22.1 比例线段&微课堂 作平行线转化线段的比-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

题意，可知m十≠0，∴.n一m=1. 第22章相似形 -MN-5,.MB-AB- 22.1比例线段 AM=1-5-1=3-5 第1课时相似的图形 2 2 1.B2.B3.B4.155.2 3-√5 ·煨 2 3√5 6.∠A=∠A'或∠B=∠B 5-1 W5-1 7.由题意，得8：6=5：A'D',.A'D 2 =m,“∠A=∠B=65, (3-5)(5+1)= 2w5-2 (5-1)(W5+1) 4 .∠C=∠D=180°-65°=115°. 8D9.C10.B11. 5,1矩形BCNM是黄金矩 形 12品3能-3-专 第3课时平行线分线段成比 (2)证明：DE∥BC, 例定理及其推论 ∴∠D=∠B,∠E=∠C, 1.D2.43.0 EF AD 又”∠DAE=∠BAC铝 5.B6.6 4.AC-36 AEDE AC-BC 7.CF-15.BF-g ∴.△ADE与△ABC相似. 8.B9.C10.6或12 13.图略 14.(1)AD=1+5 1.BC-9,DB-15. 2 12.(1)AB=4,BC=10. ②)相似比为骨-1 (2)过点A作AG∥DF交BE 于点H,交CF于点G,又AD 第2课时比例的基本性质与 ∥BE∥CF,AD=7, 黄金分割 ∴.AD=HE=GF=7, 1.C2.100 3.5:7 CF=14,∴.CG=14-7=7, 4.1√2=2：2√2 BE/C,器船名， 5.(1)成比例，a:b=c:d ∴.BH=2,∴.BE=2+7=9. (2)成比例，a:c=d:b 微课堂作平行线转化线段的比 (3)不成比例 【变式练】B 6.C 22.2相似三角形的判定 7.(1)a:b=3:2.(2)a-b=1 第1课时相似三角形 a-3 &.B9.D10.C11.D12. 1.B248告是 13.△ABC的周长为8，△A'B'C4.15 24 45.A6.4 的周长为12. 7.答案不唯一，如△ADFp△ECF 14.(1)-1+5 8.证明略. 2 (2)右边窗户BCNM是黄金矩形. 9.A10.C11.B12.8cm13.3 证明：设AB=CD=1,,矩形14.CE=4.5cm ABCD是黄金矩形，∴.AD=AM15.(1).PM∥BC,.△APM∽ 34 △MNB.器-0，PY- AB’1 熙又∠B=∠C=9, PM-cmi ∴.△APB∽△EPC. 5.证明略. (2若△PNB△PAD,则器 6.A7.A8.C9.54 75 10.3 除，又由PM/NB得器 :11.(1)△PBA与△ABC相似，理由 盼恶搬营 t t 如下：.AB=√22+1=√5，BC =2s,此时相似比为一专 ,NB_2 =6,P=1嚣-跽-9 5 ∠PBA=∠ABC,∴.△PBA 第2课时三角形相似的判定定理1 ∽△ABC. 1.D2.B3.C (2).△PBA∽△ABC∴.∠BAC 4.∠1=∠C(答案不唯一) =∠BPA,,∠BPA=90°+45°= 5.56.157.证明略. 135°，.∠BAC=135 8.AC=2√2Icm. 12.(1)证明略； 9B10号1.9 2带-紧带肥. 12.(1)略. (2)证明略. 又.∠C=∠C,EC=5,BC=13, 13.(1).∠ABC=90°，DE⊥DG, ∴.△CDE∽△CAB, ∴.∠ADG=∠ABC=90°， 器既品 ∴.∠BAD+∠ADB=90°， ∠ADB+∠CDG=90°， 13.(1)1:3(2)(3)略 ∴.∠BAE=∠CDG, 第4课时三角形相似的判定定理3 1.A2.B3.D4.B5.1.5 'BF⊥AC,∴.∠ABE+∠BAC =90°，.∠C+∠BAC=90°， 6.∠A=∠D或BC=2EF 7.证明略.8.D9.B10.B .∠ABE=∠C, 11.①②④12.证明略. .△ABE∽△DCG. 13.相似三角形有3对：△ABD) (2)证明：△ABE∽△ACD,或 △A'B'D',△ABC∽△A'B'C', △DCG∽△ACD.易证∠BAE △CADp△CA'D'.证明略. =∠CAD,∠AEB=∠ADC可 14.(1)△ABC∽△DEF,由三边对 知△ABE∽△ACD. 应成比例可知； 14.（1)证明略. (2)不唯一，△P2PD,△P4PF, (②)由1证得号-是，即CE=2 △P2PD,△PPD,△P2PP, ∴.AE=9-2=7 △PFD中，选2个即可.图略. 第3课时三角形相似的判定定理2： 第5课时直角三角形相似的判定 1.B2.D3.D 1.D2.B3.C4.D5.9 4.△APB与△PCE相似，理由如 6.(1)相似，理由略； 下：设BP=2k,BC=3k,∴.AB= BC=CD=3k,PC=k.又E是 (2)BE⊥AC,BE- 2AC,理由略。 DC的中点，C-昌起提 7.B8.A9.A 10.(1)证明略。 =2咒-路=2即0 (2)在Rt△BCE中，由BC=AD =12,CE=5,.BE= 35 VBC+CE二18，由△ABr∽6（号 △nPC,得瓷-能，即侣 (2)在矩形ABCD中由于对折， 器AF=6 ∴.∠D=∠FEM=90°，.∠1十 ∠2=90°，又.∠A=∠B=90° 11.在Rt△ABC中，AB=√WBC+AC ∴.∠1+∠3=90°，.∠2=∠3， =5,由题意知：AP=5-t,AQ=2t. 当PQ∥BC时，△AQPP△ACB, △AEF△BME,能- 器能登-5号 BM=是. AE 5 解得：=9,9<2，当PQLAB 7.(1)△ABC与△DAC相似，理由 是：.CD=2,BC=8,AC=4, 时，△MPQ△MCB8- 瓷0∠0∠C 能号5解得得 2525 .△ABCc∽△DAC: (2).∠CAD=∠B,∠C=∠C, <2.综上所述，当1=9或 △ABCn△DAC瓷-器. 时，以A,PQ为顶点的三角 即-￥y- x 形与△ABC相似. 12.(1)证明略 8.EB-AB-1,AB-3,AE (2)连接AC,.∠ABC=90°， =2.,四边形ABCD是正方形， ∴.AC=√AB+BC=√32+4 .∠DAE=∠FBE=90°，AD= =5,.DA=5√5，CD=10, AB=3,又∠DEA=∠FEB,∴. ∴.△ACD满足AC2+CD2= △ADEO△BFE,÷能-架， AD,.∠ACD=90°，过点D作 DE⊥BC延长线于点E,由(1) ∴BF-多∴EF=VB+B亚 得此时△CEDAR.÷器- -脚F的长为空 DE=CD=2,.CE=6,DE=8,在9.'∠A=∠A,∠ADB=∠AEC= CBAC Rt△BDE中，BD=√BE十DE 90,∴△ABDn△ACE.0 =√(4+6)2+8=2√4. 专题八相似三角形的基本模型 能：∠A=∠A,AMDE☑ 1.C2.AF=12cm. △ABC 3证明略。49 22.3相似三角形的性质 1.A2.A3.8:9 27 5.在△ABC中，∠C=90°，AC=8, cm 4.B BC=6,∴.AB=√AC+BC= 5.D6.1:4 10,又BD=BC=6,∴AD=AB.EF的长是空cmAC的长是am -BD=4,.DE⊥AB,.∠ADE 8.4:25或9：259.B10.D =∠C=90°，又∠A=∠A, 11.1:312.①②③ △AED△AC-把， 13.(1)证明：.DF∥AB,DE∥BC, ∴.∠DFC=∠ABF,∠AED= ∴DE-ABc-音×6=3 ∠ABF,.∠DFC=∠AED, 3647 第22章相形 22.1比例线段 第1课时 相似的图形 01基础达标 6.已知菱形ABCD与菱形A'B'C'D',添加一个 条件，使菱形ABCD与菱形AB'C'D'相似，这 知识点一相似图形 个条件是 .(写出 1.如图，将图形用放大镜放大，应该属于( 一个即可) A.平移变换 7.如图所示，等腰梯形ABCD与等腰梯形 B.相似变换 A'B'C'D'相似，∠A'=65°，A'B'=6cm,AB= C.旋转变换 8cm,AD=5cm,试求梯形ABCD各角的度数 D.对称变换 与AD'的长 2.观察下列图形中，是相似图形的一组是（ A B 知识点二相似多边形的判定和性质 3.根据中国人民政治协商会议第一届全体会议 主席团1949年9月27日公布的国旗制法说 明，我国五种规格的国旗旗面为相似矩形，已知 一号国旗的标准尺寸是长288cm,高192cm,则 如图国旗尺寸不符合标准的是 02能力提升 160cm 120cm 8.【跨化学·分子结构】某物质的分子结构如图 240cm 160cm A B 所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观 察该分子结构，则保持不变的是 96cn 64cm A.AB的长度 144cn 96cm B.六边形ABCDEF的周长 D C.六边形ABCDEF的面积 4.在△ABC与△A'B'C'中，若AB与A'B'的比 D.∠ECD=30° 是5：2，且AB′=6，则AB= 9.(2025·连云港)△ABC的三边长为2,3,4， 5.在如图所示方格纸中，已知 有一个与它相似的△DEF,其最长边为12，则 △DEF是由△ABC经相似变 △DEF的周长是 () 换所得的像，那么△DEF的每 条边都扩大到原来的倍 A.54 B.36 C.27 D.21 48 10.如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE13.在图中画出一个与四边形ABCD相似但不 相似，若AB:FG=2:3,则下列结论正确的是 全等的格点图形， D A.2DE-3MN B.3DE-2MN C.3∠A=2∠F D.2∠A=3∠F B C D H 03思维拓展 14.如图，把矩形ABCD中的AB边向上翻折到 第10题图 第11题图 AD边上，当点B与点F重合时，折痕与BC 11.如图，正方形EFGH的四个顶点分别在正方 边交于点E,连接EF,若四边形EFDC与矩 形ABCD的四条边上.若正方形EFGH与正 形ADCB恰好相似，AB=1. 方形ABCD的相似比为写，则能(AE< (1)求AD的长 (2)求矩形ADCB与矩形EFDC的相似比. BE)的值为 12.如图，DE∥BC.BD,CE相交于点A,DE 3,BC=9,AD=1.5,AB=4.5,AE=1.8,AC =5.4. ④求器恶瓷的值 (2)求证：△ADE与△ABC相似， E D 49 第2课时 比例的基本性质与黄金分割 01基础达标 (2)求的值. 知识点一 线段的比与成比例线段 1.等边三角形的一边与该边上的高的比是 A.√3：2 B.√3：1 C.2√3 D.1√3 2.小明测量学校教学楼平面设计图上的长是a =95cm,小亮测得学校教学楼的实际长度为 6=95m,则号=一 3.已知点P在线段AB上，AP:BP=2:5,则BP: 知识点三黄金分割 AB- 8.已知线段AB=1,点C是线段AB的黄金分割 4.已知1w2,2三个数，请你再添上一个数，写出 点，则AC·BC等于 () 一个比例式 A.2(W5-2) B.5-2 5.判断下列线段是否成比例，若成，请写出比例式 D5-1 (1)a=3m,b=5m,c=4.5cm,d=7.5cm. C.4√5-8 2 021 能力提升 (2)a=7 cm,6=4 cm,c=d=27 cm. 9.若互不相等的四条线段长a、6、c、d满足号 (3)a=1.1cm,b=2.2cm,c=3.3cm,d= 台m是任意长的线段，则下列各式中，相等关 5.5cm. 系成立的是 ( 知识点二 比例的性质 A8阳-酬 B.a+b=c十d 6若号-号，则“产的值是 ( C.a-d D.a十b_c十d cb “a-bc-d A R c D.2 10.美是一种感觉，当人体下半身 长与身高的比值越接近0.618 7.已知：2a=3b.(a,b均不为0) 时，越给人一种美感.如图，某 (1)求a:b的值， 女士身高165cm,下半身长x 与身高1的比值是0.60，为尽可能达到好的 效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为() A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm 50 11.如图，线段AB及AB上一点P,当P满足下 03思维拓展 列哪一种关系时，P为AB的黄金分割点 14.【项目主题】黄金分割数 【项目素材】如图1，将一条线段AB分割成 长、短两条线段AP、PB,若短线段与长线段 CAP=AB,PB,②AP=52AB, 的长度之比等于长线段的长度与全长之比， 那么这种分割就叫做黄金分割.其中线段AP ③rB85A8,@05士， 2 与AB的比值或线段BP与AP的比值叫做黄 6品= 金分割数 2 【实践操作】 A.①②④ (1)若设线段AB=1,AP的长为x,则BP可 B.②③④ 表示为1一x,BP:AP=AP:AB,∴.(1-x) C.①不是，其余都是 x=x:1,…,根据此方法可计算出黄金分割 D.以上任何一种均可 数为 (结果保留根号) 12.若分-后导=组6计d-≠0)，则 【实践探索】 b+d-f (2)黄金分割在自然界、建筑、艺术等领域无 1B3.在△AC和△ABC中，铝=瓷-爱 处不在，我们把宽与长的比为52的矩形叫 黄金矩形，比如按照黄金比例定制的窗户令 号，且△ABC的周长与△ABC的周长相差 人赏心悦目，它给我们协调、匀称的美感！如 4,求这两个三角形的周长分别为多少？ 图2是某同学为自家设计的子母窗户结构示 意图，在一个黄金矩形ABCD里分割出一个 正方形AMND,那么右边窗户BCNM还是 黄金矩形吗？如果是，请证明你的结论；如果 不是，请说明理由. 图1 图2 51 第3课时 平行线分线段成比例定理及其推论 01基础达标 知识点二平行线分线段成比例的推论 知识点一 平行线分线段成比例 5.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC边上 1.如图，已知AD∥EF∥BC,下列结论不成立 的点，DE∥BC,若AD=2,AB=3,DE=4,则 () 的是 BC等于 A.5 B.6 C.7 D.8 A器览 指 c黠 第5题图 第6题图 能既 6.如图，点D,C分别在OB、OA的反向延长线 2.如图，l1∥l2∥ls,直线a、b与l1、l2、l分别相 上，且CD/AB,器号若0A=4.则AC 交于点A、B、C和点D、E、F.若AB=3,DE= 2,BC=6,则EF= 7.如图，在△ABC中，DE∥BC,DF∥AC,AE 4,EC=2,BC=8.求BF和CF的长， E h F G大D 第2题图 第3题图 3如图4/ah,则品 EG FG 4.如图，已知l1∥12∥13，BC=3,EF=2.5,DE= 3.5,求AC的长 02能力提升 8.如图，DE/∥FG∥BC,若DB=4FB,则EG与 GC的关系是 () A.EG=4GC B.EG=3GC C.EG-GC D.EG=2GC 第8题图 第9题图 52 9.如图，△ABC中，已知MN∥BC,DN∥MC,12.如图，已知AD∥BE∥CF,它们依次交直线 小明由此得出了以下四个结论：①兴， AB 4山于点AB.C和点D,EP,P票-导，AC ②器A③AF=AB·AC,④光-架其 =14. (1)求AB、BC的长； 中正确结论的个数为 ( (2)如果AD=7,CF=14,求BE的长. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.在△ABC中，AB=6,AC=9,点D在边AB 所在的直线上，且AD=2,过点D作DE∥ BC交边AC所在的直线于点E,则CE的长 为 11.如图，在□☐ABCD中，EF∥AB,DE:EA=2: 3,EA=4,DF=6,求BC、DB的长 +++ 微课堂作平行线转化线段的比+++一 【示例】如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点.则AN:NC的值为 【方法】通过作辅助线构建平行线是解此题的关键.过D作DE∥BN交AC 于E,根据D是BC的中点得：EN=EC,同理得AN=EN,可得结论AN: NC=1:2. 【变式练】如图，在△ABC中，D在AC边上，AD:DC=1:2,O是BD的中点， 连接AO并延长交BC于E,则BE:EC= A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.2:3