专练21 反比例函数与图形变换(二)对称与旋转&专练22 巧证比例式或等积式-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（沪科版·新教材）

21 专练21反比例函数与图形变换（二）对称与旋转 【方法规律】涉及图形变换，解题的关键是求出变换前后对应点的坐标 典例导练 示范题如图1，反比例函数y一(m≠0)与一次函数y=kz十b(k≠0)的图象交于 点A(1,3),点B(n,1),一次函数y=kx+b(k≠0)与y轴相交于点C. (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接OA,OB,则△OAB的面积为 (3)如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE,把线段AE绕点A顺 时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标 图2 【思路点拨】(1)用待定系数法即可求解；(2)根据SAos=S△c一SA40c求解；(3)过 A点作x轴的平行线CD,作FC⊥CD于C,ED⊥CD于D,设E(a,)(a>1),证△ACF ≌△EDA(AAS),得到F(-2,4-a),代入3y=三求解. 【自主解答】 心知能检测 反比例函数=Z图象与正比例函数y=x图象交于A(函)，B(光)，则工业十 x2y的值为 221 专练22巧证比例式或等积式 【方法规律】要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用 “三点定形法”找相似三角形；还可用相等的线段去替换结论中的某些线段，再找相似三 角形. 心典例导练 E 示范题如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，BE平分 ∠ABC.BE分别与AC,CD相交于点E,F求证铝部 【思路点拔】首先证明CE一CF,然后利用相似三角形的判定与性质即可解决问题. 【自主解答】 知能检测 1.在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上（不与点A、D重合）， 射线BE与射线CD交于点F.求证：AB2=AE·CF. D 2.在菱形ABCD中，AC为对角线，E,F分别为BC,DC边上的点，射线AE交DF的延 长线于点G,射线AF交BE的延长线于点H,∠EAF=2∠BCD,求证：AF2=FC· FG.和B(4,5)代入二次函数y=x2十：①当四边形ACMN为平行四边 1-b+c=0 bx十c中得：16+4b十c=5 形时，AC平移到NM,有 解得 m=0+2 b=一2、二次函数的解析式 (yM=2+ ,解得：m=2,yM= c=-3 为：y=x2-2x-3. 9,即M(2,-9):@当四边 (2)存在，y=x2-2x-3=(x- 形ACNM为平行四边形时，AC平 1)2-4,∴.设P(1,m),分三种情 移到MN,有 m=-3- yM=n-2 ,解得：m= 况：①以点B为直角顶点时，由勾 股定理得：PB2十AB2=PA, 4,M= ∴.(4-1)2+(m-5)2+(4+1)2 号即M-4,-9》: +52=(1+1)2十m2,解得：m=8, ③当四边形AMCN为平行四边 .P(1,8);②以点A为直角顶点 -1=-3+0 2 2 时，由勾股定理得：PA2+AB2= 形时，有： ,解得： PB2,∴.(1+1)2+m2+(4+1)2+ ym十n_0+2 2 2 52=(4-1)2+(m-5)2,解得：m m=-2,yw=2,即M(-2,2). =-2,.P(1,-2);③以点P为 直角顶点时，由勾股定理得：PA2 综上所述，点M的坐标为（2， +PB2=AB2,∴.(1+1)2+m2+ (1-4)2+(m-5)2=(4+1)2+ 9)或(-4，-9)或(-2,2). 52,解得：m=6或-1，∴.P(1,6) 专练15 二次函数综合（五） 或(1，一1).综上，点P的坐标为 面积问题 (1,8)或(1，-2)或(1,6)或(1，-1). 典例导练 知能检测 X2+2b+c=0 (1,1) (1)由题意，得 专练14二次函数综合（四） 号×g+86+c=6 抛物线与平行四边形 b=- 典例导练 解得： ,二次函数解析式 c=6 (1)易求点A,B的坐标：A(一3， 0),B(1,0),由题意，得 为：y2-4r+6: a+b+2=0 a=- 2 (2).二次函数的对称轴交x轴 (9a-36+2=0'解得 于C点..C点的坐标为(4,0)， b= 4 3 易求BC所在的直线解析式为y ∴.