专练25 相似与特殊图形(二)等腰三角形&专练26 相似与特殊图形(三)平行四边形-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（沪科版·新教材）

∠EAB,∠EAB=∠CAD, 又.∠EDF=∠B=∠ACB, ∴∠E=∠CAD,.CE=CA, ·ABBD ACDRADE,漂B, ·ACCD ∴.DF=EF·CF. (2) 知能检测 3 专练24 相似与特殊 1号 图形（一）直角三角形 2.过点C作CH∥AD交DE的延 典例导练 长线于点H,则∠ADE=∠H= .四边形ABCD为正方形，.OCL ∠B,.AD=AE,.∠H= BO,∠BCD=90°，∴.BC=BO· ∠ADE=∠AED=∠CEH, BD,CF⊥BE,∴.BC=BF·BE, ∴.CE=CH, ÷B0·BD=BF·BE,即器 :∠ADC=∠ADE+∠HDC= ∠B+∠BAD,∴.∠HDC= BD,而∠OBF=∠EBD,△BOF B ∠BAD,.△BAD∽△HDC, P△BED. .CH-BD.CE_BD CD=AD…CD=AE· 知能检测 专练26相似与特殊 1.连接CM,则EF垂直平分CM, 图形（三）平行四边形 过点M作MN⊥BC于点N,证 典例导练 △CEr△NCM:器-深 作OG∥BC,交边CD于点G,O BNBM 1 为BD中点，.OG为△BDC的中 CN=AM3· 位线，0G-号BC,又：CE=2CD, 2a鸣 CF/0G,△CRPGO,÷ (2)作OD⊥AC于D,OE⊥BC于 E易证△POD△QOE,得8贺 CE 1 CF 1 EG2'AD4 -8C在R△A0D和Rt△OE 知能检测 1.在□ABCD中，AB∥CD, 中，0D-0A.0E=0B, .∠AED=∠CDE,.DE=AE ·CDDE=CD .OP_3 AE=D是，∴△ADEO …0Qn1 专练25相似与特殊 △CD0-器AD.CD 图形（二）等腰三角形 =CE·DE. 典例导练 2.(1)证明：：AB∥CG,∴.∠ABF 证明：（1).AB=AC,.∠B= =∠G,又.·∠ABF=∠ACF, ∠ACB,.∠EDF=∠B,∠EDC= ∴.∠ECF=∠G, ∠B+∠BED=∠EDF+∠FDC, 又∠CEF=∠GEC,∴△ECF .∠DEB=∠CDF,.△BDE∽ △CFD. ABcC器-3，即CE (2)点D是BC的中点，∴.BD= EF·EG CD,由(1)可知：△BDE∽△CFD, (2),平行四边形ABCD中，AB 哪漂 =CD,又DG=DC,AB=CD =DG,..AB:CG=1:2,.'AB// 52 .∠DCH=90°，CF平分∠DCH, 2EG=14,BG=21.AB∥ ∠FPCH=∠DCH=45,∴FH =CH,易证△BAE∽△HEF, DG器 AB DG =1,BF= ∴.AB:EH=BE:FH,∴.4：(4-x十 2BC-,∴EF=BR-BE= FH)=z:FH,..FH=x,= XCEXFH=-2(4-)·x=2z 1 专练27相似与特 殊图形（四）矩形 知能检测 典例导练 1.分别延长AE,DC交于点K, 过点E作EM⊥AB交BA的延长 △ABE∽△KCE, 线于点M,则EM=2AE=1, ∴.AE:EK=BE:CE,E是BC中 :∠EMB=∠HBC=90°，且CH⊥ 点，则BE=CE,AE=EK, GH平分AE,∴.EK=AE= BE,△EMBC△HBC,÷ 2AF,FK-3AF, BH·BM=EM·BC=2, AG∥HK,∴.△AGF∽△KHF, ∴.GF:FH=AF:FK=1:3. BE 易证△BGH∽△BME,B 2.(1)设EP=x,则PD=2x,PA=4x, 易证△ABF≌△DAP, EBE·DG=BI,BM=2 ∴.AF=DP=2x,∴.PF=2x=AF. 知能检测 (2)连接BD,DF,易知BD=√2CD, 1.过点P作AD的垂线MN,交AD DF=√2DP,∠BDF=∠CDP, 于点M,交BC于点N,易证 △APn△PEN,-祭， △P△nDF,帶-器=厄， 易证兴-器兴 Bn=ECR部-安Bm=, ∴.CP=22. AD_10_5·PA_5 CD-6=3PE31 专练29全等与相似 典例导练 2.过点E作MN∥AB分别交AD, (1)PQ=BP++DQ BC于点M,N,过点A作AG⊥ BD于点G,则△EFN∽△AEM, (2)①△BAM∽△CAQ,△DAN∽ △EF∽△ABG,A-是 △CAP,△ANM∽△APQ证明： △BAMP△CAQ,四边形ABCD是 器别器-畏=青H 正方形，∴.∠ABM=∠ACQ=∠BAC =45°，AC=√2AB,∠BAC= 专AG易汪部-部-告AD ∠PAQ=45°，∴.