专练23 相似之基本辅助线&专练24 相似与特殊图形(一)直角三角形-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（沪科版·新教材）

23 专练23相似之基本辅助线 【方法规律】(1)作平行线构造“A”或“X”形相似. (2)作垂线并利用直角条件构造直角三角形相似，转化线段的比. )典例导练 示范题1如图，点D、E分别位于△ABC边BC、AB上，AD与 CE交于点F.已知AF:FD=1:1,EF:FC=1:4,则BD:CD= 【思路点拨】过，点D作DH∥EF,交AB于点H,利用相似三角形 的判定与性质和比例的性质解答 B< 示范题2如图，AD∥BC,∠BCD=90°，DE⊥AB于点E,若BC=3,AD=6,则AE ·AB= 【思路点拨】作BG⊥AD于，点G,△ABGP△ADE,则AE·AB=AD·AG 知能检测 D 1.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线1∥l2∥l,l☑1与l2之间距离是1， 12与l3之间距离是2，且l,l2,l3分别经过点A,B,C,求AC的长. 2.1如图1，已知AD是△ABC的角平分线，求证：怨部 (2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是边BC上一点.连接AD,将△ACD沿 AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处.若AC=1,AB-2,则DE的长 为 24 专练24相似与特殊图形（一） 直角三角形 【方法规律】巧用直角三角形中射影型相似及作垂直构造相似. ☒典例导练 模型一射影型相似 示范题如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥ AB,我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2=AD· AB,这个结论称之为射影定理. D B 如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC, 图1 图2 BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF,试利用射影定理证 明△BOF∽△BED, 【思路点拨】根据射影定理得BC=BO·BD,BC=BF·BE,则BO·BD=BF·BE. 【自主解答】 之知能检测 模型二作垂直构造相似 1.如图，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°，点E,F分别在CA,CB上，将△CEF沿直 线EF翻折，点C恰好落在AB上的点M处，者AM=-3AM,求器的值 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O在AB上， OM、ON分别交CA、CB于点P、Q,∠MON绕点O任意旋转 (1)当8器-号时，85的值为 (②)当器-号时，球*5的值（用含n的式子表示） n和B(4,5)代入二次函数y=x2十：①当四边形ACMN为平行四边 1-b+c=0 bx十c中得：16+4b十c=5 形时，AC平移到NM,有 解得 m=0+2 b=一2、二次函数的解析式 (yM=2+ ,解得：m=2,yM= c=-3 为：y=x2-2x-3. 9,即M(2,-9):@当四边 (2)存在，y=x2-2x-3=(x- 形ACNM为平行四边形时，AC平 1)2-4,∴.设P(1,m),分三种情 移到MN,有 m=-3- yM=n-2 ,解得：m= 况：①以点B为直角顶点时，由勾 股定理得：PB2十AB2=PA, 4,M= ∴.(4-1)2+(m-5)2+(4+1)2 号即M-4,-9》: +52=(1+1)2十m2,解得：m=8, ③当四边形AMCN为平行四边 .P(1,8);②以点A为直角顶点 -1=-3+0 2 2 时，由勾股定理得：PA2+AB2= 形时，有： ,解得： PB2,∴.(1+1)2+m2+(4+1)2+ ym十n_0+2 2 2 52=(4-1)2+(m-5)2,解得：m m=-2,yw=2,即M(-2,2). =-2,.P(1,-2);③以点P为 直角顶点时，由勾股定理得：PA2 综上所述，点M的坐标为（2， +PB2=AB2,∴.