22.3 相似三角形的性质-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

题意，可知m十≠0，∴.n一m=1. 第22章相似形 -MN-5,.MB-AB- 22.1比例线段 AM=1-5-1=3-5 第1课时相似的图形 2 2 1.B2.B3.B4.155.2 3-√5 ·煨 2 3√5 6.∠A=∠A'或∠B=∠B 5-1 W5-1 7.由题意，得8：6=5：A'D',.A'D 2 =m,“∠A=∠B=65, (3-5)(5+1)= 2w5-2 (5-1)(W5+1) 4 .∠C=∠D=180°-65°=115°. 8D9.C10.B11. 5,1矩形BCNM是黄金矩 形 12品3能-3-专 第3课时平行线分线段成比 (2)证明：DE∥BC, 例定理及其推论 ∴∠D=∠B,∠E=∠C, 1.D2.43.0 EF AD 又”∠DAE=∠BAC铝 5.B6.6 4.AC-36 AEDE AC-BC 7.CF-15.BF-g ∴.△ADE与△ABC相似. 8.B9.C10.6或12 13.图略 14.(1)AD=1+5 1.BC-9,DB-15. 2 12.(1)AB=4,BC=10. ②)相似比为骨-1 (2)过点A作AG∥DF交BE 于点H,交CF于点G,又AD 第2课时比例的基本性质与 ∥BE∥CF,AD=7, 黄金分割 ∴.AD=HE=GF=7, 1.C2.100 3.5:7 CF=14,∴.CG=14-7=7, 4.1√2=2：2√2 BE/C,器船名， 5.(1)成比例，a:b=c:d ∴.BH=2,∴.BE=2+7=9. (2)成比例，a:c=d:b 微课堂作平行线转化线段的比 (3)不成比例 【变式练】B 6.C 22.2相似三角形的判定 7.(1)a:b=3:2.(2)a-b=1 第1课时相似三角形 a-3 &.B9.D10.C11.D12. 1.B248告是 13.△ABC的周长为8，△A'B'C4.15 24 45.A6.4 的周长为12. 7.答案不唯一，如△ADFp△ECF 14.(1)-1+5 8.证明略. 2 (2)右边窗户BCNM是黄金矩形. 9.A10.C11.B12.8cm13.3 证明：设AB=CD=1,,矩形14.CE=4.5cm ABCD是黄金矩形，∴.AD=AM15.(1).PM∥BC,.△APM∽ 34 △MNB.器-0，PY- AB’1 熙又∠B=∠C=9, PM-cmi ∴.△APB∽△EPC. 5.证明略. (2若△PNB△PAD,则器 6.A7.A8.C9.54 75 10.3 除，又由PM/NB得器 :11.(1)△PBA与△ABC相似，理由 盼恶搬营 t t 如下：.AB=√22+1=√5，BC =2s,此时相似比为一专 ,NB_2 =6,P=1嚣-跽-9 5 ∠PBA=∠ABC,∴.△PBA 第2课时三角形相似的判定定理1 ∽△ABC. 1.D2.B3.C (2).△PBA∽△ABC∴.∠BAC 4.∠1=∠C(答案不唯一) =∠BPA,,∠BPA=90°+45°= 5.56.157.证明略. 135°，.∠BAC=135 8.AC=2√2Icm. 12.(1)证明略； 9B10号1.9 2带-紧带肥. 12.(1)略. (2)证明略. 又.∠C=∠C,EC=5,BC=13, 13.(1).∠ABC=90°，DE⊥DG, ∴.△CDE∽△CAB, ∴.∠ADG=∠ABC=90°， 器既品 ∴.∠BAD+∠ADB=90°， ∠ADB+∠CDG=90°， 13.(1)1:3(2)(3)略 ∴.∠BAE=∠CDG, 第4课时三角形相似的判定定理3 1.A2.B3.D4.B5.1.5 'BF⊥AC,∴.∠ABE+∠BAC =90°，.∠C+∠BAC=90°， 6.∠A=∠D或BC=2EF 7.证明略.8.D9.B10.B .∠ABE=∠C, 11.①②④12.