∠BAM=∠CAQ, =G器-品 ∴.△BAM∽△CAQ,相似比为BA: CA=1V2. 专练28相似与特殊 图形（五）正方形 ②易证ADAN△CAP,是-8 典例导练 过点F作FH⊥BC于点H, 2,由(2)证△BAE△CAQ, 53 岩是9器器竖，AC.BD.R∥ACE是 .∠MAN=∠QAP,∴.△ANM∽ △ACD的中位线，∴FE=2AC= △MP0洽祭号由①可知 ,CE=号CD=2,在R△BFE PQ-BP+DQ-4+6-10,.MN- 中，tan∠FBD= FE 33 10 B=8十2=0 9Mw=52 知能检测 1.25 专练30相似之类比探究 2.(1)证明略 典例导练 (2)tan∠BCF=tanBEA=w√15. (1)2(2)2 专练32三角函数与其他 (3)过点P作DP⊥AB于点P,DQ⊥ 知识的结合 AC于点Q,∴.∠DPA=∠DQA= 典例导练 ∠A=90°，.四边形APDQ是矩形， 延长AB交DC的延长线于点M, DP-AQ,0-AP,品-号， ∴.∠BCM=∠A=53°，.cos53°= BC 需0年DP/ 0.6,CM=10,BM=8, ..AM=AB+BM=18,.'AD= AC,DQ∥AB,∴.△DQC∽△BAC, AM·cosA=10.8,DM=AM· △DP△CB器-常器 sinA=14.4,∴.截面的面积=SAM DQ-”、 BD CB ·AB=abDp Sx-7·AD·DM-2BC: B0.AC-a BM=53.76(cm2). +b' 知能检测 4b 器阳卖2 (1)W3 (2)设直线AD的解析式为y=mx十 a+b n根据题意，得点A(2,2√3)，B(4, (4)当△DEF与△ABC相似时，CD 0), 5或8. 2m+n=2w m=-√3 ,解得 专练31三角函数与三角形、四边形 (4m+n=0 (n=4v5 典例导练 ∴.直线AD的解析式为y=一√3x I:ACLBD,.s∠ABC-器 /y=-√3x+45 +4√3，联立，得 号，BC-8,AB=10,在R△ACB = x 中，由勾股定理得，AC= 解得x=2十√3或x=2-√3（舍 √AB2-BC=√102-82=6，即 去)，.点D(2+3,2W3-3), AC的长为6. ∴tan∠D0B=25-3=7N5-12. (2)连接CF,过F点作BD的垂线， 2+√3 垂足E,,F是AD中点，FE⊥BD, 54(25 专练25相似与特殊图形（二） 等腰三角形 【方法规律】借助等腰三角形的性质及45°，60°等特殊角寻求相似解决问题. 典例导练 模型一特殊三角形中的一线三等角型相似 示范题如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC中点，点E在 BA延长线上，点F在AC边上，∠EDF=∠B.求证： (1)△BDEC∽△CFD. (2)DF2=EF·CF. 【思路点拨】(1)由等腰三角形的性质可得∠B=∠ACB,由外角的性质可得∠DEB =∠CDF. (2)由相似三角形的性质可得号器-是是，可证△CDP△DEE 【自主解答】 心知能检测 1.如图，D是等边△ABC的边AB上的一点，且AD:DB=1:2,现将 △ACB折叠，使点C与点D重合，折痕为EF,点E,F分别在AC和BC 上，则器 模型二利用等腰构相似 2.如图，在△ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，且AD=AE,∠ADE=∠B.求证： CE_BD CD AE 26 专练26相似与特殊图形（三） 平行四边形 【方法规律】由平行四边形的性质（平行或相等）寻找相似三角形求解， )典例导练 模型一利用平行四边形的平行条件构造A,X型相似 示范题如图，在□☐ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,在 DC的延长线上取一点E,使CE=CD,连接OE交BC于点F,求 恶的值 【思路点拨】作OG∥BC,可得OG为△BDC的中位线，再证明△ECFC∽△EGO. 【自主解答】 心知能检测 模型二利用平行四边形的性质导角寻求相似 1.如图，在□ABCD中，点E在边AB上，DE=AE·CD.求证：AD·CD=CE·DE. 2.如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，在AD边上取一点F,连接BF交AC于点 E,并延长BF交CD的延长线于点G. (1)若∠ABF=∠ACF,求证：CE=EF·EG. (2)若DG=DC,BE=7,求EF的长