专练13 二次函数综合(三)抛物线与直角三角形&专练14 二次函数综合(四)抛物线与平行四边形-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（沪科版·新教材）

=1..抛物线的解析式为y= (3)一m>2时，x=2函数有最小 x2-4x+3. 值，则4+4m+m+2=一3，解得 2.由题意，得对称轴为直线x= m=- 号〔合去).综上所述，m的 4m=2,点C坐标为(0， 2m m),0C=OB=m,0A=3,由抛 值为3或团 知能检测 物线对称轴可得， 2=2,解 1.名或-3 2.y=-x2+2x-3=-(x-1)2 得：n=3,将B(3,0)代人y= 一2，函数图象开口方向向下， mx2-4mx+3,得9m-12m+ 对称轴为直线x=1,顶点为(1， 3=0,.m=1,∴.抛物线的解析 -2) 式为：y=x2一4x+3. (1)当a-3>1时，此时x=a 专练03求二次函数解析式（三） 3时，y取最大值一3，可得：一3 图象变换 =-(a-3-1)2-2,解得a=5 典例导练 或3（舍去） 示范题1y=x2十4x一5=(x十 (2)当a十2<1，此时x=a十2 2)2-9,设y=(x+2-)2-9, 时，y取最大值-3，可得：一3= 由题意，得(2-p)2一9=0，解得p -(a十2-1)2-2，解得a=-2 =5或p=一1（舍去)，故p的值 或0（舍去）. 为5. (3)当a-3≤1≤a+2时，y的 示范题2287 最大值为一2，此时不符合题 知能检测 意.综上，a的值为5或一2. 1.y=3(x+1)2-1 专练05数形结合（一） 2.y= 2(x-1)2 1 函数值的大小比较 典例导练 3.y= (z-3)2+3y 3 & 专练04 二次函数的区间最值 知能检测 与增减问题 1.C 典例导练 2.-1<n<0 y=x2+2m,x+m+2=(x+m)2 由题意，可知抛物线开口向上， 十2十m一m2,对称轴为直线x= 对称轴为直线x=1, -m, .A,B两点在对称轴x=1的 (1)当-m<-2时，即m>2时，x 两侧，则点A在x=1的右侧， =一2函数有最小值，则4一4m十 列不等式组 m十2=一3，解得m=3. r2n+3>1 (2)当一2≤-m≤2时，x=一m n-1<1 函数有最小值，则2十m一m2= 1-(n-1)>2n+3-1 解得-1<n<0. 3,解得m=1+)2(舍去)，m 2 专练06数形结合（二） -1-w21 二次函数图象与系数a,b,c的关系 2 典例导练 46 C 30000,则一25x2+2000x= 知能检测 30000,解得x=60或20，.28≤x 1.B2.B <80,∴.60≤x<80时，安装成本 专练07数形结合（三） 分析 不超过30000元. 一元二次方程的根 专练09二次函数的应用（二） 典例导练 商品利润 m2-3m(-1<m<0） 典例导练 (1)d=-m+3m(0<m<3) (1)当50≤x≤80时，y=210-(x (2)①号<d<4时，点P的个数 50),即y=260-x,当80<x≤ 140时，y=210-(80-50)-3(x 为1，②d=是时，点P的个数为2： -80),即y=420-3x.∴.y= 260-x(50≤x≤80) ③0<d<9时，点P的个数为3. 420-3x(80<x≤140)1 知能检测 (2)当50≤x≤80时，销售利润： 1.D2.D =(x-40)(260-x)=-x2十 专练08 二次函数的应用（一） 300x-10400;当80<x≤140时， 图形面积 =(x-40)(420-3x)=-3x2+ 典例导练 540x一16800.综上分析可知，= -x2+300x-10400(50≤x≤80) (1)由题意得，AE=HG= AD -3x2+540x-16800(80x≤140) 2xm,DC=AB=(200- (3)当50≤x≤80时，w=-x2十 300x-10400=-(x-150)2+ =(100-xm,故y=x(100 12100,当x=80时有最大值，最 大值为：-(80-150)2+12100 )=-号d+10,自变量x的 7200(元)；当80<x≤140时，w= 取值范围为：28≤x<80. -3x2+540x-16800=-3(x 5 90)2+7500,当x=90时，有最大 (2)由题意可得：y=一x2+ 值，最大值为7500元.故售价定 100x=- (x (x-80)=- 为90元时.