1.2.4 绝对值（教学课件）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学课件聚焦“绝对值”，系统讲解其几何意义（距离）与代数意义，以及求法和非负性等性质。通过王奇家到学校距离、黄老师开车耗油等生活情境导入，结合相反数和数轴知识回顾，搭建前后知识支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境抽象概念，用数学思维通过分类讨论、数形结合探究性质，如零件误差例题培养应用意识。课堂小结口诀助记，学生提升抽象能力与推理意识，教师可依托系统流程高效教学。

有理数及其大小比较 第 2 节 第1章 第4课时 绝对值 有理数 人教版 七年级上册 教学目标 学 习 目 标 1 2 3 深刻理解绝对值的几何意义（距离）与代数意义，构建完整的概念认知。 熟练掌握求有理数绝对值的方法，能准确计算任意有理数的绝对值。 透彻领悟绝对值的非负性等核心性质，厘清数与其绝对值的内在关系 经历从现实生活的“距离”情境中抽象出“绝对值”数学概念的过程，体会数学建模思想。在探究中初步体会数形结合思想，利用数轴直观理解数的特征。运用分类讨论的方法分析问题，提升逻辑推理与归纳总结能力。 感受数学与现实生活的紧密联系，感知数学的实用性，激发学习兴趣。 在合作交流与探究活动中，培养团队协作精神与主动探索的意识。养成严谨的科学态度和理性的思维习惯，体会数学语言的简洁与精确之美。 绝对值的概念及求一个数的绝对值 重点 绝对值的几何意义、代数定义的导出.代数定义转化为数学式子. 难点 重 难 点 (1)－5 是 　 的相反数；这两个数到原点距离等于 ； （2） 是－100的相反数；在数轴上表示这两个数的点在原点 侧，到原点距离 ； (3)－(－2.5)的相反数是 ； (4) －[+（－8.2）] 和 互为相反数； (5) a 和 互为相反数； （6） 的相反数等于它本身. （8）数轴上点表示的数是， 两点所表示的数互为相反数， 且点到点的距离为5，则点 表示的数是_______. 5 　 100　 －2.5　 －8.2　 － a 　 0　 两　 8或 知识回顾 练一练 5 　 相等　 0 4 -5 5 1 -1 2 3 -2 -3 -4 创设情境 思 考 如图，王奇家在学校西5千米处，李明家在学校东4千米处，你能用数轴表示两家的位置吗？用正负数如何表示? 王奇家 李明家 设向东为正 王奇家：-5千米 李明家：+4千米 创设情境 思 考 0 4 -5 5 王奇家在学校西5千米处，李明家在学校东4千米处，两人同时出发以相同的速度去学校,谁将先到达学校?这与什么有关? 速度相同时，到学校事件与路程有关，在数轴上就是表示这个数的点到原点的距离 创设情境 思 考 星期天黄老师从学校出发,开车去游玩,她先向东行20千米,到朱家尖,下午她又向西行30千米,回到家中(学校、朱家尖、家在同一直线上),如果规定向东为正 ①用有理数表示黄老师两次所行的路程; ②如果汽车每公里耗油0.15升,计算这天汽车共耗油多少升? 实际生活中有些问题只关注量的具体值,而与相反意义无关，即正负性无关 汽车的耗油量我们只关心汽车行驶的距离和汽油的价格,而与行驶的方向无关. ——绝对值 在数学中，我们把这种“不考虑正负，只表示数的大小”的量，称为这个数的绝对值。 甲、乙两辆出租车在一条东西走向的街道上行驶,记向东行驶的里程数为正.两辆出租车都从O地出发, (1)甲车向东行驶10 km到达A处,记作　　　　km, 乙车向西行驶10 km到达B处,记作　　　　km.  新知讲授 +10 － 10 0 － 10 10 O 东 10 10 探究点1 绝对值的意义 (2)以O为原点，取适当的单位长度画数轴,并在数轴上标出A，B的位置，则A，B两点与原点距离分别是多少?它们的实际意义是什么? A B 点 A，B在原点两侧，距离原点的距离相同，都是 10. 10和-10互为相反数 新知讲授 探究点1 绝对值的意义 （1）绝对值的意义 归 纳 在数轴上，表示一个数a的点与原点的距 离叫做该数的绝对值 数a的绝对值记作： | a | 绝对值表示：用“| |”表示 读作“a的绝对值” 0 1 2 3 4 5 6 －1 －2 －3 －4 －5 记作|5|=5 记作5 记作|0|=0 5到原点的距离是5，所以5的绝对值是5. 5到原点的距离是5，所以5的绝对值是5. 0到原点的距离是0，所以0的绝对值是0. （1）你能利用数轴求出下列各数的绝对值吗？ − ​， -3​， 2.5， +4​ 新知讲授 探究点1 绝对值的意义 0 1 2 3 4 5 6 －1 －2 －3 －4 －5 − -3 2.5 +4​ 试一试 由数轴可得： 因为− 到原点的距离是 ，所以− 的绝对值是 ，即| − |= ， 因为-3 到原点的距离是 ，所以-3的绝对值是 ，即| -3 |= ， 因为2.5 到原点的距离是 ，所以2.5的绝对值是 ，即| 2.5 |= ， 因为+4 到原点的距离是 ，所以+4的绝对值是 ，即| +4 |= ， 3 3 3 2.5 2.5 2.5 4 4 4 新知讲授 探究点2 绝对值的性质 思考 （2）观察下列各式，一个数的绝对值和它本身有什么关系？ | 0 |= 0 | +2.5 |= | +4 |= 2.5 4 | +5 |= 5 | − |= | -3 |= 3 |－5| = 5 一个正数的绝对值依然是正数，且等于它本身 正数的绝对值是它本身 一个负数的绝对值是正数，且等于它的相反数 负数的绝对值是它的相反数 0 的绝对值是 0 |a|表示数a绝对值 新知讲授 探究点2 绝对值的性质 归 纳 （2）绝对值的性质 （3）如果a表示有理数,那么|a|有什么含义? |a|表示数a绝对值 （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0 的绝对值是 0. |a|= a 0 －a (1)当a是正数时， |a|= ; (2) 当a=0时， |a|=0 (3)当a是负数时， |a|= 新知讲授 探究点2 绝对值的性质 （1）一组相反数所对应的点与原点的距离有什么关系? 思考 一组相反数与原点的距离都相等，即它们的绝对值都相等 (2)互为相反数的两个数的绝对值又有什么关系呢? 互为相反数的两个数的绝对值相等 (3)一个有理数的绝对值可能是负数吗?可能小于它本身吗? 绝对值不可能是负数 任何一个有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0. (4)请说出哪个数的绝对值最大?离原点多远?哪个数的绝对值最小?离原点多远? 一个数的绝对值越大,这个数在数轴上对应的点离原点越远;相反,绝对值越小,离原点越近. 没有绝对值最大的数,绝对值最小的数是0. 新知讲授 探究点2 绝对值的性质 练一练 （1）|－5|= ；（2） |-（+1.5） |= ； （3）|－（-1.9）|= ；（4）- | +（-2.95） |= ； （5） －|＋3|= ；（6） | |=5； （7） | |=0； （8） －| |=－2； 完成下列填空 5 1.5 1.9 -2.95 -3 ±5 0 ±2 相信你能行 新知讲授 求一个数的绝对值的方法： 正数 0 负数 等于它本身 等于它的相反数 探究点2 绝对值的性质 第一步： 判断数的正负性 第二 步： 根据绝对值性质写出结果形式 归 纳 典例评析 例1:（1）分别写出 1， -0.5 和 的绝对值； | 1 | = 1； 0 1 2 -1 -2 距离为1 距离为0.5 距离为 |-0.5| = 0.5； 教材P13 解： （2）如图，数轴上的点 A，B，C，D 分别表示有理数a，b，c，d，这四个数中，绝对值最小的是哪个数？ 0 1 2 3 -1 -2 -3 4 -4 A B C D 答：因为在点 A，B，C，D 中，点 C 离原点最近， 所以在有理数 a，b，c，d 中，c 的绝对值最小. 典例评析 例2:化简: (1) （2）+ 解: (1) （2）+ 序号 1 2 3 4 5 直径 (mm) +0.10 -0.15 +0.20 -0.05 +0.25 解：(1)分别求各误差的绝对值： |+0.10|=0.10，|-0.15|=0.15，|+0.20|=0.20， |-0.05|=0.05，|+0.25|=0.25 0.05<0.10<0.15<0.20<0.25， 第 4 件误差绝对值最小，第 4 件最符合要求。 例3. 已知零件的标准直径是 100 mm，超过标准直径的数量记作正数，不足标准直径的数量记作负数，检验员抽查了五件样品，检查结果如下： (1) 指出哪件样品的直径最符合要求； (2) 如果规定误差的绝对值在 0.18 mm 之内是正品，误差的绝对值在 0.18~0.22 mm 之间是次品，误差的绝对值超过 0.22 mm 是废品，那么这五件样品分别属于哪类产品？ 典例评析 序号 1 2 3 4 5 直径 (mm) +0.10 -0.15 +0.20 -0.05 +0.25 (2)解： 1 号：因为|+0.10|=0.10<0.18， 所以 1 号正品 2 号：因为|-0.15|=0.15<0.18 ，所以2 号正品 3 号：因为0.18<|+0.20|=0.20<0.22 ，所以3 号次品 4 号：因为|-0.05|=0.05<0.18 ，所以4 号正品 5 号：因为|+0.25|=0.25>0.22 ，所以5 号废品 例3. 已知零件的标准直径是 100 mm，超过标准直径的数量记作正数，不足标准直径的数量记作负数，检验员抽查了五件样品，检查结果如下： (1) 指出哪件样品的直径最符合要求； (2) 如果规定误差的绝对值在 0.18 mm 之内是正品，误差的绝对值在 0.18~0.22 mm 之间是次品，误差的绝对值超过 0.22 mm 是废品，那么这五件样品分别属于哪类产品？ 典例评析 例4.对于有理数x、y、a、t，如果 |x－a|＋|y－a|＝t，那么我们称x和y关于a的“美好关联数”为t。 举例：|2－1|＋|3－1|＝3，所以2和3关于1的美好关联数是3。 (1) －3和5关于2的“美好关联数”为______； (2) 若x和2关于3的“美好关联数”为4，则x的值为______； (3) 若x₀和x₁关于1的“美好关联数”为1，则x₀＋x₁的最小值为______。 典例评析 解（1）根据题目给出的定义， 把x=－3，y=5，a=2代入公式计算： 原式＝|－3－2|＋|5－2| ＝|－5|＋|3| ＝5＋3 ＝8 8 例4.对于有理数x、y、a、t，如果 |x－a|＋|y－a|＝t，那么我们称x和y关于a的“美好关联数”为t。 举例：|2－1|＋|3－1|＝3，所以2和3关于1的美好关联数是3。 (1) －3和5关于2的“美好关联数”为______； (2) 若x和2关于3的“美好关联数”为4，则x的值为______； (3) 若x₀和x₁关于1的“美好关联数”为1，则x₀＋x₁的最小值为______。 典例评析 （2）由题意可知：x和2关于3的美好关联数为4， 代入定义公式可得：|x－3|＋|2－3|＝4 化简绝对值：|x－3|＋1＝4 |x－3|＝3 根据绝对值的性质，绝对值等于3的数有两个： ① x－3＝3，解得 x＝6 ② x－3＝－3，解得 x＝0 所以x的值为0或6。 8 0或6 例4.对于有理数x、y、a、t，如果 |x－a|＋|y－a|＝t，那么我们称x和y关于a的“美好关联数”为t。 举例：|2－1|＋|3－1|＝3，所以2和3关于1的美好关联数是3。 (1) －3和5关于2的“美好关联数”为______； (2) 若x和2关于3的“美好关联数”为4，则x的值为______； (3) 若x₀和x₁关于1的“美好关联数”为1，则x₀＋x₁的最小值为______。 典例评析 （3）解：根据题意可得等式： |x₀－1|＋|x₁－1|＝1 所以在数轴上可以看作x₀到1的距离与x1到1的距离的和为1， 所以 (x0+x1)的最小值为1。 8 0或6 1 新知巩固 1. 写出下列各数的绝对值. 8，-3.9，，100，7.5，0，-(-13)，-(+18). 解： |8| = 8， |-3.9| = 3.9， | | = ， |100| = 100， |7.5| = 7.5， |0| = 0 |-(-13)| = |+13|= 13， |-(+18)| = |－18| =18. 【教材P14页】 新知巩固 2. 判断题. （1）绝对值是它本身的数是正数； （2）当 a ≠ 0 时，| a | 总是大于 0； （3）绝对值小于 2 的整数是 1 和 -1. × √ × 3. 如果 |a| = |-2|，那么 a =_________； 如果 m 是负数，且 |m| = 10，那么 m =______. -2 或 2 -10 【教材P14页】 新知巩固 4. 化简下列各数： +|-3.5|，-|+ |，-|-11|，|+(-15)|，|-(-7)|，|-(+9)|. 解： +|-3.5| = 3.5， -|+ | = - ， -|-11| = -11， |+(-15)| = 15， |-(-7)| = 7， |-(+9)| = 9. 【教材P14页】 检测反馈 1.下列各组数中，互为相反数的是（ ） A.与 B.与 C.与 D.与 C 解：互为相反数定义：只有符号不同的两个数。 A：，，两数相等； B：，，符号均为正； C：，，符号相反，互为相反数； D：与符号均为正 检测反馈 2.（2024四川成都期末）已知，下列四个结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 解： A 选项，因为∣x∣>3，所以x>3或x<−3， 不符合−3<x<3，故该选项是错误的； B 选项，因为∣x∣⩽3，所以−3⩽x⩽3， 不符合−3<x<3，故该选项是错误的； C 选项，因为0⩽∣x∣<3，所以−3<x<3， 符合题意，故该选项是正确的； D 选项，因为0<∣x∣<3，所以−3<x<3且x≠0， 不符合−3<x<3，故该选项是错误的。 C 检测反馈 3.已知数满足，则不可能是（ ） A. B. C. D. C 解： 因为 ∴，解得。 因为，不满足条件，因此选 C。 检测反馈 4.(2024北京房山区质检)已知是不为 0 的有理数，且，那么用数轴上的点来表示时，正确的是（ ） 解：（原点左侧）； （原点右侧）； 说明到原点距离更近 C 5.若，则 的值是( ) C A. 任意有理数 B. 任意一个非负数 C. 任意一个非正数 D. 任意一个负数 解：由题意得， 所以与 同号 或 ， 检测反馈 （1）数轴上的数 与1所对应的点之间的距离为_______， 数与 所对应的点之间的距离为_______； 1. 【阅读材料】我们知道， 的几何意义是数轴上表示数的点与原点的距离，一般地，点， 在数轴上分别表示数，，那么，之间的距离可表示为 ，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题： 拓展提升 （2） 的最大值是___. 2 解：表示 到1之间的距离，表示到 之间的距离， ①当时，， , 所以 ； ②当时，， ， 所以, 所以当 时， 有最大值2； 2. 数轴上点,分别表示有理数,,表示， 两点之间的距离，则 .例如：数轴上表示数2和5的两点之间的距离为；数轴上表示数3和 的两点之间的距离为.又如：可以写成 ，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数 的点之间的距离. （1） 表示数轴上有理数 对应的点到和3对应的两点的距离之和.若 ，则所有符合条件的整数 的值为 。 0，1，2，3 解:表示数轴上有理数 对应的点到 和3对应的两点的距离之和为5，如图①. 因为表示和表示3的两点之间的距离是5,所以在 和3之间（含和3）的整数均符合题意，所以所有符合条件的整数 为, ,0,1,2,3. 拓展提升 （2） ①的最小值是___，此时 的取值范围是___________. 解：因为 ， 所以表示数轴上有理数对应的点到 和4对应的两点的距离之和． 假设点在数轴上表示的数是, 点表示的数是, 点 表示的数是4, 则点可能在点的左边或点和点之间（含点 和点）或点的右边． 如图②所示，当点在点的左边或点 的右边时，点到,两点的距离之和均大于, 两点间的距离； 当点在点和点之间（含点和点）时， 点到, 两点的距离之和等于,两点间的距离， 所以在 和4之间（含和4）,即 的最小值为7. 拓展提升 7 ② 的最小值是____，此时 的取值范围是____________. 18 解：因为 ， 所以在和2之间（含和2）, 即 , 的最小值为18. 拓展提升 01 绝对值的定义 几何意义：距离的度量 代数意义：分类讨论法则 💡 记忆口诀： 课堂小结 正数本身，负数相反， 零还是零，永远非负 • 若 a > 0，则 |a| = a (等于它本身) 若 a = 0，则 |a| = 0 若 a < 0，则 |a| = -a (等于它的相反数) 数轴上表示数 a 的点与原点之间的距离。 因为是距离，所以结果一定是一个非负数。 02 绝对值的性质 ＊互为相反数：|a| = |-a| 互为相反数的两个数，在数轴上到原点的距离相等，因此它们的绝对值相等。 ＊非负性：|a| ≥ 0 这是绝对值最核心的性质，任何实数的绝对值都不可能是负数，它是一个非负数。 ＊最小值：|a|的最小值为 0 原点到自身的距离为0，这是数轴上最小的距离， 所以绝对值最小的数是0。 课堂小结 课后练习 4. 写出下列各数的绝对值，并指出哪个数的绝对值最大， 哪个数的绝对值最小： -9，3.75，0， ，-0.001，-1. 解： |-9| = 9， |3.75| = 3.75， |0| = 0， | | = ，|-0.001| = 0.001 ，|-1| = 1. -9 的绝对值最大， 0 的绝对值最小 习题 1.2 教材p17页 数学使世界更清晰！ 人教版 七年级上册 $