(1+1)2+m2+ (1-4)2+(m-5)2=(4+1)2+ 9)或(-4，-9)或(-2,2). 52,解得：m=6或-1，∴.P(1,6) 专练15 二次函数综合（五） 或(1，一1).综上，点P的坐标为 面积问题 (1,8)或(1，-2)或(1,6)或(1，-1). 典例导练 知能检测 X2+2b+c=0 (1,1) (1)由题意，得 专练14二次函数综合（四） 号×g+86+c=6 抛物线与平行四边形 b=- 典例导练 解得： ,二次函数解析式 c=6 (1)易求点A,B的坐标：A(一3， 0),B(1,0),由题意，得 为：y2-4r+6: a+b+2=0 a=- 2 (2).二次函数的对称轴交x轴 (9a-36+2=0'解得 于C点..C点的坐标为(4,0)， b= 4 3 易求BC所在的直线解析式为y ∴.抛物线解析式为y=一 号x一6，：E点是直线=是x 3x+2; 6与二次函数)y=2-4x十6的 (2)以AC为边或对角线分类讨 论：A(-3,0),C(0,2),抛物线y 图象的交点，心是x一6=合2 号导x十2的对称轴为之 4x十6，解得：x1=3,x2=8(舍 =-1,设M(m,yM),N(-1,n), 去)，当x=3时，y=多X3-6= 2 2 3m+2, -2E(3,-)Sa 49 1X2 Saa+Sae=X2X6+ .BE:OE=1:2,OB=6√2，∴.EO ×是-号 -号0B=42,AB+A0 2AB2=BO=(6√2)2，∴.EF= 专练16反比例函数与一次函数 OF=4,AB=6, 典例导练 ∴.E(-4,4),把E(-4,4)代入y (1):反比例函数y=(k>0,x> =金得导=一4，解得=一16， 0)的图象经过A(2,m十3)，B(8,m) 两点..2(m十3)=8m,解得：m= y=-16 1,.A(2,4),B(8,1),k=8,.反 设BD=CD=b,则C(6一b,b+ 比例函数的表达式：y=8 6),把C(b-6,b+6)代入y= (2)①根据角平分线的作法，图略. 19,得6+6=一2.8 ②易求直线AB的解析式为：y= 20,.BC=26=40,.OB2 .1 x+5.直线OP的解析式为：y BC2=(6√2)2-40=32. 专练19反比例函数与特殊四边形 y=x =x,联立方程得： 1 典例导练 y=-2x+5 3 _10 知能检测 解得 10 交点P的坐标为1.162.33.12 y= 专练20反比例函数与图形 3 变换（一）平移 (9》 典例导练 知能检测 (1)A(1,4),B(4,4),∴.AB=4- (1)8(2)22-2 1=3,:AC=2BC,AC-=号AB 专练17反比例函数与面积计算 典例导练 2∴C(3,4),:函数y=(x>0)的 2 图象过点C,∴.k=3X4=12; 知能检测 (2):点A、B的坐标分别为(1,4) 1.32.2√2 (4,4),∴.将线段AB向上平移m(m 3.612m >0)个单位长度后，得到A'(1,4十 n+1 专练18反比例函数与特殊三角形 m,B(4,4+m)D(号，4+m), 典例导练 .线段A'B的中点D在函数y= 1 是的图象上，∴号（4十m)=12,解 知能检测 得m=号 1贸 知能检测 2.(1)y=-x 由题意，可知AB中点坐标为 (2)过E作EF⊥x轴于F, (-1+m,1),BC的中点坐标为 .∠AOB=45°，.∠E0F=45°， (一2+m,0),AC的中点坐标为 ∴△OEF是等腰直角三角形， (-2+m,-2),分情况讨论： .'.EF=FO, ①当AB,中点落在反比例函数 50 y是的图象上时，得-1十m= 高，.∠ADC=90°，.∠A+ ∠ACD=90°，.∠A=∠BCD, 3,解得m=4;②当B1C中点落 :BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE 在反比例函数y=3的图象上 x =∠CBE,△AEB△CFR∴' 时，此种情况不存在；③当AC 中点落在反比例函数y=3的图 帶：∠ABE=∠cE,∠CEr- 90°-∠CBE,∠CFE=∠BFD=90° 象上时，得-2(-2十m)=3,解 ∠ABE,∴.