每个月可获得最大利 润，最大利润为7500元. -40)2+2000,.28≤x<80, 专练10二次函数的应用（三）》 .当x=40时，y有最大值，最大 实物抛物线 值为2000m2. 典例导练 (3)由题意得，S矩形EGH=AG·AE (1)依题意，设该抛物线的表达式 =(1o0-·x=- 52 为y=a(x-4)2十3，由抛物线过 十25.x,SE形Erc=DC·DE= 点A,有16a十3=2.解得a= 1 (1o0-是)·2x=-82+ 一该抛物线的表达式为y 50x,设安装成本为心元，则= 6-4)+3. 40(-6x+25x)+20(-日x (2)令y=0,得-6x-402+3= +50x)=-25x2+2000x,令= :0,解得m=4+4V3,x2=4-4√3(C 47 为x轴正半轴，故舍去.二点C的百，解得m<一号∴m的取值范 6 坐标为(4十4√3,0)，∴.OC=4+ 4√3>10.∴.小明此次试投的成绩 围是m≤一号 达到优秀 专练12 二次函数综合（二） 知能检测 抛物线与等腰三角形 (1)y=-2(x-1)2+8 典例导练 (2)设抛物线的表达式为y=一2(x -1-b+c=0 一1)2+k,把(3.5,0)代入可得k= (1)由题意，得 -9+3b+c=01 12.5,∴.解析式为y=-2(x-1)2 6=2 +12.5,当x=0时，y=10.5. 解得：C=3b=2,c=3 答：水管OA的高度调整为10.5m (2),抛物线的函数表达式为：y= 专练11二次函数综合（一） -x2+2x十3，.C(0,3),设直线BC 抛物线与线段 的解析式为y=x十3，将点B(3,0) 典例导练 代入y=x十3，解得：k=一1，∴.直 (1)抛物线C过A(0,1),B(6, 线BC的解析式为y=一x十3， (c=1 3)两点，. 解 设点P(x,-x2+2x+3),则点H ×8+60+c=-3 (x,-x十3)，由点P、C、H的坐 7 标得PH=(-x2+3x)2,CH= b=- 得 6,则抛物线C的函数解 2x2,PC=x2+(-x2+2x)2.分 c=1 三种情况： 析式为y= ①当PC=CH时，2x2=x2十 (-x2+2x)2,整理，得x4-4x3十 (2).抛物线C2的对称轴是直线 3x2=0,x>0,∴.x2-4x十3= x=6,则 m 2x =6,解得m= 0,解得xc1=1,x2=3(不合题意， 舍去)，.点P的坐标为(1,4)； ∴抛物线C的解析式为：y 3 ②当PC=PH时，x2+(-x2十 2x)2=(一x2十3x)2,整理，得2x =日2-多-2，由题意PQ=1, -4x2=0,.x>0,∴.2x-4=0, 则2r2-6x+1-(日2-3x 解得x=2,∴.P(2,3); ③当PH=CH时，(-x2+3x)2 2)=1.整理，得x2-8x-48=0, =2x2,整理，得x2一6x十7=0，解 解得x1=-4(舍去)，x2=12, 得x1=3-√2，x2=3十√2，由题 ∴.点P的横坐标为12. 意，得0<x<3,∴x=3-√2， (3):=22-x+1=x ∴.P(3-√2,4√2-2) 综上可得，点P的坐标为(1,4)或 7)2 韶此时点Q的坐标为 (2,3)或(3-√2,4√2-2). (7,一)则点P的坐标为(7， 专练13二次函数综合（三） 抛物线与直角三角形 8×7+7m-2),又：PQ≥25 , 典例导练 --(×+7m-2)≥ (1)由题意，得AC-5,OC=4,,AC =BC=5,∴.B(4,5),把A(-1,0) 48 和B(4,5)代入二次函数y=x2十：①当四边形ACMN为平行四边 1-b+c=0 bx十c中得：16+4b十c=5 形时，AC平移到NM,有 解得 m=0+2 b=一2、二次函数的解析式 (yM=2+ ,解得：m=2,yM= c=-3 为：y=x2-2x-3. 9,即M(2,-9):@当四边 (2)存在，y=x2-2x-3=(x- 形ACNM为平行四边形时，AC平 1)2-4,∴.设P(1,m),分三种情 移到MN,有 m=-3- yM=n-2 ,解得：m= 况：①以点B为直角顶点时，由勾 股定理得：PB2十AB2=PA, 4,M= ∴.(4-1)2+(m-5)2+(4+1)2 号即M-4,-9》: +52=(1+1)2十m2,解得：m=8, ③当四边形AMCN为平行四边 .P(1,8);②以点A为直角顶点 -1=-3+0 2 2 时，由勾股定理得：PA2+AB2= 形时，有： ,解得： PB2,∴.