证明略. .△ABE∽△DCG. 13.相似三角形有3对：△ABD) (2)证明：△ABE∽△ACD,或 △A'B'D',△ABC∽△A'B'C', △DCG∽△ACD.易证∠BAE △CADp△CA'D'.证明略. =∠CAD,∠AEB=∠ADC可 14.(1)△ABC∽△DEF,由三边对 知△ABE∽△ACD. 应成比例可知； 14.（1)证明略. (2)不唯一，△P2PD,△P4PF, (②)由1证得号-是，即CE=2 △P2PD,△PPD,△P2PP, ∴.AE=9-2=7 △PFD中，选2个即可.图略. 第3课时三角形相似的判定定理2： 第5课时直角三角形相似的判定 1.B2.D3.D 1.D2.B3.C4.D5.9 4.△APB与△PCE相似，理由如 6.(1)相似，理由略； 下：设BP=2k,BC=3k,∴.AB= BC=CD=3k,PC=k.又E是 (2)BE⊥AC,BE- 2AC,理由略。 DC的中点，C-昌起提 7.B8.A9.A 10.(1)证明略。 =2咒-路=2即0 (2)在Rt△BCE中，由BC=AD =12,CE=5,.BE= 35 VBC+CE二18，由△ABr∽6（号 △nPC,得瓷-能，即侣 (2)在矩形ABCD中由于对折， 器AF=6 ∴.∠D=∠FEM=90°，.∠1十 ∠2=90°，又.∠A=∠B=90° 11.在Rt△ABC中，AB=√WBC+AC ∴.∠1+∠3=90°，.∠2=∠3， =5,由题意知：AP=5-t,AQ=2t. 当PQ∥BC时，△AQPP△ACB, △AEF△BME,能- 器能登-5号 BM=是. AE 5 解得：=9,9<2，当PQLAB 7.(1)△ABC与△DAC相似，理由 是：.CD=2,BC=8,AC=4, 时，△MPQ△MCB8- 瓷0∠0∠C 能号5解得得 2525 .△ABCc∽△DAC: (2).∠CAD=∠B,∠C=∠C, <2.综上所述，当1=9或 △ABCn△DAC瓷-器. 时，以A,PQ为顶点的三角 即-￥y- x 形与△ABC相似. 12.(1)证明略 8.EB-AB-1,AB-3,AE (2)连接AC,.∠ABC=90°， =2.,四边形ABCD是正方形， ∴.AC=√AB+BC=√32+4 .∠DAE=∠FBE=90°，AD= =5,.DA=5√5，CD=10, AB=3,又∠DEA=∠FEB,∴. ∴.△ACD满足AC2+CD2= △ADEO△BFE,÷能-架， AD,.∠ACD=90°，过点D作 DE⊥BC延长线于点E,由(1) ∴BF-多∴EF=VB+B亚 得此时△CEDAR.÷器- -脚F的长为空 DE=CD=2,.CE=6,DE=8,在9.'∠A=∠A,∠ADB=∠AEC= CBAC Rt△BDE中，BD=√BE十DE 90,∴△ABDn△ACE.0 =√(4+6)2+8=2√4. 专题八相似三角形的基本模型 能：∠A=∠A,AMDE☑ 1.C2.AF=12cm. △ABC 3证明略。49 22.3相似三角形的性质 1.A2.A3.8:9 27 5.在△ABC中，∠C=90°，AC=8, cm 4.B BC=6,∴.AB=√AC+BC= 5.D6.1:4 10,又BD=BC=6,∴AD=AB.EF的长是空cmAC的长是am -BD=4,.DE⊥AB,.∠ADE 8.4:25或9：259.B10.D =∠C=90°，又∠A=∠A, 11.1:312.①②③ △AED△AC-把， 13.(1)证明：.DF∥AB,DE∥BC, ∴.∠DFC=∠ABF,∠AED= ∴DE-ABc-音×6=3 ∠ABF,.∠DFC=∠AED, 36 又.DE∥BC,∴.∠DCF= =90°-∠B,∴.∠FDN=∠C, ∠ADE,∴.△DFCn△AED; ∴.△AMC△FND. ②cD=专AC,器-专由 13.(1)证明：，在△ABC中，∠BAC =90°，AB=AC,∴∠B=∠C= (1)知△DFC和△AED的相似 45°.