∠CEF=∠CFE,∴.CE= 得m=号，综上所述，m的值为4( 浩帶 或 知能检测 1.,四边形ABCD为正方形， 专练21反比例函数与图形 ∴.AB=BC,∠A=∠C=90°，AB 变换（二）对称与旋转 ∥CD,∴.∠ABE=∠F, 典例导练 (1).点A(1,3),点B(n,1)在反比 △ABBn△CFB,8得-， 例函数)-(m≠0)上∴m=1× .AB·BC=AE·CF,∴AB2= AE·CF. 3=X1,∴m=3,n=3,反比例2.：四边形ABCD为菱形，∠ACB 函数为y=点B(3,1),把A,B =∠ACD,即∠ACD=7∠BCD, 的坐标代入y=x+b得 1+b=3 k=-1 '∠EAF=2∠BCD,∴∠ACD 31·解得=4 。，一次 =∠EAF,,∠AFC=∠GFA, 函数为：y=一x十4； ∠FCA=∠FAG,∴.△FAC∽ (2)4 △FGA,∴AF:FG=CF:AF, (3)如图2，过A点作x轴的平行线 ∴.AF2=FC·FG. CD,作FC⊥CD于C,ED⊥CD于 专练23相似之基本辅助线 D,设E(a,）a>1),:A(1,3, 典例导练 2 18 AD=a-1,DE=3-名，易证 知能检测 △ACF≌△EDA(AAS),.CF= 1.过点B作MN⊥L2,交l于点N, AD=a-1,AC-DE=3-3 交l于点M,则△NAB∽ a r(8-2,4-a(a-2)4 △MBC器-能-号M 一a)=3,解得a=6或a=1(舍)， -景5BA=NB+T- E(6,）. V2 3 ,AC=2BA=号VI. 知能检测 2.(1)过点C作CE∥AB,交AD的 -14 延长线于点E, 专练22巧证比例式或等积式 CE∥AB,∴.∠E=∠EAB, 典例导练 ∠B=∠ECB,..△CED 证明：∠ACB=90°，.∠ACD+ ∠BCD=90°，，CD为AB边上的 △BAD,∴器-品：∠E= 51 ∠EAB,∠EAB=∠CAD, 又.∠EDF=∠B=∠ACB, ∴∠E=∠CAD,.CE=CA, ·ABBD ACDRADE,漂B, ·ACCD ∴.DF=EF·CF. (2) 知能检测 3 专练24 相似与特殊 1号 图形（一）直角三角形 2.过点C作CH∥AD交DE的延 典例导练 长线于点H,则∠ADE=∠H= .四边形ABCD为正方形，.OCL ∠B,.AD=AE,.∠H= BO,∠BCD=90°，∴.BC=BO· ∠ADE=∠AED=∠CEH, BD,CF⊥BE,∴.BC=BF·BE, ∴.CE=CH, ÷B0·BD=BF·BE,即器 :∠ADC=∠ADE+∠HDC= ∠B+∠BAD,∴.∠HDC= BD,而∠OBF=∠EBD,△BOF B ∠BAD,.△BAD∽△HDC, P△BED. .CH-BD.CE_BD CD=AD…CD=AE· 知能检测 专练26相似与特殊 1.连接CM,则EF垂直平分CM, 图形（三）平行四边形 过点M作MN⊥BC于点N,证 典例导练 △CEr△NCM:器-深 作OG∥BC,交边CD于点G,O BNBM 1 为BD中点，.OG为△BDC的中 CN=AM3· 位线，0G-号BC,又：CE=2CD, 2a鸣 CF/0G,△CRPGO,÷ (2)作OD⊥AC于D,OE⊥BC于 E易证△POD△QOE,得8贺 CE 1 CF 1 EG2'AD4 -8C在R△A0D和Rt△OE 知能检测 1.在□ABCD中，AB∥CD, 中，0D-0A.0E=0B, .∠AED=∠CDE,.DE=AE ·CDDE=CD .OP_3 AE=D是，∴△ADEO …0Qn1 专练25相似与特殊 △CD0-器AD.CD 图形（二）等腰三角形 =CE·DE. 典例导练 2.(1)证明：：AB∥CG,∴.∠ABF 证明：（1).AB=AC,.∠B= =∠G,又.·∠ABF=∠ACF, ∠ACB,.∠EDF=∠B,∠EDC= ∴.∠ECF=∠G, ∠B+∠BED=∠EDF+∠FDC, 又∠CEF=∠GEC,∴△ECF .∠DEB=∠CDF,.△BDE∽ △CFD. ABcC器-3，即CE (2)点D是BC的中点，∴.BD= EF·EG CD,由(1)可知：△BDE∽△CFD, (2),平行四边形ABCD中，AB 哪漂 =CD,又DG=DC,AB=CD =DG,..AB:CG=1:2,.'AB// 52 .