4，6，共3对；当a取3时，分别为2，0，3，5，共3对；当a取5时，分别为4，2，1，3，共3对；当a取9时，分别为8，6，3，1，共4对．． 【变式12-1】ABD 【分析】根据差集定义计算可得AB正确，结合并集运算以及差集混合运算法则，可得C错误，D正确. 【详解】依题意可得且， 当时，可得，即A正确； 同时，所以B正确； 结合A选项可得，即C错误； 易知，又， 所以，即D正确. 故选：ABD 【变式12-2】13 【解析】，当a取2时，分别为1，1，4，6，共3对；当a取3时，分别为2，0，3，5，共3对；当a取5时，分别为4，2，1，3，共3对；当a取9时，分别为8，6，3，1，共4对．． 【变式12-3】 【分析】（1）根据闭集合定义及集合交集运算即可证明； （2）根据闭集合定义及集合并集运算即可判断； （3）根据闭集合定义、真子集及集合并集运算即可证明. 【详解】（1）且为闭集知：，成立， 故而，从而命题成立. （2）取， 知不一定是闭集合. （3）若或，且均是的真子集，命题显然成立， 故不妨设存在满足，且存在满足, 取知，否则 或者而得出矛盾，故命题成立. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 集合的基本运算 （题型突破·举一反三） 题型01 交集的概念与运算 1 题型02 由交集运算结果求集合或参数 2 题型03 并集的概念及运算 4 题型04 由并集的结果求集合或参数 5 题型05 补集的概念及运算 7 题型06 根据补集结果求集合或参数 8 题型07 集合的交、并、补混合运算 10 题型08 集合混合运算中的求参问题 11 题型09 Venn图为载体的集合运算题 13 题型10 补集思想的应用 15 题型11 集合实际应用中的元素个数问题 16 题型12 集合运算中的新定义问题 18 ▌题型01 交集的概念与运算 1.交集的概念 知识点 自然语言 符号语言 图形语言(Venn图) 交集 对于两个集合、，由 的所有元素组成的集合，叫做集合与的交集.记作，读作“A交B”. ___________ 2.交集的性质 ， 3.求交集的基本思路 首先要识别所给集合，其次要化简集合，使集合中的元素明朗化，最后再依据交集的定义写出结果，有时要借助于Venn图或数轴写出交集．借助于数轴时要注意数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集． 【典例1】（宁夏石嘴山市2025-2026学年高二下学期7月期末）已知集合{是小于5的正整数}，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，所以. 【变式1-1】（贵州遵义市2025-2026学年高二下学期7月期末数学试卷）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二下·山东德州·期末）已知集合，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式1-3】（四川德阳市2025-2026学年高二下学期期末练习数学试题）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． ▌题型02 由交集运算结果求集合或参数 1．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的 ； A∩B=等价于A与B没有公共元素. 2．由交集运算结果求参数的思路 (1)将交集运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系． (2)将交集运算关系转化为方程或不等式是否有解，或解集为怎样的范围的问题． (3)解方程(组)或解不等式(组)来确定参数的值或范围，解题时，需注意两点： (4)对于涉及A∩B＝B的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性． 【注意】由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性，在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件． 【典例2】（25-26高二下·山西阳泉·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据交集的定义求解即可； （2）分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，又， ． （2）由， 若，则，解得； 若，则或，解得. 综上所述，实数的取值范围为． 【变式2-1】（2026·云南·三模）已知集合，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知集合.，求实数m的取值范围. ▌题型03 并集的概念及运算 1.并集的概念 知识点 自然语言 符号语言 图形语言(Venn图) 并集 对于两个集合、，由 组成的集合，叫做集合与的并集. 记作，读作“A并B”. =____________ 2．并集的性质 ， . 【典例3】（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以 【变式3-1】（25-26高一下·贵州铜仁·期末）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二下·广西来宾·期末）设集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二下·浙江嘉兴·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． ▌题型04 由并集的结果求集合或参数 1．集合关系的转化 A∪B=A等价于B是A的 2．由并集运算结果求参数的思路 (1)将并集运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系． (2)将并集运算关系转化为方程或不等式是否有解，或解集为怎样的范围的问题． (3)解方程(组)或解不等式(组)来确定参数的值或范围，解题时，需注意两点： (4)对于涉及A∪B=A的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性． 【注意】由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性，在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件． 【典例4-1】集合或.若，求的取值范围； 【答案】 【详解】集合或， 由，得，解得， 所以的取值范围为. 【典例4-2】（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由并集性质得，分类讨论为空集和非空集两种情况列不等式求解； （2）由交集为空集的条件，分类讨论为空集和非空集，结合集合端点的大小关系列不等式求解. 