∠B+∠BPE+∠BEP= CD 180°，∴.∠BPE+∠BEP=135°， ,∠EPF=45°，又∠BPE+ (册)-（分》= ∠EPF+∠CPF=180°， 14.(1)证△BPQp△BCA; ∴.∠BPE+∠CPF=135°， （2:50S=15器 ∴.∠BEP=∠CPF,又，'∠B= ∠C,∴.△BPEp△CFP. 后QB=9AB-5mP (2)△BPEp△CFP;理由：.在 △ABC中，∠BAC=90°，AB= =√QB2-PB=lcm..SABPQ AC,∴.∠B=∠C=45°..∠B+ =1cm2,∴.SA8c=5cm2. ∠BPE+∠BEP=180°，∴.∠BPE 15.C +∠BEP=135°，.∠EPF=45°， 阶段提升自测（三） 又.∠BPE+∠EPF+∠CPF= 1.C2.C3.B4.D5.B 180°，.∴.∠BPE+∠CPF=135°， 6.例：△EFC△AFD,△EAB ∴.∠BEP=∠CPF,又，∠B= △AFD ∠C,∴.△BPE∽△CFP. 7.∠ABP=∠C8.(2,4-2√2) 22.4简单的位似图形 9.-1610.80 第1课时位似图形的概念与性质 11.(1)AC=6. 1.D2.A3.D4.B5.36.D (2)证明：：AD=3,AB=9,AE7.图略.8.A9.A10.C =2,AC=6,.AD:AB=AE:11.A12.18cm13.略. AC,.∠DAE=∠BAC, 14.(1)AC∥A'C,理由：容易知 .△ABCp△ADE. △ABC∽△A'B'C',则∠A= 12.(1)不相似..在Rt△BAC中， ∠CA'B',所以AC∥A'C'. ∠A=90°，AB=3,AC=4 (2)由AB=2A'B',得A'B':AB 在Rt△EDF中，∠D=90°，DE =1:2...OC':OC=A'B':AB, =,DF=2,0=号，能 即5：OC=1:2,OC=10,则C℃ =5. 号崇≠能R△BAC与 15.24040 第2课时平面直角坐标系中图 Rt△DFE不相似. 形的位似变换 (2)能作辅助线进行分割， 1.A2.D3.(-5,-1) 证明：作∠BAM=∠E,交BC 于M;作∠NDE=∠B,交EF 4.（-2,号) 5.(-2,2) 于N,由作法和已知条件可知6.因为使得新图形AB,CDE与 △BAM∽△DEN,.∠BAM= 原图形对应线段的比为2：1，所 ∠E,∠NDE=∠B,∠AMC= 以新图形A1B,CDE各顶点坐 ∠BAM+∠B,∠FND=∠E+ 标都在原图形的基础上扩大2 ∠NDE,∴.∠AMC=∠FND, 倍，作图略， .∠FDN=90°-∠NDE,∠C7.(2,1)或(-2，-1)8.D9.C 10.-61.0,0)或（，4） ∴EG=BG=2BC,GF=2CD, 12.略 EF=2AB,:EF=EG+GP,即 13.(1)(-1,-5)(2)图略 (3)(-1,1)2√5+3√2图略. AB-BC+CD.:AB- 14.3-2a BC+CD. 专题九相似的判定与性质的综合 1.(1)易证AB=AE,∠BAF= (3)猜想：AB-BC+Cm ∠AED,AF=DE. 证明：连接BD,作EF∥AB交 (2)先证△ErC△DAE,得需 BC于G,交BD于F,,EF∥ -形-E,易证AD=CR,AF AB器-器-器-"分 即EF=N-AB,BF=1BD, n n =DC,可得EF=4.进面急 .EF∥AB,AB∥CD,∴.EF∥CD, g号解得cF-6,CE-9, 易求BG=1BC,GF=1CD, 再利用△ABEp△DEC,可求 BE=6. 可知：ABBC+CD (3)延长BM、ED交于点G, 综合与实践（一）旋转相似变换 易证△ABED△DCE,瓷 (1)证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.∠B=∠C=90°，∴.∠BAP+十 能-=&议DC=DE=a, ∠BPA=90°， .∠MPN=90°，∴.∠CPD+ CE=b,则AB=AE=ka,AF= ∠BPA=90°，∴∠BAP=∠CPD, CD=a,BE=b,∴.EF=AE- ∴.△ABPp△PCD; AF=ka-a=a(k-1),易证 △AMB≌△DMG(AAS),∴.DG= (②器的值为定值，理由如下。 AB=ka,∴.EG=DG+DE=ka十：过点F作FG⊥BC于G,'.∠FGP a=a(k+1),,AB∥DG, =90°，∴.∠FGP=∠B,∠PFG+ △MBn△DG,88部， ∠FPG=90°，易知四边形ABGF是 矩形，∴.FG=AB=2,.∠MPN= 即2a02D发-k 90°，∴.∠EPB+∠FPG=90°， .∠EPB=∠FPG,.△EBP∽ 一1=0，解得：k=1+√2或k=1 (合法器==1hB △PG,器-昭- 2.0)号 票的值是定值，该定值为： (3).AE=m,∴.BE=2-m, (2)猜想：AB=BC+CD, 证明：连接BD,取BD的中点F, ①当器-股时，：∠B=∠EPF 连接EF交BC于G,由中位线定 =90∴△BPE∽△PFE,8器= 理，得EF∥AB∥CD,∴.G为BC 的中点，∠GEB=∠EBA, 2m-m=是 1 又，'∠EBA=∠GBE,∴.∠GEB =∠GBE, ②当E距时，∠B=∠Enn 38 90°，.△BPE△PEF, 中，CH=√P-PC= 2y, .BC=2CH=√5y,∴.AD=BC= 综上所述，当m=0或号时，△BPE5,在Rt△APD中，AP= 与△PEF相似. √JAD+PD=√6y,,BG∥AP, 综合与实践（二）折叠相似变换 (1)证明：，四边形ABCD是矩形， △Bc△AWMP,÷器=微 ∠A=∠D=∠C=90°，.∠1+ 2y= ∠3=90°，由折叠的性质，可知 6 ∠EPH=∠A=90°，∴.∠1+∠2= √6，.AB=√6BG. 90°，.∠3=∠2，.△EDP∽ 章未核心考点与素养提升 △PCH; (2)四边形ABCD是矩形，.CD 1.D2.B3.A4.B5.C6.2:1 =AB=2,AD=BC=3,∠A=∠D 7.①②③④8.2.7 =∠C=90°，，P为CD中点， :9.过E作EG⊥CF于G,延长GE .DP=CP=1,设EP=AE=x, 交AD于H,则GH⊥AD,四边 ∴.ED=AD-AE=3-x, 形CBEG、四边形AHEB是矩 在Rt△EDP中，EP2=ED+DP2, 形，∴.AH=BE=CG=1.6m,BC =EG=9.5-0.3=9.2m,AB= 即2=8)+1，解得x=号， HE=0.3m,.'∠FGE=∠EHD ∴EP=AP=号， =∠FED=90°，.∠EFG+ ∠FEG=∠FEG+∠DEH= :ED=AD-AE=-号，：△EDPn 90°，.∠GFE=∠DEH, 4 5 △EPGADEH,E器 △PCH,腮-0，即 -PH' 器即86=品解得： ∴PH=号，PG=AB=2,GH DH=13.8m,∴.AD=DH+AH =PG-PH=是 =13.8+1.6=15.4m. 答：树的高度AD为15.4m (3)延长AB,PG交于一点M,连接 10.略. AP,由折叠的性质，可知AP⊥EF, 11.C12.C13.C14.B15.12 BG⊥直线EF,.BG∥AP, 16.√3 ,AE=EP,∴.∠EAP=∠EPA, 17.(1)△BMC∽△NMA, ∴.∠BAP=∠GPA,.△MAP是 ,四边形ABCD是平行四边形， 等腰三角形，∴.MA=MP, ∴.AD∥BC,∴.△BMCp△NMA; ,P为CD中点，.设DP=CP= (2).△BMCc∽△NMA,2CM= y,∴.AB=PG=CD=2y, ,H为BC中点，∴BH=CH, 3AM-器-册名， ,'∠BHM=∠CHP,∠CBM= ,四边形ABCD是平行四边形， ∠PCH,.△MBH≌△PCH (ASA),.'BM=CP=y,HM= C=AD,设2-日，由AD HP,..MP=MA=MB+AB=3y, ∥BC,可知△DNE∽△CBE, ∴HP-PM-号，在Rt△PCH 器-识=日设EN= 3922.3相似 01 基础达标 知识点一对应线段的比等于相似比 1.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的 相似比为是，则△ABC与△DEP对应中线的 比为 A星 B青 Cig Di 2.点D,E,F分别是△ABC三边的中点，则 △DEF与△ABC对应高线的比是( A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1√2 3.若两个三角形相似.相似比为8：9.则它们对应 角平分线之比是 若其中较小三角形 的一条角平分线的长为6cm,则另一个三角形 对应角平分线的长 知识点二相似三角形的周长比和面积比 4.若△ABC∽△A'BC',相似比为1：2，则 △ABC与△A'B'C'的周长的比为() A.2:1 B.1:2 C.4:1 D.1:4 5.如图，□ABCD中，F为BC中点，延长AD至 E,使DE:AD=1:3,连结EF交DC于点G, 则SADEG:SACG= A.2:3 B.3:2 C.9:4 D.4:9 G D 第5题图 第6题图 6.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的 中点，则△ADE与△ABC的面积比S△ADE: S△ABC= 65 三角形的性质 7.已知△ABC∽△DEF,△ABC和△DEF的周 长分别为20cm和25cm,且BC=5cm,DF= 4cm,求EF和AC的长. 易错点因图形的不唯一导致漏解 8.在□ABCD中，E是AD上一点，且点E将 AD分为2：3的两部分.连接BE,AC相交于 点F,则S△AEF:S△BF是 02能力提升 9.如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到 △A'B'C的位置.已知△ABC的面积为16，阴 影部分三角形的面积为9.若AA'=1,则A'D 等于 () A.2 B.3 C.4 3 D.2 y 第9题图 第10题图 10.如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线 OB与双曲线y=相交于点D,且OD:OB =2:3,则k的值为 () A.12 B.-12C.16 D.-16 66 11.如图，△ABC是等边三角形，被一个一边平 行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，则 图中阴影部分的面积与△ABC的面积的比 是 第11题图 第12题图 12.如图，在□ABCD中，AC,BD相交于点O,点 E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点 F,已知Sm=4,则下列结论：①部-号② SA0E=36;③SAABE=12;④△AEFC△ACD,其 中一定正确有 .(填序号) 13.如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC, DF∥AB. (1)求证：△DFCp△AED; ②者CD-AC求号的值 14.如图，在Rt△ABC中.∠ACB=90°，P为AB 上一点，Q为BC上一点，且PQ⊥AB. (1)求证：BP·BA=BQ·BC; (2)若S0=4S边形c,AB=5Cm,PB= 2cm,求△ABC的面积. 03思维拓展 15.如图，点E,F是平行四边形ABCD对角线 AC上两点，AE=CF=号AC.连接DE,DF 并延长，分别交AB,BC于点G,H,连接 GH,测二的值为 () E G A B.4 c号 D.3