抛物线解析式为y=一 号x一6，：E点是直线=是x 3x+2; 6与二次函数)y=2-4x十6的 (2)以AC为边或对角线分类讨 论：A(-3,0),C(0,2),抛物线y 图象的交点，心是x一6=合2 号导x十2的对称轴为之 4x十6，解得：x1=3,x2=8(舍 =-1,设M(m,yM),N(-1,n), 去)，当x=3时，y=多X3-6= 2 2 3m+2, -2E(3,-)Sa 49 1X2 Saa+Sae=X2X6+ .BE:OE=1:2,OB=6√2，∴.EO ×是-号 -号0B=42,AB+A0 2AB2=BO=(6√2)2，∴.EF= 专练16反比例函数与一次函数 OF=4,AB=6, 典例导练 ∴.E(-4,4),把E(-4,4)代入y (1):反比例函数y=(k>0,x> =金得导=一4，解得=一16， 0)的图象经过A(2,m十3)，B(8,m) 两点..2(m十3)=8m,解得：m= y=-16 1,.A(2,4),B(8,1),k=8,.反 设BD=CD=b,则C(6一b,b+ 比例函数的表达式：y=8 6),把C(b-6,b+6)代入y= (2)①根据角平分线的作法，图略. 19,得6+6=一2.8 ②易求直线AB的解析式为：y= 20,.BC=26=40,.OB2 .1 x+5.直线OP的解析式为：y BC2=(6√2)2-40=32. 专练19反比例函数与特殊四边形 y=x =x,联立方程得： 1 典例导练 y=-2x+5 3 _10 知能检测 解得 10 交点P的坐标为1.162.33.12 y= 专练20反比例函数与图形 3 变换（一）平移 (9》 典例导练 知能检测 (1)A(1,4),B(4,4),∴.AB=4- (1)8(2)22-2 1=3,:AC=2BC,AC-=号AB 专练17反比例函数与面积计算 典例导练 2∴C(3,4),:函数y=(x>0)的 2 图象过点C,∴.k=3X4=12; 知能检测 (2):点A、B的坐标分别为(1,4) 1.32.2√2 (4,4),∴.将线段AB向上平移m(m 3.612m >0)个单位长度后，得到A'(1,4十 n+1 专练18反比例函数与特殊三角形 m,B(4,4+m)D(号，4+m), 典例导练 .线段A'B的中点D在函数y= 1 是的图象上，∴号（4十m)=12,解 知能检测 得m=号 1贸 知能检测 2.(1)y=-x 由题意，可知AB中点坐标为 (2)过E作EF⊥x轴于F, (-1+m,1),BC的中点坐标为 .∠AOB=45°，.∠E0F=45°， (一2+m,0),AC的中点坐标为 ∴△OEF是等腰直角三角形， (-2+m,-2),分情况讨论： .'.EF=FO, ①当AB,中点落在反比例函数 50 y是的图象上时，得-1十m= 高，.∠ADC=90°，.∠A+ ∠ACD=90°，.∠A=∠BCD, 3,解得m=4;②当B1C中点落 :BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE 在反比例函数y=3的图象上 x =∠CBE,△AEB△CFR∴' 时，此种情况不存在；③当AC 中点落在反比例函数y=3的图 帶：∠ABE=∠cE,∠CEr- 90°-∠CBE,∠CFE=∠BFD=90° 象上时，得-2(-2十m)=3,解 ∠ABE,∴.∠CEF=∠CFE,∴.CE= 得m=号，综上所述，m的值为4( 浩帶 或 知能检测 1.,四边形ABCD为正方形， 专练21反比例函数与图形 ∴.AB=BC,∠A=∠C=90°，AB 变换（二）对称与旋转 ∥CD,∴.∠ABE=∠F, 典例导练 (1).点A(1,3),点B(n,1)在反比 △ABBn△CFB,8得-， 例函数)-(m≠0)上∴m=1× .AB·BC=AE·CF,∴AB2= AE·CF. 3=X1,∴m=3,n=3,反比例2.：四边形ABCD为菱形，∠ACB 函数为y=点B(3,1),把A,B =∠ACD,即∠ACD=7∠BCD, 的坐标代入y=x+b得 1+b=3 k=-1 '∠EAF=2∠BCD,∴∠ACD 31·解得=4 。，一次 =∠EAF,,∠AFC=∠GFA, 函数为：y=一x十4； ∠FCA=∠FAG,∴.△FAC∽ (2)4 △FGA,∴AF:FG=CF:AF, (3)如图2，过A点作x轴的平行线 ∴.AF2=FC·FG. CD,作FC⊥CD于C,ED⊥CD于 专练23相似之基本辅助线 D,设E(a,）a>1),:A(1,3, 典例导练 2 18 AD=a-1,DE=3-名，易证 知能检测 △ACF≌△EDA(AAS),.CF= 1.过点B作MN⊥L2,交l于点N, AD=a-1,AC-DE=3-3 交l于点M,则△NAB∽ a r(8-2,4-a(a-2)4 △MBC器-能-号M 一a)=3,解得a=6或a=1(舍)， -景5BA=NB+T- E(6,）. V2 3 ,AC=2BA=号VI. 知能检测 2.(1)过点C作CE∥AB,交AD的 -14 延长线于点E, 专练22巧证比例式或等积式 CE∥AB,∴.∠E=∠EAB, 典例导练 ∠B=∠ECB,..△CED 证明：∠ACB=90°，.∠ACD+ ∠BCD=90°，，CD为AB边上的 △BAD,∴器-品：∠E= 51