【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或， 即. 【变式4-1】（2026·陕西西安·三模）已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·云南·模拟预测）已知全集，，则集合B可能为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·河北部分学校高二下期末）已知全集，集合，. (1)若a=1，求； (2)若，求a的取值范围. ▌题型05 补集的概念及运算 1.全集与补集的概念 知识点 自然语言 符号语言 图形语言(Venn图) 全集与补集 （1）全集：如果一个集合含有我们研究问题中涉及的 ，那么就称这个集合为全集，记作. （2）对于一个集合，由全集中 的元素组成的集合，叫做中子集的补集（或余集）. = ________________ 2.补集的性质 （1）补集是全集的子集，即______; （2）=________; ________. 3.求补集的原则和方法 (1)一个基本原则． 求给定集合A的补集，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集． (2)两种求解方法： ①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍． ②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解． 【典例5】（辽宁沈阳市联合体2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷）已知全集，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 集合由中满足的元素构成， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， 所以，则. 【变式5-1】（24-25高一上·辽宁鞍山·阶段练习）已知，，则的子集个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-2】（24-25高一上·天津河西·期中）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·新疆·期中）设全集，，则（    ） A． B． C． D． ▌题型06 根据补集结果求集合或参数 根据补集结果求集合或参数的策略： 1.当集合是有限数集：明确全集，依据补集元素反向推导原集合元素；求参数时，代入后需验证集合元素的互异性，排除重复元素情况. 2.当集合是由不等式解组成的集合：先化简补集对应的不等式，结合全集借助数轴分析边界点关系；求参数时，注意端点是否可取，需代入验证补集运算的准确性. 【典例6】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分，两种情况，结合题意讨论求解即可； （2）结合（1），根据题意讨论求解即可. 【详解】（1）由，得， 当时，即时，，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围． （2）由（1）知，当时，，所以，满足； 当或时，，， 由可得，所以． 综上所述，实数的取值范围． 【变式6-1】（25-26高一上·四川宜宾·期中）已知全集，且则（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式6-2】（2026·河南驻马店·三模）已知全集，集合，若，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式6-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，． (1)若，求集合； (2)设，若，求实数a的值． ▌题型07 集合的交、并、补混合运算 1．德·摩根定律（拓展） （1）交集的补集等于补集的并集： ;. （2）并集的补集等于补集的交集： . 利用这些性质能简化集合的交、并、补的综合运算. 2．集合的交、并、补混合运算求解策略 解决解合的交、并、补混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求(CuA) ∩B）时，可先求出(CuA)，再求交集;求Cu(AB)时，可先求出AB,再求补集，即将集合的混合运算分成多步分别进行. 【典例7-1】（25-26高二下·河南南阳·期末）设全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为全集，，， 所以. 【典例7-2】（2026·陕西西安·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（   ） A． B． C．中元素个数为 D． 【答案】BD 【分析】分析可知，所以方程有两个相异实根、，且、异号，结合全集中的元素可确定集合，结合韦达定理求出的值，再利用集合运算可判断BCD选项. 【详解】在集合中，因为，所以方程有两个相异实根， 设为、，由韦达定理可得，所以、异号，且， 因为全集的元素中两元素之积为的只有两组、和、， 所以或. 当时，，则， 所以，，； 当时，，则， 所以，，. 综上，则或，，中元素个数为，， 故A错误，B正确，C错误，D正确. 【变式7-1】（福建三明市2025-2026学年高二下期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（多选）2025·四川眉山·三模）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（河南新乡市部分学校2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． ▌题型08 集合混合运算中的求参问题 对集合包含关系的考查常常会出现在探究性问题中，解决这类问题，首先要分清集合的代表元素，进而将集合语言转化为我们习惯的语言形式来求解. 【典例8】（25-26高二·全国·学业考试模拟）设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】解：（1）解法1  易知，所以．又，且，所以，解得，故实数的取值范围是． 解法2  由，知，又，，所以，解得，故实数的取值范围是． （2）因为，，，所以，解得，故实数的取值范围是． （3）因为，或，，所以，解得，故实数的取值范围是． 【变式8-1】（多选）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，． (1)在①，②，③这三个条件中选择一个条件，求； (2)若，求实数的取值范围． 【变式8-3】（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知集合，，其中． (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围． ▌题型09 Venn图为载体的集合运算题 1．