∠DCH=90°，CF平分∠DCH, 2EG=14,BG=21.AB∥ ∠FPCH=∠DCH=45,∴FH =CH,易证△BAE∽△HEF, DG器 AB DG =1,BF= ∴.AB:EH=BE:FH,∴.4：(4-x十 2BC-,∴EF=BR-BE= FH)=z:FH,..FH=x,= XCEXFH=-2(4-)·x=2z 1 专练27相似与特 殊图形（四）矩形 知能检测 典例导练 1.分别延长AE,DC交于点K, 过点E作EM⊥AB交BA的延长 △ABE∽△KCE, 线于点M,则EM=2AE=1, ∴.AE:EK=BE:CE,E是BC中 :∠EMB=∠HBC=90°，且CH⊥ 点，则BE=CE,AE=EK, GH平分AE,∴.EK=AE= BE,△EMBC△HBC,÷ 2AF,FK-3AF, BH·BM=EM·BC=2, AG∥HK,∴.△AGF∽△KHF, ∴.GF:FH=AF:FK=1:3. BE 易证△BGH∽△BME,B 2.(1)设EP=x,则PD=2x,PA=4x, 易证△ABF≌△DAP, EBE·DG=BI,BM=2 ∴.AF=DP=2x,∴.PF=2x=AF. 知能检测 (2)连接BD,DF,易知BD=√2CD, 1.过点P作AD的垂线MN,交AD DF=√2DP,∠BDF=∠CDP, 于点M,交BC于点N,易证 △APn△PEN,-祭， △P△nDF,帶-器=厄， 易证兴-器兴 Bn=ECR部-安Bm=, ∴.CP=22. AD_10_5·PA_5 CD-6=3PE31 专练29全等与相似 典例导练 2.过点E作MN∥AB分别交AD, (1)PQ=BP++DQ BC于点M,N,过点A作AG⊥ BD于点G,则△EFN∽△AEM, (2)①△BAM∽△CAQ,△DAN∽ △EF∽△ABG,A-是 △CAP,△ANM∽△APQ证明： △BAMP△CAQ,四边形ABCD是 器别器-畏=青H 正方形，∴.∠ABM=∠ACQ=∠BAC =45°，AC=√2AB,∠BAC= 专AG易汪部-部-告AD ∠PAQ=45°，∴.∠BAM=∠CAQ, =G器-品 ∴.△BAM∽△CAQ,相似比为BA: CA=1V2. 专练28相似与特殊 图形（五）正方形 ②易证ADAN△CAP,是-8 典例导练 过点F作FH⊥BC于点H, 2,由(2)证△BAE△CAQ, 53 岩是9器器竖，AC.BD.R∥ACE是 .∠MAN=∠QAP,∴.△ANM∽ △ACD的中位线，∴FE=2AC= △MP0洽祭号由①可知 ,CE=号CD=2,在R△BFE PQ-BP+DQ-4+6-10,.MN- 中，tan∠FBD= FE 33 10 B=8十2=0 9Mw=52 知能检测 1.25 专练30相似之类比探究 2.(1)证明略 典例导练 (2)tan∠BCF=tanBEA=w√15. (1)2(2)2 专练32三角函数与其他 (3)过点P作DP⊥AB于点P,DQ⊥ 知识的结合 AC于点Q,∴.∠DPA=∠DQA= 典例导练 ∠A=90°，.四边形APDQ是矩形， 延长AB交DC的延长线于点M, DP-AQ,0-AP,品-号， ∴.∠BCM=∠A=53°，.cos53°= BC 需0年DP/ 0.6,CM=10,BM=8, ..AM=AB+BM=18,.'AD= AC,DQ∥AB,∴.△DQC∽△BAC, AM·cosA=10.8,DM=AM· △DP△CB器-常器 sinA=14.4,∴.截面的面积=SAM DQ-”、 BD CB ·AB=abDp Sx-7·AD·DM-2BC: B0.AC-a BM=53.76(cm2). +b' 知能检测 4b 器阳卖2 (1)W3 (2)设直线AD的解析式为y=mx十 a+b n根据题意，得点A(2,2√3)，B(4, (4)当△DEF与△ABC相似时，CD 0), 5或8. 2m+n=2w m=-√3 ,解得 专练31三角函数与三角形、四边形 (4m+n=0 (n=4v5 典例导练 ∴.直线AD的解析式为y=一√3x I:ACLBD,.s∠ABC-器 /y=-√3x+45 +4√3，联立，得 号，BC-8,AB=10,在R△ACB = x 中，由勾股定理得，AC= 解得x=2十√3或x=2-√3（舍 √AB2-BC=√102-82=6，即 去)，.点D(2+3,2W3-3), AC的长为6. ∴tan∠D0B=25-3=7N5-12. (2)连接CF,过F点作BD的垂线， 2+√3 垂足E,,F是AD中点，FE⊥BD, 54