(1+1)2+m2+(4+1)2+ ym十n_0+2 2 2 52=(4-1)2+(m-5)2,解得：m m=-2,yw=2,即M(-2,2). =-2,.P(1,-2);③以点P为 直角顶点时，由勾股定理得：PA2 综上所述，点M的坐标为（2， +PB2=AB2,∴.(1+1)2+m2+ (1-4)2+(m-5)2=(4+1)2+ 9)或(-4，-9)或(-2,2). 52,解得：m=6或-1，∴.P(1,6) 专练15 二次函数综合（五） 或(1，一1).综上，点P的坐标为 面积问题 (1,8)或(1，-2)或(1,6)或(1，-1). 典例导练 知能检测 X2+2b+c=0 (1,1) (1)由题意，得 专练14二次函数综合（四） 号×g+86+c=6 抛物线与平行四边形 b=- 典例导练 解得： ,二次函数解析式 c=6 (1)易求点A,B的坐标：A(一3， 0),B(1,0),由题意，得 为：y2-4r+6: a+b+2=0 a=- 2 (2).二次函数的对称轴交x轴 (9a-36+2=0'解得 于C点..C点的坐标为(4,0)， b= 4 3 易求BC所在的直线解析式为y ∴.抛物线解析式为y=一 号x一6，：E点是直线=是x 3x+2; 6与二次函数)y=2-4x十6的 (2)以AC为边或对角线分类讨 论：A(-3,0),C(0,2),抛物线y 图象的交点，心是x一6=合2 号导x十2的对称轴为之 4x十6，解得：x1=3,x2=8(舍 =-1,设M(m,yM),N(-1,n), 去)，当x=3时，y=多X3-6= 2 2 3m+2, -2E(3,-)Sa 49 1X2 Saa+Sae=X2X6+ .BE:OE=1:2,OB=6√2，∴.EO ×是-号 -号0B=42,AB+A0 2AB2=BO=(6√2)2，∴.EF= 专练16反比例函数与一次函数 OF=4,AB=6, 典例导练 ∴.E(-4,4),把E(-4,4)代入y (1):反比例函数y=(k>0,x> =金得导=一4，解得=一16， 0)的图象经过A(2,m十3)，B(8,m) 两点..2(m十3)=8m,解得：m= y=-16 1,.A(2,4),B(8,1),k=8,.反 设BD=CD=b,则C(6一b,b+ 比例函数的表达式：y=8 6),把C(b-6,b+6)代入y= (2)①根据角平分线的作法，图略. 19,得6+6=一2.8 ②易求直线AB的解析式为：y= 20,.BC=26=40,.OB2 .1 x+5.直线OP的解析式为：y BC2=(6√2)2-40=32. 专练19反比例函数与特殊四边形 y=x =x,联立方程得： 1 典例导练 y=-2x+5 3 _10 知能检测 解得 10 交点P的坐标为1.162.33.12 y= 专练20反比例函数与图形 3 变换（一）平移 (9》 典例导练 知能检测 (1)A(1,4),B(4,4),∴.AB=4- (1)8(2)22-2 1=3,:AC=2BC,AC-=号AB 专练17反比例函数与面积计算 典例导练 2∴C(3,4),:函数y=(x>0)的 2 图象过点C,∴.k=3X4=12; 知能检测 (2):点A、B的坐标分别为(1,4) 1.32.2√2 (4,4),∴.将线段AB向上平移m(m 3.612m >0)个单位长度后，得到A'(1,4十 n+1 专练18反比例函数与特殊三角形 m,B(4,4+m)D(号，4+m), 典例导练 .线段A'B的中点D在函数y= 1 是的图象上，∴号（4十m)=12,解 知能检测 得m=号 1贸 知能检测 2.(1)y=-x 由题意，可知AB中点坐标为 (2)过E作EF⊥x轴于F, (-1+m,1),BC的中点坐标为 .∠AOB=45°，.∠E0F=45°， (一2+m,0),AC的中点坐标为 ∴△OEF是等腰直角三角形， (-2+m,-2),分情况讨论： .'.EF=FO, ①当AB,中点落在反比例函数 50 y是的图象上时，得-1十m= 高，.∠ADC=90°，.∠A+ ∠ACD=90°，.∠A=∠BCD, 3,解得m=4;②当B1C中点落 :BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE 在反比例函数y=3的图象上 x =∠CBE,△AEB△CFR∴' 时，此种情况不存在；③当AC 中点落在反比例函数y=3的图 帶：∠ABE=∠cE,∠CEr- 90°-∠CBE,∠CFE=∠BFD=90° 象上时，得-2(-2十m)=3,解 ∠ABE,∴.∠CEF=∠CFE,∴.CE= 得m=号，综上所述，m的值为4( 浩帶 或 知能检测 1.,四边形ABCD为正方形， 专练21反比例函数与图形 ∴.AB=BC,∠A=∠C=90°，AB 变换（二）对称与旋转 ∥CD,∴.∠ABE=∠F, 典例导练 (1).点A(1,3),点B(n,1)在反比 △ABBn△CFB,8得-， 例函数)-(m≠0)上∴m=1× .AB·BC=AE·CF,∴AB2= AE·CF. 3=X1,∴m=3,n=3,反比例2.：四边形ABCD为菱形，∠ACB 函数为y=点B(3,1),把A,B =∠ACD,即∠ACD=7∠BCD, 的坐标代入y=x+b得 1+b=3 k=-1 '∠EAF=2∠BCD,∴∠ACD 31·解得=4 。，一次 =∠EAF,,∠AFC=∠GFA, 函数为：y=一x十4； ∠FCA=∠FAG,∴.△FAC∽ (2)4 △FGA,∴AF:FG=CF:AF, (3)如图2，过A点作x轴的平行线 ∴.AF2=FC·FG. CD,作FC⊥CD于C,ED⊥CD于 专练23相似之基本辅助线 D,设E(a,）a>1),:A(1,3, 典例导练 2 18 AD=a-1,DE=3-名，易证 知能检测 △ACF≌△EDA(AAS),.CF= 1.过点B作MN⊥L2,交l于点N, AD=a-1,AC-DE=3-3 交l于点M,则△NAB∽ a r(8-2,4-a(a-2)4 △MBC器-能-号M 一a)=3,解得a=6或a=1(舍)， -景5BA=NB+T- E(6,）. V2 3 ,AC=2BA=号VI. 知能检测 2.(1)过点C作CE∥AB,交AD的 -14 延长线于点E, 专练22巧证比例式或等积式 CE∥AB,∴.∠E=∠EAB, 典例导练 ∠B=∠ECB,..△CED 证明：∠ACB=90°，.∠ACD+ ∠BCD=90°，，CD为AB边上的 △BAD,∴器-品：∠E= 5113 专练13二次函数综合（三） 抛物线与直角三角形 【方法规律】熟练运用待定系数法和分类讨论思想是解此类题的关键. )典例导练 示范题如图，已知二次函数y=x2+bx十c经过A,B两点，BCLx轴于点C,且点 A(-1,0),C(4,0),AC=BC (1)求抛物线的解析式： (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使 △ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说 明理由。 【思路点拔】(I)先求得，点B的坐标，然后将，点A和，点B的坐标代入抛物线的解析式 可得到关于b,c的方程组，从而可求得b,c的值. (2)存在，设P(1,m),分别以A,B,P为直角顶点，根据勾股定理和两点的距离公式 列方程，解方程即可. 【自主解答】 知能检测 如图，抛物线y=一22十x十4与x轴交于A,B两点（点A在点B的 左侧)，与y轴交于点C,已知点C关于抛物线对称轴的对称点为P, 连接PB,PC.若点M在PC的垂直平分线上，且在第一象限内，当 △BPM是等腰直角三角形时，点M的坐标为 14 专练14二次函数综合（四） 抛物线与平行四边形 【方法规律】(1)平行四边形的存在题型要学会利用平行四边形的中心对称性进行 分类讨论 (2)求点的坐标：①通过点的平移，构造全等三角形来求坐标；②由中点坐标公式可得坐 标系中□APBQ的四个点A,P,B,Q的坐标满足xA十xB=xp十xQ,ya十yB=yp十yQ 心)典例导练 示范题如图，抛物线y=ax2十bx十2与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB =4,矩形OBDC的边CD=1,延长DC交抛物线于点E. (1)求抛物线的解析式. (2)如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M,使 得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有 满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由. 【思路点拨】(1)求出A、B两，点坐标，再用待定系数法即可求解」 (2)分AC为边、AC为对角线两种情况，利用坐标中点公式，分别求解即可. 【自主解答】