Venn图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，如 2．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 3．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 【典例9】（2026·北京·三模）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由韦恩图可得阴影部分为集合与集合的补集的交集求解即可. 【详解】因为，所以，由韦恩图可得阴影部分为集合与集合的补集的交集， 所以集合的补集为或，所以集合与集合的补集的交集为. 【变式9-1】（多选）（25-26高一上·湖南衡阳·期中）如图矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（多选（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高一下·四川内江·期中）设全集为，集合，． (1)求如图阴影部分表示的集合； (2)已知且，若，求实数的取值范围． ▌题型10 补集思想的应用 对于一些比较复杂、抽象，条件和结论之间关系不明确，难于从正面入手的问题，在解题时，应及时调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决.. 【典例10】已知集合A＝{x|x2－4x＋6－2a＝0}，B＝{x|x＜0}，若A∩B≠，则实数a的取值范围为 . 【答案】a＞3 【分析】由集合A，B及A∩B≠可知，方程x2－4x＋6－2a＝0有实数根，且至少有一个负根，即有两个负根，或一个负根和一个零根，或一个负根和一个正根三种情况．如果分别求解会比较麻烦，可以先求出方程有实数根时实数a的取值范围作为全集，然后考虑方程的两根都非负时a的取值范围，最后利用补集求得符合条件的实数a的取值范围． 【解析】设全集U＝{a|16－4(6－2a)≥0}＝. 若方程x2－4ax＋2a＋6＝0的两根都非负，则a∈U，且 解得1≤a≤3，即方程两根都非负时，实数a的值组成的集合为. 其在全集U＝中的补集为{a|a＞3}． ∴满足题意的实数a的取值范围是a＞3. 【变式10-1】（2026·湖南株洲·三模）设集合，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (3)若，求m的取值范围. 【变式10-3】已知集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0}，B＝{x|x2＋2x－a＝0}，C＝{x|x2＋2ax＋2＝0}，若三个集合中至少有一个集合不是空集，求实数a的取值范围． ▌题型11 集合实际应用中的元素个数问题 1.容斥定理 在部分有限集中,我们经常遇到有关集合中元素的个数问题,我们常用Venn图表示两集合的交、并、补,如果用card表示有限集合中元素的个数,即card(A)表示有限集A的元素个数,则有如下结论: (1)card(A∪B)= ; (2) card(A∪B∪C)= 这一结论被称为容斥定理. 2．容斥定理的两种重要变形 card(A)+card(B)= card(A∩B)= . 3.集合实际应用中元素个数问题求解策略 对于这类问题，一般有两种策略：一是画出Venn图，设出未知数，借助Venn图列出方程（组）求解；二是利用容斥定理速解. 【典例11】在开秋季运动会时，某班共有28名同学参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有同时参加三项比赛的同学，问：同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的同学有多少人？ 【答案】同时参加田赛和球类比赛的有3人，只参加径赛的同学有9人. 【分析】 本题考查集合命题中的实际应用问题，涉及元素个数问题时，可用公式card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)的推广形式card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，或利用Venn图解决． 【详解】 解法一：设同时参加田赛和球类比赛的共有x人，参加径赛的为集合A，参加田赛的为集合B，参加球类比赛的为集合C， 则有card(A)＝15，card(B)＝8，card(C)＝14， 由条件知card(A∩B)＝3，card(A∩C)＝3，A∩B∩C＝，即card(A∩B∩C)＝0. 故有15＋8＋14－3－3－x＋0＝28，解得x＝3. 即同时参加田赛和球类比赛的共有3人． 只参加径赛的有15－3－3＝9(人)． 解法二：设参加径赛的为集合A，参加田赛的为集合B，参加球类比赛的为集合C，根据题意画出Venn图，如图所示． 在图中相应的位置填上数字，设同时参加田赛和球类比赛的人数为x.由题意得 9＋3＋3＋(8－3－x)＋x＋(14－3－x)＝28， 解得x＝3. 即同时参加田赛和球类比赛的人数为3人，只参加径赛的人数为9人． 【变式11-1】（25-26高一上·云南·期中）某幼儿园老师给班上30位小朋友提供红、白、蓝三种颜色进行涂色练习，每位小朋友都至少选择其中一种颜色，其中有18人选择了红色，有9人选择了白色，有15人选择了蓝色，同时选择了红色、白色的有5人，同时选择了红色、蓝色的有5人，同时选择了三种颜色的有1人，则只选择了白色的小朋友有（   ） A．1人 B．2人 C．4人 D．3人 【变式11-2】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【变式11-3】（25-26高一下·河北保定·期中）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． ▌题型12 集合运算中的新定义问题 与集合的运算有关的新定义题求解的关键是：通过读题、审题，充分挖掘问题中所隐含的信息，弄懂运算的规律，进而求解． 【典例12】已知A，B是非空集合，若，且满足，则称a，b是集合A，B的一对“基因元”．若集合，则A，B的“基因元”的对数是 ． 【答案】13 【详解】，当a取2时，分别为1，1，4，6，共3对；当a取3时，分别为2，0，3，5，共3对；当a取5时，分别为4，2，1，3，共3对；当a取9时，分别为8，6，3，1，共4对．． 【变式12-1】(多选)（25-26高一上·四川凉山·期末）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】已知A，B是非空集合，若，且满足，则称a，b是集合A，B的一对“基因元”．若集合，则A，B的“基因元”的对数是 ． 【变式12-3】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $